數(shù)學(xué)分析3部分習(xí)題解析含參量積分

1、3含參量積分部分關(guān)注的要點(diǎn)：、理解含參量正常積分的本質(zhì)（本質(zhì)：一元函數(shù)的定積分，也即正常積分）和含義（含義：函數(shù)，即參量為自變量的的函數(shù)。之所以還冠以正常積分的名稱是因?yàn)檫@樣的函數(shù)是借助正常積分來(lái)產(chǎn)生的；知道含參量正常積分的類型（兩類：固定限和非固定限，之所以分這兩類，一是因?yàn)榉e分上下限的形式有差異；二是方便研究，即分這兩類來(lái)研究比較方便；熟記含參量正常積分解析性定理（包括連續(xù)性定理，可微性定理和可積性定理）的條件和結(jié)論，并熟練掌握解析性定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用（如計(jì)算某些定積分，計(jì)算某些由積分產(chǎn)生的函數(shù)的極限和導(dǎo)數(shù)等。、理解含參量反常積分的本質(zhì)（本質(zhì)：一元函數(shù)的反常積分）和含義（含義：函數(shù)，即參量為自

2、變量的的函數(shù)。之所以還冠以反常積分的名稱是因?yàn)檫@樣的函數(shù)是借助反常積分來(lái)產(chǎn)生的；理解為什么只需重點(diǎn)考慮無(wú)窮限含參量反常積分（因?yàn)楹瘮?shù)的含參量反常積分和混合含參量反常積分，都可通過(guò)適當(dāng)變量替換進(jìn)行轉(zhuǎn)換；理解含參量反常積分的一致收斂和內(nèi)閉一致收斂的含義，并知道為什么要考慮含參量反常積分的一致收斂和內(nèi)閉一致收斂的原因；熟記含參量反常積分一致收斂的常用、方便的判別法（判別法，狄利克雷判別法和阿貝爾判別法，并能熟練地應(yīng)用它們判斷具體含參量反常積分的一致收斂性。 sin（1） dy與dy ，分別在 x,（ 0 ）和 x0,上 sin cos1 dy， 1 dyxR ysin ycos ycosxy（ ）1

3、 dy，1 dy，在 （ 0 ）上；以及 1 在 x0 xy sin（4） dy ，在 x0y、熟記含參量反常積分解析性定理（包括連續(xù)性定理，可微性定理和可積性定理）的條件和結(jié)論，并熟練掌握解析性定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用（如計(jì)算某些反常積分，計(jì)算某些由積分產(chǎn)生的函數(shù)的極1節(jié)部分習(xí)1f(xysgn(xy（x y時(shí)不連續(xù)1F(y) 0 f (x, 1所的函數(shù)在(, ) 上連續(xù)，并作出函數(shù) F ( 注：只有二元函數(shù) 注：只有二元函數(shù) f (x, y) 在指定區(qū)域（如本題的0,1(, ) ）上滿足連續(xù)的要求，才能11當(dāng)0 y 1時(shí)，此時(shí)0,1 0, y y,1，由定積分的區(qū)間可加性F(y) 0 f(x,y)dx

4、 0 f (x,y)dxy f (x,0 (1)dxy 1dxy1 y12綜上可得yFy12y, 0 y1y顯然它在(, 上連續(xù)。根據(jù)上面的表達(dá)式畫其圖像比較簡(jiǎn)單，請(qǐng)大家自行畫出略2、求下列極限（1） （20 0 2 x2cosxdx數(shù)的定積分產(chǎn)生的函數(shù)的極限的一種算法：“積分號(hào)下求極限”或“上下限及被積函數(shù)同時(shí)求極限”】【取鄰域U (0) ，顯然在矩形區(qū)域U (0) 1,1 上連續(xù)，所以由連續(xù)性得 22 22 偶函x dxx dxx dx 20 xdx1x2 cosx 在矩形區(qū)域U (0) 0, 2上連續(xù)，所以由連續(xù)性得lim2 x2 cosxdx2 limx2 cosxdx2 x2dx 8

