高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論匯總(精華版)

數(shù)學(xué)1.元素與集合的關(guān)系,.xAxCAxCAxAUU2.德摩根公式.C(AB)CACB;C(AB)CACBUUUUUU3.包含關(guān)系A(chǔ)BAABBABCBCAUUACBCABRUU4.容斥原理(AB)(AB)(ABC)(AB).(AB)(BC)C)(ABC)5．集合的子集個(gè)數(shù)共有個(gè)；真子集有–1個(gè)；非空a,a,,a}22nn12n子集有–1個(gè)；非空的真子集有–2個(gè).22nn6.二次函數(shù)的解析式的三種形式(1)一般式;f(x)axbxc(a0)2(2)頂點(diǎn)式f(x)a(xh)k(a0);2(3)零點(diǎn)式.f(x)a(xx)(xx)(a0)127.解連不等式常有以下轉(zhuǎn)化形式Nf(x)MNf(x)M[()()]0fxMfxNMNMNf(x)N|f(x)022Mf(x)11.f(x)NMN8.方程f(x)0在上有且只有一個(gè)實(shí)根,與不(k,k)f(k)f(k)01212等價(jià),前者是后者的一個(gè)必要而不是充分條件.特別地,方程有且只有一個(gè)實(shí)根在內(nèi),等價(jià)于ax2bxc0(a0)(k,k)12bkk,或且,或且f(k)f(k)0f(k)0kf(k)0122a212112kkb.k2122a29.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值p,q二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值只能在f(x)axbxc(a0)2xb2a處及區(qū)間的兩端點(diǎn)處取得，具體如下：b(1)當(dāng)a>0時(shí)，若，則xp,q2abf(p),f(q；f(x)f(),f(x)2abf(pf(q，f(pf(q.，xp,q2af(x)f(x)maxmaxminminb，若(2)當(dāng)a<0時(shí)，若，則xp,qf(x)f(pf(q)2aminb，.，則xp,q2af(x)f(pf(q)f(x)f(pf(q)maxmin10.一元二次方程的實(shí)根分布f(m)f(n)0f(x)0在區(qū)間(,n)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.設(shè)，則f(x)xq2（1）方程在區(qū)間(,)內(nèi)有根的充要條件為f(m)0或f(x)040pq2；pm2（2）方程f(x)0在區(qū)間(,n)內(nèi)有根的充要條件為f(m)f(n)0或f(m)0f(n)0f(m)0f(n)0或或；402pqaf(n)0af(m)0pmn2（3）方程f(x)0在區(qū)間(,n)內(nèi)有根的充要條件為f(m)0或40pq2.pm211.定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒成立的條件依據(jù)，,,,不(1)在給定區(qū)間(,)的子區(qū)間（形如L同）上含參數(shù)的二次不等式f(x,t)0(t為參數(shù))恒成立的充要條件是.f(x,t)0(xL)min(2)在給定區(qū)間的子區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式(,)(為參數(shù))恒成立的充要條件是f(x,t)0(xL)f(x,t)0t.mana0(3)恒成立的充要條件是或f(x)axbxc00b42c0a0.24ac0b12.真值表ｐｑ非ｐ或ｐ且ｐｑ真真假真真真假真假假假真假假假真真假假真13.常見結(jié)論的否定形式原結(jié)論反設(shè)詞原結(jié)論反設(shè)詞是至少有一一個(gè)也沒有個(gè)不都是至多有一至少有兩個(gè)個(gè)不大于至少有）nn1不小于至多有）nn1，xx，xx不成立成立14.四種命題的相互關(guān)系原命題逆命題若ｐ則ｑ若ｑ則ｐ互否為逆互否逆否否命題逆否命題若非ｑ則非ｐ若非ｐ則非ｑ互逆15.充要條件（1）充分條件：若pq，則是充分條件.pq（2）必要條件：若qp，則是必要條件.pq（3）充要條件：若pq，且qp，則是充要條件.pq注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.16.函數(shù)的單調(diào)性(1)設(shè)那么xxa,b,xx1212(x)f(x)f上是增函(xx)f(x)f(x)00f(x在a,b21xx121212數(shù)；數(shù).f(x)f(x)上是減函(xx)f(x)f(x)00f(x在a,b21xx121212(2)設(shè)函數(shù)yf(x)fx為增()0()fx函數(shù)；如果，則為減函數(shù).()0fx()fx17.如果函數(shù)和都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi),和函數(shù)f(x)g(x)也是減函數(shù);如果函數(shù)和在其對(duì)應(yīng)的定義f(x)g(x)yfu)ug(x)域上都是減函數(shù),則復(fù)合函數(shù)yf[g(x)]是增函數(shù).18．奇偶函數(shù)的圖象特征奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;反過果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)．19.若函數(shù)yf(x)是偶函數(shù)，則f(xa)f(xa)；若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)，則f(xa)f(xa).20.對(duì)于函數(shù)(),f(xa)fbx)恒成立,則函數(shù)yf(x)xRab的對(duì)稱軸是函數(shù)x;兩個(gè)函數(shù)與的圖f(x)yf(xa)yfbx)2ab象關(guān)于直線x對(duì)稱.2a21.若f(x)f(xa),則函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱;(,0)2若f(x)f(xa),則函數(shù)yf(x)為周期為的周期函數(shù).2a22．多項(xiàng)式函數(shù)的奇偶性P(x)axaxann1nn10多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是奇函數(shù)的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全()Px為零.