高中數學常用公式及常用結論匯總(精華版)

數學1.元素與集合的關系,.xAxCAxCAxAUU2.德摩根公式.C(AB)CACB;C(AB)CACBUUUUUU3.包含關系ABAABBABCBCAUUACBCABRUU4.容斥原理(AB)(AB)(ABC)(AB).(AB)(BC)C)(ABC)5．集合的子集個數共有個；真子集有–1個；非空a,a,,a}22nn12n子集有–1個；非空的真子集有–2個.22nn6.二次函數的解析式的三種形式(1)一般式;f(x)axbxc(a0)2(2)頂點式f(x)a(xh)k(a0);2(3)零點式.f(x)a(xx)(xx)(a0)127.解連不等式常有以下轉化形式Nf(x)MNf(x)M[()()]0fxMfxNMNMNf(x)N|f(x)022Mf(x)11.f(x)NMN8.方程f(x)0在上有且只有一個實根,與不(k,k)f(k)f(k)01212等價,前者是后者的一個必要而不是充分條件.特別地,方程有且只有一個實根在內,等價于ax2bxc0(a0)(k,k)12bkk,或且,或且f(k)f(k)0f(k)0kf(k)0122a212112kkb.k2122a29.閉區(qū)間上的二次函數的最值p,q二次函數在閉區(qū)間上的最值只能在f(x)axbxc(a0)2xb2a處及區(qū)間的兩端點處取得，具體如下：b(1)當a>0時，若，則xp,q2abf(p),f(q；f(x)f(),f(x)2abf(pf(q，f(pf(q.，xp,q2af(x)f(x)maxmaxminminb，若(2)當a<0時，若，則xp,qf(x)f(pf(q)2aminb，.，則xp,q2af(x)f(pf(q)f(x)f(pf(q)maxmin10.一元二次方程的實根分布f(m)f(n)0f(x)0在區(qū)間(,n)內至少有一個實根.設，則f(x)xq2（1）方程在區(qū)間(,)內有根的充要條件為f(m)0或f(x)040pq2；pm2（2）方程f(x)0在區(qū)間(,n)內有根的充要條件為f(m)f(n)0或f(m)0f(n)0f(m)0f(n)0或或；402pqaf(n)0af(m)0pmn2（3）方程f(x)0在區(qū)間(,n)內有根的充要條件為f(m)0或40pq2.pm211.定區(qū)間上含參數的二次不等式恒成立的條件依據，,,,不(1)在給定區(qū)間(,)的子區(qū)間（形如L同）上含參數的二次不等式f(x,t)0(t為參數)恒成立的充要條件是.f(x,t)0(xL)min(2)在給定區(qū)間的子區(qū)間上含參數的二次不等式(,)(為參數)恒成立的充要條件是f(x,t)0(xL)f(x,t)0t.mana0(3)恒成立的充要條件是或f(x)axbxc00b42c0a0.24ac0b12.真值表ｐｑ非ｐ或ｐ且ｐｑ真真假真真真假真假假假真假假假真真假假真13.常見結論的否定形式原結論反設詞原結論反設詞是至少有一一個也沒有個不都是至多有一至少有兩個個不大于至少有）nn1不小于至多有）nn1，xx，xx不成立成立14.四種命題的相互關系原命題逆命題若ｐ則ｑ若ｑ則ｐ互否為逆互否逆否否命題逆否命題若非ｑ則非ｐ若非ｐ則非ｑ互逆15.充要條件（1）充分條件：若pq，則是充分條件.pq（2）必要條件：若qp，則是必要條件.pq（3）充要條件：若pq，且qp，則是充要條件.pq注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.16.函數的單調性(1)設那么xxa,b,xx1212(x)f(x)f上是增函(xx)f(x)f(x)00f(x在a,b21xx121212數；數.f(x)f(x)上是減函(xx)f(x)f(x)00f(x在a,b21xx121212(2)設函數yf(x)fx為增()0()fx函數；如果，則為減函數.()0fx()fx17.如果函數和都是減函數,則在公共定義域內,和函數f(x)g(x)也是減函數;如果函數和在其對應的定義f(x)g(x)yfu)ug(x)域上都是減函數,則復合函數yf[g(x)]是增函數.18．奇偶函數的圖象特征奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱;反過果一個函數的圖象關于y軸對稱，那么這個函數是偶函數．19.若函數yf(x)是偶函數，則f(xa)f(xa)；若函數yf(xa)是偶函數，則f(xa)f(xa).20.對于函數(),f(xa)fbx)恒成立,則函數yf(x)xRab的對稱軸是函數x;兩個函數與的圖f(x)yf(xa)yfbx)2ab象關于直線x對稱.2a21.若f(x)f(xa),則函數yf(x)的圖象關于點對稱;(,0)2若f(x)f(xa),則函數yf(x)為周期為的周期函數.2a22．多項式函數的奇偶性P(x)axaxann1nn10多項式函數P(x)是奇函數的偶次項(即奇數項)的系數全()Px為零.多項式函數P(x)是偶函數P(x)的奇次項(即偶數項)的系數全為零.23.函數yf(x)的圖象的對稱性(1)函數yf(x)的圖象關于直線xa對稱f(ax)f(ax)f(2ax)f(x).ab(2)函數的圖象關于直線對稱yf(x)x2f(amx)fbmx)f(abmx)f(mx).24.