15十五、排列組合的應用

1、十五、排列組合的應用教學目標指導學生通過分析、比較掌握解排列組合問題的基本方法利用兩個原理 分類分步解題與結合容斥原理用排除法解題)與常見的特殊方法(如整元法、插空 法、除序法、擋板法等等).這部分知識應用性非常強，要在教學過程中反復強調充分理解每個算符 每步計算所對應的實際背景，使學生能認同唯有不斷提高自己的應用意識才能越 來越熟練地順利解決排列組合問題.這部分所涉及的題目解題方法常常多種多樣，應鼓勵學生嘗試、探索各 種不同的解題方案，分析比較各種方法的適用范圍及特點，使學生在探索分析中 確實感受到探索與分析的必要性，以增強學生提高探索能力的自覺性.這部分題目難度較大，學生解題時難免出現錯誤

2、，要鼓勵學生大膽說出 不同的甚至是錯誤的解題方法，與同伴一起分析自己思路中的合理成分與不足， 使自己與同伴都可以從錯誤中進一步準確理解各種解題方法的正確使用方法，在 這種討論過程中增強學生自我反省的批判能力和合作意識.重點難點每種排列組合的解題方法都對應著一個具體的“完成某件任務”的過程，使學 生明確每個算符與每步所對應的具體完成任務的辦法是最大的難點.特別是某些 錯誤使用乘法原理時出現的“完成任務”的辦法，學生常常很難識別其中出現的重 復或漏計不同方法數的具體情況，因此教學重點不僅是講清每種正確的解題方 法，而且應誘使學生暴露自己的思維過程，及時糾正對每種方法的誤解誤用.教學過程一、引言回顧

3、學過的知識：兩個原理；排列組合概念及排列數、組合數公式.強調兩 點：1.每個概念與公式都與具體完成每件任務的辦法設計密切相關，因此解排 列組合問題首先要明確題目中要“完成的任務”是什么，再確定你準備如何完成 任務的方案，最后再將方案中的每類、每步辦法種數譯成數學運算符號.2.前 面所涉及的題目大多數是為介紹概念或公式所出現的比較單純的問題，這節(jié)課將 在更為實際因而也更為復雜的問題上進一步探討排列組合知識的具體應用.二、排列組合的應用問題(一)這部分主要解決1.不同類問題(可重復排列問題，不可重復排列問題，組合 問題)的辯析.2.多類多步排列組合問題的解決方法，主要是兩個特元以上的特 元法或特位

4、法、排除法的應用.例1 有一些書要借給一些人，按下列要求各有多少種不同的借書方法.六本不同的書全部借給五個人，每人至少一本；五本不同的書借給六個人，五本書全部被借走；三本相同的書借給五個人，三本書全部借出，每人最多借走一本；三本相同的書借給五個人，三本書全部被借走.解= 1800；65=7776；。；=1饑+=35.教學過程設計：例1的四個小問題同時給出，給學生自己思考并交流的時 間.四問同時給出的好處在于學生能夠通過比較題目不同的敘述方法自我糾正對 題意的誤解，弱點是學生自我糾正后可能會不甚重視產生誤解的原因，因此，在 教學過程中應通過設問讓學生重視并反思可能出現誤解的原因及避免誤讀的審 題

5、重點。要引導學生暴露所有可能的錯誤解法，并引導學生理解產生錯誤的原 因.認真分析例1（1），為后面介紹整元法、除序法做一定的準備.逐一分析解題方法：第一組提問：（解例1（1）時）問1：據乘法原理，可以考慮每本書有五個去向，因此，借法總數為56,對 嗎？（期望學生認識到這種算法無法保證“每人至少借一本的要求）問2：可以設計借書過程：先選出5本書借給5個人，再將剩下的書借給5人中的任何一個人，共有神不同的借法，這神方法對嗎？（期望學生認識到借到兩本書的人的同一種借法被計算了兩次，如果學生不 能意識到這種重復計算，就舉出一個具體的被重復計算的例子：如“第一、二、三、四、五本書分別借給A，B，C，D，

