(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)練習(xí)8.1《空間幾何體及其表面積、體積》(含解析)

1、第1講空間幾何體及其表面積、體積最新考綱考向預(yù)測1.利用實(shí)物、計(jì)算機(jī)軟件等觀察空間圖形，認(rèn)識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)2知道球、棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積的計(jì)算公式，能用公式解決簡單的實(shí)際問題3能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合)的直觀圖命題趨勢主要考查空間幾何體的表面積與體積常以選擇題與填空題為主，涉及空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，要求考生有較強(qiáng)的空間想象能力和計(jì)算能力，難度為中低檔.核心素養(yǎng)直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征2直觀圖(1)畫法：常用斜二測畫法(2)規(guī)則：原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩

2、垂直，直觀圖中，x軸，y軸的夾角為45(或135)，z軸與x軸和y軸所在平面垂直原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)2rlS圓錐側(cè)rlS圓臺側(cè)(rr)l4.空間幾何體的表面積與體積公式表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積S側(cè)2S底VS底h錐體(棱錐和圓錐)S表面積S側(cè)S底Veq f(1,3)S底h臺體(棱臺和圓臺)S表面積S側(cè)S上S下Veq f(1,3)(S上S下eq r(S上S下)h球S4R2Veq f(4

3、,3)R3 常用結(jié)論1.特殊的四棱柱eq x(四棱柱)eq o(,sup7(底面為平),sdo5(行四邊形)eq x(平行六面體)eq o(,sup7(側(cè)棱垂直),sdo5(于底面)eq x(直平行六面體)eq o(,sup7(底面為),sdo5(矩形)eq x(長方體)eq o(,sup7(底面邊),sdo5(長相等)eq x(正四棱柱)eq o(,sup7(側(cè)棱與底面),sdo5(邊長相等)eq x(正方體)上述四棱柱有以下集合關(guān)系：正方體正四棱柱長方體直平行六面體平行六面體四棱柱2斜二測畫法中的“三變”與“三不變”“三變”eq blc(avs4alco1(坐標(biāo)軸的夾角改變，,與y軸平行的

4、線段的長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?圖形改變.)“三不變”eq blc(avs4alco1(平行性不改變，,與x軸，z軸平行的線段的長度不改變，,相對位置不改變.)3正方體與球的切、接常用結(jié)論正方體的棱長為a，球的半徑為R，(1)若球?yàn)檎襟w的外接球，則2Req r(3)a；(2)若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2Ra；(3)若球與正方體的各棱相切，則2Req r(2)a.常見誤區(qū)1求組合體的表面積時(shí)，組合體的銜接部分的面積問題易出錯(cuò)2與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖1判斷正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1

5、)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱()(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐()(3)夾在兩個(gè)平行的平面之間，其余的面都是梯形，這樣的幾何體一定是棱臺()(4)用兩平行平面截圓柱，夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱()(5)菱形的直觀圖仍是菱形()(6)多面體的表面積等于各個(gè)面的面積之和()(7)簡單組合體的體積等于組成它的簡單幾何體體積的和或差()(8)長方體既有外接球又有內(nèi)切球()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)2(多選)下列結(jié)論中正確的是()A由五個(gè)面圍成的多面體只能是三棱柱B正棱臺的對角面一定是等腰梯形C圓柱側(cè)面上的直線段都是圓柱的

6、母線D各個(gè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體解析：選BCD.由五個(gè)面圍成的多面體可以是四棱錐，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤B，C，D說法均正確3(易錯(cuò)題)已知圓錐的表面積等于12 cm2，其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為()A1 cmB2 cmC3 cmD.eq f(3,2) cm解析：選B.S表r2rlr2r2r3r212，所以r24，所以r2.4如圖，長方體ABCDA1B1C1D1的體積是120，E為CC1的中點(diǎn)，則三棱錐EBCD的體積是_解析：設(shè)長方體中BCa，CDb，CC1c，則abc120，所以VEBCDeq f(1,3)eq f(1,2)abeq f(1,2)ceq f(1,12)abc1