兩個函數圖象的對稱性(1)函數yf(x)與函數yf(x)的圖象關于直線x0(即軸)對y稱.(2)函數yf(a)與函數yfbmx)的圖象關于直線xab2m對稱.(3)函數和的圖象關于直線y=x對稱.yf(x)yf1(x)25.若將函數yf(x)的圖象右移、上移個單位，得到函數ayf(xa)b的圖象；若將曲線f(x,y)0位，得到曲線f(xa,yb)0的圖象.26．互為反函數的兩個函數的關系b的圖象右移、上移個單ab.f(a)bf(b)a1127.若函數yf(kxb)存在反函數,則其反函數為,y[f1(x)b]k1并不是y[f1(kxb),而函數y[f128.幾個常見的函數方程是的反函數.(kxb)y[f(x)b]k(1)正比例函數,.f(x)f(xy)f(x)f(yf(1)c(2)指數函數(3)對數函數(4)冪函數,.f(x)af(xy)f(x)f(yf(1)a0x,(xy)f(x)f(yf(a)a0,a1).f(x)logxfa,.f(x)xf(xy)f(x)f(y),f(1)'(5)余弦函數,正弦函數，f(x)xg(x)x，f(xy)f()f(y)g(x)g(y)g(x)f(0)1,lim1.xx029.幾個函數方程的周期(約定a>0)（1）f(x)f(xa)，則的周期T=a；f(x)（2）f(x)f(xa)0，1或f(xa)(f(x)0)，f(x)或f(x)1(f()0),f()或1,則的周期T=2a；f(x)f(x)f(xa),(f(x)0,1)f(x)21(3)f(x)1，則的周期T=3a；(f(x)0)()fxf(xa)f(x)f(x)(4)且，f(xx)f(a)1(f(x)f(x)1,0|xx2a)121f(x)f(x)12121212則的周期T=4a；f(x)(5)f()f(x)f(x)f(x)f(x),則的周期T=5a；f()f(x)f(x)f(x)f(x)()fx(6)f(xa)f(x)f(xa)，則的周期T=6a.f(x)30.分數指數冪1(1)m（a0,m,nN，且）.n1annam1(2)anm（a，且）.mnN0,,1nman31．根式的性質（1）.(a)ann（2）當為奇數時，；nnanaa,a0當為偶數時，.nna|ana,a032．有理指數冪的運算性質(1)(2)(3).aaa(a0,r,sQ)rsrs.(a)a(a0,r,sQ)rsrs.(ab)ab(a0,b0,rQ)rrr注：若a＞0，p是一個無理數，則a表示一個確定的實數．上p述有理指數冪的運算性質，對于無理數指數冪都適用.33.指數式與對數式的互化式logNbaN(a0,a1,Nb.a34.對數的換底公式N(a0,且,,且,).Na1m0m1N0maamn推論(,且a1,,n0,且m1,,logblogba0n1nmmaaN0).35．對數的四則運算法則若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則(1)log(MN)logMlogN;aaa(2)logM;logMlogNNaaa(3).logMnlogM(nR)naa36.設函數f(x)log(ax2bxc)(a0),記b24.若f(x)的m定義域為,則a0，且;若f(x)的值域為,則a0，且0.R0R對于a0的情形,需要單獨檢驗.37.對數換底不等式及其推廣1若,,,,則函數ylog(bx)axa0b0x0xa11(1)當ab時,在(2)當ab時,在和上為增函數.為減函數.(0,)(,)ylog(bx)axa1a1和上(0,)(,)ylog(bx)ax，aa推論:設，，，且，則nm1p0a0a1（1）.log(np)lognmpmmn（2）logmlognlog2.2aaa38.平均增長率的問題如果原來產值的基礎數為的總px產值，有.yyN(1p)x39.數列的同項公式與前n項的和的關系s,n1ana}的前n項的和為saaan).1(數列ss,n2n12nnn140.等差數列的通項公式；aa(nddnad(nN)n*11其前n項和公式為n(aa)nan(n1)dsn1n221d1.n(ad)n222141.等比數列的通項公式a；*aaqq(nN)nn11n1q其前n項的和公式為(1)aqn,q11s1qnna,q11aaq1或n,q1.s1qnna,q1142.等比差數列:的通項公式為aaqad,ab(q0)nn11nb(nd,q1；anbqndbq()d,q1n1q1其前n項和公式為nbn(nd,(q1).s1qnddb),(q1)n1qq11q43.分期付款(按揭貸款)每次還款xabb)n元(貸款元,次還清,每期利率為).anbb)1n44．常見三角不等式（1）若，則sinxxtanx.x(0,)2(2)若，則1xx2.x(0,)2(3)|x||x1.45.同角三角函數的基本關系式sin，=，tancot1.1tan22cos46.正弦、余弦的誘導公式n(1)sin,2nsin()2n1(1)cos,2n(1)cos,2cos(n)2n1(1)sin,247.和角與差角公式;)sincoscossin;)cossin.)1)sin()sinsin(平方正弦公式);.222)cos()cossin2=(輔助角所在象限由點的象asinbcossin()ab(,)a2b2b限決定,).tana48.二倍角公式.sinsincos.21122222tan.tan1tan249.