6、E五人，又將第六本書借給A，”與“第 六、二、三、四、五本書分別借給A，B，C, D, E五人,又將第一本書借給A ”在“伏$伏”的計算中據乘法原理被計算為兩種不同的方法，但在實際上應視為一種借法）.問3：怎樣糾正上述的錯誤呢？（期望學生認識到：可以先決定哪兩本書借給同一個人，再將五“份”書借給五人，有C? $神不同的借法一一為“整元法”做一鋪墊.也可以注意到所重復計算的方法數都出現在某個借了兩本書的人上，所以可以將這兩神方法“合并”為一神：為“除序法”故一鋪墊）.（注：這一提問順序是假設學生只提出了兩種錯誤解法時所用.若學生可以給出正確解答，可通過引導學生分析舊校F 七七 ”的異同來解答上述

7、問題.問4：再看題目，題目中如果改為“四人”？（課上只須讓學生認識到需分類討論，做為課后選做，令學生課下完成具體 計算過程）.使問題復雜一些，以突出此方法的本質特點.）第二組提問：（解例1（2）時）問1：（估計大部分學生會利用“乘法原理”找到解題正確辦法.）這個問題 中哪些因素使你想到要從書的去向分析解題過程從而得到借法數為“65”？（期望學生能體會若從借書者分析，分類情況太復雜，另外，沒有限定每人 的借書量又是極重要的提示）.問2：題目中的“全部借出”的作用是什么？（期望學生能體會若無此限制，則每本書的去向應增添“未被借走” 一種情 況，于是不同的借法種數為“75”.）第三組提問：（解例1（

8、3）時）問1：（估計有一些學生可以得出正確答案）為什么不能設計借書的過程是選 一個人取走一本書，再選一人取走一本書，再選第三個人取走最后一本書？這種 算法中是否已經反映了 “書是相同的”這一條件？）（期望學生意識到據上述設計得出計算結果為6表面上看并沒有考慮書之間的差別，但實際上“乘法原理”的使用中將三個人得 書的過程分成“步”就造成了與實際情況相比的重復計算，也相當于將書放于不同 的位置，讓借書人去取，這就造成了書實際上不相同的效果.）問2：為什么不可用“53”來計算不同的借法種數？（期望學生意識到這種算法無法保證“每人最多一本”的要求.）第四組問題：（解例1 （4）時）R1：（估計會有兩神

9、常見計算方法）應為還是+（引導學生再一次考慮分類方法適應的范圍，再一次考慮用玲表示五人中一人有兩本，一人有一本的合理性及其中隱含的“整元”思想.）RI2：正確解法中的與上面例1（3）的解法比較，為什么都是“相同的書”，有時是排列問題，有時又是組合問題，不可拆成組合數”的積來解 題？（引導學生認識到不可據一些固定的系詞來盲目區(qū)分組合與排列問題，而是 要在充分理解乘法原理的基礎上，據實際情況判斷乘法原理中所體現的“分步” 所導致的計數方法是否適合實際問題的要求，并進一步體會在實際問題中排列組 合問題的聯系與區(qū)別.）例1小結 兩組元素（書、人）建立某種對應關系（借書），計算不同的對應方 法（借法）種

10、數時，應特別注意：每組元素的個數，每組元素間是否相同.對應關系的要求：每個元素是否必須要有與之對應的元素？可以對應幾個等等.特別重視想清楚應用乘法原理時，所計算的方法種數是否與實際方法數 相比有重復計數的情況.例2有一些不同的工作需分配一些人去做，滿足下列條件的分配工作方法種數各為多少？有六人，五種不同的工作，在六人中任選三人去做五種工作中的三種， 每人做且只做一種工作；有五人，五種不同的工作，每人做且只做一種工作，其中甲不能做第一 種工作，乙不能做第二種工作；有六人，四種不同的工作，選四人做且每人只做一種工作，且甲、乙不 能做第一種工作.解 (1)將分配工作的過程分為三步：第一步決定選哪三個

