專題06 考前必做難題30題（第01期）高考數(shù)學(xué)走出題海之黃金30題系列（江蘇版）

2015年高考數(shù)學(xué)走出題海之黃金30題系列專題04考前必做難題30題第一期1．設(shè)角的終邊在第一象限，函數(shù)的定義域為，且，當(dāng)時，有，則使等式成立的的集合為．【答案】【解析】試題分析：令得：，令得：，由得：，又角的終邊在第一象限，所以因而的集合為.2．中，角所對的邊分別為，下列命題正確的是________（寫出正確命題的編號）.①若最小內(nèi)角為，則；②若，則；③存在某鈍角，有；④若，則的最小角小于；⑤若，則.【答案】①④⑤【解析】對①，因為最小內(nèi)角為，所以，，故正確；對②，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得，，當(dāng)時，，即，則，所以，即在上單減，由②得，即，所以，故②不正確；對③，因為，則在鈍角中，不妨設(shè)為鈍角，有，故,,③不正確；對④，由，即，而不共線，則，解得，則是最小的邊，故是最小的角，根據(jù)余弦定理，知，故④正確；對⑤，由得，所以，由②知，，即，又根據(jù)正弦定理知，即，所以，即.故①④⑤正確.3．設(shè)全集，用的子集可表示由0，1組成的6位字符串，如：表示的是第2個字符為1，第4個字符為1，其余均為0的6位字符串010100，并規(guī)定空集表示的字符串為000000．①若，則表示的6位字符串為；②若,集合表示的字符串為101001，則滿足條件的集合的個數(shù)是．【答案】100110；4【解析】試題分析：由題意表示的6位字符串為011001，故表示的6位字符串為100110；若,集合表示的字符串為101001，則集合B中必含有4，且至多含有1,3，故滿足的集合B有，，，4．已知函數(shù)的定義域為，部分對應(yīng)值如下表，的導(dǎo)函數(shù)的命題：0451221①函數(shù)的極大值點(diǎn)為，；②函數(shù)在上是減函數(shù)；③如果當(dāng)時，的最大值是2，那么的最大值為4；④當(dāng)時，函數(shù)有個零點(diǎn)。其中正確命題的個數(shù)有個.【答案】2.【解析】試題分析：①由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像知，函數(shù)的極大值點(diǎn)為，，所以①正確；②因為在上的導(dǎo)函數(shù)為負(fù)，所以函數(shù)在上是減函數(shù)，所以②正確；③由表中數(shù)據(jù)可得當(dāng)或時，函數(shù)取最大值2，若時，函數(shù)的最大值是2，那么，故的最大值為5，即③錯誤；④由知，因為極小值未知，所以無法判斷函數(shù)有幾個零點(diǎn)，故④不正確.綜上所述，正確命題的個數(shù)為2.5．設(shè)定義域為的函數(shù)若關(guān)于的函數(shù)有個不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________．【答案】【解析】試題分析：由可知,設(shè),當(dāng)且僅當(dāng)時對應(yīng)的x值有4個,因此問題可轉(zhuǎn)化為在上有兩個不同實(shí)根,結(jié)合二次函數(shù)圖像可得.6．關(guān)于方程，給出下列四個命題：①該方程沒有小于的實(shí)數(shù)解；②該方程有無數(shù)個實(shí)數(shù)解；③該方程在內(nèi)有且只有一個實(shí)數(shù)根；④若是方程的實(shí)數(shù)根，則，其中所有正確命題的序號是.【答案】②③④【解析】試題分析：①若為方程的一個解，則滿足當(dāng)為第三、四象限教師，存在，因此該方程存在小于0的實(shí)數(shù)解，①不正確，②，當(dāng)時，，而，因此與在上有無數(shù)多個交點(diǎn)，因此方程有無數(shù)個實(shí)數(shù)解，②正確；③當(dāng)時，如時，，函數(shù)與的圖象不可能相交，如時，存在唯一一個滿足，③正確；④通過上面的分析函數(shù)與的圖象在不可能有交點(diǎn)，因此只要是該方程的解，只需，④正確；本題填②③④.7．已知函數(shù)，，若對任意的，均有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】試題分析：由題意，當(dāng)時，，由于而，因此當(dāng)時，不存在最小值，故滿足題意的只能是，此時，是減函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，所以，.8．設(shè)是定義在上的增函數(shù)，且對于任意的都有恒成立．如果實(shí)數(shù)滿足不等式,那么的取值范圍是【答案】9．如圖，四邊形是邊長為1的正方形，點(diǎn)D在OA的延長線上，且，點(diǎn)為內(nèi)（含邊界）的動點(diǎn)，設(shè)，則的最大值等于.