5、0 0 3、設(shè)F(x) x2 exy2dy ，求F(x)x數(shù)的定積分產(chǎn)生的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式（分固定限和非固定限兩種公式，這些公式一定要熟記】x【顯然exy2 和exy2 y2ex ln(12acosxa2)dx）【注：本題和下面的題都是用可微性和可積性來(lái)計(jì)算的積分的典型題目，雖然有些積分的計(jì)有點(diǎn)繁瑣（如本題的積分，但仍希能夠關(guān)注（因?yàn)樗鼈兲湫土?分析：對(duì)積分進(jìn)行變形得，對(duì)積分（分析：對(duì)積分進(jìn)行變形得，對(duì)積分（1）02 lna2 sin2 xb2 cos2 xdx02 ln 1cos22 b2 1cos2x2a2 202b2 2cos2xdx 2t2x 0 a2 2b2 2cost2a2

6、b2 212b2 0ln a 2cost d可見(jiàn)（1）的計(jì)算取決ln 1b2 0a cost dt0ln12acosxa2 dxln1a2 dxln1 2a2 cosx1 ln ln20 1cosx 可見(jiàn)（2）ln 1012cosx dx綜上，對(duì)積分（1）和（2），如能計(jì)算ln 1rcosx dx（ r 10r a2 a2 ，r 1，即可算出（1）和（2）的結(jié)果。ln1rcosxdx （r 1先用可微性求 I(r注意到ln1rcosx和ln1rcosx cos都是連續(xù)的（因?yàn)槭浅醯群瘮?shù)），所1 rcos由含參量正常積分的可微性，I(r)ln(1rcos) t1t1t1 d 0 1 r11 1t

7、21td1t1r(1r)t21t2 1t1r(1r)t1 rr 1 r從而，I(r)drlnr 1r1r 1r1rII(r)ln1 1r2 ln2ln122。r ，1ln12acosxa2dxln(1a2) ln1 cosx01 1 2ln(1a2)21a2 11a2 1 a r a2 ，a2 xxdx n a ln 1 b cost a2 1b2 a21b2 a2 a2 b2 ln a2 b2 a a2 b2 2 a a2 b2 2 a b a2 b2 2(a2 2(a2 5做題前回顧固定限含參量正常積分的可積性，即累次積分】1 xb 1 xb 0 sinln xln lndx（ba0 xb

8、 【注意x dy，所ln1 xb dx1 1（1）sindxsin0 a sinxydy x ln交換積分順xb 1 1xa sinln xdxx sin dx ue(y1)u sinudu e(y1)u sinudu x xxe 1(1y 1 xb 所以0 sinln xlndxa 1(1y)2 dyarctan(1b)arctan(1a) 1 xb dx1 1 dx xydy xlnx交換積分順b 1 x0 1xa cosln xdx1uln (y (y 1 xu0 x xuxx cosudu cosudu 1(1y 1 xb 1 1(1b)所以， 0 cosln x lndx a 1(1

9、y)2 dy 2ln1(1a)2 6、試求累次積分x2 x2 0 dx0 (x2 y2)2 dy與0 dy0 (x2 y2)2 dx并它們?yōu)槭裁磁c含參量正常積分的可積性定理的結(jié)果不符【本題并不是用可積性計(jì)算的題， 主要是通過(guò)計(jì)算的結(jié)果說(shuō)明可積性定理中的二元函數(shù)連續(xù)的條件只是充分條件并非必要條件，條件不滿足可積性定理的結(jié)論可能成立也可能不成立，本題恰恰是二元函數(shù)不連續(xù)，且結(jié)論不成立的例子，這當(dāng)然不會(huì)與可積性的結(jié)論 。本題的計(jì)算僅僅只是定積分的計(jì)算（具體來(lái)講是用定積分的分部積分法），因此大家可通過(guò)計(jì)a2 算過(guò)程復(fù)習(xí)定積分的計(jì)算方法，比如 0 (a2 y2)2 dy0 (a2 y2)2 dy0 (a

10、2 y2)2 dy（是三個(gè)典型的積分）如何用分部積分法計(jì)算。a2 1(a2 y2)2 dy1a2 1 a2 y2 10 (a2 y2)2 dy (a2 y2 dy0 a2 y2 dy20 (a2 y2)2 1dy 10 a2 a2 y2 分部積分法 dy y dy 00 a2 0a2 0 a2 1x2 dy x2 (x2 y2dydx dx arctan (x2 y2 0 1x2 dx (x2 y2 2 它們之所以不相等是因x2 2 (x y 在矩形區(qū)域0,10,1 上不連續(xù)（為什么請(qǐng)大家想 11yfx2 dx 的連續(xù)性，其中 f (x) 在閉區(qū)間0,1上是正的連續(xù)函數(shù)【說(shuō)明：當(dāng)函數(shù)的定義域給