11、人；第二步決定 做哪三件工作；第三步決定哪個人擔任哪個工作，則分配工作方法種數為：N = CCP/ = 1200.教學過程設計：令學生經討論后提出各種解法，分析正確方法之間的等價性，如:并注意提出分析不正確解法的失誤之處，如，將計算過程寫為寸(2)解法一 甲、乙兩人有特殊要求，可先考慮這兩個特殊元素工作的分配 方法(特元法)，由于甲擔任第二種工作與否會導致乙可選擇的工作方法數的不同 變化，所以可分甲做或不做第一種工作，兩類分別計算分配工作的種數：N = C；CjP| +CCP| =78.解法二由于甲、乙分別擔任第一、二種工作的分配方法數很易計算，所以可以用排除法計算不同的分配工作方法種數：N

12、= P/ -P* -P： +P； =78.教學過程設計：令學生經討論提出各種解法.分析第一種解法或與之類似解法的關鍵是連續(xù) 考慮特殊元素，并特別關注第一位特殊元素的“排法”給第二位特殊元素提供的排 法種數是否一致，以此判斷是否需分類及分類的辦法.應特別注意分析錯解：N = CjCjP|.分析第二種解法中容斥原理的背景，特別注意有兩個限制條件的使用排除法 與只有一個限制條件的使用排除法的異同.應特別注意分析錯解：N = P/-P* -P*.(3)解法一可用排除法(排除甲或乙任第一種工作的情況)：N = P* -Pj -P/ = 240.解法二可先考慮第一種工作這一特殊位置工作的分配方法，再考慮其

13、它 工作的分配方法(特位法)，則不同的分配工作方法種數為：N=C；Pj = 240.解法三 從甲、乙這兩個特殊元素考慮，可分三類情況計算分配方法種 數.在被選出的四人中分“沒有甲、乙”，“有且僅有甲、乙中的一人”、“既 有甲、又有乙”三類：N =* P： +P； * P： =240.教學過程設計：除類似例2(1)(2)求解過程中組織學生探討各種解題方法的正誤以外，應著重 引導學生認識到從不同角度分析解題過程時的難易程度，使學生能認識到有意識 地從多種角度分析問題的必要性.例2小結 解決有特殊元素(或特殊位置)的排列、組合問題時，基本方法 是特元(或特位)法，排除法，例2提示了各種方法在使用時應

14、注意的問題，并且 提示了根據已知從不同角度尋求解決問題的辦法.三、排列組合的應用問題(二)這部分主要讓學生基本掌握排列組合問題中的幾個特殊方法：整元法，插空 法，除序法，擋板法.例3 A，B，C等六人排成一隊，滿足下列要求的排隊方法種數各有多少：A，B，C三人要排在一起A不能與B，C相鄰.解 (1)將A，B，C先排在一起，再與其他人排.N = P|P* =144.(2)分“A在兩端”與“A不在兩端”兩種情況求解，即N =288.教學過程設計：解例3(1)時，估計不少學生可以想到“整元”的思想，應在學生講述自己解 法時將“整元法”提練得更為明確清晰.在講評中注意分析使用“整元法”時易 出現的錯誤

15、:忽略了視為整元的各元素之間應確定排列順序.數錯在組成“整 元”后應排列的元素個數.解例3(2)時，估計會有學生參照例3(1)的想法沿用“整元”思想解題，注意 在評述學生解題方案時提醒學生注意三類常見錯誤：不考慮A在或不在兩邊 應分類計算；在計算“A不在兩端”時，不注意排列在A兩邊的人的順序， 或是錯將整元排列數計算為逐如錯誤使用排除法，誤認為N = P-P/P；;造成錯誤的原因：誤認為A與B，C不相鄰”的否定是“A與B，C都相鄰”，實際上應為“A 與B或C相鄰”.例3小結：“整元法”可用于解決“相鄰”問題.又因“整元法”在排好整元后與 其它元素再排列時不拆散整元，所以“整元”也可以起到“隔離