7、0.答案：105用斜二測畫法畫水平放置的矩形的直觀圖，則直觀圖的面積與原矩形的面積之比為_解析：設(shè)原矩形的長為a，寬為b，則其直觀圖是長為a，高為eq f(b,2)sin 45eq f(r(2),4)b的平行四邊形，所以eq f(S直觀,S矩形)eq f(f(r(2),4)ab,ab)eq f(r(2),4).答案：eq f(r(2),4)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征題組練透1給出下列幾個(gè)命題：在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；底面為正多邊形，且有相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱；棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A0B1C2 D3解

8、析：選B.不一定，只有這兩點(diǎn)的連線平行于旋轉(zhuǎn)軸時(shí)才是母線；正確；錯(cuò)誤，棱臺的上、下底面是相似且對應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長不一定相等2(多選)下列命題，正確的有()A棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形B若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個(gè)側(cè)面也兩兩垂直C在四棱柱中，若兩個(gè)過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱D存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體解析：選BCD.A不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；B正確，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則三個(gè)側(cè)面構(gòu)成的三個(gè)平面的二面角都是直二面角；C正確，因?yàn)閮蓚€(gè)過相對側(cè)棱的截面的交線平行于

9、側(cè)棱，又垂直于底面；D正確，如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中的三棱錐C1ABC，四個(gè)面都是直角三角形3如圖，將圓柱的側(cè)面沿母線AA1展開，得到一個(gè)長為3，寬AA1為4的矩形，由點(diǎn)A拉一根細(xì)繩繞圓柱側(cè)面兩周到達(dá)A1，線長的最小值為_(線粗忽略不計(jì))解析：設(shè)AA1的中點(diǎn)為B，側(cè)面展開圖為矩形ACC1A1，CC1的中點(diǎn)為B1，則繩長的最小值即為側(cè)面展開圖中的AB1BC1，又AB1BC1eq r(924)，所以繩長的最小值為2eq r(924).答案：2eq r(924)eq avs4al()空間幾何體概念辨析問題的常用方法 空間幾何體的直觀圖題組練透1. 如圖是水平放置的正方形ABCO，在直角

10、坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，2)，則由斜二測畫法畫出的正方形的直觀圖中，頂點(diǎn)B到x軸的距離為()A.eq f(r(2),2)B1C.eq r(2)D2解析：選A.利用斜二測畫法作正方形ABCO的直觀圖如圖所示，在坐標(biāo)系xOy中，|BC|1，xCB45.過點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)D.在RtBDC中，|BD|BC|sin 451eq f(r(2),2)eq f(r(2),2).2一平面四邊形OABC的直觀圖OABC如圖所示，其中OCx，ABx，BCy，則四邊形OABC的面積為()A.eq f(3r(2),2) B3eq r(2)C3 D.eq f(3,2)解析：選B.平面四邊形OABC的直

11、觀圖OABC是直角梯形，其面積為eq f(1,2)(12)1eq f(3,2)，根據(jù)平面圖形與它的直觀圖面積比為1eq f(r(2),4)，得四邊形OABC的面積為eq f(f(3,2),f(r(2),4)3eq r(2).故選B.3已知等邊三角形ABC的邊長為a，那么ABC的平面直觀圖ABC的面積為()A.eq f(r(3),4)a2 B.eq f(r(3),8)a2C.eq f(r(6),8)a2 D.eq f(r(6),16)a2解析：選D.如圖所示的實(shí)際圖形和直觀圖，由可知，ABABa，OCeq f(1,2)OCeq f(r(3),4)a，在圖中作CDAB于D，則CDeq f(r(2)

12、,2)OCeq f(r(6),8)a.所以SABCeq f(1,2)ABCDeq f(1,2)aeq f(r(6),8)aeq f(r(6),16)a2.故選D.eq avs4al()平面圖形與其直觀圖的關(guān)系(1)在斜二測畫法中，要確定關(guān)鍵點(diǎn)及關(guān)鍵線段平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半(2)按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系：S直觀圖eq f(r(2),4)S原圖形 空間幾何體的表面積與體積角度一空間幾何體的表面積 (1)(2021河南周口模擬)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBC，AA1AC2，直