多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是偶函數(shù)P(x)的奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.23.函數(shù)yf(x)的圖象的對(duì)稱性(1)函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線xa對(duì)稱f(ax)f(ax)f(2ax)f(x).ab(2)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱yf(x)x2f(amx)fbmx)f(abmx)f(mx).24.兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱性(1)函數(shù)yf(x)與函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x0(即軸)對(duì)y稱.(2)函數(shù)yf(a)與函數(shù)yfbmx)的圖象關(guān)于直線xab2m對(duì)稱.(3)函數(shù)和的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.yf(x)yf1(x)25.若將函數(shù)yf(x)的圖象右移、上移個(gè)單位，得到函數(shù)ayf(xa)b的圖象；若將曲線f(x,y)0位，得到曲線f(xa,yb)0的圖象.26．互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系b的圖象右移、上移個(gè)單ab.f(a)bf(b)a1127.若函數(shù)yf(kxb)存在反函數(shù),則其反函數(shù)為,y[f1(x)b]k1并不是y[f1(kxb),而函數(shù)y[f128.幾個(gè)常見的函數(shù)方程是的反函數(shù).(kxb)y[f(x)b]k(1)正比例函數(shù),.f(x)f(xy)f(x)f(yf(1)c(2)指數(shù)函數(shù)(3)對(duì)數(shù)函數(shù)(4)冪函數(shù),.f(x)af(xy)f(x)f(yf(1)a0x,(xy)f(x)f(yf(a)a0,a1).f(x)logxfa,.f(x)xf(xy)f(x)f(y),f(1)'(5)余弦函數(shù),正弦函數(shù)，f(x)xg(x)x，f(xy)f()f(y)g(x)g(y)g(x)f(0)1,lim1.xx029.幾個(gè)函數(shù)方程的周期(約定a>0)（1）f(x)f(xa)，則的周期T=a；f(x)（2）f(x)f(xa)0，1或f(xa)(f(x)0)，f(x)或f(x)1(f()0),f()或1,則的周期T=2a；f(x)f(x)f(xa),(f(x)0,1)f(x)21(3)f(x)1，則的周期T=3a；(f(x)0)()fxf(xa)f(x)f(x)(4)且，f(xx)f(a)1(f(x)f(x)1,0|xx2a)121f(x)f(x)12121212則的周期T=4a；f(x)(5)f()f(x)f(x)f(x)f(x),則的周期T=5a；f()f(x)f(x)f(x)f(x)()fx(6)f(xa)f(x)f(xa)，則的周期T=6a.f(x)30.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪1(1)m（a0,m,nN，且）.n1annam1(2)anm（a，且）.mnN0,,1nman31．根式的性質(zhì)（1）.(a)ann（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；nnanaa,a0當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.nna|ana,a032．有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1)(2)(3).aaa(a0,r,sQ)rsrs.(a)a(a0,r,sQ)rsrs.(ab)ab(a0,b0,rQ)rrr注：若a＞0，p是一個(gè)無理數(shù)，則a表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．上p述有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于無理數(shù)指數(shù)冪都適用.33.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式logNbaN(a0,a1,Nb.a34.對(duì)數(shù)的換底公式N(a0,且,,且,).Na1m0m1N0maamn推論(,且a1,,n0,且m1,,logblogba0n1nmmaaN0).35．對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則(1)log(MN)logMlogN;aaa(2)logM;logMlogNNaaa(3).logMnlogM(nR)naa36.設(shè)函數(shù)f(x)log(ax2bxc)(a0),記b24.若f(x)的m定義域?yàn)?則a0，且;若f(x)的值域?yàn)?則a0，且0.R0R對(duì)于a0的情形,需要單獨(dú)檢驗(yàn).37.對(duì)數(shù)換底不等式及其推廣1若,,,,則函數(shù)ylog(bx)axa0b0x0xa11(1)當(dāng)ab時(shí),在(2)當(dāng)ab時(shí),在和上為增函數(shù).為減函數(shù).(0,)(,)ylog(bx)axa1a1和上(0,)(,)ylog(bx)ax，aa推論:設(shè)，，，且，則nm1p0a0a1（1）.log(np)lognmpmmn（2）logmlognlog2.2aaa38.平均增長率的問題如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為的總px產(chǎn)值，有.yyN(1p)x39.數(shù)列的同項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系s,n1ana}的前n項(xiàng)的和為saaan).1(數(shù)列ss,n2n12nnn140.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；aa(nddnad(nN)n*11其前n項(xiàng)和公式為n(aa)nan(n1)dsn1n221d1.n(ad)n222141.