16、”的作用，可用 于解決某些“不相鄰”問題.在使用“整元法”時應特別注意據實際情況確定構成“整元”的方法 數.構成“整元”后數清進一步需排列的元素的個數.例4(1)三位女生、四位男生排成一排，女生不能相鄰，有多少種不同的排隊方法？三位女生、四位男生排成一排，女生不能相鄰，男生也不能相鄰，有多 少種不同的排隊方法？有七個空位子，三位女生去坐，女生不能相鄰而坐，有多少種不同的坐 法？解(1)用插空法，令男生排好，再將女生插入男生之間及兩頭所形成的可排入女生的五個空位中去：N = P*P = 1440.(2 )男、女生應互相隔開，所以不同排法種數為N = P*P/ = 144.(3)三個女生坐好后還應

17、有4個空位，所以可設想女生是被插入到四個空位 所形成的五個位置中去的，不同的排法種數為N = Pj =60.教學過程設計：解例4(1)時，無論是否有學生找到了正確簡捷的解題方法，都應引導學生認 識到，前面所使用的各種解題方法，均是由具有特殊要求的元素入手從正面或從 不適應題目要求的反面(排除法)優(yōu)先考慮特殊要求來解題的，但若仍沿用這種想 法想解決題目要求的不相鄰問題，就很困難，所以可以換一個角度，先處理沒有 限制條件的元素(題目中的男生)，再看是否能更簡捷地解決有限制條件的元素(題 目中的女生)的排列問題.解例4(2)時，應引導學生認識到，遇兩組不同元素不相鄰問題時，仍可用插 空法，但兩組元素

18、的個數需有一定限制，若一組元素的個數為m，則另一組元素 的個數只可以取m-1，m，m+1，否則題目無解.解例4(3)時，應引導學生認識到這一問題的解法是一組相同元素與一組不相 同元素之間不相鄰問題的解法示例.在講解過程中應適時引導學生分析比較兩個問題.(1)比較“插空法”與“整 元法”在解不相鄰問題時的異同.(2)比較例4(1)、(3)之間的異同，為“除序法” 做一些鋪墊.例4小結 插空法主要用于兩組元素中有一組或兩組元素彼此不能相鄰的 特殊排列或組合問題.例5 用0，1，2, 3, 4, 5組成滿足下列條件的無重復數字的數，各有多 少個不同的數：不含0的五位數，其中奇數數字需由大到小從左至右

19、排列；六位數，其中偶數數字由大至小從左至右排列.(1)解法一可以考慮在五位數中確定兩個偶數所在的位置及相對排列順序，即N = P： =20.解法二先將五位數任意排好，再將奇數所在的位數相同且偶數的排列方法相同的數歸并成一組，這類的數每組皆有且只有P； = 6個，每個五位數在且僅在一組數中，所以不同的五位數為(2)解法一類(1)解法一，選三個位置將三個奇數排入，此時，由于偶數必 須從左至右由大到小排列，所以不會出現最高位為0的情況，即所有不同的滿足 條件的不同六位數個數為：N =120.解法二 類(1)解法二，將奇數所在位置及排列順序都相同的六個數歸并為 一組，不同的滿足條件的六位數為教學過程設

20、計：解例5(1)時，引導學生認識到從奇數、偶數排列方法入手解決問題的等價性， 同時體會兩種方法中算符與算式的不同含意，必要時應回顧組合數公式c： f 螳的兩神推導方式，使學生準確理解“解法二”中“除以p; ”的準確含意.解例5時，應注意解法二中，在計算所有六位教個數時應算成驀 而不是PP/.因為唯有將六位數個數計為評時才能保證“每六個數歸并為一組，同時由于應使偶數從左至右由大到小排列，所以不會出現最高位為 0的情況.視情況而定，引導學生將問題發(fā)展成有兩組或兩組以上元素的排列順序是確 定（定序）的，或這些元素是相同的（無序）時，解題的思想與方法.例5小結 除序法可用于解決被排列元素中有一組或一組

