高斯定理基本情形simplified

1、第五章“靜電場”題型、按照帶電體分類：基本帶電體：7種情況（參見表1）按帶電體分兩類d點(diǎn)按帶電體分兩類d點(diǎn)+球殼，球殼+球殼，球體+球殼，線+筒，筒+筒，柱+筒，線系復(fù)合:面系復(fù)合：平面+平面）二、計(jì)算內(nèi)容求帶電體在空間產(chǎn)生的電場強(qiáng)度E U帶電體產(chǎn)生的電勢（或者電勢差）三、解題步驟聲明：請參見第一章“聲明”部分。（一）求帶電體電場分布的解題步驟基本帶電體電場分布解題步驟（1）場強(qiáng)方向分析（微元法or記憶）和等E面分析（微元法or記憶），記得要表達(dá)清楚（要設(shè)坐標(biāo)系的話，也 講一下怎么設(shè)定）；（2）充分使用等E面構(gòu)造一個(gè)閉合的高斯面（根據(jù)電荷分布情況，決定是否需要分區(qū)）（a）“點(diǎn)系”一直接使用球面

2、形高斯面；（b）“線系”、“面系”一等E面不封閉的，用等E面加上和場強(qiáng)平行的簡單平面來“封口”；（3）計(jì)算高斯定理公式的右邊（根據(jù)電荷分布情況，如果需要分區(qū)就分區(qū)計(jì)算）；（4）計(jì)算高斯定理公式的左邊（即高斯面上的電場通量）切記計(jì)算會(huì)非常簡單（作為數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，你有義 務(wù)理解結(jié)果是怎么來的）；（5）從高斯定理得到場強(qiáng)大小（根據(jù)電荷分布情況，如果需要分區(qū)就要分區(qū)給出結(jié)果）。復(fù)合帶電體電場分布解題步驟方法一（推薦）：（1）先得到每個(gè)基本帶電體（總共7種）單獨(dú)存在時(shí)候的空間電場強(qiáng)度分布。這個(gè)可以直接給出來，或者想從頭求一遍都行，看你的心情而定。（2）指出：根據(jù)電場的疊加原理，總電場等于“每個(gè)帶電體單

3、獨(dú)存在時(shí)候的電場強(qiáng)度”的矢量和（這是必需的）。（3）最后實(shí)際計(jì)算出矢量和來（建議畫圖，看著分一分區(qū)域，然后認(rèn)真算一下。雖然極為簡單，但是每次都有 一批人做錯(cuò)，讓廣大閱卷教師對這批神人敬佩不已）。方法二（這種路子算起來，容易失誤的地方相對多一點(diǎn)）：使用和1中所述一樣的方法來做即可。（二）求帶電體電勢分布的解題步驟（1）如果電場強(qiáng)度未知，則使用（一）中所述合適的方法算出任意P點(diǎn)的電場強(qiáng)度；如果已知，則直接使用；（2）選取合適的電勢零點(diǎn)：（a）如果帶電體只占據(jù)有限的空間，則選擇無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為電勢零點(diǎn)；（b）如果帶電體占據(jù)無限的空間，則選擇一有限遠(yuǎn)點(diǎn)為電勢零點(diǎn)；（3）選取合適的路徑，計(jì)算下列積分得到P點(diǎn)的

4、電勢：零,點(diǎn)U（P）=U（P）-0=U（P）-U（零點(diǎn)）=J E（r）/r（沿你自己選擇的捷徑積分）。注意：（a）“捷徑”就是最容易計(jì)算積分的路徑，你可自行選擇；（b）如果電場強(qiáng)度有分區(qū)，那么電勢也要分段計(jì)算。（4）如果要求的是兩點(diǎn)之間的電勢差，可選兩種方法之一：（a）用（3）的方法先求分別出兩點(diǎn)的電勢，再求兩 電勢之差；（b）使用兩點(diǎn)電勢差的計(jì)算公式：Up = U（P）-U（Q）= TE（r）*r（沿你自己選擇的“捷徑”積分） p點(diǎn)直接計(jì)算。從成木上說，如果僅僅是計(jì)算電勢差的話，用方法（b）更劃算一些。四、典型例題和習(xí)題（一）基本帶電體求基木帶電體的電場分布（具體參見表1）。在1的基礎(chǔ)上，求