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式a；*aaqq(nN)nn11n1q其前n項(xiàng)的和公式為(1)aqn,q11s1qnna,q11aaq1或n,q1.s1qnna,q1142.等比差數(shù)列:的通項(xiàng)公式為aaqad,ab(q0)nn11nb(nd,q1；anbqndbq()d,q1n1q1其前n項(xiàng)和公式為nbn(nd,(q1).s1qnddb),(q1)n1qq11q43.分期付款(按揭貸款)每次還款xabb)n元(貸款元,次還清,每期利率為).anbb)1n44．常見三角不等式（1）若，則sinxxtanx.x(0,)2(2)若，則1xx2.x(0,)2(3)|x||x1.45.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin，=，tancot1.1tan22cos46.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式n(1)sin,2nsin()2n1(1)cos,2n(1)cos,2cos(n)2n1(1)sin,247.和角與差角公式;)sincoscossin;)cossin.)1)sin()sinsin(平方正弦公式);.222)cos()cossin2=(輔助角所在象限由點(diǎn)的象asinbcossin()ab(,)a2b2b限決定,).tana48.二倍角公式.sinsincos.21122222tan.tan1tan249.三倍角公式.sin33sin4sin4sinsin()sin()333.4cos3cos4coscos()cos()3333.3))133250.三角函數(shù)的周期公式函數(shù)，x∈R及函數(shù)，x∈R(A,ω,為yx))xy常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期；函數(shù)，yx)T(A,ω,為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期.,xkkZT251.正弦定理abc2R.sinAsinBsinC52.余弦定理;;abcbcA222bcacaB222.cab2abC22253.面積定理111（1）（c分別表示.Sahbhchh、h、h2122ababc11（2）SabsinCbcsinAcasinB2221(3)S.2(|OA||OB|)OAOB)2254.三角形內(nèi)角和定理在△ABC中，有ABCCAB)(CAB22.C22(AB)255.簡單的三角方程的通解.sinxaxk(1)arcsina(kZ,|a1)kcosxax2ka(kZ,|a1)..xaxa(kZ,aR)特別地,有.sinsink(1)(kZ)k.cos2(kZ).tan(kZ)56.最簡單的三角不等式及其解集..xaax(2ka,2ka),kZxaax(2ka,2ka),kZ.xaax(2a,2ka),kZ.xaax(2a,2a),kZ.tanxa(aR)x(karctana,k),kZ2.tanxa(aR)x(k,karctana),kZ257.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律設(shè)λ、μ為實(shí)數(shù)，那么(1)結(jié)合律：λ(μa)=(λμ)a;(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.58.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：aa(1)·b=b·（交換律）;aaaa(2)（（·b）=·b=b）;aa(3)（·c+b·c.59.平面向量基本定理如果e、e是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平12面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ、λ，使得a=λe+λe．121122不共線的向量e、e叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．1260．向量平行的坐標(biāo)表示設(shè)a=,b=，且b0，則ab(b0).(x,y)(x,y)xyxy011221221a53.與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)aa·b=|||b|cosθ．61.a·b的幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．62.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)設(shè)a=(2)設(shè)a=,b=,b=，則a+b=，則a-b=..(x,y)(x,y)(xx,yy)11221212(x,y)(x,y)(xx,yy)11221212(3)設(shè)A(4)設(shè)a=(5)設(shè)a=，B,則.(x,y)(x,y)(xx,yy)11222121，則a=.(x,yR(x,y),b=，則a·b=.(x,y)(x,y)(xxyy)1122121263.兩向量的夾角公式xxyya(=,b=).cos(,)(,)xyxy1212xyxy11222121222264.平面兩點(diǎn)間的距離公式=|ABABABdA,B(A2，B).(xx)(yy)(x,y)(x,y)22121112265.向量的平行與垂直設(shè)a=,b=，且b0，則(x,y)(x,y)1122A||bb=λa.xyxy01221aab(a0)·b=0.xxyy0121266.線段的定比分公式設(shè)，，P(x,y)是線段的分點(diǎn),是實(shí)數(shù)，且P(x,y)PPP(x,y)11122212，則12xxx121121yyy1211（）.tt11267.三角形的重心坐標(biāo)公式△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、,則△A(x,y)B(x,y)C(x,y)112233xxxyyyABC的重心的坐標(biāo)是G(1.),231233368.點(diǎn)的平移公式xxhxxh''.'OPOPPP'yykyyk''注:圖形F上的任意一點(diǎn)P(x，y)在平移后圖形上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為'F，且的坐標(biāo)為'.P(x,y)PP(h,k)'''69.“按向量平移”的幾個(gè)結(jié)論（1）點(diǎn)P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到點(diǎn)(2)函數(shù)yf(x)的圖象按向量a=.P(xh,yk)'平移后得到圖象,則C(h,k)'CC'的函數(shù)解析式為yf(xh)k.