【答案】【解析】試題分析：以O(shè)為原點(diǎn)，OAD為x軸建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)滿足，由得：，所以直線過點(diǎn)B時取最大值10．在△ABC中，E為AC上一點(diǎn)，且，P為BE上一點(diǎn)，且滿足，則取最小值時，向量的模為．【答案】【解析】試題分析:解：,因為三點(diǎn)共線，設(shè),則，其中所以,，則==當(dāng)時，當(dāng)時，,在區(qū)間上是減函數(shù)當(dāng)時，，在區(qū)間上是減函數(shù)所以當(dāng)時，取得最小值，從而取得最小值，此時，所以，故答案應(yīng)填.11．已知，設(shè)為數(shù)列的最大項，則．【答案】8【解析】試題分析：因為，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以為數(shù)列的最大項，.12．給定項數(shù)為的數(shù)列，其中．若存在一個正整數(shù)，若數(shù)列中存在連續(xù)的k項和該數(shù)列中另一個連續(xù)的項恰好按次序?qū)?yīng)相等,則稱數(shù)列是“階可重復(fù)數(shù)列”．例如數(shù)列：因為與按次序?qū)?yīng)相等，所以數(shù)列是“4階可重復(fù)數(shù)列”．假設(shè)數(shù)列不是“5階可重復(fù)數(shù)列”，若在其最后一項后再添加一項0或1，均可使新數(shù)列是“5階可重復(fù)數(shù)列”，且，數(shù)列的最后一項=．【答案】1【解析】試題分析：由題意數(shù)列不是“5階可重復(fù)數(shù)列”，若在其最后一項后再添加一項0或1，均可使新數(shù)列是“5階可重復(fù)數(shù)列”，所以與按次序?qū)?yīng)相等，從而.13．如圖所示的一塊長方體木料中，已知，設(shè)為底面的中心，且，則該長方體中經(jīng)過點(diǎn)的截面面積的最小值為.【答案】【解析】試題分析：如圖所示，經(jīng)過點(diǎn)的截面為平行四邊形設(shè),則，為了求出平行四邊形的高，先求的高，由等面積法可得，又由三垂線定理可得平行四邊形的高，因此平行四邊形的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時14．如圖所示為棱長是1的正方體的表面展開圖，在原正方體中，給出下列三個結(jié)論：①點(diǎn)M到AB的距離為；②三棱錐C－DNE的體積是；③AB與EF所成的角是.其中正確結(jié)論的序號是________．【答案】①②③【解析】依題意可作出正方體的直觀圖，顯然M到AB的距離為MC＝，∴①正確，而VC－DNE＝××1×1×1＝，∴②正確，AB與EF所成的角為AB與MC所成的角，即為，∴③正確．15．已知橢圓的中心、右焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)依次為直線與軸交于點(diǎn)，則取得最大值時的值為.【答案】2【解析】試題分析：由題意得：，當(dāng)且僅當(dāng)時取最大值，又，所以16．拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．【答案】4【解析】試題分析：設(shè)，，直線方程，聯(lián)立，得，，由拋物線的性質(zhì)得，，因此，解得或，由圖可知，，因此方程，的中點(diǎn)，線段的垂直平分線，令，得，故答案為4.17．已知函數(shù)f（x）的定義域為[－1，5]，部分對應(yīng)值如表，f（x）的導(dǎo)函數(shù)y＝的圖象如圖所示，x－1045f（x）1221下列關(guān)于f（x）的命題：①函數(shù)f（x）是周期函數(shù)；②函數(shù)f（x）在[0，2]上是減函數(shù)；③如果當(dāng)x∈[－1，t]時，f（x）的最大值是2，那么t的最大值是4；④當(dāng)1＜a＜2時，函數(shù)y＝f（x）－a有4個零點(diǎn)；⑤函數(shù)y＝f（x）－a的零點(diǎn)個數(shù)可能為0，1，2，3，4．其中正確命題的序號是___________________（寫出所有正確命題的序號）．【答案】②⑤.【解析】試題分析：由導(dǎo)函數(shù)y＝的圖象分析知函數(shù)圖像如圖所示在[-1，0]，[2，4]上為單調(diào)遞增，[0，2]，[4，5]上為單調(diào)遞減，函數(shù)不是周期函數(shù)，故①不對；[0，2]上為單調(diào)遞減，故②對；當(dāng)x∈[－1，t]時，f（x）的最大值是2，而t的最大值是5，故③不對；當(dāng)1＜a＜2時，函數(shù)y＝f（x）－a不一定有4個零點(diǎn)，如圖所示可能為2個零點(diǎn)，故④不對；函數(shù)y＝f（x）－a的零點(diǎn)個數(shù)為函數(shù)與直線的交點(diǎn)個數(shù)，如圖分析可知交點(diǎn)個數(shù)可能為0，1，2，3，4，故⑤對.18．