【教學(xué)資料精創(chuàng)】坐標(biāo)系與參數(shù)方程 講義-高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第PAGE31/共31頁選修4－4坐標(biāo)系與參數(shù)方程第一節(jié)坐標(biāo)系一、基礎(chǔ)知識(shí)1．平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換設(shè)點(diǎn)P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝λ·xλ＞0，,y′＝μ·yμ＞0))的作用下，點(diǎn)P(x，y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P′(x′，y′)，稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡(jiǎn)稱伸縮變換．2．極坐標(biāo)系的概念(1)極坐標(biāo)系如圖所示，在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)；自極點(diǎn)O引一條射線Ox，叫做極軸；再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位、一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針方向)，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系．(2)極坐標(biāo)①極徑：設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離|OM|叫做點(diǎn)M的極徑，記為ρ.②極角：以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點(diǎn)M的極角，記為θ.eq\a\vs4\al(③極坐標(biāo)：有序數(shù)對(duì)ρ，θ叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記為Mρ，θ.,一般不作特殊說明時(shí)，我們認(rèn)為ρ≥0，θ可取任意實(shí)數(shù).)3．極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)是(ρ，θ)，則它們之間的關(guān)系為：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ；))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ2＝x2＋y2，,tanθ＝\f(y,x)x≠0.))4．簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程曲線極坐標(biāo)方程圓心為極點(diǎn)，半徑為r的圓ρ＝r(0≤θ<2π)圓心為(r,0)，半徑為r的圓ρ＝2rcosθeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)≤θ≤\f(π,2)))圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r，\f(π,2)))，半徑為r的圓ρ＝2rsinθ(0≤θ<π)過極點(diǎn)，傾斜角為α的直線θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)過點(diǎn)(a,0)，與極軸垂直的直線ρcosθ＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)<θ<\f(π,2)))過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(π,2)))，與極軸平行的直線ρsinθ＝a(0<θ<π)考點(diǎn)一平面直角坐標(biāo)系下圖形的伸縮變換[典例]求雙曲線C：x2－eq\f(y2,64)＝1經(jīng)過φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝3x，,2y′＝y(tǒng)))變換后所得曲線C′的焦點(diǎn)坐標(biāo)．[解題技法]伸縮變換后方程的求法平面上的曲線y＝f(x)在變換φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝λxλ>0，,y′＝μyμ>0))的作用下的變換方程的求法是將eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x′,λ)，,y＝\f(y′,μ)))代入y＝f(x)，得eq\f(y′,μ)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x′,λ)))，整理之后得到y(tǒng)′＝h(x′)，即為所求變換之后的方程．[提醒]應(yīng)用伸縮變換時(shí)，要分清變換前的點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)與變換后的坐標(biāo)(x′，y′)．[題組訓(xùn)練]1．若函數(shù)y＝f(x)的圖象在伸縮變換φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2x，,y′＝3y))的作用下得到曲線的方程為y′＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x′＋\f(π,6)))，求函數(shù)y＝f(x)的最小正周期．2．將圓x2＋y2＝1變換為橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的一個(gè)伸縮變換公式φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝λx，,y′＝μy))(λ，μ>0)，求λ，μ的值．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化)[典例]在極坐標(biāo)系中，直線l的方程為ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝2，曲線C的方程為ρ＝4cosθ，求直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)．[解題技法]1．極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化方法(1)直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程：將公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入直角坐標(biāo)方程并化簡(jiǎn)即可．(2)極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程：通過變形，構(gòu)造出形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，再應(yīng)用公式進(jìn)行代換．其中方程的兩邊同乘以(或同除以)ρ及方程兩邊平方是常用的變形技巧．2．極角的確定由tanθ確定角θ時(shí)，應(yīng)根據(jù)點(diǎn)P所在象限取最小正角．(1)當(dāng)x≠0時(shí)，θ角才能由tanθ＝eq\f(y,x)按上述方法確定．(2)當(dāng)x＝0時(shí)，tanθ沒有意義，這時(shí)可分三種情況處理：當(dāng)x＝0，y＝0時(shí)，θ可取任何值；當(dāng)x＝0，y>0時(shí)，可取θ＝eq\f(π,2)；當(dāng)x＝0，y<0時(shí)，可取θ＝eq\f(3π,2).[題組訓(xùn)練]1．(鄭州質(zhì)檢)在極坐標(biāo)系下，已知圓O：ρ＝cosθ＋sinθ和直線l：ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)(ρ≥0,0≤θ＜2π)．