13、線A1C與側(cè)面AA1B1B所成的角為30，則該三棱柱的側(cè)面積為()A44eq r(2) B44eq r(3)C12 D84eq r(2)(2)(多選)(2021山東濰坊期末)等腰直角三角形的直角邊長為1，現(xiàn)將該三角形繞其某一邊旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何的表面積可以為()A.eq r(2) B(1eq r(2)C2eq r(2) D(2eq r(2)【解析】(1)連接A1B.因?yàn)锳A1底面ABC，則AA1BC，又ABBC，AA1ABA，所以BC平面AA1B1B，所以直線A1C與側(cè)面AA1B1B所成的角為CA1B30.又AA1AC2，所以A1C2eq r(2)，BCeq r(2).又ABBC，則AB

14、eq r(2)，則該三角棱柱的側(cè)面積為2eq r(2)22244eq r(2)，故選A.(2)如果繞直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)，那么形成圓錐，圓錐底面半徑為1，高為1，母線長就是直角三角形的斜邊長eq r(2)，所以所形成的幾何體的表面積Srlr21eq r(2)12(eq r(2)1).如果繞斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)，那么形成的是同底的兩個(gè)圓錐，圓錐的底面半徑是直角三角形斜邊的高eq f(r(2),2)，兩個(gè)圓錐的母線長都是1，所以形成的幾何體的表面積S2rl2eq f(r(2),2)1eq r(2).綜上可知，形成幾何體的表面積是(eq r(2)1)或eq r(2).故選AB.【答案】(1)A(2)ABe

15、q avs4al()三類幾何體表面積的求法求多面體的表面積只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積.求旋轉(zhuǎn)體的表面積可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊長關(guān)系.求不規(guī)則幾何體的表面積通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積.角度二空間幾何體的體積 (1)如圖所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長均為1，且AA1底面ABC，則三棱錐B1ABC1的體積為()A.eq f(r(3),12) B.

16、eq f(r(3),4)C.eq f(r(6),12) D.eq f(r(6),4)(2)圖(1)是一種生活中常見的容器，其結(jié)構(gòu)如圖(2)，其中ABCD是矩形，ABFE和CDEF都是等腰梯形，且AD平面CDEF.現(xiàn)測得AB20 cm，AD15 cm，EF30 cm，AB與EF間的距離為25 cm，則幾何體EFABCD的體積為()A2 500 cm3 B3 500 cm3C4 500 cm3 D3 800 cm3【解析】(1)易知三棱錐B1ABC1的體積等于三棱錐AB1BC1的體積，又三棱錐AB1BC1的高為eq f(r(3),2)，底面積為eq f(1,2)，故其體積為eq f(1,3)eq

17、f(1,2)eq f(r(3),2)eq f(r(3),12).故選A.(2)如圖，連接AC，EC，AF.因?yàn)锳BCD是矩形，所以ABCD.所以過點(diǎn)D作DGEF，垂足為G，連接AG，則AGEF.由題意知，AG25 cm.因?yàn)锳D平面CDEF，所以ADDG.因?yàn)锳D15 cm，所以DC與EF間的距離DGeq r(252152)20(cm)因?yàn)镋F30 cm，ABDC20 cm.所以SECDeq f(1,2)2020200(cm2)，SEFCeq f(1,2)3020300(cm2)所以VAEDCeq f(1,3)200151 000(cm3)，VAEFCeq f(1,3)300151 500(c

18、m3)因?yàn)閂BAFCVCAFBeq f(2,3)VCAEFeq f(2,3)VACEFeq f(2,3)1 5001 000(cm3)，所以幾何體EFABCD的體積VEFABCDVADCEVAEFCVBAFC1 0001 5001 0003 500(cm3)故選B.【答案】(1)A(2)Beq avs4al()(1)處理體積問題的思路(2)求體積的常用方法直接法對于規(guī)則的幾何體，利用相關(guān)公式直接計(jì)算割補(bǔ)法把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進(jìn)行體積計(jì)算；或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體，便于計(jì)算等體積法選擇合適的底面來求幾何體體積，常用于求三棱錐的體積，

