04第四節(jié)極限的運算

1、第四節(jié)極限的運算本節(jié)要建立極限的四則運算法則和復合函數(shù)的極限運算法則.在下面的討論中，記號lim”下面沒有表明自變量的變化過程，是指對XT X0和XT oO以及單則極限均成立.但在論證時，只證明了 XT x0的情形.分布圖示 TOC o 1-5 h z 極限的運算法則例1例4例6例例4例6例9例12例14例17定理2例5極限存在準則例7sinx lim-=1例 8Xo x,例10例11(1今 lim 1 =e例13)二例15例 16內(nèi)容小結課堂練習 習題1- 4內(nèi)容要點一、極限的運算法則1、極限的四則運算：定理1推論1推論22、復合函數(shù)的極限運算法則：定理2二、極限存在準則夾逼準則單調(diào)有界準則

2、三、兩個重要極限：sin x1. lim=1；x)0X一 例題選講極限的四則運算例 1(E01)求 lim(x23x+5) x )2解 lim (x2-3x 5) = lim x2- lim 3x lim 5 = (lim x)2 - 3 lim x lim 5 = 22-32， 5 = 3x 2x 2x )2x 2x 2xi2 x 2注：設 f (x) =a0 xn+a1xn* + .+an，則有l(wèi)im f(x) =a0(lim x)nxXox 沔a1(lim x)njL . an =aox；a1xlim f(x) =a0(lim x)nxXox 沔x /o,2x -9 -例 2 (E02)

3、 i例 2()求 lim 25x 7x 2x 3l i m_2x2 9xX_7x_2,l i m5x2 7x5-92f_ 2 32 _92T 5 32 一 7 3-2 =五J3注：設 f(x)=EG),且 Q(x)#0,則有Q(x)lim P(x) (lim P(x) (X)lim Q(x)x X-也=f (x。).Q(xo)頃當Q （x。）=0時，貝U商的法則不能應用，一，、x2-1例 3 （E03）求 lim、（0型）.先約去不為零的無窮小因子x -1（0型）.先約去不為零的無窮小因子x -1后再求 0解XT1時，分子和分母的極限都是零lim =1響 x 1)(x=響口(消去零因子法)=L

4、x 1x 2x -3 x 1 (x 3)(x T) x=x4例 4（E04）計算 lim.x 5 -4x 4解當XT 4時，（VA5-3）TO,不能直接使用商的極限運算法則但可采用分母有理化消去分母中趨向于零的因子x lim :. -x lim :. -4- x . x 5 -44=lim IE 5 _3)，x 5一-3)(、x 5 3)=li-mx-4-)-(-x 翌x4=lim( x 5 3)x 4=lim x 5 3=6.x :4例5 （E05）計算lim sin 2x.xT解令u =2x,則函數(shù)y=sin2x可視為由y = sinu , u = 2x構成的復合函數(shù).因為 XT 0,u

5、=2XT 0,且 UT 0 時 sinT 0,所以lim sin 2x = lim sin u = 0.x 0 x0無窮小因子分出法：以分母中自變量的最高次藉除分子和分母,以分出無窮小，然后再求極限的方法.1例 6 (E06)計算 lim 2x.x_)：:U li果，=0年 lim=1, xu所以l i m2x=l i m2u=1.x : u )0例 7 (E07)求 lim cosx.n 0解因為 0 1cosx = 2sin x222 2 ：2解故由準則I,得lim(1 _cosx) = 0,lim cosx = 1.n.0例8 (E08)求tanx 用牛limX J0 xtanxlim 0 x=lim 1 sin x =lim lim