三倍角公式.sin33sin4sin4sinsin()sin()333.4cos3cos4coscos()cos()3333.3))133250.三角函數的周期公式函數，x∈R及函數，x∈R(A,ω,為yx))xy常數，且A≠0，ω＞0)的周期；函數，yx)T(A,ω,為常數，且A≠0，ω＞0)的周期.,xkkZT251.正弦定理abc2R.sinAsinBsinC52.余弦定理;;abcbcA222bcacaB222.cab2abC22253.面積定理111（1）（c分別表示.Sahbhchh、h、h2122ababc11（2）SabsinCbcsinAcasinB2221(3)S.2(|OA||OB|)OAOB)2254.三角形內角和定理在△ABC中，有ABCCAB)(CAB22.C22(AB)255.簡單的三角方程的通解.sinxaxk(1)arcsina(kZ,|a1)kcosxax2ka(kZ,|a1)..xaxa(kZ,aR)特別地,有.sinsink(1)(kZ)k.cos2(kZ).tan(kZ)56.最簡單的三角不等式及其解集..xaax(2ka,2ka),kZxaax(2ka,2ka),kZ.xaax(2a,2ka),kZ.xaax(2a,2a),kZ.tanxa(aR)x(karctana,k),kZ2.tanxa(aR)x(k,karctana),kZ257.實數與向量的積的運算律設λ、μ為實數，那么(1)結合律：λ(μa)=(λμ)a;(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.58.向量的數量積的運算律：aa(1)·b=b·（交換律）;aaaa(2)（（·b）=·b=b）;aa(3)（·c+b·c.59.平面向量基本定理如果e、e是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平12面內的任一向量，有且只有一對實數λ、λ，使得a=λe+λe．121122不共線的向量e、e叫做表示這一平面內所有向量的一組基底．1260．向量平行的坐標表示設a=,b=，且b0，則ab(b0).(x,y)(x,y)xyxy011221221a53.與b的數量積(或內積)aa·b=|||b|cosθ．61.a·b的幾何意義數量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．62.平面向量的坐標運算(1)設a=(2)設a=,b=,b=，則a+b=，則a-b=..(x,y)(x,y)(xx,yy)11221212(x,y)(x,y)(xx,yy)11221212(3)設A(4)設a=(5)設a=，B,則.(x,y)(x,y)(xx,yy)11222121，則a=.(x,yR(x,y),b=，則a·b=.(x,y)(x,y)(xxyy)1122121263.兩向量的夾角公式xxyya(=,b=).cos(,)(,)xyxy1212xyxy11222121222264.平面兩點間的距離公式=|ABABABdA,B(A2，B).(xx)(yy)(x,y)(x,y)22121112265.向量的平行與垂直設a=,b=，且b0，則(x,y)(x,y)1122A||bb=λa.xyxy01221aab(a0)·b=0.xxyy0121266.線段的定比分公式設，，P(x,y)是線段的分點,是實數，且P(x,y)PPP(x,y)11122212，則12xxx121121yyy1211（）.tt11267.三角形的重心坐標公式△ABC三個頂點的坐標分別為、、,則△A(x,y)B(x,y)C(x,y)112233xxxyyyABC的重心的坐標是G(1.),231233368.點的平移公式xxhxxh''.'OPOPPP'yykyyk''注:圖形F上的任意一點P(x，y)在平移后圖形上的對應點為'F，且的坐標為'.P(x,y)PP(h,k)'''69.“按向量平移”的幾個結論（1）點P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到點(2)函數yf(x)的圖象按向量a=.P(xh,yk)'平移后得到圖象,則C(h,k)'CC'的函數解析式為yf(xh)k.(3)圖象按向量a=平移后得到圖象,若的解析式C(h,k)CC',則的函數解析式為.yf(x)Cyf(xh)k'(4)曲線:按向量a=(h,k)平移后得到圖象,則的方C'C'Cf(x,y)0程為f(xh,yk)0.(5)向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然為m=(x,y).70.三角形五“心”向量形式的充要條件設為,B,C所對邊長分別為a,b,cOABC（1）為的外心..ABC2OAOBOC22O（2）為的重心0OABC（3）為的垂心.OABC（4）為的內心0的的旁心.OABC（5）為.OABCA71.常用不等式：（1）a,bR(當且僅當a＝b時取“=”號)．(當且僅當a＝b時取“=”號)．ab222ab（2）a,bRab2（3）abcabc(a0,b0,c0).333（4）柯西不等式(ab)(cd)(acbd),a,b,c,dR.22222（5）ababab72.極值定理.