(1)求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)當(dāng)θ∈(0，π)時(shí)，求直線l與圓O的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)．2．已知圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ＝2，ρ2－2eq\r(2)ρ·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝2.(1)求圓O1和圓O2的直角坐標(biāo)方程；(2)求經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三曲線的極坐標(biāo)方程的應(yīng)用)[典例](全國(guó)卷Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcosθ＝4.(1)M為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OM上，且滿足|OM|·|OP|＝16，求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；[解題技法]1．求簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程的方法(1)設(shè)點(diǎn)M(ρ，θ)為曲線上任意一點(diǎn)，由已知條件，構(gòu)造出三角形，利用三角函數(shù)及正、余弦定理求解|OM|與θ的關(guān)系．(2)先求出曲線的直角坐標(biāo)方程，再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的變換公式，把直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程．2．利用極坐標(biāo)系解決問題的技巧(1)用極坐標(biāo)系解決問題時(shí)要注意題目中的幾何關(guān)系，如果幾何關(guān)系不容易通過極坐標(biāo)表示時(shí)，可以先化為直角坐標(biāo)方程，將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題加以解決．(2)已知極坐標(biāo)方程解答最值問題時(shí)，通?？赊D(zhuǎn)化為三角函數(shù)模型求最值問題，其比直角坐標(biāo)系中求最值的運(yùn)算量?。甗提醒]在曲線的方程進(jìn)行互化時(shí)，一定要注意變量的范圍，注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性．[題組訓(xùn)練]1．(青島質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosφ，,y＝1＋sinφ))(其中φ為參數(shù))．以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．(1)求圓C的極坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線l的極坐標(biāo)方程是ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＝2，射線OM：θ＝eq\f(π,6)與圓C的交點(diǎn)為P，與直線l的2．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2＝eq\f(9,cos2θ＋9sin2θ)，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系．(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)A，B為曲線C上兩點(diǎn)，若OA⊥OB，求eq\f(1,|OA|2)＋eq\f(1,|OB|2)的值．eq\a\vs4\al([課時(shí)跟蹤檢測(cè)])1．在極坐標(biāo)系中，求直線ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))＝1與圓ρ＝4sinθ的交點(diǎn)的極坐標(biāo)．2．在極坐標(biāo)系中，已知圓C經(jīng)過點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,4)))，圓心為直線ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝－eq\f(\r(3),2)與極軸的交點(diǎn)，求圓C的極坐標(biāo)方程．3．在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為(x－eq\r(3))2＋(y＋1)2＝9，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．(1)求圓C的極坐標(biāo)方程；(2)直線OP：θ＝eq\f(π,6)(ρ∈R)與圓C交于點(diǎn)M，N，求線段MN的長(zhǎng)．4．在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝1，M，N分別為C與x軸，y軸的交點(diǎn)．(1)求C的直角坐標(biāo)方程，并求M，N的極坐標(biāo)；(2)設(shè)MN的中點(diǎn)為P，求直線OP的極坐標(biāo)方程．5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程為(x－eq\r(3))2＋(y－2)2＝4，直線C2的方程為y＝eq\f(\r(3),3)x，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．(1)求曲線C1和直線C2的極坐標(biāo)方程；(2)若直線C2與曲線C1交于P，Q兩點(diǎn)，求|OP|·|OQ|的值．6．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的方程為(x－3)2＋(y－4)2＝25.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；(2)設(shè)l1：θ＝eq\f(π,6)，l2：θ＝eq\f(π,3)，若l1，l2與曲線C分別交于異于原點(diǎn)的A，B兩點(diǎn)，求△AOB的面積．7．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝tsinα))(t為參數(shù)，t≠0)，其中0≤α＜π.在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2eq\r(3)cosθ.(1)求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；(2)若C1與C2相交于點(diǎn)A，C1與C3相交于點(diǎn)B，求|AB|的最大值．8．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C1的普通方程為x2＋y2＋2x－4＝0，曲線C2的方程為y2＝x，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．(1)求曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程；(2)求曲線C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)，其中ρ≥0,0≤θ<2π.

