空間向量的數(shù)量積運算教案

文檔編碼:CF9X7B5J4X9——HY2W9W9K7E5——ZO10P8V10D7X1 3．1.3 空間向量的數(shù)量積運算【課標要求】1．把握空間向量夾角的概念及表示方法,把握兩個向量的數(shù)量積概念、性質(zhì)和運算方法及運算規(guī)律．2．把握兩個向量的數(shù)量積的主要用途,會用它解決立體幾何中一些簡潔的問題．【核心掃描】1．空間向量的數(shù)量積運算． 〔重點〕

2．利用空間向量的數(shù)量積求夾角及距離． 〔難點〕3．空間向量數(shù)量積的運算律． 〔易錯點〕自學導引1．空間向量的夾角定義已知兩個非零向量a,b,在空間中任取一點O,作OA→＝a,OB→＝b,就∠AOB叫做向量a,b的夾角記法

范疇 〈a,b〉

[0,π]．當〈a,b〉＝π時,a⊥b 2想一想：〈a,b〉與〈b,a〉相等嗎？〈a,b〉與〈a,－b〉呢？提示 〈a,b〉＝〈b,a〉,〈a,－b〉＝π－〈a,b〉．2．空間向量的數(shù)量積〔1〕定義：已知兩個非零向量a,b,就|a||b|cos〈a,b〉叫做a,b的數(shù)量積,記作a·b.〔2〕數(shù)量積的運算律數(shù)乘向量與向量

數(shù)量積的結(jié)合律

交換律

支配律〔λa〕·b＝λ〔a·b〕

a·b＝b·a

a·〔b＋c〕＝a·b＋a·c〔3〕數(shù)量積的性質(zhì)兩個向量數(shù) 〔1〕如a,b是非零向量,就 a⊥b.a·b＝0.量積的性質(zhì) 〔2〕如a與b同向,就a·b＝|a|·|b|；如反向,就a·b＝－|a|·|b|.a·aa·b

|a||b|.特別地：a·a＝|a|2或|a|＝〔3〕如θ為a,b的夾角,就cosθ＝〔4〕|a·b|≤|a|·|b|.想一想：類比平面對量,你能說出 a·b的幾何意義嗎？提示 數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影 |b|·cosθ的乘積．名師點睛1．空間向量夾角的懂得〔1〕任意兩個空間向量均是共面的,故空間向量夾角范疇同兩平面對量夾角范疇一樣,即 [0,π]；〔2〕空間向量的夾角在[0,π]之間,但空間兩異面直線夾角在〔0,π

2]內(nèi),利用向量求兩異面直線夾角時留意轉(zhuǎn)化,兩異面直線的夾角余弦值確定為非負數(shù)．2．平面對量與空間向量數(shù)量積的關(guān)系由于空間任意兩個向量都可以轉(zhuǎn)化為共面對量, 所以空間兩個向量的夾角的定義和取值范疇、兩個向量垂直的定義和表示符號、 向量的模的概念和表示符號、 以及運算律等都與平面對量相同．3．空間向量數(shù)量積的應(yīng)用由于空間向量的數(shù)量積與向量的模和夾角有關(guān),所以立體幾何中的許多問題,如距離、夾角、垂直等問題的求解,都可借助于向量的數(shù)量積運算解決．〔1〕a·b＝|a||b|cos〈a,b〉,就cos〈a,b〉＝a·b|a||b|,可用來求兩個向量的夾角．〔2〕a⊥b.a·b＝0,用于判定兩個向量的垂直．〔3〕|a|2＝a·a,用于對向量模的運算,求兩點間的距離或線段的長度．留意：①數(shù)量積運算不中意消去律如a,b,c〔b≠0〕為實數(shù),就ab＝bc.a＝c；但對于向量就不正確,即a·b＝b·c〔b≠0〕./a＝c.②數(shù)量積運算不中意結(jié)合律數(shù)量積的運算只適合交換律,支配律及數(shù)乘結(jié)合律,但不適合乘法結(jié)合律,即 〔a·b〕·c不愿定等于a·〔b·c〕．這是由于〔a·b〕·c表示一個與 c共線的向量,而 a·〔b·c〕表示一個與 a共線的向量,而 c與a不愿定共線．問題一：利用數(shù)量積求兩點間的距離例1已知向量ab,向量c與a,b的夾角都是60,且a,1b2,c3,試求（1）abc2〕（2）〔ab思路：利用向量的平方等于模長的平方求解,老師先復習平面對量的基本學問,然后引導同學這兩個例題,第一個略微對下答案,其次個引導同學如何將三個向量的平方開放,中心思想就是將前面兩個看成一個數(shù),然后利用完全平方和開放 .變式練習如以下圖,平行六面體ABCDA1B1C1D1中,AB＝1,AD＝2,AA1＝3,∠BAD＝90°,∠BAA1＝∠DAA1＝60°,求AC1的長．〔同學上黑板演練,老師公布答案 〕[思路探究]利用|AC1→|2＝AC1→2＝〔AB→＋AD→＋AA1→〕2求解．解 由于AC1→＝AB→＋AD→＋AA1→,所以AC1

