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1、高等數(shù)學(xué)多媒體課件制作人:聶水晶高等數(shù)學(xué)多媒體課件制作人:聶水晶第二章 極限與連續(xù)第二章 極限與連續(xù)第一節(jié) 極限概念1 極限思想2 數(shù)列的極限3 函數(shù)的極限第一節(jié) 極限概念1 極限思想“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù):播放劉徽 極限思想“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而正六邊形的面積正十二邊形的面積正 形的面積正六邊形的面積正十二邊形的面積正 形1.數(shù)列無窮多個按一定規(guī)則排列的一串數(shù), ,稱作數(shù)列,簡記作 數(shù)列的極限 其中每一個數(shù)稱為數(shù)列的項,第n項xn為數(shù)列的一般項或通項。例如:1.數(shù)列無窮多個按一定規(guī)則排列的一串數(shù),

2、 , , ,(1), ,(2)(3), , ,(4), , , ,(1), ,(, ,(5)(6), , , , , , , , , ,(7), ,(5)(6), , , , ,在幾何上一個數(shù)列可看成實數(shù)軸上的一個點列,也可看成實數(shù)軸上的一個動點.注意:2. 數(shù)列可看成是以自然數(shù)為自變量的函數(shù):xn = f ( n ) .在幾何上一個數(shù)列可看成實數(shù)軸上的一個點列,也可看成實數(shù)軸上的播放播放問題:當 無限增大時, 是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?問題:“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它.通過上面演示實驗的觀察:問題:當 無限增大時, 是否無限接近于某一確定定義1.8對于

3、數(shù)列 ,如果當無限變大時,趨于一個常數(shù), 則稱當趨于無窮大時,數(shù)列以為極限,記作亦稱數(shù)列收斂于;如果數(shù)列沒有極限,就稱是發(fā)散的或 ,定義1.8對于數(shù)列 ,如果當無限變大時,趨于一 觀察下面數(shù)列的變化趨勢,哪些數(shù)列收斂?哪些數(shù)列發(fā)散?如果收斂,寫出它們的極限練習一 觀察下面數(shù)列的變化趨勢,哪些數(shù)列收斂?練習一高等數(shù)學(xué)多媒體課件304203函數(shù)的極限數(shù)列極限是一般函數(shù)極限的特殊情況.數(shù)列是定義在自然數(shù)集上的一個函數(shù),其自變量是離散的,而不是連續(xù)的.其自變量的變化過程只有一種,即趨于無窮大,記作但是,考察一般函數(shù)的極限時,自變量的變化過程可以是連續(xù)的,并出現(xiàn)了多種可能性.例如:(1)當自變量絕對值無

4、限增大,即沿軸的正向和負向同時遠離原點時,記作函數(shù)的極限數(shù)列極限是一般函數(shù)極限的特殊情況.數(shù)列是(1(2)當自變量無限增大(或無限減小)時,記作(或 )(3)當自變量從的兩側(cè)趨向于時,記作(4)當自變量從的左側(cè)( 的右側(cè))趨向于時,記作(或 )(2)當自變量無限增大(或無限減小)時,記作(或 x、y的變化趨勢:x: x趨向正無窮大(x+)y: y無限接近于常數(shù)0 (y0)1.時函數(shù)的極限例1.已知函數(shù) ,請?zhí)钕卤聿⒅赋龅淖兓厔輝、y的變化趨勢:x: x趨向正無窮大(x+)y: y無再看函數(shù) 圖象即對函數(shù) ,當 時,再看函數(shù) 圖象即對函數(shù) ,定義1.9如果當且無限增大時,函數(shù)趨于一個常數(shù),則稱

5、當時函數(shù)以為極限記或由例1知,對于函數(shù),有定義1.9如果當且無限增大時,函數(shù)趨于一個例2.已知函數(shù) ,試由函數(shù)的圖像判斷趨向負無窮大時函數(shù)的變化趨勢。 由圖可見,對函數(shù) , 當 時,例2.已知函數(shù) ,試由函數(shù)的 由圖定義1.9如果當且的絕對值無限增大時,函數(shù)趨于一個常數(shù) ,則稱函數(shù)當時以為極限記作或由例2知,對于函數(shù) ,有定義1.9如果當且的絕對值無限增大時,函數(shù)例3.已知函數(shù),判斷當和時,函數(shù)的極限。解作的圖象xyo和可以寫成例3結(jié)論又可寫成例3.已知函數(shù),判斷當和解作的圖象x定義1.9如果當?shù)慕^對值無限增大時,函數(shù)趨于一個常數(shù),則稱當時函數(shù)以為極限記或例4求解當時,即 定義1.9如果當?shù)慕^