已知都是正數，則有x,y（1）若積是定值，則當時和xy有最小值；pxy2p1（2）若和xy是定值，則當時積有最大值.xy2ss4推廣已知x,yR，則有(xy)2(xy)22xy（1）若積是定值,則當|xy|最大時,|xy|最大；當|xy|最小時,|xy|最小.（2）若和|xy|是定值,則當|xy|最大時,||最小；當|xy|最小時,||最大.73.一元二次不等式axbxc0(或0)(a0,b4ac0)22與a同號，則其解集在兩根之外；如果與異號，cac22則其解集在兩根之間.簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間.；xxx(xx)(xx)0(xx)121212.xx,或xx(xx)(xx)0(xx)12121274.含有絕對值的不等式當a>0時，有.xax2a2axa或.xaxaxaxa2275.無理不等式f(x)0(x)0（1）.f(x)g(x)gf(x)g(x)f(x)0f(x)0（2）（3）.f(x)g(x)g(x)0或g(x)0f(x)[g(x2f(x)0.f(x)g(x)g(x)0f(x)[g(x276.指數不等式與對數不等式(1)當時,a1;afx()a()f(x)g(x)gxf(x)0.logf(x)logg(x)g(x)0aaf(x)g(x)(2)當0a1時,;afx()a()f(x)g(x)gxf(x)0logf(x)logg(x)g(x)0aaf(x)g(x)77.斜率公式y(tǒng)y（1、）.kP(x,y)P(x,y)2xx1112222178.直線的五種方程（1）點斜式（2）斜截式(直線過點，且斜率為)．yyk(xx)lP(x,y)k11111(b為直線在y軸上的截距).yblyyxx（3）兩點式(1)(、yy1P(x,y)P(x,y)1yyxx22111222121()).xx12xy1bab(4)截距式(分別為直線的橫、縱截距，、b0)（5）一般式(其中A、B不同時為0).C079.兩條直線的平行和垂直(1)若①，l:ykxbl:ykxb111222l||lkk,bb;121212②.llkk11212(2)若,,且A、A、B、B都不l:AxByC0l:AxByC0121211112222為零,①ABC；ll1ABC1112222②；llAABB012121280.夾角公式kk(1).||211kk21(，,1)l:ykxbl:ykxbkk21112212ABAB(2)|.1|122AABB1212(,,).l:AxByC0l:AxByC0AABB0111122221212ll時，直線與的夾角是.直線ll1212281.到的角公式l1l2kk(1).121kk21(，,1)l:ykxbl:ykxbkk21112212ABAB(2).1122AABB1212,(,).l:AxByC0l:AxByC0AABB0111122221212ll時，直線到的角是.直線ll1212282．四種常用直線系方程(1)定點直線系方程：經過定點的直線系方程為P(x,y)000(除直線xx),其中是待定的系數;經過定點yyk(xx)k000的直線系方程為,其中是待定的系P(x,y)A(xx)B(yy)0A,B00000數．(2)共點直線系方程：經過兩直線,的交點的直線系方程為l:AxByC0l:AxByC011112222(除)，其中λ是待定的系數．(AxByC)(AxByC)0l2111222(3)平行直線系方程：直線中當斜率k一定而b變動ybC0平行的直線系方程)，λ是參變量．是(00(4)垂直直線系方程：與直線AxByC0的直線系方程是0,λ是參變量．83.點到直線的距離|C|(點,直線：).dP(x,y)lC000AB200284.或所表示的平面區(qū)域C00設直線l:C0，則C0或0所表示的平面區(qū)域是：若B0，當與同號時，表示直線的上方的區(qū)域；當BCl與異號時，表示直線的下方的區(qū)域.簡言之,同號在上,BCl異號在下.若B0，當與同號時，表示直線的右方的區(qū)域；當ACl與的左方的區(qū)域.簡言之,同號在右,ACl異號在左.85.或所表示的平面區(qū)域(AxByC)(AxByC)00111222設曲線（C:(AxByC)(AxByC)0AABB01112221212或所表示的平面區(qū)域是：(AxByC)(AxByC)00111222所表示的平面區(qū)域上下兩部分；所表示的平面區(qū)域上下兩部分.(AxByC)(AxByC)0111222(AxByC)(AxByC)011122286.圓的四種方程（1）圓的標準方程（2）圓的一般方程.2(xa)(yb)r22(＞0).xyDxEyF0DE4F2222cos（3）圓的參數方程xar.ybrsin(圓的直徑的(xx)(xx)(yy)(yy)01212端點是、).A(x,y)B(x,y)112287.圓系方程(1)過點,的圓系方程是A(x,y)B(x,y)1122(xx)(xx)(yy)(yy)[(xx)(yy)(yy)(xx)]01212112112,其中)0是直(xx)(xx)(yy)(yy)(axbycaxbyc01212線的方程,λ是待定的系數．(2)過直線:與圓C:x2y2DxEyF0的交點的lC0圓系方程是,λ是待定的系數．與圓的交點的圓系方程是,λ是待定的系數．