高階微分方的降階和冪級數(shù)解法課件

1、4.3高階微分方程的降階和冪級數(shù)解法 4.3高階微分方程的降階和冪級數(shù)解法 一、可降階的一些方程類型 n階微分方程的一般形式: 1 不顯含未知函數(shù)x,或更一般不顯含未知函數(shù)及其直到k-1(k1)階導數(shù)的方程是若能求得(4.58)的通解對上式經(jīng)過k次積分,即可得(4.57)的通解即一、可降階的一些方程類型 n階微分方程的一般形式: 1 不顯 解題步驟:第一步:第二步:求以上方程的通解即第三步:對上式求k次積分,即得原方程的通解 解題步驟:第一步:第二步:求以上方程的通解即第三步:對上式解令則方程化為這是一階方程,其通解為即有對上式積分4次, 得原方程的通解為例1解令則方程化為這是一階方程,其通解

2、為即有對上式積分4次, 得 2 不顯含自變量t的方程, 一般形式:因為 2 不顯含自變量t的方程, 一般形式:因為用數(shù)學歸納法易得:將這些表達式代入(4.59)可得:即有新方程它比原方程降低一階用數(shù)學歸納法易得:將這些表達式代入(4.59)可得:即有新方 解題步驟:第一步:第二步:求以上方程的通解第三步:解方程即得原方程的通解 解題步驟:第一步:第二步:求以上方程的通解第三步:解方程即解令則方程化為從而可得及這兩方程的全部解是例2再代回原來變量得到所以得原方程的通解為解令則方程化為從而可得及這兩方程的全部解是例2再代回原來變量 3 已知齊線性方程的非零特解,進行降階的非零解令則代入(4.69)

3、得即 3 已知齊線性方程的非零特解,進行降階的非零解令則代入(4引入新的未知函數(shù)方程變?yōu)槭且浑A線性方程,解之得因而則引入新的未知函數(shù)方程變?yōu)槭且浑A線性方程,解之得因而則因此 (4.69)的通解為因此 (4.69)的通解為 解題步驟:第一步:第二步:解之得即 解題步驟:第一步:第二步:解之得即第三步:第四步: (4.69)的通解為注一般求(4.69)的解直接用公式(4.70)第三步:第四步: (4.69)的通解為注一般求(4.69)的解這里由(4.70)得例3解這里由(4.70)得例3高階微分方的降階和冪級數(shù)解法課件代入(4.2)得代入(4.2)得事實上事實上若則即因此,對(4.67)仿以上做法

4、,若則即因此,對(4.67)仿以上做法,高階微分方的降階和冪級數(shù)解法課件二、二階線性方程的冪級數(shù)解法對二階變系數(shù)齊線性方程其求解問題,歸結(jié)為尋求它的一個非零解.下面考慮該方程及初始條件用級數(shù)表示解?二、二階線性方程的冪級數(shù)解法對二階變系數(shù)齊線性方程其求解問題定理10定理10定理11定理11例4解設(shè)級數(shù)為方程的解,由初始條件得:因而將它代入方程,合并同類項,并令各項系數(shù)等于零,得例4解設(shè)級數(shù)為方程的解,由初始條件得:因而將它代入方程,合并即因而也即即因而也即故方程的解為故方程的解為例5解將方程改寫為易見,它滿足定理11條件,且例5解將方程改寫為易見,它滿足定理11條件,且將(4.75)代入(4.74)中,得將(4.75)代入(4.74)中,得由(4.76)得即由(4.76)得即從而可得從而可得因此(4.77)變?yōu)橐虼?4.77)變?yōu)槿羧t可得(4.74)的另一個特解由達朗貝爾判別法,對任x值(4.77),(4.78)收斂.若取則可得(4.74)的另一個特解由達朗貝爾判別法,對任x值因而(4.74)的通解為因此,不能象上面一樣求得通解;因此,(4.74)的通解為因而(4.74)的通解為因此,不能象上面一樣求得通解;因此,例6解