11、出時(shí)，直接在給出的定義域內(nèi)函數(shù)的連續(xù)性；當(dāng)函數(shù)的定義域沒(méi)有給出時(shí)，要先根據(jù)含參量積分的定義確定定義域，再函數(shù)在定義域內(nèi)的連續(xù)性。本題沒(méi)有直接給出定義域，因此，應(yīng)先確定定義域后，再。】解先確定 Fy的定義域：yfx 作為 x 的一元函數(shù)在0,1上連續(xù)1以定積分1yfx2 y2 dxy 0，所以定積分1y1F( y) 的定義域?yàn)?, ) 再 F ( y) 在(, ) 上的連續(xù)性的方法與分段函數(shù)連續(xù)性的方法類似，因y0y0yfx 在矩形區(qū)域0,1(0, ) 和0,1(, 0) 上連續(xù)，所以，由含參量正常積分的連續(xù)性定理得，F(xiàn)(y) 在(0) 和(0) 上連續(xù)，即y 0 時(shí)，F(xiàn)y0mminf(xm0y

12、0 x 0,11 yfyfx2 m x2 y2x2 dxx2 dxmmarctan lim F(y) lim marctan 1 m 在 y0也不左連續(xù)綜上所述， F( y) 在其定義域(, 8、設(shè)函數(shù) f (x) 在閉區(qū)間a, A上連續(xù)，證明lim 1x f(th f(t)dt fx f(ah0 h 【本題中 x 是常量不是自變量，自變量是 h 本題初看很容易聯(lián)想到用含參量正常積分的連續(xù)性（積分號(hào)下的極限性）f(th) fh是否連續(xù)（題設(shè)并沒(méi)有告可導(dǎo)，因此，連續(xù)性定理的條件并不一定滿足實(shí)際上本題真實(shí)的解決方法是用已學(xué)過(guò)的定積分中的微積分學(xué)基本定理。因此，做題之前請(qǐng)回顧微積分學(xué)基本定理：a若

13、f (x在區(qū)間a,A上連續(xù)，則對(duì)任意 xaA，變上限函數(shù) I(x) a且f (t)dt 在 xlim I(xhI(x) I(x f (x a f (t)dt ，因?yàn)閒 (x)在閉區(qū)間a,A 上連續(xù)，1x f(th) f(t)dt 1x f(th)dt1x f(t)dt h ah ah a x f(th)dt I(x)h utx而f(th)dt a h f (u)du I(xh)I(ah) ，所x f(th) f(t)dt I(xh)I(ah) I(x)I(a) h a I(xh)I(x) I(ah)IlimI(xhI(x fx和limI(ahI(a) f(alim 1x f(th f(t)dt

14、 fx f(ah0 h 9、設(shè)F(x,y)y(xyzf(z)dzf(zFxy(xy【本題的函數(shù)是由非固定限含參量正常積分產(chǎn)生的二元函數(shù)，因此，做題之前應(yīng)回顧二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)（一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，以及非固定限含參量正常積分的導(dǎo)數(shù)公式，本題只要注意到二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)，用此導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算即可。視y為常數(shù) 【由導(dǎo)數(shù)公式得， Fx (x, x (xyz)f (z)dz xy (x yz)f(z)dz y(x yxy)f(xy) y xf y yxxxy f (z)dz y(x y2x)f (xy) xy f (z)dzxy(1 y2)f xx所以，F(xiàn) (x, f (z)dzxy(1y2)f (xy)

15、f (z)dz x(13y2)f (xy) xy(x y2x)f xf (xy) f x x(13y2f(xyx2y(1 y2f (xy) yy y1k1k2 sin2ksin211k2 sin221k2 1k2 sin2如何對(duì)定積分進(jìn)行變形和化簡(jiǎn)，使它們都分別能用 E(k) 與 F (k) 來(lái)表示。這個(gè)工作對(duì)本題的第（2）其中對(duì) E(k) 的變形比較簡(jiǎn)單，比ksin21k2 sin21k2 sin21k2 sin2k 1k2 sin21 1k2 sin2d 1k2 sin2 1k2 sin2但對(duì)但對(duì) F (k ) 的變形化簡(jiǎn)就不那么平常，其中既需要一些積分的計(jì)算技巧，還需要敏銳的觀察ksin