xyDxEyF(AxByC)022(3)過圓:x2yDxEyF0C21111:x2yDxEyF0C22222xyDxEyF(xyDxEyF)0222211122288.點與圓的位置關系點若與圓(xa)2(yb)2r2的位置關系有三種P(x,y)00，則2d(ax)by)200點在圓外;點在圓上;點在圓內.drPdrPdrP89.直線與圓的位置關系直線C0與圓(xa)2(yb)2r2的位置關系有三種:dr0;dr0;dr0.其中dAaBbC.A2B290.兩圓位置關系的判定方法設兩圓圓心分別為O，O，半徑分別為r，r，OOd121212;;drr12drr12;rrdrr1212;drr12.0drr1291.圓的切線方程(1)已知圓．xyDxEyF022①若已知切點在圓上，則切線只有一條，其方程是(x,y)00D(xx)E(yy)xxyyF0.002200D(xx)E(yy)當圓外時,F0表示過兩(x,y)xxyy00220000個切點的切點弦方程．②過圓外一點的切線方程可設為，再利用相切yyk(xx)00條件求k，這時必有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線．③斜率為k的切線方程可設為ykxbb，必有兩條切線．(2)已知圓．2xyr22①過圓上的點的切線方程為;2P(x,y)xxyyr00000②斜率為的圓的切線方程為.kykxr1k2cosxy92.橢圓93.橢圓222的參數方程是xa.abybsinab2xy22焦半徑公式aba2b2a2a2，.e(x)e(x)1c2c94．橢圓的的內外部xy2x202y202（1）點（2）點在橢圓2的內部的外部..P(x,y)ab100a2b2abxy2x2y202在橢圓2P(x,y)ab10200a2b2ab95.橢圓的切線方程xy2(1)橢圓2上一點處的切線方程是abP(x,y)a2b200xxyy1.0a20b2xy22外一點所引兩條切線的切點abP(x,y)a2b200弦方程是xxyy01.0a2b2xy2（3）橢圓2與直線相切的條件是ab0Ca2b2.2AaBbc2222xy296.雙曲線2的焦半徑公式.aba2b2aa2，2|e(x)||e(x)|1c2c97.雙曲線的內外部xy2x202y202(1)點(2)點在雙曲線2的內部的外部..P(x,y)ab100a2b2abxy2x2y202在雙曲線2P(x,y)ab10200a2b2ab98.雙曲線的方程與漸近線方程的關系(1）若雙曲線方程為x2y2漸近線方程：1a2b2xy22.b0yxa2b2axy0ab(2)若漸近線方程為yb雙曲線可設為xax22y2.ab2(3)若雙曲線與x22y22有公共漸近線，可設為x22y221abab（0，焦點在x軸上，0，焦點在y軸上）.99.雙曲線的切線方程xy2(1)雙曲線2上一點處的切線方程是所引兩條切線的a0,bP(x,y)a2b200xxyy01.0a2b2xy22外一點a0,bP(x,y)a2b200切點弦方程是xxyy01.0a2b2xy2（3）雙曲線2與直線相切的條件是a0,b0Ca2b2.AaBbc22222100.拋物線y22px的焦半徑公式p拋物線y22px(p0)焦半徑.CFx20pp過焦點弦長.CDxxxxp221212101.拋物線y22px上的動點可設為Py2或(22,2)或Pptpt(,y)2pP(x,y)，其中.y22pxb2bca(x)a102.二次函數yax2的圖象是拋(a0)2ab4b2物線：（1）頂點坐標為；（2）焦點的坐標為)(,2a4ab4b14b12)y2.(,2a4a4a103.拋物線的內外部(1)點在拋物線y22px(p0)的內部.P(x,y)y2px(p0)200點在拋物線的外部.P(x,y)y2px(p0)y2px(p0)2200(2)點在拋物線y22px(p0)的內部.P(x,y)y2px(p0)200點在拋物線的外部y22px(p0)y2px(p0)2.P(x,y)00(3)點在拋物線x22py(p0)的內部.P(x,y)x2py(p0)200點在拋物線的外部x22py(p0)x2py(p0)2.P(x,y)00(4)點在拋物線x22py(p0)的內部.P(x,y)x2py(p0)200點在拋物線的外部x22py(p0)x2py(p0)2.P(x,y)00104.拋物線的切線方程(1)拋物線y22px上一點y22px外一點處的切線方程是.P(x,y)yyp(xx)0000所引兩條切線的切點弦方程P(x,y)00是.yy(xx)00（3）拋物線與直線C0相切的條件是y22px(p0).pB2AC2105.兩個常見的曲線系方程(1)過曲線,的交點的曲線系方程是f(x,y)0f(x,y)012(為參數).f(,y)f(,y)012x2y2(2)共焦點的有心圓錐曲線系方程,其中1a2kbk2.當時,表示橢圓;當時,表示雙曲線.2kmax{a,b}kmin{a,b}2222min{a,b}kmax{a,b}222106.直線與圓錐曲線相交的弦長公式或2AB(xx)(yy)21212|t（弦端點ABk)(xx)|xx|1tanyy|1co2222211212ykxbA消去y得到，,ax2bxc00(x,yB(x,y)F(x,y)01122為直線的傾斜角，為直線的斜率）.ABk107.