我們把形如的函數(shù)稱為冪指函數(shù)，冪指函數(shù)在求導(dǎo)時，可以利用對數(shù)法：在函數(shù)解析式兩邊取對數(shù)得，兩邊對x求導(dǎo)數(shù)，得于是，運(yùn)用此方法可以求得函數(shù)在（1，1）處的切線方程是.【答案】【解析】：試題分析：仿照題目給定的方法，所以，所以，所以，即：函數(shù)在處的切線的斜率為1，故切線方程為：，即，故答案為：．19．若滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)（1，0）處取得最小值，則a的取值范圍為_________.【答案】【解析】作出可行域如圖所示，將化成，當(dāng)時，僅在點(diǎn)（1，0）處取得最小值，即目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)（1，0）處取得最小值，解得.20．設(shè)λ>0，不等式組所表示的平面區(qū)域是W.給出下列三個結(jié)論：①當(dāng)λ＝1時，W的面積為3；②?λ>0，使W是直角三角形區(qū)域；③設(shè)點(diǎn)P(x，y)，對于?P∈W有x＋≤4.其中，所有正確結(jié)論的序號是________．【答案】①③【解析】當(dāng)λ＝1時，不等式組變成其表示由三個點(diǎn)(0,0)，(2,2)，(2，－1)圍成的三角形區(qū)域，易得W的面積為3，①正確；∵直線λx－y＝0的斜率為λ，直線x＋2λy＝0的斜率為－，λ×(－)＝－≠－1，且直線x＝2垂直于x軸，∴W不可能成為直角三角形區(qū)域，②錯誤；顯然，不等式組表示的區(qū)域是由三個點(diǎn)(0,0)，(2,2λ)，(2，－)所圍成的三角形區(qū)域，令z＝x＋，則其在三個點(diǎn)處的值依次為：0,4,2－，∴z＝x＋的最大值zmax＝4，③正確．21．已知橢圓：過點(diǎn)，離心率為.（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過的直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)，記的內(nèi)切圓的面積為，求當(dāng)取最大值時直線的方程，并求出最大值．【答案】（Ⅰ）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由題意得解得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（Ⅱ）設(shè)，的內(nèi)切圓半徑為，則所以要使取最大值，只需最大設(shè)直線的方程為將代入可得(*)恒成立，方程(*)恒有解，記在上遞減，所以當(dāng)即時，，此時.22．已知定點(diǎn)F（3，0）和動點(diǎn)P（x，y），H為PF的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足．（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；（2）過點(diǎn)F作直線與點(diǎn)P的軌跡交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C（2，0）．連接AC，BC與直線分別交于點(diǎn)M，N．試證明：以MN為直徑的圓恒過點(diǎn)F．【答案】（1），（2）證明見解析，【解析】（1）如圖取連接，，，由雙曲線定義知，點(diǎn)P的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，，的軌跡方程為：.（2）設(shè)，直線方程為，聯(lián)立整理得：，,三點(diǎn)共線，，同理,即為直徑的圓恒過點(diǎn).23．已知數(shù)列中,,,的前項和為,且滿足（）．（1）試求數(shù)列的通項公式；（2）令,是數(shù)列的前項和,證明：；（3）證明：對任意給定的,均存在,使得當(dāng)時,（2）中的恒成立．【答案】（1）；（2）見試題解析；（3）見試題解析.【解析】（1）由（）,得（）,所以（）,即（）又,所以．（2）,所以,．所以,．（3）由（2）,,因為,所以隨著的增大而增大．若,則,化簡得,因為,所以,所以,,當(dāng),即時,取即可．當(dāng),即時,記的整數(shù)部分為,取即可．綜上可知,對任意給定的,均存在,使得當(dāng)時,（2）中的恒成立．24．已知數(shù)列滿足，．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)，求證：當(dāng)，時，．