19、即利用三棱錐的任一個(gè)面作為三棱錐的底面進(jìn)行等體積變換1(2020高考全國卷)已知A，B，C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，O1為ABC的外接圓若O1的面積為4，ABBCACOO1，則球O的表面積為()A64 B48C36 D32解析：選A.如圖所示，設(shè)球O的半徑為R，O1的半徑為r，因?yàn)镺1的面積為4，所以4r2，解得r2，又ABBCACOO1，所以eq f(AB,sin 60)2r，解得AB2eq r(3)，故OO12eq r(3)，所以R2OOeq oal(2,1)r2(2eq r(3)22216，所以球O的表面積S4R264.故選A.2在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱底面的直徑為40 cm，母線

20、長最短50 cm，最長80 cm，則斜截圓柱的側(cè)面面積S_cm2.解析：將題圖所示的相同的兩個(gè)幾何體對接為圓柱，則圓柱的側(cè)面展開圖為矩形由題意得該斜截圓柱的側(cè)面面積Seq f(1,2)(5080)(40)2 600(cm2)答案：2 6003(2021普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬)圓臺上、下底面的圓周都在一個(gè)直徑為10的球面上，其上、下底面半徑分別為4和5，則該圓臺的體積為_答案：61與球有關(guān)的接、切問題 (1)若直三棱柱ABCA1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，且AB3，AC4，ABAC，AA112，則球O的表面積為_(2)(2020高考全國卷)已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則

21、該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_【解析】(1)將直三棱柱補(bǔ)形為長方體ABECA1B1E1C1，則球O是長方體ABECA1B1E1C1的外接球所以體對角線BC1的長為球O的直徑因此2Req r(3242122)13.故S球4R2169.(2)圓錐內(nèi)半徑最大的球即為圓錐的內(nèi)切球，設(shè)其半徑為r.作出圓錐的軸載面PAB，如圖所示，則PAB的內(nèi)切圓為圓錐的內(nèi)切球的大圓在PAB中，PAPB3，D為AB的中點(diǎn)，AB2，E為切點(diǎn)，則PD2eq r(2)，PEOPDB，故eq f(PO,PB)eq f(OE,DB)，即eq f(2r(2)r,3)eq f(r,1)，解得req f(r(2),2)，故內(nèi)切球的體積為

22、eq f(4,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)eq sup12(3)eq f(r(2),3).【答案】(1)169(2)eq f(r(2),3)eq avs4al()處理球的“切”“接”問題的求解策略解決與球有關(guān)的切、接問題，其通法是作截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題的思維流程是： 1(多選)已知A，B，C三點(diǎn)均在球O的表面上，ABBCCA2，且球心O到平面ABC的距離等于球半徑的eq f(1,3)，則下列結(jié)論正確的是()A球O的表面積為6B球O的內(nèi)接正方體的棱長為1C球O的外切正方體的棱長為eq f(4,3)D球O的內(nèi)接正四面體的棱長為2解析

23、：選AD.設(shè)球O的半徑為r，ABC的外接圓圓心為O，半徑為R.易得Req f(2r(3),3).因?yàn)榍蛐腛到平面ABC的距離等于球O半徑的eq f(1,3)，所以r2eq f(1,9)r2eq f(4,3)，得r2eq f(3,2).所以球O的表面積S4r24eq f(3,2)6，選項(xiàng)A正確；球O的內(nèi)接正方體的棱長a滿足eq r(3)a2r，顯然選項(xiàng)B不正確；球O的外切正方體的棱長b滿足b2r，顯然選項(xiàng)C不正確；球O的內(nèi)接正四面體的棱長c滿足ceq f(2r(6),3)req f(2r(6),3)eq f(r(6),2)2，選項(xiàng)D正確2設(shè)球O內(nèi)切于正三棱柱ABCA1B1C1，則球O的體積與正三

