備戰(zhàn)期末-初中數(shù)學(xué)常用模型最全匯總(附電子版可)

往兩邊作垂線往兩邊作垂線往角兩邊截取等線段過角平分線某點(diǎn)作垂線備戰(zhàn)期末——初中數(shù)學(xué)常用模型最全匯總?。ǜ诫娮影婵纱蛴。┤茸儞Q平移：平行等線段（平行四邊形）。對稱：角平分線或垂直或半角。旋轉(zhuǎn)：相鄰等線段繞公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。對稱全等模型角平分線模型C

角平分線模型C說明：以角平分線為軸在角兩邊進(jìn)行截長補(bǔ)短或者作邊的垂線，形成對稱全等。兩邊進(jìn)行邊或者角的等量代換，產(chǎn)生聯(lián)系。垂直也可以做為軸進(jìn)行對稱全等。對稱半角模型￥￥說明:上圖依次是45°、30°、22.5°、15°及有一個角是30°直角三角形的對稱（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等邊三角形、對稱全等。旋轉(zhuǎn)全等模型半角：有一個角含1/2角及相鄰線段。自旋轉(zhuǎn)：有一對相鄰等線段，需要構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等。共旋轉(zhuǎn)：有兩對相鄰等線段，直接尋找旋轉(zhuǎn)全等。中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)：倍長中點(diǎn)相關(guān)線段轉(zhuǎn)換成旋轉(zhuǎn)全等問題旋轉(zhuǎn)半角模型迎說明：旋轉(zhuǎn)半角的特征是相鄰等線段所成角含一個二分之一角，通過旋轉(zhuǎn)將另外兩個和為二分之一的角拼接在一起，成對稱全等。自旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造方法：遇60度旋60度，造等邊三角形；遇90度旋90度，造等腰直角；遇等腰旋頂點(diǎn)，造旋轉(zhuǎn)全等;遇中點(diǎn)旋180度，造中心對稱。共旋轉(zhuǎn)模型共旋轉(zhuǎn)模型DDDDEE說明：旋轉(zhuǎn)中所成的全等三角形，第三邊所成的角是一個經(jīng)?？疾斓膬?nèi)容。通過“8字模型可以證明。模型變形

D.I>CD.I>C說明：模型變形主要是兩個正多邊形或者等腰三角形的夾角的變化，另外是等腰直角三角形與正方形的混用。當(dāng)遇到復(fù)雜圖形找不到旋轉(zhuǎn)全等時，先找兩個正多邊形或者等腰三角形的公共頂點(diǎn)，圍繞公共頂點(diǎn)找到兩組相鄰等線段，分組組成三角形證全等。中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型BB說明：兩個正方形、兩個等腰直角三角形或者一個正方形一個等腰直角三角形及兩個圖形頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)，證明另外兩個頂點(diǎn)與中點(diǎn)所成圖形為等腰直角三角形。證明方法是倍長所要證等腰直角三角形的一直角邊，轉(zhuǎn)化成要證明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋轉(zhuǎn)頂點(diǎn)，通過證明旋轉(zhuǎn)全等三

角形證明倍長后的大三角形為等腰直角三角形從而得證。中點(diǎn)模型倍氏中違邊中點(diǎn)擷憊中位農(nóng)伯◎邊構(gòu)造中位桂梅iS三城醬構(gòu)譴料詢中堆倍氏中違邊中點(diǎn)擷憊中位農(nóng)伯◎邊構(gòu)造中位桂梅iS三城醬構(gòu)譴料詢中堆幾何最值模型對稱最值（兩點(diǎn)間線段最短）差模型同側(cè)*異側(cè)兩線段之和茲扼棋型轆對稱魁

同側(cè)?異測兩線段Z料》小槪型三線段之和過橋模熨蛙姬模型四邊形周長三用形周長赧小模型酬小根型說明:說明:說明:說明:對稱最值（點(diǎn)到直線垂線段最短）說明：通過對稱進(jìn)行等量代換，轉(zhuǎn)換成兩點(diǎn)間距離及點(diǎn)到直線距離。