(3)圖象按向量a=平移后得到圖象,若的解析式C(h,k)CC',則的函數(shù)解析式為.yf(x)Cyf(xh)k'(4)曲線:按向量a=(h,k)平移后得到圖象,則的方C'C'Cf(x,y)0程為f(xh,yk)0.(5)向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然為m=(x,y).70.三角形五“心”向量形式的充要條件設(shè)為,B,C所對(duì)邊長分別為a,b,cOABC（1）為的外心..ABC2OAOBOC22O（2）為的重心0OABC（3）為的垂心.OABC（4）為的內(nèi)心0的的旁心.OABC（5）為.OABCA71.常用不等式：（1）a,bR(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號(hào))．(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號(hào))．a(chǎn)b222ab（2）a,bRab2（3）abcabc(a0,b0,c0).333（4）柯西不等式(ab)(cd)(acbd),a,b,c,dR.22222（5）ababab72.極值定理.已知都是正數(shù)，則有x,y（1）若積是定值，則當(dāng)時(shí)和xy有最小值；pxy2p1（2）若和xy是定值，則當(dāng)時(shí)積有最大值.xy2ss4推廣已知x,yR，則有(xy)2(xy)22xy（1）若積是定值,則當(dāng)|xy|最大時(shí),|xy|最大；當(dāng)|xy|最小時(shí),|xy|最小.（2）若和|xy|是定值,則當(dāng)|xy|最大時(shí),||最?。划?dāng)|xy|最小時(shí),||最大.73.一元二次不等式axbxc0(或0)(a0,b4ac0)22與a同號(hào)，則其解集在兩根之外；如果與異號(hào)，cac22則其解集在兩根之間.簡言之：同號(hào)兩根之外，異號(hào)兩根之間.；xxx(xx)(xx)0(xx)121212.xx,或xx(xx)(xx)0(xx)12121274.含有絕對(duì)值的不等式當(dāng)a>0時(shí)，有.xax2a2axa或.xaxaxaxa2275.無理不等式f(x)0(x)0（1）.f(x)g(x)gf(x)g(x)f(x)0f(x)0（2）（3）.f(x)g(x)g(x)0或g(x)0f(x)[g(x2f(x)0.f(x)g(x)g(x)0f(x)[g(x276.指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式(1)當(dāng)時(shí),a1;afx()a()f(x)g(x)gxf(x)0.logf(x)logg(x)g(x)0aaf(x)g(x)(2)當(dāng)0a1時(shí),;afx()a()f(x)g(x)gxf(x)0logf(x)logg(x)g(x)0aaf(x)g(x)77.斜率公式y(tǒng)y（1、）.kP(x,y)P(x,y)2xx1112222178.直線的五種方程（1）點(diǎn)斜式（2）斜截式(直線過點(diǎn)，且斜率為)．yyk(xx)lP(x,y)k11111(b為直線在y軸上的截距).yblyyxx（3）兩點(diǎn)式(1)(、yy1P(x,y)P(x,y)1yyxx22111222121()).xx12xy1bab(4)截距式(分別為直線的橫、縱截距，、b0)（5）一般式(其中A、B不同時(shí)為0).C079.兩條直線的平行和垂直(1)若①，l:ykxbl:ykxb111222l||lkk,bb;121212②.llkk11212(2)若,,且A、A、B、B都不l:AxByC0l:AxByC0121211112222為零,①ABC；ll1ABC1112222②；llAABB012121280.夾角公式kk(1).||211kk21(，,1)l:ykxbl:ykxbkk21112212ABAB(2)|.1|122AABB1212(,,).l:AxByC0l:AxByC0AABB0111122221212ll時(shí)，直線與的夾角是.直線ll1212281.到的角公式l1l2kk(1).121kk21(，,1)l:ykxbl:ykxbkk21112212ABAB(2).1122AABB1212,(,).l:AxByC0l:AxByC0AABB0111122221212ll時(shí)，直線到的角是.直線ll1212282．四種常用直線系方程(1)定點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過定點(diǎn)的直線系方程為P(x,y)000(除直線xx),其中是待定的系數(shù);經(jīng)過定點(diǎn)yyk(xx)k000的直線系方程為,其中是待定的系P(x,y)A(xx)B(yy)0A,B00000數(shù)．(2)共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過兩直線,的交點(diǎn)的直線系方程為l:AxByC0l:AxByC011112222(除)，其中λ是待定的系數(shù)．(AxByC)(AxByC)0l2111222(3)平行直線系方程：直線中當(dāng)斜率k一定而b變動(dòng)ybC0平行的直線系方程)，λ是參變量．是(00(4)垂直直線系方程：與直線AxByC0的直線系方程是0,λ是參變量．83.點(diǎn)到直線的距離|C|(點(diǎn),直線：).dP(x,y)lC000AB200284.或所表示的平面區(qū)域C00設(shè)直線l:C0，則C0或0所表示的平面區(qū)域是：若B0，當(dāng)與同號(hào)時(shí)，表示直線的上方的區(qū)域；當(dāng)BCl與異號(hào)時(shí)，表示直線的下方的區(qū)域.簡言之,同號(hào)在上,BCl異號(hào)在下.若B0，當(dāng)與同號(hào)時(shí)，表示直線的右方的區(qū)域；當(dāng)ACl與的左方的區(qū)域.簡言之,同號(hào)在右,ACl異號(hào)在左.85.或所表示的平面區(qū)域(AxByC)(AxByC)00111222設(shè)曲線（C:(AxByC)(AxByC)0AABB01112221212或所表示的平面區(qū)域是：(AxByC)(AxByC)00111222所表示的平面區(qū)域上下兩部分；所表示的平面區(qū)域上下兩部分.(AxByC)(AxByC)0111222(AxByC)(AxByC)011122286.