24、棱柱ABCA1B1C1的體積的比值為_解析：設(shè)球O半徑為R，正三棱柱ABC A1B1C1的底面邊長為a，則Req f(r(3),3)eq f(a,2)eq f(r(3),6)a，即a2eq r(3)R，又正三棱柱ABC A1B1C1的高為2R，所以球O的體積與正三棱柱ABC A1B1C1的體積的比值為eq f(f(4,3)R3,f(r(3),4)a22R)eq f(f(4,3)R3,f(r(3),4)12R22R)eq f(2r(3),27).答案：eq f(2r(3),27)高考新聲音系列5數(shù)學(xué)文化與立體幾何的交匯縱觀近幾年高考，立體幾何以數(shù)學(xué)文化為背景的問題層出不窮，讓人耳目一新從中國古代

25、數(shù)學(xué)文化中挖掘素材，考查立體幾何的有關(guān)知識，既符合考生的認(rèn)知水平又可以引導(dǎo)考生關(guān)注中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，并提升審題能力，增加對數(shù)學(xué)文化的理解，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng) 九章算術(shù)中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為“鱉臑”如圖所示，平面四邊形ABCD中，ABADCD1，BDeq r(2)，BDCD.將平面四邊形ABCD沿對角線BD折成一個(gè)“鱉臑”ABCD，則該“鱉臑”的內(nèi)切球的半徑為_【解析】因?yàn)锳DCD1，且ACD為直角三角形，所以CDAD.又CDBD，BDADD，所以CD平面ABD，所以CDAB.又由ABAD1，BDeq r(2)，得ABAD，且ADCDD，所以AB平面ACD，所以ABAC，由題意得A

26、Ceq r(2)，設(shè)該“鱉臑”的內(nèi)切球的半徑為r，則eq f(1,3)(SABCSACDSABDSBCD)req f(1,3)CDSABD，所以eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)f(1,2)f(1,2)f(r(2),2)req f(1,3)1eq f(1,2)，解得req f(r(2)1,2).【答案】eq f(r(2)1,2)eq avs4al()求解與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的立體幾何問題，首先要在閱讀理解上下功夫，明確其中一些概念的意義，如“斬堵”“陽馬” 和“鱉臑”等的特征是求解相關(guān)問題的前提，其次目標(biāo)要明確，根據(jù)目標(biāo)聯(lián)想相關(guān)公式，然后進(jìn)行求解 魏晉時(shí)期

27、數(shù)學(xué)家齊徽在他的著作九章算術(shù)注中，稱一個(gè)正方體內(nèi)兩個(gè)互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”劉徽通過計(jì)算得知正方體的內(nèi)切球的體積與“牟合方蓋”的體積之比應(yīng)為4.若正方體的棱長為2，則“牟合方蓋”的體積為()A16B16eq r(3)C.eq f(16,3) D.eq f(128,3)解析：選C.若正方體的棱長為2，則其內(nèi)切球的半徑r1，所以正方體的內(nèi)切球的體積V球eq f(4,3)13eq f(4,3).又已知eq f(V球,V牟合方蓋)eq f(,4)，所以V牟合方蓋eq f(4,)eq f(4,3)eq f(16,3).故選C.A級基礎(chǔ)練1下列命題是真命題的是()A有兩個(gè)側(cè)面是矩形的

28、四棱柱是直四棱柱B正四面體是特殊的正四棱柱C有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的多面體叫做棱錐D正四棱柱是平行六面體解析：選D.A項(xiàng)，當(dāng)兩個(gè)側(cè)面是矩形且相鄰時(shí)，四棱柱是直四棱柱，當(dāng)兩個(gè)側(cè)面是矩形且不相鄰時(shí)，四棱柱不是直四棱柱，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；B項(xiàng)，正四面體是三棱錐，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；C項(xiàng)，棱錐是有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形的幾何體，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；D項(xiàng)，正四棱柱是平行六面體，故D項(xiàng)正確故選D.2已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，且該圓柱的內(nèi)切球O1的表面積為S1，該圓柱的上、下底面的圓周都在球O2上，球O2的表面積為S2，則S1S2()A1eq r(2)B12C.eq r(2)1