5、空間任意點(diǎn)的電勢（或者求空間任意兩點(diǎn)的電勢差）。【例題1】求均勻帶電球體（半徑日，帶電+ Q）的空間電場分布，電勢分布。解：下面是嚴(yán)格按照前面解題步驟來計(jì)算的過程。（1）空間電場分布：建立球坐標(biāo)系（原點(diǎn)在帶電球體球心處），則我們要求的是空間任意一點(diǎn)P處的電場強(qiáng)度， 設(shè)P點(diǎn)距離原點(diǎn)為r。場強(qiáng)方向沿球坐標(biāo)系的徑向向外。根據(jù)電荷分布，空間分為內(nèi)區(qū)：r R。構(gòu)造一個(gè)過P點(diǎn)（半徑為r ）的同心球面作為高斯面（關(guān)于高斯面的構(gòu)造是關(guān)鍵點(diǎn)之一）。高斯面上處處電場強(qiáng)度大小相等，且處處場強(qiáng)方向和球面面元垂直。先討論內(nèi)區(qū)：r R，此地略去過程（諸位考場上可不能偷懶），僅寫出結(jié)果:高1E = Q。矢量式為:4ks r

6、20e = Q r。4兀8 r 2 00（2）空間電勢分布：即我們要求空間任意一點(diǎn)P處的電勢。電場分布已經(jīng)由（1）求得。電勢零點(diǎn)：設(shè)為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)3 （最基本要點(diǎn)，不能少）。選擇球坐標(biāo)系的徑向?yàn)槁窂剑?jì)算積分3U（P）=j E（r）件（沿徑向積分）p點(diǎn)的值，即可故點(diǎn)電勢。電場分布存在分區(qū)問題，所以電勢也要分區(qū)計(jì)算。內(nèi)區(qū)：r R 類似過程，略去細(xì)節(jié)（你們自己補(bǔ)上）U(P)= f E(r)件=f 4 Q 匕件=f 4 Q dr = -QP 點(diǎn)r 0r 00【習(xí)題】其它基本帶電體的電場分布（參見表1） （二）復(fù)合帶電體求復(fù)合帶電體的電場分布。在1的基礎(chǔ)上，求空間任意點(diǎn)的電勢（或者求空間任意兩點(diǎn)的電勢差，

7、一般復(fù)合帶電體大多求電勢差）?！纠}2】求由一無限長均勻帶電薄圓筒（半徑，單位長度帶電+人）和一同軸無限長均勻帶電薄圓筒（半徑R/R，單位長度帶電頃）形成的復(fù)合帶電體形成的空間電場分布和兩筒之間的電勢差。解：（1）求電場分布。使用方法一。建立柱坐標(biāo)系，z軸就是沿著筒的軸線。查表得下列結(jié)果：小筒的空間電場分布為： TOC o 1-5 h z 人 內(nèi)區(qū)(r R )E =r112 說 r o0大筒的空間電場分布為：-人. 內(nèi)區(qū)（r R ）E =r0根據(jù)電場的疊加原理，總電場等于“每個(gè)帶電體單獨(dú)存在時(shí)候的電場強(qiáng)度”的矢量和（這話一定要說）。 那么復(fù)合帶電體的空間電場分布為（雖然很簡單，依然請各位畫個(gè)圖

8、，看清楚再寫出來）/區(qū)（r R2）E = 0（2）求電勢差目標(biāo)是求小筒和大筒之間的電勢差。這個(gè)時(shí)候我們直接使用電勢差的公式來計(jì)算是最劃算的（因?yàn)椴挥迷偃ピO(shè)電 勢零點(diǎn)，也不用再去求線和筒了的電勢分別是多少，省很多力）。當(dāng)然，你要明白的是：整個(gè)小筒上各處電勢是相同的，而整個(gè)大筒上的電勢也是相同的（不知道原因的人，回去 面壁）。因此，要求電勢差的時(shí)候，可以在一個(gè)垂直于z軸的平面內(nèi)，沿徑向進(jìn)行如下的計(jì)算：u兩筒=u （小筒）-u （大筒）=n（r時(shí)（在一個(gè)垂直于乞軸的平面內(nèi)，徑向路徑） 小筒人八 r 2k8 r人八 r 2k8 r 0小筒R10lnR10這就是電勢差。 【習(xí)題】參見本章之“一、按帶電體