→2＝〔AB→＋AD→＋AA1〕2＝AB→2＋AD→2＋AA1→2＋2〔AB·AD→＋AB·AA1→＋AD·AA1→〕．由于∠BAD＝90°,∠BAA1＝∠DAA1＝60°,所以〈AB→,AD→〉＝90°,〈AB→,AA1→〉＝〈AD→,AA1→〉＝60°其基本思路是 →

所以AC12＝1＋4＋9＋2〔1×3×cos60°＋2×3×cos60°〕＝23. →

由于AC1 →

2＝|AC1|2,所以|AC1

→|2＝23,|AC1→|＝23,即AC1＝23.規(guī)律方法利用向量的數(shù)量積求兩點間的距離,可以轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題,先選擇以兩點為端點的向量,將此向量表示為幾個已知向量的和的形式,求出這幾個已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模,利用公式|a|＝a·a求解即可．問題二：求數(shù)量積例2：如以下圖,已知正四周體O-ABC的棱長為1,求OAOB、AB·OC.（第一個請同學回答,其次個引導同學發(fā)覺直接找兩個向量的夾角是行不通的,所以要將兩個向量用其他向量表示,將未知向量轉(zhuǎn)化成已知向量,最好是化成同起點的已知向量,更能方表找到夾角）1解： OA OB OA OB cos602AB OB OA,AB OC 〔OB OA〕 OC 0變式變式練習:已知長方體 ABCD－A1B1C1D1中,AB＝AA1＝2,AD＝4,F為A1D1的中點,試計算：BD·AF（同學自主完成,喊通同學黑板演練,適當講評,總結(jié)一般在六面體中其他向量基本裝化成同起點的三條棱為基本向量）探究：利用數(shù)量積求夾角如以下圖,已知S是邊長為1的正三角形ABC所在平面外一點,且SA＝SB＝SC＝1,M、N分別是AB、SC的中點,求異面直線SM與BN所成角的余弦值．（同學自主探究,引導同學發(fā)覺求夾角可以轉(zhuǎn)化成求數(shù)量積和求模長兩個問題）解設(shè)SA→＝a,SB→＝b,SC→＝c,就|a|＝|b|＝|c|＝1,且a,b,c三個向量兩兩夾角均為60°,∴a·b＝b·c＝a·c＝12.∵SM

→·BN→＝12〔SA→＋SB〕·〔SN→－SB〕＝12〔a＋b〕·〔12c－b〕＝12〔1

2a·c－a·b＋12b·c－b2〕＝12〔12×12－12＋12×12－1〕＝－12.→ →∴cos〈SM→,BN→〉＝SM→ ·BN→|SM|·|BN＝－12＝－23.3

2· 32|所以,異面直線SM與BN所成角的余弦值為2

3.思路探究]可先求向量OA→與BC→的夾角,再依據(jù)異面直線的夾角與向量的夾角之間的關(guān)系得出最終結(jié)果．規(guī)律方法在異面直線上取兩個向量,就兩異面直線所成角的問題可轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角問題．需留意的是：轉(zhuǎn)化前后的兩個角的關(guān)系可能相等也可能互補六．小結(jié)（1）夾角、空間向量數(shù)量積、運算律（2）夾角、距離的求法〔五〕課后鞏固:→ → → → → →1.已知空間四邊形 ABCD,求AB·CD＋BC·AD