2022年高考數(shù)學(xué)全真模擬熱身卷03（解析）

2022屆高考數(shù)學(xué)·備戰(zhàn)熱身卷3一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，有一項符合題目要求。）1．（2022·河北·模擬預(yù)測）已知集合A=（

）A．B．C．或D．

【答案】A【分析】先求出集合，再根據(jù)集合的交集運算，即可求出結(jié)果.【詳解】因為集合，所以.2．（2022·河北·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)（，），若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)相等的條件求出a、b，即可得到答案.【詳解】因為，所以.所以.所以.3．（2022·河北·模擬預(yù)測）一質(zhì)點在單位圓上作勻速圓周運動，其位移滿足的方程為，其中h表示位移（單位：m），t表示時間（單位：s），則質(zhì)點在時的瞬時速度為（

）A．sin2m/s B．cos2m/s C．2sin2m/s D．2cos2m/s【答案】D【分析】求出可求質(zhì)點在時的瞬時速度，從而可得正確的選項.【詳解】因為，所以，所以質(zhì)點在時的瞬時速度為2cos2m/s．4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在等差數(shù)列中，，，則（

）A．0 B．m C．n D．【答案】A【分析】選擇題可以用特殊值法，簡便又快捷.【詳解】構(gòu)造等差數(shù)列使得，，這里，，于是，排除B、C、D.5．（2022·河北·模擬預(yù)測）函數(shù)（）的圖象大致是A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題意可知，所以函數(shù)是奇函數(shù)，依據(jù)圖象排除A和C選項，由于，即，排除D選項，故選B.6．（2022·河北·模擬預(yù)測）已知向量與的夾角為120°，且，向量滿足，且，記向量在向量與方向上的投影分別為、．的最大值為（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】由數(shù)量積的定義得，由向量共線定理得在線段上，由，得，利用投影公式計算出，計算是常數(shù)，因此只要最小即可得最大，利用余弦定理和基本不等式可得結(jié)論．【詳解】由得，設(shè)，，，因為，由向量共線定理知在線段上，如圖，設(shè)，則，因為，所以，即，故在方向上的投影與在方向上的投影相等，因此，又，，所以，又，所以，為常數(shù)，因此要使得最大，只要最小，由余弦定理，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最小值為，因此的最大值為，故的最大值為．7．（重慶市西南大學(xué)附屬中學(xué)校2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列滿足，，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．是單調(diào)遞增數(shù)列B．存在，使得C．D．【答案】B【分析】根據(jù)可推導(dǎo)得到當(dāng)時，，結(jié)合可求得，由此可得，知AB正誤；由，采用裂項相消法可知C正確；根據(jù)遞推關(guān)系式計算出即可知D正確.【詳解】對于A，由得：，時，；，，，依次類推可得：，，是單調(diào)遞增數(shù)列，A正確；對于B，由A中推導(dǎo)可知：，不存在，使得，B錯誤；對于C，由得：，，，C正確；對于D，由，得：，，D正確.8．（2022·河北·模擬預(yù)測）已知是方程的零點（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），下列說法錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件確定所在區(qū)間，再逐一分析各個選項即可判斷作答.【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而，，而是方程的零點，則，即，A正確；由得：，整理得：，B正確；因，，則，C不正確；因，則有，D正確.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分。）9．（2022·河北·模擬預(yù)測）下列函數(shù)中，以為最小正周期，且在上單調(diào)遞減的為（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)圖象的周期變換和翻折變換作出函數(shù)圖象，然后可得.【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖1，顯然A錯誤；作函數(shù)圖象，如圖2，故B正確；作函數(shù)圖象，如圖3，故C錯誤；作函數(shù)圖象，如圖4，故D正確.10．（江西省新余市2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）下列命題是真命題的為（）A．，函數(shù)恒過定點（1，2）B．若，則C．已知一個樣本為：1，3，4，a，7，且它的平均數(shù)是4，則這個樣本的方差是4D．?dāng)?shù)據(jù)170，168，172，172，176，178，175的60%分位數(shù)是175【答案】BCD【分析】求出函數(shù)的圖象所過定點即可判斷A;利用作差法比較，可判斷B;根據(jù)平均數(shù)求出a,即可求得方差,可判斷C;將數(shù)據(jù)170，168，172，172，176，178，175從小到大排列，求得其60%分位數(shù)，即可判斷D.【詳解】因為，故，故，函數(shù)恒過定點（1，3），故A錯誤；，由于，故，即，故B正確；樣本為：1，3，4，a，7，且它的平均數(shù)是4，即，，其方差為，故C正確；數(shù)據(jù)170，168，172，172，176，178，175從小到大排列為：168,170,172,172,175,176,178，而，故這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)時175，故D正確，11．（2022·河北·模擬預(yù)測）下列結(jié)論正確的有（