9、分類”中復(fù)合帶電體部分所列情形。表1:基本帶電體的電場分析目標(biāo)：求出任意給定點(diǎn)P處的電場強(qiáng)度E （矢量）。帶電體形狀1任意點(diǎn)場強(qiáng)方向等E面形狀EP點(diǎn)場 強(qiáng)方向 和該處 等E面 幾何關(guān) 系高斯面囹高斯面上 電場通量 5高斯面內(nèi)電荷代數(shù)和6E （僅是大?。〦（矢量表達(dá)式，婦表示所選的單0位矢量，請自行搞清楚其方向）點(diǎn)電荷（電量Q）（球坐 標(biāo)系中 的）徑向同心球面垂直同心球面，半 徑r4 兀 r 2 E q =QiE = Q4ks r 20曰Q八E =r4ks r 2 0 0均勻帶電薄球殼（電量Q）（球坐 標(biāo)系中 的）徑向同心球面垂直同心球面，半 徑r4 兀 r 2 E內(nèi)區(qū)：r R q =Q內(nèi)區(qū)：r

10、 RE =H4兀& 2內(nèi)區(qū): r Re=*r4兀&2 .0均勻帶電球體（電量Q）7（球坐 標(biāo)系中 的）徑向同心球面垂直同心球面，半 徑r4 兀 r 2Ei內(nèi)區(qū)：r R q =Qii0內(nèi)區(qū)：r R E = F4赤r 2 00內(nèi)區(qū)：r R e=r 4赤 r 2 0 0*無限長均勻帶電細(xì)線（線電荷密 度門）（柱坐 標(biāo)系中 的）徑向同軸柱面垂直同軸柱面（半 徑r，長度l） +頂+底=“罐 頭筒”2 冗 rlE q =miiE = 2雙r0曰n 八E =r2kg r 00無限長均勻 帶電薄圓筒 （單位長度 帶電不）7（柱坐 標(biāo)系中 的）徑向同軸柱面垂直同軸柱面（半 徑r，長度l） +頂+底=“罐 頭筒”

11、2兀 rlE內(nèi)區(qū)：r R q = mi內(nèi)區(qū)：r RE = 2兀汗內(nèi)區(qū)：r R e= r -2kg r 0無限長均勻帶電圓柱（單位長度 帶電不）7（柱坐 標(biāo)系中 的）徑向同軸柱面垂直同軸柱面（半 徑r，長度l） +頂+底=“罐 頭筒”2 冗 rlE1內(nèi)區(qū)：r R q = nii內(nèi)區(qū)：r RE = 2ks r 00內(nèi)區(qū)：r RE =r2kg r 00無限大均勻 帶電薄平面 （面電荷密度O）垂直于 帶電平 面平行平面垂直“任意頂面形狀（頂/底面積S）的盒子（頂+底+側(cè)面）”2 SE q =bSiie2&0_Q_.E = r 2g 00注：1對于“點(diǎn)系”，建立球坐標(biāo)系，原點(diǎn)就在那個(gè)“點(diǎn)”上；對于“線系

12、”，建立柱坐標(biāo)系，Z軸就沿著那條“線”；“面系”，建立平 面直角坐標(biāo)系，XY平面就在“面”上。任意點(diǎn)處電場E的方向，在表中第二列描述之外，還要根據(jù)電荷的電性來決定最終的方向：如果是正電荷，則帶電體發(fā)出電場 線，反之帶電體接收電場線。比如，帶正電的“點(diǎn)系”，則電場方向沿球坐標(biāo)系的徑向向外（反之，帶負(fù)電的則電場方向沿徑向向 內(nèi)）。而最后兩列的公式中電量或者電荷密度是代數(shù)值，已經(jīng)包含了正負(fù)電性的信息。這一欄的“同心”或者“同軸”指的是和設(shè)定的坐標(biāo)系同心或者同軸（Z軸）。（1）充分利用等E面建立高斯面：如果等E面是封閉的，則直接用過P點(diǎn)的等E面作為高斯面即可；如果等E面不封閉，則使 用過P點(diǎn)的等E面加上垂直于電場的平面形成封閉的高斯面。（2）切記：我們的目標(biāo)是求一個(gè)任意P點(diǎn)的電場強(qiáng)度矢量，方向可 以用疊加原理搞清楚，大小就用