圓錐曲線的兩類對稱問題（1）曲線F(x,y)0關于點P成中心對稱的曲線是(x,y)00.F(2xx,2yy)000（2）曲線F(x,y)0關于直線C0成軸對稱的曲線是2(AxByC)2B(AxByC)AB.F(x,y)0AB2222108.“四線”一方程對于一般的二次曲線xyxy，用代，AxBxyCyDxEyF0xx2x220xxyy0用代，用代，用代，用代即得方程yyyxy20002220xyxyxxyyAxxBCyyDE0F000022200中點弦，弦中點方程均是此方程得到.109．證明直線與直線的平行的思考途徑（1）轉化為判定共面二直線無交點；（2）轉化為二直線同與第三條直線平行；（3）轉化為線面平行；（4）轉化為線面垂直；（5）轉化為面面平行.110．證明直線與平面的平行的思考途徑（1）轉化為直線與平面無公共點；（2）轉化為線線平行；（3）轉化為面面平行.111．證明平面與平面平行的思考途徑（1）轉化為判定二平面無公共點；（2）轉化為線面平行；（3）轉化為線面垂直.112．證明直線與直線的垂直的思考途徑（1）轉化為相交垂直；（2）轉化為線面垂直；（3）轉化為線與另一線的射影垂直；（4）轉化為線與形成射影的斜線垂直.113．證明直線與平面垂直的思考途徑（1）轉化為該直線與平面內任一直線垂直；（2）轉化為該直線與平面內相交二直線垂直；（3）轉化為該直線與平面的一條垂線平行；（4）轉化為該直線垂直于另一個平行平面；（5）轉化為該直線與兩個垂直平面的交線垂直.114．證明平面與平面的垂直的思考途徑（1）轉化為判斷二面角是直二面角；（2）轉化為線面垂直.115.空間向量的加法與數乘向量運算的運算律(1)加法交換律：a＋b=b＋a．(2)加法結合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．(3)數乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．116.平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣量為棱的平行六面體的以公共始點為始點的對角線所表示的向量.117.共線向量定理對空間任意兩個向量存在實數λ使a=λb．三點共線AP||ABtOP(1t)OAtOB.B、共線且不共線且AB、CD不||ABAB、CD共線.118.共面向量定理向量p與兩個不共線的向量a、b共面的存在實數對,使,xy．paxby推論空間一點P位于平面MAB內的存在有序實數對,使x,y，MPxMAyMB或對空間任一定點O，有序實數對，使.x,yOPOMxMAyMB119.對空間任一點和不共線的三點A、B、C，滿足O（時，對于空間任一點，OPxOAyOBzOCxyzkk1O總有四點共面；當時，若平面ABC，則k1OC四點共面；若平面ABC，則P、A、B、C四點不共面．O四點共面、C、D與、共面ACADxAByAC（平面ABC）.OD(1xy)OAxOByOCO120.空間向量基本定理如果三個向量不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序實數組x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．推論設O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的三個有序實數x，y，z，使OPxOAyOBzOC121.射影公式.a已知向量=和軸上與同方向的單位向量.作A點在llll上的射影，作B點在上的射影，則AlB''aa〈，e〉=·eA'B|AB|cos'122.向量的直角坐標運算a設＝，b＝則；；(a,a,a)(b,b,b)123123a(1)＋b＝(ab,ab,ab)112233a(2)－b＝(ab,ab,ab)112233a(3)λ＝(λ∈R)；；(a,a,a)123a(4)·b＝ababab112233123.設A，B，則(x,y,z)(x,y,z)11=1222.(xx,yy,zz)212121124．空間的線線平行或垂直設，，則a(x,y,z)b(x,y,z)111222xx12；(yyababb12zz12.abab0xxyyzz0121212125.夾角公式a設＝，b＝，則(a,a,a)(b,b,b)123123ab11ababacos〈，b〉=.2233aaabbb212223212223推論，此即三維柯西不23(ababab)(aaa)(bbb)22122232122112233等式.126.四面體的對棱所成的角四面體ABCD中,與所成的角為,則BDAC|()()|2222.2127．異面直線所成角|a,b|=|ab||xxyyzz|121212|a||b|x21y21z21x2y2z2222（其中（）為異面直線所成角，分別表示異面直線,090,abab的方向向量）b128.直線與平面所成角ABm(為平面的法向量).arcsinm|AB||m|129.若ABC所在平面若與過若的平面成的角,另兩邊,與平面成的角分別是、,為ABC的兩個內角，則、ABACBC12.sinsin(sinAsinB)sin2222212特別地,當時,有90.sinsinsin22212130.若所在平面若與過若的平面成的角,另兩邊ABC,與平面成的角分別是、,為ABO的兩個內角，則、ABACBC''12.tantan(sinAsinB)tan222'2'212特別地,當時,有.sinsinsin22212131.