29、D21解析：選B.設(shè)球O1和球O2的半徑分別為r，R，因?yàn)樵搱A柱的軸截面是邊長為2的正方形，所以r1，Req r(2)，所以eq f(S1,S2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r,R)eq sup12(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,r(2)eq sup12(2)eq f(1,2)，故選B.3如圖所示，在三棱臺ABCABC中，沿ABC截去三棱錐AABC，則剩余的部分是()A三棱錐B四棱錐C三棱柱 D組合體解析：選B.如圖所示，在三棱臺ABCABC中，沿ABC截去三棱錐AABC，剩余部分是四棱錐ABCCB.4.如圖是一個(gè)實(shí)心金屬幾何體的直觀圖，它的中間是高l

30、為eq f(61,24)的圓柱，上、下兩端均是半徑r為2的半球，若將該實(shí)心金屬幾何體在熔爐中高溫熔化(不考慮過程中的原料損失)，熔成一個(gè)實(shí)心球，則該球的直徑為()A3B4C5 D6解析：選C.設(shè)實(shí)心球的半徑為R，實(shí)心金屬幾何體的體積Veq f(4,3)r3r2leq f(4,3)84eq f(61,24)eq f(125,6).因?yàn)閑q f(4,3)R3eq f(125,6)，所以Req f(5,2)，所以該球的直徑為2R5.5(2020高考全國卷)已知ABC是面積為eq f(9r(3),4)的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上，若球O的表面積為16，則O到平面ABC的距離為()A.eq r

31、(3) B.eq f(3,2)C1 D.eq f(r(3),2)解析：選C.由等邊三角形ABC的面積為eq f(9r(3),4)，得eq f(r(3),4)AB2eq f(9r(3),4)，得AB3，則ABC的外接圓半徑req f(2,3)eq f(r(3),2)ABeq f(r(3),3)ABeq r(3).設(shè)球的半徑為R，則由球的表面積為16，得4R216，得R2，則球心O到平面ABC的距離deq r(R2r2)1，故選C.6有一個(gè)長為5 cm，寬為4 cm的矩形，則其直觀圖的面積為_解析：由于該矩形的面積S5420(cm2)，所以其直觀圖的面積Seq f(r(2),4)S5eq r(2)

32、(cm2)答案：5eq r(2) cm27一個(gè)圓臺上、下底面的半徑分別為3 cm和8 cm，若兩底面圓心的連線長為12 cm，則這個(gè)圓臺的母線長為_cm.解析：如圖，過點(diǎn)A作ACOB，交OB于點(diǎn)C.在RtABC中，AC12 cm，BC835(cm)所以ABeq r(12252)13(cm)答案：138如圖，在四棱錐PABCD中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，且PAPBPCPD，已知四棱錐的表面積是12，則它的體積為_解析：由題意可知四棱錐PABCD為正四棱錐，如圖所示，設(shè)AC交BD于點(diǎn)O，連接PO，則PO是四棱錐的高設(shè)正四棱錐的斜高為h，則224eq f(1,2)2h12，解得h2，則正四

33、棱錐的高POeq r(2212)eq r(3).所以正四棱錐的體積Veq f(1,3)4eq r(3)eq f(4r(3),3).答案：eq f(4r(3),3)9.現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐PA1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍，若AB6 m，PO12 m，則倉庫的容積是多少？解：由PO12 m，知O1O4PO18 m.因?yàn)锳1B1AB6 m，所以正四棱錐PA1B1C1D1的體積V錐eq f(1,3)A1Beq oal(2,1)PO1eq f(1,3)62224(m3)

34、；正四棱柱ABCDA1B1C1D1的體積V柱AB2O1O628288(m3)，所以倉庫的容積VV錐V柱24288312(m3)故倉庫的容積是312 m3.10.如圖，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點(diǎn)，BE平面ABCD.(1)證明：平面AEC平面BED；(2)若ABC120，AEEC，三棱錐EACD的體積為eq f(r(6),3)，求該三棱錐的側(cè)面積解：(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以ACBD.因?yàn)锽E平面ABCD，所以BEAC.因?yàn)锽EBDB，BE，BD平面BED，故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED.(2)設(shè)ABx，在菱形ABCD中，由ABC120