第二節(jié)參數(shù)方程一、基礎(chǔ)知識(shí)1．曲線的參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ft，,y＝gt，))并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值，由這個(gè)方程組所確定的點(diǎn)M(x，y)都在這條曲線上，那么這個(gè)方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x，y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)．相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程F(x，y)＝0叫做普通方程．2．參數(shù)方程和普通方程的互化(1)參數(shù)方程化普通方程：利用兩個(gè)方程相加、減、乘、除或者代入法消去參數(shù)．(2)普通方程化參數(shù)方程：如果x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y＝g(t)，則得曲線的參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ft，,y＝gt.))3．直線、圓、橢圓的參數(shù)方程(1)過點(diǎn)M(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y(tǒng)0＋tsinα))(t為參數(shù))．直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式的應(yīng)用過點(diǎn)M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y(tǒng)0＋tsinα.))若M1，M2是l上的兩點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t1，t2，則①|(zhì)M1M2|＝|t1－t2|.②若線段M1M2的中點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t，則t＝eq\f(t1＋t2,2)，中點(diǎn)M到定點(diǎn)M0的距離|MM0|＝|t|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(t1＋t2,2))).③若M0為線段M1M2的中點(diǎn)，則t1＋t2＝0.④|M0M1||M0M2|＝|t1t2|.(2)圓心在點(diǎn)M0(x0，y0)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋rcosθ，,y＝y(tǒng)0＋rsinθ))(θ為參數(shù))．(3)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ，,y＝bsinφ))(φ為參數(shù))．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一參數(shù)方程與普通方程的互化)[典例]已知直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a－2t，,y＝－4t))(t為參數(shù))，圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4cosθ，,y＝4sinθ))(θ為參數(shù))．(1)求直線l和圓C的普通方程；(2)若直線l與圓C有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[解題技法]將參數(shù)方程化為普通方程的方法將參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征，選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒ǎＲ姷南麉⒎椒ㄓ校捍胂麉⒎?、加減消參法、平方消參法等，對(duì)于含三角函數(shù)的參數(shù)方程，常利用同角三角函數(shù)關(guān)系式消參(如sin2θ＋cos2θ＝1等)．[提醒]將參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，要注意兩種方程的等價(jià)性，防止增解．[題組訓(xùn)練]1．將下列參數(shù)方程化為普通方程．(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)et＋e－t，,y＝\f(1,2)et－e－t))(t為參數(shù))．(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2tan2θ，,y＝2tanθ))(θ為參數(shù))．2.如圖，以過原點(diǎn)的直線的傾斜角θ為參數(shù)，求圓x2＋y2－x＝0的參數(shù)方程．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二參數(shù)方程的應(yīng)用)[典例]已知過點(diǎn)P(m,0)的直線l的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝m＋\f(\r(3),2)t，,y＝\f(1,2)t))(t為參數(shù))，以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cosθ.(1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線l和曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且|PA|·|PB|＝2，求實(shí)數(shù)m的值．[解題技法]1．應(yīng)用直線參數(shù)方程的注意點(diǎn)在使用直線參數(shù)方程的幾何意義時(shí)，要注意參數(shù)前面的系數(shù)應(yīng)該是該直線傾斜角的正、余弦值，否則參數(shù)不具備該幾何含義．2．圓和圓錐曲線參數(shù)方程的應(yīng)用有關(guān)圓或圓錐曲線上的動(dòng)點(diǎn)距離的最大值、最小值以及取值范圍的問題，通常利用它們的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最大值、最小值求解，掌握參數(shù)方程與普通方程互化的規(guī)律是解此類題的關(guān)鍵．[題組訓(xùn)練]1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)cosα，,y＝sinα))(α為參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\r(2).(1)求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)P為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到C2的距離的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．2．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝4sinθ))(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcosα，,y＝2＋tsinα))(t為參數(shù))．(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程；(2)若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，求l的斜率．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三極坐標(biāo)、參數(shù)方程的綜合應(yīng)用)[典例]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－5＋\r(2)cost，,y＝3＋\r(2)sint))(t為參數(shù))，在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為eq\f(\r(2),2)ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝－1.(1)求圓C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線l與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是圓C上任一點(diǎn)，求A，B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)和△PAB面積的最小值．