二面角的平面角larccosmn|m||n|arccosmn|m||n|或（，為平面，mn132.三余弦定理設AC是α內的任一條直線，且BC⊥AC，垂足為C，又設AO與AB所成的角為與AC所成的角為與AC所成的角為1.2coscoscos12133.三射線定理若夾在平面角為的二面角間的線段與二面角的兩個半平面所成的角是,,與二面角的棱所成的角是θ，則有12;sinsinsinsin2sinsincos22221212(當且僅當時等號成立).|180)1212134.空間兩點間的距離公式若A，B，則(x,y,z)(x,y,z)111222=.2d|ABABAB()()()xx2yyzz2A,B212121135.點到直線距離Qlh1a||b|)(ab)2PllPA(點在直線上，直線的方向向量a=，2|a|向量b=).PQ136.異面直線間的距離|CDn|(，分別是d,l、CDl,l1ln|n|122上任一點，為間的距離).dl,l12137.點到平面的距離B|ABn||n|（為平面的法向量，是經過面的一條斜線，dn）.A138.異面直線上兩點距離公式.dhmncos222.dhmn2mncosEA,AF222'（）.dhmn2mncosEAAF222'(兩條異面直線a、b所成的角為θ，其公垂線段的長度為h.在AA'直線a、b上分別取兩點E、F，139.三個向量和的平方公式,,).AEmAFnEFd'(abc)a2b2c22abbcca2a2b2c22|a||b|a,b2|b||c|,c2|c||a|c,a140.長度為的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分l別為，夾角分別為、、,則有l(wèi)、l、l123123.1sinsinsin2l2l21l22l23222222123123（立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例）.141.面積射影定理S'.Scos(平面多邊形及其射影的面積分別是、，它們所在平面所成SS'銳二面角的為).142.斜棱柱的直截面已知斜棱柱的側棱長是,側面積和體積分別是S和V,它l斜棱柱側斜棱柱的直截面的周長和面積分別是和,則c1S1①S.cl斜棱柱側1②V.Sl斜棱柱1143．作截面的依據平行.144．棱錐的平行截面的性質如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比．145.歐拉定理(歐拉公式)VFE2(簡單多面體的頂點數V、棱數E和面數F).（1）=各面多邊形邊數和的一半.特別地,若每個面的邊數為nE1的多邊形，則面數F與棱數E的關系：；EnF2V與棱數E的關系：m1.EmV2146.球的半徑是R，則4其體積3,VR3其表面積SR2．147.球的組合體(1)球與長方體的組合體:長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長.(2)球與正方體的組合體:正方體的內切球的直徑是正方體的棱長,正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長,正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長.(3)球與正四面體的組合體:6棱長為的正四面體的內切球的半徑為,外接球的半徑為aa6a.4148．柱體、錐體的體積1（是柱體的底面積、是柱體的高）.VShSh31（是錐體的底面積、是錐體的高）.VShSh3149.分類計數原理（加法原理）.Nmmm12n150.分步計數原理（乘法原理）.Nmmm12n151.排列數公式n！==;.(，∈N，且)．An(n(nmnmmn*m(nm！n注:規(guī)定.1152.排列恒等式(1）A(nm1)Am1mnnn（2）;AAmn1mnmn（3）（4）（5）;AnAm1mnn1;nAAn1Annnn1n.AAmAm1mmn1nn(6).1!233!nn!(n1)!1153.組合數公式(n(nm！An==m=(∈N，，且mn).*nmNCmnnAm12m(！mnmm154.組合數的兩個性質(1)=;nmCCmnn(2)+=.CCm1Cmmnnn1注:規(guī)定C.10n155.組合恒等式Cnm1Cm（1）;1mmnnn（2）（3）（4）;CCmmnmnn1n;CCm1mmn1n=;n2Crnnr0（5）.CCCCCr1rrrrrr1r2nn1(6)C0C1C2.nCC2rnnnnnn(7)C1C3C5C0C2C42n1.nnnnnn(8)C12C2C3.nCn2n1nnnnn(9).CCCCCCCr0r110rrrmnmnmnmn(10).(C)(C)(C)(C)C021222n2n2nnnnn156.排列數與組合數的關系.ACmmnn157．單條件排列以下各條的大前提是從個元素中取個元素的排列.nmAm1AAm1nmn1n1（補集思想）1A（著眼位置）（著眼元素）種.AAAm1n1n1mn11m1m1n1（2）緊貼與插空（即相鄰與不相鄰）①定位緊貼：k(kmn)個元在固定位的排列有種.AAkmknkk②浮動緊貼：個元素的全排列把k個元排在一起的排法有n種.