數(shù)值分析內(nèi)容提要課件

一、基本內(nèi)容及基本要求

第一章、緒論了解數(shù)值分析的研究對(duì)象與特點(diǎn)。了解誤差來源與分類,會(huì)求有效數(shù)字;會(huì)簡單誤差估計(jì)。了解誤差的定性分析及避免誤差危害。

第二章、插值法了解插值的概念。掌握拉格朗日(Lagrange)插值法及其余項(xiàng)公式。了解均差的概念及基本性質(zhì)，掌握牛頓插值法。了解差分的概念，會(huì)牛頓前插公式、后插公式。會(huì)埃爾米特(Hermite)插值及其余項(xiàng)公式。知道高次插值的病態(tài)性質(zhì),會(huì)分段線性插值和分段埃爾米特插值及其誤差和收斂性。會(huì)三次樣條插值,知道其誤差和收斂性。第三章、函數(shù)逼近與曲線擬合了解函數(shù)逼近的基本概念,了解范數(shù)和內(nèi)積空間。了解正交多項(xiàng)式的概念,了解切比雪夫多項(xiàng)式和勒讓德多項(xiàng)式以及它們的性質(zhì),知道其他常用正交多項(xiàng)式。理解最佳一致逼近的概念,理解最佳平方逼近的概念,掌握最佳平方逼近多項(xiàng)式的求法,了解用正交多項(xiàng)式做最佳平方逼近的方法。掌握曲線擬合的最小二乘法并會(huì)計(jì)算,了解用正交多項(xiàng)式做最小二乘擬合。了解最小二乘三角逼近與快速傅里葉變換*。CH4數(shù)值積分與數(shù)值微分基本內(nèi)容及基本要求

了解數(shù)值求積的基本思想、代數(shù)精度的概念、插值型求積公式及其代數(shù)精度、求積公式的收斂性和穩(wěn)定性。掌握牛頓-柯特斯公式及其性質(zhì)和余項(xiàng)。掌握復(fù)化梯形公式和復(fù)化辛普森公式及其余項(xiàng)。了解龍貝格(Romberg)求積算法，知道外推法。會(huì)高斯求積公式,了解高斯-勒讓德求積公式和高斯-切比雪夫求積公式。了解幾種常用的數(shù)值微分方法。

CH5、解線性方程組的直接方法基本內(nèi)容及基本要求了解求解方程組的兩類方法,了解矩陣基礎(chǔ)知識(shí)。掌握高斯消去法,會(huì)矩陣的三角分解。掌握高斯列主元素消去法,了解高斯-若當(dāng)消去法。掌握直接三角分解法,了解平方根法,會(huì)追趕法,了解有關(guān)結(jié)論。了解向量和矩陣的幾種范數(shù)。了解矩陣和方程組的性態(tài),會(huì)求其條件數(shù)。會(huì)初等反射陣和平面旋轉(zhuǎn)陣,了解QR分解,了解用正交約化法解超定方程組。一、解線性方程組的迭代法

CH6線性方程組迭代解法了解迭代法及其收斂性的概念。掌握雅可比(Jacobi)迭代法、高斯-賽德爾(Gauss-Seidel)迭代法和超松弛(SOR)迭代法。3.了解一階定常迭代法的基本定理，掌握特殊方程組迭代法的收斂條件。4.掌握共軛梯度法。5.知道分塊迭代法。CH7、非線性方程求根

基本內(nèi)容及基本要求了解求根問題和二分法。了解不動(dòng)點(diǎn)迭代法,及不動(dòng)點(diǎn)存在性和迭代收斂性；了解收斂階的概念和有關(guān)結(jié)論。3.了解加速迭代收斂的埃特金方法和斯蒂芬森方法。4.掌握牛頓法及其收斂性、了解簡化牛頓法和牛頓法下山法,了解重根情形。5.掌握弦截法，了解拋物線法。6.了解非線性方程組的迭代解法。

CH8、矩陣特征值問題計(jì)算

了解特征值和特征向量的概念和性質(zhì),

了解圓盤定理、Schur定理和Rayleigh商。2.掌握乘冪法，了解其加速收斂技術(shù),會(huì)反冪法。3.了解豪斯霍爾德方法。4.了解QR方法?；緝?nèi)容及基本要求

第九章常微分方程初值問題數(shù)值解法關(guān)鍵詞：歐拉法、后退歐拉法、梯形法、顯式法、隱式法、（2、3、4階）龍格庫塔法、單步法、線性多步法、ADAMS法、預(yù)測-校正法、相容性、收斂性、穩(wěn)定性（判別法）、收斂階、局部截?cái)嗾`差、全局截?cái)嗾`差、剛性方程二、數(shù)值分析內(nèi)容提要第1章緒論一、定理

設(shè)的近似值有位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差限反之，若其相對(duì)誤差限滿足：，則有位有效數(shù)字。二、誤差限的運(yùn)算：

三、誤差的傳播四、穩(wěn)定性

第2章插值法常用的代數(shù)插值公式有：拉格朗日型

和牛頓型公式

插值余項(xiàng)為其中

2．埃爾米特插值公式為

其中

的表達(dá)式同拉格朗日型公式中的基函數(shù)。

插值余項(xiàng)為

3．三次樣條插值多項(xiàng)式，詳見教材。第3章函數(shù)逼近與曲線擬合1、函數(shù)逼近的概念。設(shè)中一組線性無關(guān)的函數(shù)，在某種范數(shù)意義下距離最近，即則稱為某范數(shù)在意義下的最佳逼近函數(shù)。特別當(dāng)范數(shù)為時(shí)，分別為最佳平方逼近和最佳一致逼近。第4章數(shù)值積分與數(shù)值微分第5章解線性方程直接法第6章解線性方程迭代法雅可比迭代法計(jì)算公式：對(duì)k=0,1,…,高斯—塞德爾迭代法計(jì)算公式：對(duì)k=0,1,…,SOR迭代法的計(jì)算公式:對(duì)k=0,1,…,定理7若矩陣A按行(或列)嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu),或按行(或列)弱對(duì)角占優(yōu)不可約；則Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代都收斂。定理9對(duì)于線性方程組Ax=b，若A為對(duì)稱正定矩陣，則當(dāng)0<ω<2時(shí)，SOR迭代收斂.

定理10對(duì)于線性代數(shù)方程組Ax=b，若A按行(或列)嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，或按行(或列)弱對(duì)角占優(yōu)不可約；則當(dāng)0<w≤1時(shí)，SOR迭代收斂。第7章非線性方程求根第8章矩陣特征值問題計(jì)算反冪法計(jì)算公式:本章討論形如的初值問題的數(shù)值解法，其中f（x,y）是已知連續(xù)函數(shù)，為給定的初值，假設(shè)該初值問題的解存在唯一。

第9章常微分方程數(shù)值解法單步法歐拉（Euler）法及其改進(jìn)形式向前歐拉公式（歐拉折線法或歐拉顯格式）

其中h為步長，該方法的局部截?cái)嗾`差階為O（h2），是一階方法。2.向后歐拉公式（后退歐拉公式）

3.梯形公式（歐拉公式的改進(jìn)）

這是二階隱格式方法。實(shí)用中常按下述爹帶進(jìn)行求解：

該方法是二階方法；如果關(guān)于k僅迭代一步，并換則稱該方法為歐拉預(yù)估—校正方法。2.顯式龍格-庫塔方法（Runge-Kutta）方法,一般形式為：

其中Ci為待定權(quán)因子，滿足m為所使用的f值的個(gè)數(shù)，a1=0，ai（i≠