[解題技法]極坐標(biāo)、參數(shù)方程綜合問題的解題策略(1)求交點(diǎn)坐標(biāo)、距離、線段長(zhǎng)．可先求出直角坐標(biāo)系方程，然后求解．(2)判斷位置關(guān)系．先轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)方程，然后再作出判斷．(3)求參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程綜合問題．一般是先將方程化為直角坐標(biāo)方程，利用直角坐標(biāo)方程來研究問題．[題組訓(xùn)練]1．在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1：ρ2－4ρcosθ＋3＝0，θ∈[0,2π]，曲線C2：ρ＝eq\f(3,4sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ)))，θ∈[0,2π]．(1)求曲線C1的一個(gè)參數(shù)方程；(2)若曲線C1和曲線C2相交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的值．2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcosφ，,y＝\r(3)＋tsinφ))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t為參數(shù)，φ∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知圓C的圓心C的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))，半徑為2，直線l與圓C交于M，N兩點(diǎn)．(1)求圓C的極坐標(biāo)方程；(2)當(dāng)φ變化時(shí)，求弦長(zhǎng)|MN|的取值范圍．eq\a\vs4\al([課時(shí)跟蹤檢測(cè)])1．若直線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝tsinα))(t為參數(shù))與圓eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4＋2cosθ，,y＝2sinθ))(θ為參數(shù))相切，求直線的傾斜角α.2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－8＋t，,y＝\f(t,2)))(t為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2s2，,y＝2\r(2)s))(s為參數(shù))，設(shè)P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最小值．3．已知P為半圓C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數(shù)，0≤θ≤π)上的點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M在射線OP上，線段OM與C的弧AP的長(zhǎng)度均為eq\f(π,3).(1)以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求點(diǎn)M的極坐標(biāo)；(2)求直線AM的參數(shù)方程．4.以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1,2)，點(diǎn)C的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,2)))，若直線l過點(diǎn)P，且傾斜角為eq\f(π,6)，圓C以點(diǎn)C為圓心，3為半徑．(1)求直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|·|PB|.5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cost，,y＝2sint＋2))(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；(2)若直線l1，l2的極坐標(biāo)方程分別為θ1＝eq\f(π,6)(ρ1∈R)，θ2＝eq\f(2π,3)(ρ2∈R)，設(shè)直線l1，l2與曲線C的交點(diǎn)分別為O，M和O，N，求△OMN的面積．6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數(shù))，過點(diǎn)(0，－eq\r(2))且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A，B兩點(diǎn)．(1)求α的取值范圍；(2)求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程．7．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝m＋t))(t為參數(shù)，m∈R)，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2＝eq\f(3,3－2cos2θ)(0≤θ≤π)．(1)寫出曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；(2)已知點(diǎn)P是曲線C2上一點(diǎn)，若點(diǎn)P到曲線C1的最小距離為2eq\r(2)，求m的值．8．已知直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcosθ，,y＝tsinθ))(t為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)cosα，,y＝sinα))(α為參數(shù))，且直線l交曲線C于A，B兩點(diǎn)．(1)將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程，并求θ＝eq\f(π,3)時(shí)，|AB|的值；(2)已知點(diǎn)P(1,0)，求當(dāng)直線l的傾斜角θ變化時(shí)，|PA|·|PB|的取值范圍．選修4－5不等式選講第一節(jié)絕對(duì)值不等式一、基礎(chǔ)知識(shí)1．絕對(duì)值三角不等式定理1：如果a，b是實(shí)數(shù)，則|a＋b|≤|a|＋|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí)，等號(hào)成立．定理2：如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，當(dāng)且僅當(dāng)(a－b)(b－c)≥0時(shí)，等號(hào)成立．↓|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，當(dāng)且僅當(dāng)|a|≥|b|且ab≥0時(shí)，左邊等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)ab≤0時(shí)，右邊等號(hào)成立.2．絕對(duì)值不等式的解法(1)|x|<a與|x|>a型不等式的解法不等式a>0a＝0a<0|x|<aeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－a<x<a))??|x|>a{x|x>a或x<－a}{x|x∈R且x≠0}R(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：①|(zhì)ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c.