35、，可得AGGCeq f(r(3),2)x，GBGDeq f(x,2).因?yàn)锳EEC，所以在RtAEC中，可得EGeq f(r(3),2)x.由BE平面ABCD，知EBG為直角三角形，可得BEeq f(r(2),2)x.由已知得，三棱錐EACD的體積V三棱錐EACDeq f(1,3)eq f(1,2)ACGDBEeq f(r(6),24)x3eq f(r(6),3)，故x2.從而可得AEECEDeq r(6).所以EAC的面積為3，EAD的面積與ECD的面積均為eq r(5).故三棱錐EACD的側(cè)面積為32eq r(5).B級綜合練11(多選)(2021山東青島一模)已知四棱臺ABCDA1B1C

36、1D1的上、下底面均為正方形，其中AB2eq r(2)，A1B1eq r(2)，AA1BB1CC12，則下列結(jié)論正確的是()A該四棱臺的高為eq r(3)BAA1CC1C該四棱臺的表面積為26D該四棱臺外接球的表面積為16解析：選AD.根據(jù)題意將四棱臺補(bǔ)成四棱錐如圖所示，由題易知點(diǎn)S在平面A1B1C1D1和平面ABCD的射影分別為點(diǎn)O1，O，連接OS，OA，則O1在OS上由于AB2eq r(2)，A1B1eq r(2)，可知SA1B1與SAB的相似比為12，則SA2AA14，AO2，則SO2eq r(3)，則OO1eq r(3)，故該四棱臺的高為eq r(3)，A正確；因?yàn)镾ASCAC4，所以

37、AA1與CC1的夾角為60，不垂直，B錯(cuò)誤；該四棱臺的表面積SS上底S下底S側(cè)284eq f(（r(2)2r(2)）,2) eq r(22blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)sup12(2)106eq r(7)，C錯(cuò)誤；由于四棱臺的上、下底面都是正方形，則外接球的球心在線段OO1上，在平面B1BOO1上，由于OO1eq r(3)，B1O11，則OB12OB，即點(diǎn)O到點(diǎn)B與點(diǎn)B1的距離相等，故點(diǎn)O是外接球球心，外接球半徑rOB2，故該四棱臺外接球的表面積為16，D正確故選AD.12(多選)將正三棱錐PABC置于水平反射鏡面上，得一“倒影三棱錐”PABCQ，如圖下列關(guān)于該“倒影三

38、棱錐”的說法中，正確的有()APQ平面ABCB若P，A，B，C在同一球面上，則Q也在該球面上C若該“倒影三棱錐”存在外接球，則ABeq r(2)PAD若ABeq f(r(6),2)PA，則PQ的中點(diǎn)必為“倒影三棱錐”外接球的球心解析：選AD.由“倒影三棱錐”的幾何特征可知PQ平面ABC，A正確；當(dāng)P，A，B，C在同一球面上時(shí)，若ABC的外接圓不是球的最大圓，則點(diǎn)Q不在該球面上，B錯(cuò)誤；若該“倒影三棱錐”存在外接球，則三棱錐PABC的外接球的半徑與等邊三角形ABC外接圓的半徑相等，設(shè)其為R，則ABeq r(3)R，PAeq r(2)R，則ABeq f(r(6),2)PA，C錯(cuò)誤；由C的推導(dǎo)可知該

39、“倒影三棱錐”外接球的球心為ABC的中心，即PQ的中點(diǎn)，D正確，故選AD.13(多選)(2020山東濟(jì)南二模)已知圓錐的頂點(diǎn)為P，母線長為2，底面半徑為eq r(3)，A，B為底面圓周上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(A與B不重合)，則下列說法正確的是()A圓錐的體積為B三角形PAB為等腰三角形C三角形PAB面積的最大值為eq r(3)D直線PA與圓錐底面所成角的大小為eq f(,6)解析：選ABD.如圖所示，點(diǎn)O為點(diǎn)P在圓錐底面上的射影，連接OA，OB.POeq r(22（r(3)）2)1，圓錐的體積Veq f(1,3)(eq r(3)21，A正確；PAPB2，B正確；易知直線PA與圓錐底面所成的角為PAOeq f(,6)，D正確