注：此類問題常用捆綁法；Ank1Akknk1③插空：兩組元素分別有k、h個（kh1來作全排列，k個的一組互不能挨近的所有排列數有種.AAkhhh1（3）兩組元素各相同的插空個大球個小球排成一列，小球必分開，問有多少種排法？mn當nm1時，無解；當nm1時，有A種排法.nm1AnnCnm1（4）兩組相同元素的排列：兩組元素有m個和n個，各組元素分別相同的排列數為.Cnmn158．分配問題（1）(平均分組有歸屬問題)將相異的、個物件等分給個mnm人，各得件，其分配方法數共有n(mn.(!)mNCCnCnCCnn2nnmnnmn2nn（2）(平均分組無歸屬問題)將相異的·個物體等分為無記mn號或無順序的堆，其分配方法數共有mCC(mnnCCnCn2nn2nn.Nnn!!(!)m（3）(非平均分組有歸屬問題)將相異的P(P=n+n++n)個物體12m分給個人，物件必須被分完，分別得到，，…，件，且，mnnnmn121，…，這個數彼此不相等，則其分配方法數共有n2nmm!!.nnnNCCC!npnpnn12m!!...!n1m12m（4）(非完全平均分組有歸屬問題)將相異的P(P=n+n++n)個12m物體分給個人，物件必須被分完，分別得到，，…，件，且mnnnm12，，…，這個數中分別有a、b、c、…個相等，則其分配方nn2nmm1CCC!!!pmnpnpnn法數有Nn.12m1mn!nnab!c12m（5）(非平均分組無歸屬問題)將相異的個物體P(P=n+n++n)12m分為任意的，件無記號的，這個nnnmmnn1.nm122m!n!nn!數彼此不相等，則其分配方法數有N12m（6）(非完全平均分組無歸屬問題)將相異的個P(P=n+n++n)12m物體分為任意的，，…，件無記號的堆，且，，…，nn2nmmn1nnm12這個數中分別有a、b、c、…個相等，則其分配方法數有m!.Nn!nn!(!12m（7）(限定分組有歸屬問題)將相異的（）個物ppn+n++n12m體分給甲、乙、丙，……等個人，物體必須被分完，如果指定甲得m件，乙得件，丙得件，…時，則無論，，…，等個數n1nnnnnm2312m是否全相異或不全相異其分配方法數恒有!.NCCCnnpnn12m!!nnnpn1m12m貝努利裝錯箋問題:信封信與個信封全部錯位的組合數為nn1111.f(n)n![(n]2!3!4!n!推廣:個元素與個位置,其中至少有個元素錯位的不同nnm組合總數為f(n,m)nC(n1)!C(nC(n3)!C(n4)!1234mmmm(1)C(np(1)C(nm)!ppmmmmCCCC1CpmApCmmAm234n(1)(m].m1mm2m4pAAAAn2nnnnn160．不定方程的解的個數x+x++xm12n(1)方程（）的正整數解有個.n1x+x++xmn,mNC12n(2)方程（）的非負整數解有m1個.1x+x++xmn,mNCn12nnm1(3)方程（）滿足條件個.x+x++xmn,mN12n(,)的非負整數解有（xkkN2in1Cn1(n2)(k1)i(4)方程m1）滿足條件x+x++xmn,mN12n(,)的正整數解有xkkN2in1i個.CCCCC(1)CCn11n12n1n2n2n1nm161.n2mnk2n2mn2k3n2m(n2)k1二項式定理;n(ab)CaCabCabCabCbn0n1n12n22rnrrnnnnnn二項展開式的通項公式.TCab(r2，n)rnrrr1n162.等可能性事件的概率m.P()n163.互斥事件A，B分別發(fā)生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)．164.個互斥事件分別發(fā)生的概率的和nP(A＋A＋…＋A)=P(A)＋P(A)＋…＋P(A)．12n12n165.獨立事件A，B同時發(fā)生的概率P(A·B)=P(A)·P(B).166.n個獨立事件同時發(fā)生的概率P(A·A·…·A)=P(A)·P(A)·…·P(A)．12n12n167.n次獨立重復試驗中某事件恰好發(fā)生k次的概率P(k)CP(1P).kknknn168.離散型隨機變量的分布列的兩個性質（1）P0(i1,2,);i（2）.PP112169.數學期望xPxPxP1122nn170.數學期望的性質（1）.E(b)b)（2）若～,則.(,)Bnp(3)若服從幾何分布,且p，則1.Pkg(k,p)qk1()p171.方差pxEDxEpxEp2221122nn172.標準差=.D173.方差的性質(1)；DabaD2(2）若～B，則npp).(n,p)(3)若服從幾何分布,且，則q.(k)g(k,p)qpPk1p2174.方差與期望的關系.DEE22175.正態(tài)分布密度函數21fxx（xe,,26226分別表示個體的平均數與標準差.176.標準正態(tài)分布密度函數12fx.xe,x,226177.對于N(,2)，取值小于x的概率x.FxPxxxPxxPxx10221FxFx21xx.21178.回歸直線方程nnxxyyxynxyiiiii1i1yabx，其中b.2xxnnxnx22iii1i1aybx179.相關系數xxyynnxxyyiiii.ri1i1nnnn(xx)(yy)(xnx)(yny)222222iiiii1i1i1i1|r|≤1，且|r|越接近于