）A．若，則B．若，，，則C．若，，則D．若，，，則【答案】BCD【分析】對于A，分和兩種情況分析判斷即可，對于B，利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的單調(diào)性判斷，對于C，令，則，則，化簡，再求可得答案，對于D，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后利用單調(diào)性比較大小【詳解】對于A，當(dāng)時，由，得，則，當(dāng)時，由，得，則，因為，所以，綜上，或，所以A錯誤，對于B，因為，所以，所以，所以，因為，所以，即，所以，所以，所以B正確，對于C，令，則，所以，所以，所以，所以，所以C正確，對于D，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞增，在上遞減，因為，所以，所以，因為，所以，所以，所以D正確.12．（廣東省汕頭市2022屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）在棱長為1的正方體中，為底面的中心，，為線段的中點，則（

）A．與共面B．三棱錐的體積跟的取值無關(guān)C．時，過A，Q，M三點的平面截正方體所得截面的周長為D．【答案】ABC【分析】由為的中點，得到，可判定A正確；由到平面的距離為定值，且的面積為定值，根據(jù)，可得判定B正確，由時，得到三點的正方體的截面是等腰梯形，可判定C正確；當(dāng)時，根據(jù)，可判定D不正確．【詳解】在中，因為為的中點，所以，所以與共面，所以A正確；由，因為到平面的距離為定值，且的面積為定值，所以三棱錐的體積跟的取值無關(guān)，所以B正確；當(dāng)時，過三點的正方體的截面是等腰梯形，所以平面截正方體所得截面的周長為，所以C正確；當(dāng)時，可得，則，所以不成，所以D不正確．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分。）13．（2022·河北·模擬預(yù)測）已知向量，，且，則__________.【答案】；【詳解】因為，，所以，因為，所以，解得.14．（2022·河北·模擬預(yù)測）如果函數(shù)同時滿足下列兩個條件：①函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱；②函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，那么我們稱它為“點軸對稱型函數(shù)”.請寫出一個這樣的“點軸對稱函數(shù)”___________.【答案】或【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，由于的圖象關(guān)于直線對稱，且關(guān)于點對稱，則，即，當(dāng)時，解得：，所以或.15．（2022·河北·模擬預(yù)測）已知過橢圓上的動點作圓（為圓心）：的兩條切線，切點分別為，若的最小值為，則橢圓的離心率為______．【答案】【詳解】由橢圓方程知其右焦點為；由圓的方程知：圓心為，半徑為；當(dāng)最小時，則最小，即，此時最??；此時，；為橢圓右頂點時，，解得：，橢圓的離心率.16．（2022·浙江浙江·高三階段練習(xí)）如圖，點P是半徑為2的圓O上一點，現(xiàn)將如圖放置的邊長為2的正方形（頂點A與P重合）沿圓周逆時針滾動.若從點A離開圓周的這一刻開始，正方形滾動至使點A再次回到圓周上為止，稱為正方形滾動了一輪，則當(dāng)點A第一次回到點P的位置時，正方形滾動了________輪，此時點A走過的路徑的長度為___________.【答案】