6、對值無限增大時,或例5求解函數(shù)的圖象如圖所示當時,無限變小,函數(shù)值趨于1;時,函數(shù)值同樣趨于1,所以有 例5求解函數(shù)的圖象如圖所示當例6.已知函數(shù),討論當是否有極限,為什么?如圖例6.已知函數(shù),討論當如圖由圖可知:時,時,由圖可知:時,例7.已知函數(shù),討論當是否有極限,為什么?如圖例7.已知函數(shù),討論當如圖 時,某一固定的常數(shù)A時,某一固定的常數(shù)A由圖可知: 時,某一固定的常數(shù)A由圖觀察下列極限是否存在,如存在請寫出極限練習二觀察下列極限是否存在,如存在請寫出極限練習二定義1.10設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域(點本身可以除外)內(nèi)有定義,如果當趨于(但)時,函數(shù)趨于一個常數(shù),則稱當趨于時,以為極記作或,

7、亦稱當時,的極限存在否則稱當時,的極限不存在2. 時函數(shù)的極限定義1.10設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域(點本身可注意: () 定義中 表示 從小于 和大于 的兩個方向趨近于 ()定義中考慮的是 時函數(shù) 的 變化趨勢,并不考慮在 處 的情 況 注意: () 定義中 例8 根據(jù)極限定義說明:(2) (1) ,解(1)當自變量趨于時,作為函數(shù)的也趨于,于是依照定義有(2)無論自變量取任何值, 函數(shù)都取相同的值,那么它當然趨于常數(shù),所以例8 根據(jù)極限定義說明:(2) (1)例9 考察函數(shù) ,寫出當 時函數(shù)的極限,并作圖驗證. 解: 例9 考察函數(shù) ,寫出當 時函例10 利用圖像考察和 的值 解 作的圖像例10

8、 利用圖像考察和 的值作的圖像作的圖像解例11 求極限 ,并作圖觀察 2xyo4(2,4)解例11 求極限 ,并練習三: 求下列極限 練習三: 求下列極限 定義1.11設(shè)函數(shù)在點右側(cè)的某個鄰域(點本身可以除外)內(nèi)有定義,如果當趨于時,函數(shù)趨于一個常數(shù),則稱當趨于時,的右極限是記作3.左極限與右極限或定義1.11設(shè)函數(shù)在點右側(cè)的某個鄰域(點本設(shè)函數(shù)在點 左側(cè)的某個鄰域(點本身可以除外)內(nèi)有定義,如果當趨于時,函數(shù) 趨于一個常數(shù),則稱當趨于時,的左極限是記作或 設(shè)函數(shù)在點 左側(cè)的某個鄰域(點本身可以除外)定理1.1當時,以為極限的充分必要條件是在點處左、 右極限存在且都等于即,例12 設(shè) 試判斷

9、是否存在 定理1.1當時,以為極限,例12 設(shè) ,左、右極限各自存在且相等,所以存在,且 解先分別求當時的左、右極限:,左、右極限各自存在且相等,所以解先分別求當解當 時, , , 即;當時,故,即 左極限存在,而右極限不存在,由充分必要條件可知 不存在例12 判斷 是否存在解當 時, , , 即解 xyo-1-21122例13 討論函數(shù) 當 和 時的極限解 xyo-1-21122例13 討論函數(shù) 例14 解討論函數(shù) 當 時的極限是否存在例14 解討論函數(shù) 練習四 求下列函數(shù)當 時的左、右極限,并指出當 時極限是否存在 練習四 求下列函數(shù)當 時的左、右極限,高等數(shù)學(xué)多媒體課件304203返回目

10、錄返回目錄4.設(shè)函數(shù),作出函數(shù)的圖形。試問以及是否存在?4.設(shè)函數(shù),作出函數(shù)1、割圓術(shù):“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣”劉徽一、概念的引入1、割圓術(shù):“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則1、割圓術(shù):“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣”劉徽一、概念的引入1、割圓術(shù):“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù):劉徽一、概念的引入“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割

11、,則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù):劉徽一、概念的引入“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù):劉徽一、概念的引入“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù):劉徽一、概念的引入“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù):劉徽一、概念的引入“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù):劉徽一、概念的引入“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù):劉徽一、概念的引入“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù):播放劉徽一、概念的引入“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而高等數(shù)學(xué)多媒體課件

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