16、2 k2 sin213比如 F (k) 1 k2 sin2 30 1k2 sin2 2 1k2 sin2k 0 1k2 sin1k2 sin21 0 2 3 dF0 1k2 sin20 2 對(duì)3 d再如何變形使之能用 E(k) 或 F (k) 來(lái)表示，這就不明0 2 1k sin 更敏銳的觀察。你能觀察到下面的導(dǎo)數(shù)關(guān)系嗎sin1sin 2 1 k2 k111k2sin1k2 sin2k如果能，問(wèn)題就“OK”了，此時(shí)必ksincos1k2 sin 1k2 sin1k2 sin1k2 sin2k2 1k2 0 2 （這一過(guò)程實(shí)際上就是對(duì)3 d用分部積分法，只是分部積分法的具0 2 1k sin 藏

17、得較深，不易簡(jiǎn)單地觀察出來(lái)。從而由定積分的線性性和牛頓萊布尼茨公式2 d1 k2sinE(k) k2 11k 1k sin 所以F(k) 1E(k)F(k) E(k) 1Fk 1k(1k 附：分部積分法計(jì)算2 1的同學(xué)參考01k2 sin2附：分部積分法計(jì)算2 1的同學(xué)參考01k2 sin2 d0 1k2 sin21k2 sin2k2 sin21k2 sin20 1k2 sin20k2 sin20 1k2 sin20 2 下面對(duì) 21 0 2 事實(shí)上k2 sin2很難想k 2 sin 1k2 sin1k2 sin21k sin 這樣的分解 k 1k2 sin2k k cos2 cos21k2

18、1k2 sin2001k2 sin21k2 sin21ksin2 2k2 1 1 k2 sin2 02 d 1k2 sin21k2 sin 1k2 sin21k2 sin2 0 2k k2 sin2 12 d 2 2 1k2 sin211k2 sin21k2 sin22 1k2 sin2 1k2 sin22 k d k2 1 sin 2 1k1k2 sin22 112 1 k2 sin1k2 sin21k2 sin2代入上式得2 k2sin2d 2 2 0 1k2 sin21k2 sin20 1k1k2 sin22 1k2 sin2211 2節(jié)部分習(xí)1、熟悉含參量反常積分一致收斂的定義， 內(nèi)閉

19、一致收斂的定義以及判斷一致收斂的確界法，并能用定義或確界法下面幾類典型積分的一致收斂性的情況：+ sindy 分別在,（其中 0 ）和0,上的一致收斂情況；y+ xexydy 分別在（其中 0 ）和00+ exydy 分別在（其中 0 ）和00注意：當(dāng)反常積分能具體計(jì)算出結(jié)果時(shí)，用確界法比較方便；在考慮含參量反常積分不一致收斂時(shí)，用確界法比較方便。2、熟悉含參量反常積分一致收斂的常用判別法（M-判別法，阿貝爾判別法和狄利克雷判別法，并能熟練地應(yīng)用它們判斷具體含參量反常積分的一致收斂性；3、熟悉含參量反常積分的解析性定理（連續(xù)性定理， 可微性定理， 可積性定理。注意理解這些定理中條件的作用），并

20、能熟練地應(yīng)用它們具體含參量反常積分在指定范圍內(nèi)的解析性，計(jì)算積分等；4、熟記伽馬函數(shù)和貝塔函數(shù)的積分表示， 掌握伽馬函數(shù)和貝塔函數(shù)的常用性質(zhì)（ 如伽馬函數(shù)的遞推公式，延拓和其他積分表示；貝塔函數(shù)的對(duì)稱公式，余元公式，貝塔函數(shù)與伽馬函數(shù)的關(guān)系和其他積分表示，并能熟練地應(yīng)用性質(zhì)簡(jiǎn)化某些積分的計(jì)算。1、證明下列各題【做題之前請(qǐng)回顧：1、一致收斂的 M判別法，狄利克雷判別法和阿貝爾判別法（注： 中判斷具體含參量反常積分在指定范圍內(nèi)一致收斂時(shí)一般用它們而無(wú)需考慮其他方法。在用時(shí)，首選 M判別法，不行的話，再選擇狄利克雷判別法或阿貝爾判別法。）2（殊快捷方法不能湊效， 一般用此法， 而無(wú)須考慮其他方法。（