圓的四種方程（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）圓的一般方程.2(xa)(yb)r22(＞0).xyDxEyF0DE4F2222cos（3）圓的參數(shù)方程xar.ybrsin(圓的直徑的(xx)(xx)(yy)(yy)01212端點(diǎn)是、).A(x,y)B(x,y)112287.圓系方程(1)過點(diǎn),的圓系方程是A(x,y)B(x,y)1122(xx)(xx)(yy)(yy)[(xx)(yy)(yy)(xx)]01212112112,其中)0是直(xx)(xx)(yy)(yy)(axbycaxbyc01212線的方程,λ是待定的系數(shù)．(2)過直線:與圓C:x2y2DxEyF0的交點(diǎn)的lC0圓系方程是,λ是待定的系數(shù)．與圓的交點(diǎn)的圓系方程是,λ是待定的系數(shù)．xyDxEyF(AxByC)022(3)過圓:x2yDxEyF0C21111:x2yDxEyF0C22222xyDxEyF(xyDxEyF)0222211122288.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)若與圓(xa)2(yb)2r2的位置關(guān)系有三種P(x,y)00，則2d(ax)by)200點(diǎn)在圓外;點(diǎn)在圓上;點(diǎn)在圓內(nèi).drPdrPdrP89.直線與圓的位置關(guān)系直線C0與圓(xa)2(yb)2r2的位置關(guān)系有三種:dr0;dr0;dr0.其中dAaBbC.A2B290.兩圓位置關(guān)系的判定方法設(shè)兩圓圓心分別為O，O，半徑分別為r，r，OOd121212;;drr12drr12;rrdrr1212;drr12.0drr1291.圓的切線方程(1)已知圓．xyDxEyF022①若已知切點(diǎn)在圓上，則切線只有一條，其方程是(x,y)00D(xx)E(yy)xxyyF0.002200D(xx)E(yy)當(dāng)圓外時(shí),F0表示過兩(x,y)xxyy00220000個(gè)切點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程．②過圓外一點(diǎn)的切線方程可設(shè)為，再利用相切yyk(xx)00條件求k，這時(shí)必有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線．③斜率為k的切線方程可設(shè)為ykxbb，必有兩條切線．(2)已知圓．2xyr22①過圓上的點(diǎn)的切線方程為;2P(x,y)xxyyr00000②斜率為的圓的切線方程為.kykxr1k2cosxy92.橢圓93.橢圓222的參數(shù)方程是xa.abybsinab2xy22焦半徑公式aba2b2a2a2，.e(x)e(x)1c2c94．橢圓的的內(nèi)外部xy2x202y202（1）點(diǎn)（2）點(diǎn)在橢圓2的內(nèi)部的外部..P(x,y)ab100a2b2abxy2x2y202在橢圓2P(x,y)ab10200a2b2ab95.橢圓的切線方程xy2(1)橢圓2上一點(diǎn)處的切線方程是abP(x,y)a2b200xxyy1.0a20b2xy22外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)abP(x,y)a2b200弦方程是xxyy01.0a2b2xy2（3）橢圓2與直線相切的條件是ab0Ca2b2.2AaBbc2222xy296.雙曲線2的焦半徑公式.aba2b2aa2，2|e(x)||e(x)|1c2c97.雙曲線的內(nèi)外部xy2x202y202(1)點(diǎn)(2)點(diǎn)在雙曲線2的內(nèi)部的外部..P(x,y)ab100a2b2abxy2x2y202在雙曲線2P(x,y)ab10200a2b2ab98.雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系(1）若雙曲線方程為x2y2漸近線方程：1a2b2xy22.b0yxa2b2axy0ab(2)若漸近線方程為yb雙曲線可設(shè)為xax22y2.ab2(3)若雙曲線與x22y22有公共漸近線，可設(shè)為x22y221abab（0，焦點(diǎn)在x軸上，0，焦點(diǎn)在y軸上）.99.雙曲線的切線方程xy2(1)雙曲線2上一點(diǎn)處的切線方程是所引兩條切線的a0,bP(x,y)a2b200xxyy01.0a2b2xy22外一點(diǎn)a0,bP(x,y)a2b200切點(diǎn)弦方程是xxyy01.0a2b2xy2（3）雙曲線2與直線相切的條件是a0,b0Ca2b2.AaBbc22222100.拋物線y22px的焦半徑公式p拋物線y22px(p0)焦半徑.CFx20pp過焦點(diǎn)弦長.CDxxxxp221212101.拋物線y22px上的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為Py2或(22,2)或Pptpt(,y)2pP(x,y)，其中.y22pxb2bca(x)a102.二次函數(shù)yax2的圖象是拋(a0)2ab4b2物線：（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）焦點(diǎn)的坐標(biāo)為)(,2a4ab4b14b12)y2.(,2a4a4a103.拋物線的內(nèi)外部(1)點(diǎn)在拋物線y22px(p0)的內(nèi)部.P(x,y)y2px(p0)200點(diǎn)在拋物線的外部.P(x,y)y2px(p0)y2px(p0)2200(2)點(diǎn)在拋物線y22px(p0)的內(nèi)部.P(x,y)y2px(p0)200點(diǎn)在拋物線的外部y22px(p0)y2px(p0)2.P(x,y)00(3)點(diǎn)在拋物線x22py(p0)的內(nèi)部.P(x,y)x2py(p0)200點(diǎn)在拋物線的外部x22py(p0)x2py(p0)2.P(x,y)00(4)點(diǎn)在拋物線x22py(p0)的內(nèi)部.P(x,y)x2py(p0)200點(diǎn)在拋物線的外部x22py(p0)x2py(p0)2.P(x,y)00104.拋物線的切線方程(1)拋物線y22px上一點(diǎn)y22px外一點(diǎn)處的切線方程是.P(x,y)yyp(xx)0000所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程P(x,y)00是.yy(xx)00（3）拋物線與直線C0相切的條件是y22px(p0).pB2AC2105.兩個(gè)常見的曲線系方程(1)過曲線,的交點(diǎn)的曲線系方程是f(x,y)0f(x,y)012(為參數(shù)).f(,y)f(,y)012x2y2(2)共焦點(diǎn)的有心圓錐曲線系方程,其中1a2kbk2.