|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法及體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想①利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；②利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；③通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一絕對(duì)值不等式的解法)[典例](2016·全國(guó)卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(1)畫出y＝f(x)的圖象；(2)求不等式|f(x)|>1的解集．[題組訓(xùn)練]1．解不等式|x＋1|＋|x－1|≤2.．2．已知函數(shù)f(x)＝|x－a|＋3x，其中a∈R.(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f(x)≥3x＋|2x＋1|的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集為{x|x≤－1}，求a的值．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二絕對(duì)值不等式性質(zhì)的應(yīng)用)[典例](2019·湖北五校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|，x∈R.(1)解不等式f(x)<|x|＋1；(2)若對(duì)x，y∈R，有|x－y－1|≤eq\f(1,3)，|2y＋1|≤eq\f(1,6)，求證：f(x)<1.[解題技法]絕對(duì)值不等式性質(zhì)的應(yīng)用利用不等式|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)和|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)，通過確定適當(dāng)?shù)腶，b，利用整體思想或使函數(shù)、不等式中不含變量，可以求最值或證明不等式．[題組訓(xùn)練]1．求函數(shù)f(x)＝|x＋2019|－|x－2018|的最大值．2．若x∈[－1,1]，|y|≤eq\f(1,6)，|z|≤eq\f(1,9)，求證：|x＋2y－3z|≤eq\f(5,3).eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三絕對(duì)值不等式的綜合應(yīng)用)[典例]已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|.(1)解關(guān)于x的不等式f(x)－f(x＋1)≤1；(2)若關(guān)于x的不等式f(x)<m－f(x＋1)的解集不是空集，求m的取值范圍．[解題技法]兩招解不等式問題中的含參問題(1)轉(zhuǎn)化①把存在性問題轉(zhuǎn)化為求最值問題；②不等式的解集為R是指不等式的恒成立問題；③不等式的解集為?的對(duì)立面也是不等式的恒成立問題，此類問題都可轉(zhuǎn)化為最值問題，即f(x)＜a恒成立?a＞f(x)max，f(x)＞a恒成立?a＜f(x)min.(2)求最值求含絕對(duì)值的函數(shù)最值時(shí)，常用的方法有三種：①利用絕對(duì)值的幾何意義；②利用絕對(duì)值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||；③利用零點(diǎn)分區(qū)間法．[題組訓(xùn)練]1．(2018·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若f(x)≤1，求a的取值范圍．2．(已知函數(shù)f(x)＝|x＋m|＋|2x－1|(m∈R)，若關(guān)于x的不等式f(x)≤|2x＋1|的解集為A，且eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，2))?A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．eq\a\vs4\al([課時(shí)跟蹤檢測(cè)])1．求不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6的解集．2．已知函數(shù)f(x)＝|x－4|＋|x－a|(a∈R)的最小值為a.(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)解不等式f(x)≤5.3．已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f(x)>1的解集；(2)若x∈(0,1)時(shí)不等式f(x)>x成立，求a的取值范圍．4．設(shè)函數(shù)f(x)＝|3x－1|＋ax＋3.(1)若a＝1，解不等式f(x)≤4；(2)若f(x)有最小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．5．(2019·貴陽適應(yīng)性考試)已知函數(shù)f(x)＝|x－2|－|x＋1|.(1)解不等式f(x)>－x；(2)若關(guān)于x的不等式f(x)≤a2－2a的解集為R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．6．已知函數(shù)f(x)＝|x－a|＋|x＋1|.(1)若a＝2，求不等式f(x)＞x＋2的解集；(2)如果關(guān)于x的不等式f(x)＜2的解集不是空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．7．已知函數(shù)f(x)＝|2x－a|＋a.(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求不等式f(x)≤6的解集；(2)設(shè)函數(shù)g(x)＝|2x－1|.當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范圍．8．設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－1|，x∈R.(1)求不等式f(x)≤3－f(x－1)的解集；(2)已知關(guān)于x的不等式f(x)≤f(x＋1)－|x－a|的解集為M，若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))?M，求實(shí)數(shù)a的取值第二節(jié)不等式的證明一、基礎(chǔ)知識(shí)1．基本不等式(1)定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．(2)定理2：如果a，b＞0，那么eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立，即兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均不小于(即大于或等于)它們的幾何平均．(3)定理3：如果a，b，c∈R＋，那么eq\f(a＋b＋c,3)≥eq\r(3,abc)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，等號(hào)成立．2．比較法(1)作差法的依據(jù)是：a－b＞0?a＞b.(2)作商法：若B＞0，欲證A≥B，只需證eq\f(A,B)≥1.3．綜合法與分析法(1)綜合法：一般地，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立．(2)分析法：從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)(定義，公理或已證明的定理，性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一比較法證明不等式)[典例]已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，M為不等式f(x)＜2的解集．(1)求M；(2)證明：當(dāng)a，b∈M時(shí)，|a＋b|＜|1＋ab|.[題組訓(xùn)練]1．當(dāng)p，q都是正數(shù)且p＋q＝1時(shí)，求證：(px＋qy)2≤px2＋qy2.2．求證：當(dāng)a>0，b>0時(shí)，aabb≥(ab).eq\a\vs4\al