21、這里指的特殊快捷方法是指利用含參量反常積分在參量取某一點(diǎn)時(shí)的反常積分不收斂的方法和利用連續(xù)性定理的結(jié)論不成立的方法， 這兩種方法。）才能正確地使用判別法。才能正確地使用判別法。3（1） y2 dx 在() 上一致收斂(x2 y2【由題設(shè)信息知， y 是參量。注意到在1, (, 0【因?yàn)楸締?wèn)是證明不一致收斂，因此，先用特殊法因?yàn)?在 x 0 不連續(xù)，從而在0, b上不連續(xù)，所以由連dy 1,x0,0理知 xexydy 在0b上不一致收斂0A0， xexydy eAx ，所A xexydy sup eAx e0 1x0,blim A xexydy 10，故由確界法知 xexydy 在0,b上不一致

22、收斂。01（4）1ln(xy)dy 1,【由題設(shè)信息知， x 是參量。注意到在1 ,b 01（第一個(gè) 環(huán)節(jié) ） exydx ，ya,b因?yàn)?ab上， e0 eaxdx 收斂一般，當(dāng)含參量反常積分可通過(guò)適當(dāng)變量替換轉(zhuǎn)化為變限函數(shù)時(shí)，這樣的函數(shù)的解析性（ 一般，當(dāng)含參量反常積分可通過(guò)適當(dāng)變量替換轉(zhuǎn)化為變限函數(shù)時(shí)，這樣的函數(shù)的解析性（ 續(xù)性、可微性和可積性）b2對(duì)于 eyx2dx，ya2,b2，注意到在0,a2b2 ea2x2 且 ea2x2 0 a20b2 dxeyx2 b2 y a2 y( d yxdyy2 y 2 2 y (b（2）I(x et sinxtdt x0I(0 et sin0dt

23、0dt 0 66I(x et sinxtdtarctan xarctanx x0時(shí)，此時(shí)x02I(x) et sinxtdt et sin(x)tdt arctan(x) arctanx et sindt arctanx,xarctanx x x 1cosxy x sin dxx 1cos dx ，因此本題可用可微性及（2）的結(jié)論計(jì)算）記I(y)dx ，具體計(jì)算也分三種情形 ex 1cos(x0)dx 0 sin 當(dāng) y 0 時(shí)，對(duì)任意閉區(qū)間ab(0, ) ，由狄利克雷判別法可得dx在ab一致收斂，顯然e 單調(diào)且e1 ex sinxydx在abx收斂，從而ex sinxydx在(0 x0 x

24、1cosxy x sin I (y) dx dx arctany 分部積故I(y)arctan yarctany 1 y2 dy yarctan y 2ln(1 y )C 注意到0I(0)CIy yarctany1ln(1 y22y0時(shí)，此時(shí)y02I(y) ex 1cosxydx ex 1cosx(y)情形 yarctan(y)ln(1(y) ) yarctan yln(1 y 綜上所述，對(duì)任意 y R 5、回答下列問(wèn)題 ex 1cosxy dxyarctany1ln(1y2) x0 對(duì) 1 dy (2y2xy3)exy2dx對(duì)F(x) x3ex2ydy 能否運(yùn)用積分與求導(dǎo)運(yùn)算順序交換來(lái)求解0

25、【本題的真實(shí)意圖并不是 含參量反常積分解析性定理的應(yīng)用， 而是通過(guò)傳統(tǒng)積分的計(jì)算讓大家理解含參量反常積分的解析性定理中的條件只是充分條件，并非必要條件。因此，本題中的具體計(jì)算是傳統(tǒng)積分的計(jì)算，不涉及解析性的應(yīng)用。另外，下面我在附中涉及的解析性定理中一致收斂不滿足的驗(yàn)證部分，不是屬于本題的解題要求，只起幫助理解定理?xiàng)l件不是必要的作用，大家可以跳過(guò)。】 uxy2 （1）因?yàn)楫?dāng)x0時(shí)，dy e xy dxy2 eudu 1 ，所lim 2xyexy2dy 1x0 lim2xyexy2 dy 0dy 0 1，所以對(duì)極限lim 2xyexy2dy不能施行極x0 與積分運(yùn)算順序的交換來(lái)求解（附： 在0,