當(dāng)時(shí),表示橢圓;當(dāng)時(shí),表示雙曲線.2kmax{a,b}kmin{a,b}2222min{a,b}kmax{a,b}222106.直線與圓錐曲線相交的弦長公式或2AB(xx)(yy)21212|t（弦端點(diǎn)ABk)(xx)|xx|1tanyy|1co2222211212ykxbA消去y得到，,ax2bxc00(x,yB(x,y)F(x,y)01122為直線的傾斜角，為直線的斜率）.ABk107.圓錐曲線的兩類對(duì)稱問題（1）曲線F(x,y)0關(guān)于點(diǎn)P成中心對(duì)稱的曲線是(x,y)00.F(2xx,2yy)000（2）曲線F(x,y)0關(guān)于直線C0成軸對(duì)稱的曲線是2(AxByC)2B(AxByC)AB.F(x,y)0AB2222108.“四線”一方程對(duì)于一般的二次曲線xyxy，用代，AxBxyCyDxEyF0xx2x220xxyy0用代，用代，用代，用代即得方程yyyxy20002220xyxyxxyyAxxBCyyDE0F000022200中點(diǎn)弦，弦中點(diǎn)方程均是此方程得到.109．證明直線與直線的平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面平行；（4）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（5）轉(zhuǎn)化為面面平行.110．證明直線與平面的平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為線線平行；（3）轉(zhuǎn)化為面面平行.111．證明平面與平面平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為線面平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面垂直.112．證明直線與直線的垂直的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為相交垂直；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（3）轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；（4）轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.113．證明直線與平面垂直的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；（2）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；（3）轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；（4）轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面；（5）轉(zhuǎn)化為該直線與兩個(gè)垂直平面的交線垂直.114．證明平面與平面的垂直的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直.115.空間向量的加法與數(shù)乘向量運(yùn)算的運(yùn)算律(1)加法交換律：a＋b=b＋a．(2)加法結(jié)合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．(3)數(shù)乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．116.平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對(duì)角線所表示的向量.117.共線向量定理對(duì)空間任意兩個(gè)向量存在實(shí)數(shù)λ使a=λb．三點(diǎn)共線AP||ABtOP(1t)OAtOB.B、共線且不共線且AB、CD不||ABAB、CD共線.118.共面向量定理向量p與兩個(gè)不共線的向量a、b共面的存在實(shí)數(shù)對(duì),使,xy．paxby推論空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的存在有序?qū)崝?shù)對(duì),使x,y，MPxMAyMB或?qū)臻g任一定點(diǎn)O，有序?qū)崝?shù)對(duì)，使.x,yOPOMxMAyMB119.對(duì)空間任一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)A、B、C，滿足O（時(shí)，對(duì)于空間任一點(diǎn)，OPxOAyOBzOCxyzkk1O總有四點(diǎn)共面；當(dāng)時(shí)，若平面ABC，則k1OC四點(diǎn)共面；若平面ABC，則P、A、B、C四點(diǎn)不共面．O四點(diǎn)共面、C、D與、共面ACADxAByAC（平面ABC）.OD(1xy)OAxOByOCO120.空間向量基本定理如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．推論設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x，y，z，使OPxOAyOBzOC121.射影公式.a已知向量=和軸上與同方向的單位向量.作A點(diǎn)在llll上的射影，作B點(diǎn)在上的射影，則AlB''aa〈，e〉=·eA'B|AB|cos'122.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算a設(shè)＝，b＝則；；(a,a,a)(b,b,b)123123a(1)＋b＝(ab,ab,ab)112233a(2)－b＝(ab,ab,ab)112233a(3)λ＝(λ∈R)；；(a,a,a)123a(4)·b＝ababab112233123.設(shè)A，B，則(x,y,z)(x,y,z)11=1222.(xx,yy,zz)212121124．空間的線線平行或垂直設(shè)，，則a(x,y,z)b(x,y,z)111222xx12；(yyababb12zz12.abab0xxyyzz0121212125.夾角公式a設(shè)＝，b＝，則(a,a,a)(b,b,b)123123ab11ababacos〈，b〉=.2233aaabbb212223212223推論，此即三維柯西不23(ababab)(aaa)(bbb)22122232122112233等式.126.四面體的對(duì)棱所成的角四面體ABCD中,與所成的角為,則BDAC|()()|2222.2127．