旋轉(zhuǎn)最值（共線有最值）找到與所要求最值相關(guān)成三角形的兩個定長線段，定長線段的和為最大值，定長線段的差為最小值。簡拼模型三角形T四邊形醫(yī)一醫(yī)一四邊形T四邊形圖11圖11剪拼主要是通過中點(diǎn)的180度旋轉(zhuǎn)及平移改變圖形的形狀。矩形-正方形HEOFGHEOFGI說明：通過射影定理找到正方形的邊長，通過平移與旋轉(zhuǎn)完成形狀改變正方形+等腰直角三角形-正方形面積等分旋轉(zhuǎn)相似模型說明：兩個等腰直角三角形成旋轉(zhuǎn)全等，兩個有一個角是300角的直角三角形成旋轉(zhuǎn)相似。推廣:兩個任意相似三角形旋轉(zhuǎn)成一定角度，成旋轉(zhuǎn)相似。第三邊所成夾角符合旋轉(zhuǎn)“8字的規(guī)律。A0A0相似模型說明：注意邊和角的對應(yīng)，相等線段或者相等比值在證明相似中起到通過等量代換來構(gòu)造相似三角形的作用。說明：(1)三垂直到一線三等角的演變，三等角以30度、45度、60度形式出現(xiàn)的居多。(2)內(nèi)外角平分線定理到射影定理的演變，注意之間的相同與不同之處。另外，相似、射影定理、相交弦定理(可以推廣到圓幕定理)之間的比值可以轉(zhuǎn)換成乘積，通過等線段、等比值、等乘積進(jìn)行代換，進(jìn)行證明得到需要的結(jié)論。說明：相似證明中最常用的輔助線是作平行，根據(jù)題目的條件或者結(jié)論的比值來作相應(yīng)的平行線。＞模型一：手拉手模型」旋轉(zhuǎn)型全等*麗加⑷3S均刪邊三角形Agfe5(DAO^Ck^OBDf?LAEB-60fl；LAED,<2>amfr：s艮w均為等媵直毎三角形a皓論=①AOJ「?M期A)i②SEH-9F$a③OE平分乙?/丁打亠尉h均為等械三酬a箔論=①區(qū)°」匕乜主°HD:②Z^iAW-AJ0H.a③『走平分厶也＞模型二手竝手模型-旋轉(zhuǎn)型相佩(1)一叔情況＞條件：⑴”冊，將曲疋D闌蛭右圄儘晉A結(jié)論；＞右團(tuán)中①\OC22ABJi^OAC；?@5￡KM交加于點(diǎn)匚必程丄肚匸-LBOA＜2)特殊情況＞條件三3咖，心倆?90篤將枇X?祓轉(zhuǎn)至右團(tuán)檢用＞結(jié)論二右團(tuán)中①吐C?CD5ACMBqACMC?iiOBDJ②延長M交BD于點(diǎn)Ef必育⑷比-LiSOAfBDODQBr——=——=——=fanA(Xi)③』匸OCOA；@8D丄3接加.eg帰加*g■価』⑥的g■壬心購t加翹相垂直的四5W)>模型三：對角互補(bǔ)模型4條曲①和②*平分ZUCM>結(jié)論；①ED=CE②0"*X"\?才證明提示：?乍垂耳如團(tuán)，證聊?MTX》②^點(diǎn)匚作匸尸丄?！溉缟蠄F(tuán)〔右）,證明3DCaAT￡C.a當(dāng)"疋E的一邊交M的延覘線于點(diǎn).□時：以上三個結(jié)論=?CD-CE（不變jj?OE-OD-41（X'$②Fg2憐論i硼方法佈T榨況軌確彳德試。Ci）全竿磐I灣a條件：①橙胡門H?』芝門「芒?！2"$a②。匚平分厶1伽；>結(jié)諭古①3■「“②M；+0E■（X$dd$.UX7>+爲(wèi)緞I?亠iUTO忌①百裁考“全竽型-您‘證法一i②如圜在陽上鞭一點(diǎn)F,便OF^OCt證明皿卜為等邊三毎矗。⑷厶皿占--IHO-.②CD*CE-絡(luò)論：(ptX'平分LAOH}②()D+OE=2(X'*coh{i;詁g-%皿+-仇「-sinci*ct^ci當(dāng)"KE的一邊交把的延艮^于點(diǎn),DRW如右上砂：廂詰論變成：①??可聲考上述第②種萬注溜亍證明?請盟考初船條件椒比對a對甬互*陣娜件詰：常見機(jī)飴茶件：強(qiáng)形對角互補(bǔ)$注倉兩曰：四點(diǎn)共圖及直角三甬刑斜邊中蛭;V］皓彖件“角平舉護(hù)與'倆邊閑等”的區(qū)制兇兩許常見的^肋髓作曲④注意X平井3。的L1〔DE-ACED■-LCOA-“°相爹如何推導(dǎo)？嚴(yán)篠型四：解含半角模型⑴角舍半角摸型池?1A=①正方形川心J?LEAF.45°,3爐皓論二①口=DF"心②父EF的周悅為正方形JMD咼長的一半,也^^祥：＞條件=①正方形舫5』②EF7F+SE?箔論二JLEAF^45a(2＞角含半甬鯉MT-2a條科■=①正方冊iSCO；@LEAF-4亍?a苗論=EF-DF-HEA輔BO線対F圖所示：<3；角含半角揑型MT-3>鼾R①眇站加）②MME■聘篤a結(jié)論=+CE=DEat)c若LDAE滸制3兀夕眉時結(jié)論BD1+CE2?DE1仍融立.n時”CIIflrCM：14JC(J#f*^4-)TZfWC-^EiF-^hAZOW-ZC^TZ.O/-￡jKi-4r?