26、上不一致收斂的判斷。用特殊快捷的方法（即用連續(xù)性定理判別的方法）因?yàn)閐y 在 0 上不連續(xù)， 所以由連續(xù)性定理知，00,x分別計(jì)算累次積分 1 dy (2y2xy3)exy2dx 和 dx 1 (2y 2xy3)exyy0時(shí)，顯然當(dāng)0 y 1時(shí)， (202x03)ex02dx 0dx0 (2y2xy3)exy2dx 2 exy2dx2 xy2exy2y 1 exy2 2 xyedxy2 2 2 20 y2 (2y2xy3)exy2dx0,y00（附： (2y2xy 320在 y 0,1 A0y02AA0 y1 2y 1 exy2 2 y xy2exy2dxyyy2 yyA 2 eAy2 2 (

27、1 Ay2)eAy2 Ay2eAy2 2 2 取y 1 A1(2y2xy dx Ay sup Ay 從lim (2ylim (2y2dx 0 A y0,1 故(2y 2xy3dx在 y0,1上不一致收斂。x3ex2 ydy ex2 ydx2 ux2 eudu x F(x1從 x3ex2ydy 3x2ex2y 2x4yex2y dy3 ex2ydx2y2x2y dx2ux2x euduueu du321 F(所以，對(duì)F(x) x3ex2ydy 能運(yùn)用積分與求導(dǎo)運(yùn)算順序交換來(lái)求解0（附：類似于（2）x 3 x 20 dy3x2ex2y 2x4 yex2y x0在 x() 上不一致收斂A0 x0A3

28、02ex2 y 204 ye02y dy 0dy0 x0A3x2ex2y 2x4 yex2y dy exy2dx2 y 2x2 yex2 ydx2 y (12x2A)ex2所所以3x 22 x x 22Ady 12x A 120 A x 2 取20 1 從3x2x y dy 0 22x xA A故x 3 x 20 dy3x2ex2y 2x4yex2y dy 在 x(上不一致收斂。x06、應(yīng)用 e at dt a 2 （a0 0at2eat2dt 2 a4n1 22n at 13(2n 2（2）t dt a eat2dt將視為含參量a的反常積分，先用M判別法驗(yàn) eat2 dt 在a(0,) 內(nèi)閉

29、一致收斂，然后用可微性在 e at dt a 2 a12而對(duì)第（2）問(wèn)：從第（1）但就證明方法而言，上述方法并不是簡(jiǎn)單的方法，實(shí)際上用節(jié)的伽馬函數(shù)的性質(zhì)證明更單。下面給出這種方法。 u2s1eu2du ，以及n 1 (2n1)! (s2n2na t2eat2 dt a( e( atu dat a u2eu2 dat a 121 21 aaa u du a aaa2teatdt ( atat)2 u aaeu2 aa2n1 1 1 u 2 du na2a(2n 13(2n n1 2a aa a 7、應(yīng)用2 （aa (a2 x2 【說(shuō)明：本題的意圖是讓大家熟悉含參量反常積分的可微性定理，并希望用可

30、微性來(lái)解決此計(jì)算問(wèn)題，請(qǐng)回顧可微性定理?！拷?將 視為含參量a(0,)的反常積分。下面驗(yàn) a2 a2 x(0, ) 上內(nèi)閉一致收斂，事實(shí)上，任取閉子區(qū)間c, d (0, ) ，因?yàn)樵赾, d 0, 8、設(shè) f (x, y) 為abc上連續(xù)非負(fù)函數(shù)I(x) I (x) 在abf (x, y)dy 在ab上連【說(shuō)明：本題實(shí)際上是含參量反常積分利用連續(xù)性判斷來(lái)判斷一致收斂的一個(gè)判別法稱為狄尼（dini）判別法。它的證明方法是基礎(chǔ)的方法： 即利用一致收斂的定義， 再結(jié)合有限覆蓋定理來(lái)證明?！肯旅娼o出證明的過(guò)程（注：此過(guò)程一般同學(xué)可以跳過(guò)。證明 對(duì)任意xab，因I(x) Mx M(x0AMx f (xy)dy 收斂，所以，對(duì)任意0f f (x,y)dy Af (x, AA又注意到 I