異面直線所成角|a,b|=|ab||xxyyzz|121212|a||b|x21y21z21x2y2z2222（其中（）為異面直線所成角，分別表示異面直線,090,abab的方向向量）b128.直線與平面所成角ABm(為平面的法向量).arcsinm|AB||m|129.若ABC所在平面若與過若的平面成的角,另兩邊,與平面成的角分別是、,為ABC的兩個(gè)內(nèi)角，則、ABACBC12.sinsin(sinAsinB)sin2222212特別地,當(dāng)時(shí),有90.sinsinsin22212130.若所在平面若與過若的平面成的角,另兩邊ABC,與平面成的角分別是、,為ABO的兩個(gè)內(nèi)角，則、ABACBC''12.tantan(sinAsinB)tan222'2'212特別地,當(dāng)時(shí),有.sinsinsin22212131.二面角的平面角larccosmn|m||n|arccosmn|m||n|或（，為平面，mn132.三余弦定理設(shè)AC是α內(nèi)的任一條直線，且BC⊥AC，垂足為C，又設(shè)AO與AB所成的角為與AC所成的角為與AC所成的角為1.2coscoscos12133.三射線定理若夾在平面角為的二面角間的線段與二面角的兩個(gè)半平面所成的角是,,與二面角的棱所成的角是θ，則有12;sinsinsinsin2sinsincos22221212(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立).|180)1212134.空間兩點(diǎn)間的距離公式若A，B，則(x,y,z)(x,y,z)111222=.2d|ABABAB()()()xx2yyzz2A,B212121135.點(diǎn)到直線距離Qlh1a||b|)(ab)2PllPA(點(diǎn)在直線上，直線的方向向量a=，2|a|向量b=).PQ136.異面直線間的距離|CDn|(，分別是d,l、CDl,l1ln|n|122上任一點(diǎn)，為間的距離).dl,l12137.點(diǎn)到平面的距離B|ABn||n|（為平面的法向量，是經(jīng)過面的一條斜線，dn）.A138.異面直線上兩點(diǎn)距離公式.dhmncos222.dhmn2mncosEA,AF222'（）.dhmn2mncosEAAF222'(兩條異面直線a、b所成的角為θ，其公垂線段的長度為h.在AA'直線a、b上分別取兩點(diǎn)E、F，139.三個(gè)向量和的平方公式,,).AEmAFnEFd'(abc)a2b2c22abbcca2a2b2c22|a||b|a,b2|b||c|,c2|c||a|c,a140.長度為的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分l別為，夾角分別為、、,則有l(wèi)、l、l123123.1sinsinsin2l2l21l22l23222222123123（立體幾何中長方體對(duì)角線長的公式是其特例）.141.面積射影定理S'.Scos(平面多邊形及其射影的面積分別是、，它們所在平面所成SS'銳二面角的為).142.斜棱柱的直截面已知斜棱柱的側(cè)棱長是,側(cè)面積和體積分別是S和V,它l斜棱柱側(cè)斜棱柱的直截面的周長和面積分別是和,則c1S1①S.cl斜棱柱側(cè)1②V.Sl斜棱柱1143．作截面的依據(jù)平行.144．棱錐的平行截面的性質(zhì)如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比．145.歐拉定理(歐拉公式)VFE2(簡單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F).（1）=各面多邊形邊數(shù)和的一半.特別地,若每個(gè)面的邊數(shù)為nE1的多邊形，則面數(shù)F與棱數(shù)E的關(guān)系：；EnF2V與棱數(shù)E的關(guān)系：m1.EmV2146.球的半徑是R，則4其體積3,VR3其表面積SR2．147.球的組合體(1)球與長方體的組合體:長方體的外接球的直徑是長方體的體對(duì)角線長.(2)球與正方體的組合體:正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長,正方體的棱切球的直徑是正方體的面對(duì)角線長,正方體的外接球的直徑是正方體的體對(duì)角線長.(3)球與正四面體的組合體:6棱長為的正四面體的內(nèi)切球的半徑為,外接球的半徑為aa6a.4148．柱體、錐體的體積1（是柱體的底面積、是柱體的高）.VShSh31（是錐體的底面積、是錐體的高）.VShSh3149.分類計(jì)數(shù)原理（加法原理）.Nmmm12n150.分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）.Nmmm12n151.排列數(shù)公式n！==;.(，∈N，且)．An(n(nmnmmn*m(nm！n注:規(guī)定.1152.排列恒等式(1）A(nm1)Am1mnnn（2）;AAmn1mnmn（3）（4）（5）;AnAm1mnn1;nAAn1Annnn1n.AAmAm1mmn1nn(6).1!233!nn!(n1)!1153.組合數(shù)公式(n(nm！An==m=(∈N，，且mn).*nmNCmnnAm12m(！mnmm154.組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)(1)=;nmCCmnn(2)+=.CCm1Cmmnnn1注:規(guī)定C.10n155.組合恒等式Cnm1Cm（1）;1mmnnn（2）（3）（4）;CCmmnmnn1n;CCm1mmn1n=;n2Crnnr0（5）.CCCCCr1rrrrrr1r2nn1(6)C0C1C2.nCC2rnnnnnn(7)C1C3C5C0C2C42n1.nnnnnn(8)C12C2C3.nCn2n1nnnnn(9).CCCCCCCr0r110rrrmnmnmnmn(10).(C)(C)(C)(C)C021222n2n2nnnnn156.排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系.ACmmnn157．單條件排列以下各條的大前提是從個(gè)元素中取個(gè)元素的排列.nmAm1AAm1nmn1n1（補(bǔ)集思想）1A（著眼位置）（著眼元素）種.AAAm1n1n1mn11m1m1n1（2）緊貼與插空（即相鄰與不相鄰）①定位緊貼：k(kmn)個(gè)元在固定位的排列有種.AAkmknkk②浮動(dòng)緊貼：個(gè)元素的全排列把k個(gè)元排在一起的排法有n種.