譏加廚㈣hK疋:.wtirmA荼件：①正方形IBS；②LEAF-分；>““拘髯牘直魚三副狹+>模型五：倍K中線類摸型l（n懿q^W-i>采件:?拒形茁匚D；②丿舊-處,?/V-旳A蠟論=忻丄仔WW：（DW平行蜂AD肚；②平行線間^段有中點(diǎn)“?”;翊購造“叩孚全箋WN■加便FBA親件：0)平行四邊形iBCD}②肚n2AB■③11/-t)M；@CE丄」D.a搭論=LFMD-^LMEA忖對ft：卉平纖EMCD,tf+AM/-ZXI/4￡{tEW*構(gòu)it\rlMI^M)MF.i￡#仁訂Kiit^StV.U.VftA逋過詢氾&牛士爭rUUiit反G豆H.的古小甘此＞模型六：相勺疙角旋轉(zhuǎn)模型&(i＞角形僭感訥〉卿41能轉(zhuǎn)魁耘中揺法＞條件mz叭\Afi(均為等腰直角三角形￡②EF-CFa絡(luò)論：①a=he.②"卜丄時<■>.i_\mi>xttn比空_厘刪HLH"』Cl,M貼也:itKhi±1A^?it/<--a/.止*皿擬;K”詁嶋劇H；勺和*AT⑴WEW得矗齟》Sfio*樹矚M曲R條件=①血ff堆、卻牡農(nóng)均為番腰直竜三角形,②也uCFjR結(jié)保①mr尸：②a丄肋軸網(wǎng)兀：旳追茅建jft旳\wxi/rc力壯出踣：釋門卜號Hi供化列rtf與///⑵任割瞅直角二角J辭如廚摸型*瞳法A卸=①］②睡ZdDC.gy；理竺二延怛Ba刖點(diǎn)&'快.Vi=.Q.I4Rf護(hù)対'HitDf$=5.■-i?VKiH(KJf說過義煒握型，Hrl品hX対CG曲fiH.“點(diǎn)在此匕_一止"舗時燼：i￡4t/>￡*M?itA￡-￡E,A條件：①A<Mfl^AG/>rJ②LOAH*LODC_?—訶p"W》\j/fri.■=wDWiijitr匚it鶴內(nèi)週暇比m瓷此址艸厲我血明m$?_wA模型七；晁短路程摸型棒北《V城件棒北《V城件0臭十時幻戌｛?,射丸耐釘殳皿桁00A/R思魅：駄上四陽溝芾屯的祛時命夷真刪＞世阿坯,報后吊甘叱列；9］山烈"，％哉最||"和料點(diǎn)：＜D^AAAK_L：②給鼠IMLJI屯＜2）戟揺程模型二I點(diǎn)釗直線嶷廿找F=F蛙*t\MH丄i柯師+卩4\屮亠/V'-M.丄少r\璋屢厲）?條件：①朋，平分LAOH.@材為0E上一定點(diǎn)；③尸為皿'上一動點(diǎn)；@。為f站上一動點(diǎn)；a求：最小時，只。的墮V＜3）蠶回賂程模型二f點(diǎn)到言線類器去躋；川心時.歐TMHOMPB^—PA＞問題：曲為何追時.5最小廠門皿sinZDJC-^＞求解方注：①T軸上取U",使J②過H作別」丄匕交「軸干點(diǎn).匚瞇廢求』tJii己也MO=[anjLOAC=-lffiWrVJWr',lffiWrVJWr',?Sitk?*i也miitint肚詢耄點(diǎn)oi*五內(nèi).加倉t*Hf>:M也C*耳?_-堆并鼻.”塔商手.*円18片農(nóng)4-丄直町礙勒上卜1亍*蘭4.楓絡(luò)i-i-^Uz.i'云七喙.iM^iffi;?4-?t"fYjfl

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(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)F在CB的延長線上時，(2)問中關(guān)系還成立嗎？寫出你的猜想，并給予證明?角平分線模型【模型1】構(gòu)造軸對稱【模型2】角平分線遇平行構(gòu)造等腰三角形【例】如圖，平行四邊形ABCD中，AE平分乙BAD交BC邊于E，EF丄AE交CD邊于F，交AD邊于H，延長

BA到點(diǎn)G,使AG=CF，連接GF.若BC=7,DF=3,EH=3AE，貝ijGF的長為ASD鄰邊相等的對角互補(bǔ)模型AAAE半角模型【條件】如團(tuán)，四邊形衛(wèi)ECD中，A^-=AD?!ZABC^ZADC=180'；弦圖模型EW1正方M內(nèi)或外互相垂賣的四條線段【結(jié)論】新構(gòu)成了同心的正方形BCAA【例】如圖點(diǎn)遲対正方形加仞邊的上一點(diǎn)』點(diǎn)尸在磁的延長線上AF=AB,M與FD交于點(diǎn)G,"AB的平分線交陽于點(diǎn)E,過點(diǎn)D作血的垂線交HA的延長線于點(diǎn)I.若