【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析【解析】（1）令，則，，，，數(shù)列，即是等比數(shù)列；25．已知函數(shù)，，其中,（e≈2.718）．（1）若函數(shù)有極值1，求的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，求的取值范圍；（3）證明：．【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.【解析】（1）解：∵，∴.，則對任意的都有，即函數(shù)在上單調(diào)遞減函數(shù)在上無極值.②若，由得當(dāng)時，當(dāng)時，即函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增∴函數(shù)在處有極小值∴∴.（2）解法1：∵函數(shù)=在區(qū)間上為減函數(shù)且當(dāng)時，∴在上恒成立在上恒成立,設(shè)，則,當(dāng)時，，所以在上恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞減,∴當(dāng)時，∴.[解法2：∵函數(shù)=在區(qū)間上為減函數(shù)∴對，（）恒成立,∵∴當(dāng)時，（）式顯然成立,當(dāng)時，（）式在上恒成立設(shè)，易知在上單調(diào)遞增,∴∴綜上得.（3）證法1：由（2）知，當(dāng)時，∵對任意的有∴∴∴即[證法2：先證明當(dāng)時，令,則對任意的恒成立∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減∴當(dāng)時，∵對任意的，而∴.26．已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；（2）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若，在上存在一點(diǎn)，使得成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；（3）或.【解析】（1）當(dāng)時，，，切點(diǎn)，，，曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，即.（2），定義域為，①當(dāng)，即時，令，令，②當(dāng)，即時，恒成立，綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時，在上單調(diào)遞增．（3）由題意可知，在上存在一點(diǎn)，使得成立，即在上存在一點(diǎn)，使得，即函數(shù)在上的最小值．由第（2）問，①當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，，，，；，即時，在上單調(diào)遞增，，.③當(dāng)，即時，，，此時不存在使成立．綜上可得所求的范圍是：或．27．某市環(huán)保部門對市中心每天的環(huán)境污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后,發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合污染指數(shù)與時刻（時）的關(guān)系為,,其中是與氣象有關(guān)的參數(shù),且．若用每天的最大值為當(dāng)天的綜合污染指數(shù),并記作．（1）令,,求的取值范圍；（2）求的表達(dá)式,并規(guī)定當(dāng)時為綜合污染指數(shù)不超標(biāo),求當(dāng)在什么范圍內(nèi)時,該市市中心的綜合污染指數(shù)不超標(biāo)．【答案】（1）；（2）,.【解析】（1）當(dāng)時,；當(dāng)時,因為,所以,即的取值范圍是．（2）當(dāng)時,由（1）,令,則,所以于是,在時是關(guān)于的減函數(shù),在時是增函數(shù),因為,,由,所以,當(dāng)時,；當(dāng)時,,即由,解得．所以,當(dāng)時,綜合污染指數(shù)不超標(biāo)．28．提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度（單位：千米/小時）是車流密度（單位：輛/千米）的函數(shù)．當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0千米/小時；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時．研究表明：當(dāng)時，車流速度是車流密度的一次函數(shù)．（1）當(dāng)時，求函數(shù)的