注：此類問題常用捆綁法；Ank1Akknk1③插空：兩組元素分別有k、h個(gè)（kh1來作全排列，k個(gè)的一組互不能挨近的所有排列數(shù)有種.AAkhhh1（3）兩組元素各相同的插空個(gè)大球個(gè)小球排成一列，小球必分開，問有多少種排法？mn當(dāng)nm1時(shí)，無解；當(dāng)nm1時(shí)，有A種排法.nm1AnnCnm1（4）兩組相同元素的排列：兩組元素有m個(gè)和n個(gè)，各組元素分別相同的排列數(shù)為.Cnmn158．分配問題（1）(平均分組有歸屬問題)將相異的、個(gè)物件等分給個(gè)mnm人，各得件，其分配方法數(shù)共有n(mn.(!)mNCCnCnCCnn2nnmnnmn2nn（2）(平均分組無歸屬問題)將相異的·個(gè)物體等分為無記mn號(hào)或無順序的堆，其分配方法數(shù)共有mCC(mnnCCnCn2nn2nn.Nnn!!(!)m（3）(非平均分組有歸屬問題)將相異的P(P=n+n++n)個(gè)物體12m分給個(gè)人，物件必須被分完，分別得到，，…，件，且，mnnnmn121，…，這個(gè)數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)共有n2nmm!!.nnnNCCC!npnpnn12m!!...!n1m12m（4）(非完全平均分組有歸屬問題)將相異的P(P=n+n++n)個(gè)12m物體分給個(gè)人，物件必須被分完，分別得到，，…，件，且mnnnm12，，…，這個(gè)數(shù)中分別有a、b、c、…個(gè)相等，則其分配方nn2nmm1CCC!!!pmnpnpnn法數(shù)有Nn.12m1mn!nnab!c12m（5）(非平均分組無歸屬問題)將相異的個(gè)物體P(P=n+n++n)12m分為任意的，件無記號(hào)的，這個(gè)nnnmmnn1.nm122m!n!nn!數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)有N12m（6）(非完全平均分組無歸屬問題)將相異的個(gè)P(P=n+n++n)12m物體分為任意的，，…，件無記號(hào)的堆，且，，…，nn2nmmn1nnm12這個(gè)數(shù)中分別有a、b、c、…個(gè)相等，則其分配方法數(shù)有m!.Nn!nn!(!12m（7）(限定分組有歸屬問題)將相異的（）個(gè)物ppn+n++n12m體分給甲、乙、丙，……等個(gè)人，物體必須被分完，如果指定甲得m件，乙得件，丙得件，…時(shí)，則無論，，…，等個(gè)數(shù)n1nnnnnm2312m是否全相異或不全相異其分配方法數(shù)恒有!.NCCCnnpnn12m!!nnnpn1m12m貝努利裝錯(cuò)箋問題:信封信與個(gè)信封全部錯(cuò)位的組合數(shù)為nn1111.f(n)n![(n]2!3!4!n!推廣:個(gè)元素與個(gè)位置,其中至少有個(gè)元素錯(cuò)位的不同nnm組合總數(shù)為f(n,m)nC(n1)!C(nC(n3)!C(n4)!1234mmmm(1)C(np(1)C(nm)!ppmmmmCCCC1CpmApCmmAm234n(1)(m].m1mm2m4pAAAAn2nnnnn160．不定方程的解的個(gè)數(shù)x+x++xm12n(1)方程（）的正整數(shù)解有個(gè).n1x+x++xmn,mNC12n(2)方程（）的非負(fù)整數(shù)解有m1個(gè).1x+x++xmn,mNCn12nnm1(3)方程（）滿足條件個(gè).x+x++xmn,mN12n(,)的非負(fù)整數(shù)解有（xkkN2in1Cn1(n2)(k1)i(4)方程m1）滿足條件x+x++xmn,mN12n(,)的正整數(shù)解有xkkN2in1i個(gè).CCCCC(1)CCn11n12n1n2n2n1nm161.n2mnk2n2mn2k3n2m(n2)k1二項(xiàng)式定理;n(ab)CaCabCabCabCbn0n1n12n22rnrrnnnnnn二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式.TCab(r2，n)rnrrr1n162.等可能性事件的概率m.P()n163.互斥事件A，B分別發(fā)生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)．164.個(gè)互斥事件分別發(fā)生的概率的和nP(A＋A＋…＋A)=P(A)＋P(A)＋…＋P(A)．12n12n165.獨(dú)立事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率P(A·B)=P(A)·P(B).166.n個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率P(A·A·…·A)=P(A)·P(A)·…·P(A)．12n12n167.n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰好發(fā)生k次的概率P(k)CP(1P).kknknn168.離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個(gè)性質(zhì)（1）P0(i1,2,);i（2）.PP112169.數(shù)學(xué)期望xPxPxP1122nn170.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)（1）.E(b)b)（2）若～,則.(,)Bnp(3)若服從幾何分布,且p，則1.Pkg(k,p)qk1()p171.方差pxEDxEpxEp2221122nn172.標(biāo)準(zhǔn)差=.D173.方差的性質(zhì)(1)；DabaD2(2）若～B，則npp).(n,p)(3)若服從幾何分布,且，則q.(k)g(k,p)qpPk1p2174.方差與期望的關(guān)系.DEE22175.正態(tài)分布密度函數(shù)21fxx（xe,,26226分別表示個(gè)體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差.176.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)12fx.xe,x,226177.對(duì)于N(,2)，取值小于x的概率x.FxPxxxPxxPxx10221FxFx21xx.21178.回歸直線方程nnxxyyxynxyiiiii1i1yabx，其中b.2xxnnxnx22iii1i1aybx179.相關(guān)系數(shù)xxyynnxxyyiiii.ri1i1nnnn(xx)(yy)(xnx)(yny)222222iiiii1i1i1i1|r|≤1，且|r|越接近于