21、以上的元素是無 序的（無差別）或定序的（排列順序事先指定）問題.例6 有10個數學競賽名額要分配給7個學校，每校至少分給一個名額， 有多少種不同的名額分配方法？解法一 若每校各分一個名額后、還有三個名額待分配，可分將名額分給 “三?！薄ⅰ皟尚！?“一校”三類情況計算分配總數：N =+軟；+C； =84.解法二（擋板法）設想將名額排成一列，則每兩個相鄰名額之間可形成共9 個空隙，在9個空隙中選6個空隙插入“擋板”，將名額分割成7段，則第一、 二、七段名額數可視為分別分給第一、二、七所學校的名額數不同的分配方 法為=84.教學過程設計：估計有些同學可以正確地按解法解題，但獨立尋找到解法二很困難，所

22、以可 在充分討論與解法一相類似的各種正、誤解法后將名額數增加（如增到20個）， 使分類的辦法顯得很繁，再引入解法二.若有學生已經預習可提出解法二，則可 直接令學生比較兩種解法的難易程度.例6小結：擋板法可使用于解決待分配的元素無差別且每個位置至少分配一個元素的 問題中.四、課堂小結在解決排列組合應用問題時先確定問題的類型.考慮是否可用特法解決問題.若無法用特殊辦法解題，可考慮分別從兩組元素入手結合兩個原理的解 題方法（特位或特元法），或是利用排除法解題.應注意比較不同分析角度所得的 解題過程的難易程度.每種解題方法皆有其適用范圍及易錯點，應在使用中不斷注意分析歸納， 以加深對每種方法的認識.能

23、力訓練在1000和9999之間由四個不同數字組成且個位數字和千位數字的差的 TOC o 1-5 h z 絕對值為2,則這樣的自然數的個數為A. 896B. 840 C. 128D. 448 用0, 1, 2, 3, 4, 5可以組成比400小的自然數的個數是A. 80 B. 90 C. 142 D. 143八個人站成一排，其中A, B兩人要排在一起，且C要站在D的左邊（可不相鄰），則不同的排隊方法種數為A. 2520 B. 5040C. 720 D. 10080集合A= 1, 2, 3, 4,集合B= 1, 5, 7定義以A為定義域，B為值域的函數，則不同的函數個數為A.81B.72C.36

24、D.18由0, 1, 2, 3, 4, 5組成2不在百位，0不在個位的無重復數字的三位數，則不同的三位數的個數為A.64 B.60 C.84 D.80從0, 1, 2, 3, 4, 5, 6中選出三個不同的數作為二次函數y=ax2+bx+c的系數a, b, c,其中ab,這樣可以得到的不同的二次函數的個數為A.90 B.105C.210 D.35以0, 1, 2, 3, 4中的數作為直線方程Ax+By=0中的系數A, B,則可以表示的不同的直線條數為A.12 B.13C.14D.15八人排隊，站成前后兩排，前后各四人且甲不在第一排，乙不在第二排，則不同的排隊方法種數為A.720 B.2880C.11520D.576直線x=0, y=0將圓x2+y2=1分成四個區(qū)域，用5種不同的顏色給這四個區(qū)域涂色，有公共邊的區(qū)域顏色互異，每塊區(qū)域只涂一種顏色，則不同的涂色 辦法種數為A.260 B.200 C.250D.190一條鐵路原有m個車站，為適應客運需要新增加n個車站（n1），則客運車票增加58種（從甲站到乙站和從乙站到甲站需要兩種不同的車票），則原有 的車站