3；【詳解】正方形滾動一輪，圓周上依次出現(xiàn)的正方形頂點為，頂點兩次回到點P時，正方形頂點將圓周正好分成六等分，由4和6的最小公倍數(shù)：，所以到點A首次與P重合時，正方形滾動了3輪.這一輪中，點A路徑是圓心角為，半徑分別為2，，2的三段弧，故路徑長，∴點A與P重合時總路徑長為.四、解答題（本題共6小題，共70分。第17題10分，其余每題12分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.（2022·云南·昆明一中高一期末）如圖，已知直線，A是之間的一定點，并且點A到，的距離分別為和2.B，C分別是直線上的動點，且，設(shè)，.(1)寫出關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)求函數(shù)的最小值及相對應(yīng)的x的值.【答案】(1)，；(2)時，.【解析】(1)依題意，，而，，，則，由知，點B，C在直線DE同側(cè)，均為銳角，則有，在中，，在中，，則，所以，.(2)由(1)得：因，即，當(dāng)，即時，取最大值1，所以.18．（山東省煙臺市2022屆高三一模數(shù)學(xué)試題）己知等差數(shù)列的前n項和為，，．(1)求的通項公式；(2)保持?jǐn)?shù)列中各項先后順序不變，在與之間插入個1，使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列，記的前n項和為，求的值．【答案】(1)；(2)142.【解析】(1)設(shè)的公差為d，由已知，．解得，d＝2．所以；(2)因為與之間插入個1，所以在中對應(yīng)的項數(shù)為，當(dāng)k＝6時，，當(dāng)k＝7時，，所以，，且．因此.19．（2022·北京一七一中高三階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，，E是的中點，作交于點F.(1).證明：平面；(2)證明：平面；(3)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)【解析】(1)如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點，設(shè)．（1）證明：連接AC，AC交BD于G，連接EG．依題意得．∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故點G的坐標(biāo)為且．∴，故PA∥EG．而EG?平面EDB且PA?平面EDB，∴PA∥平面EDB．(2)依題意得B（a，a，0），．又，故．∴PB⊥DE．由已知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，所以PB⊥平面EFD．(3)設(shè)點F的坐標(biāo)為（x0，y0，z0），，則（x0，y0，z0﹣a）＝λ（a，a，﹣a）．從而x0＝λa，y0＝λa，z0＝（1﹣λ）a．所以．由條件EF⊥PB知，，即，解得∴點F的坐標(biāo)為，且易知,又，所以平面,故是平面的法向量，設(shè)平面的法向量，又,所以，令，則，所以，所以故二面角的大小為.20．（2022·廣東江門·模擬預(yù)測）浙江省東魁楊梅是現(xiàn)在世界上最大果形的楊梅，有“乒乓楊梅”、“楊梅之皇”的美譽.東魁楊梅始于浙江黃巖區(qū)江口街道東岙村一棵樹齡約120多年的野楊梅樹，經(jīng)過東岙村和白龍岙村村民不斷改良，形成了今天東魁楊梅的品種.栽培東魁楊梅一舉多得，對開發(fā)山區(qū)資源，綠化荒山，保持水土，增加山區(qū)經(jīng)濟收入具有積極意義.根據(jù)多年的經(jīng)驗，可以認(rèn)為東魁楊梅果實的果徑（單位：mm），但因氣候、施肥和技術(shù)的不同，每年的和都有些變化.現(xiàn)某農(nóng)場為了了解今年的果實情況，從摘下的楊梅果實中隨機取出1000顆，并測量這1000顆果實的果徑，得到如下頻率分布直方圖.(1)用頻率分布直方圖估計樣本的平均數(shù)近似代替，標(biāo)準(zhǔn)差s近似代替，已知.根據(jù)以往經(jīng)驗，把果徑與的差的絕對值在內(nèi)的果實稱為“標(biāo)準(zhǔn)果”.現(xiàn)從農(nóng)場中摘取20顆果，請問這20顆果恰好有一顆不是“標(biāo)準(zhǔn)果”的概率；（結(jié)果精確到0.01）(2)隨著直播帶貨的發(fā)展，該農(nóng)場也及時跟進(jìn).網(wǎng)絡(luò)銷售在大大提升銷量的同時，也增加了壞果賠付的成本.現(xiàn)該農(nóng)場有一款“”的主打產(chǎn)品，該產(chǎn)品按盒銷售，每盒20顆，售價80元，客戶在收到貨時如果有壞果，每一個壞果該農(nóng)場要賠付4元.根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，知若采用款包裝盒，成本元，且每盒出現(xiàn)壞果個數(shù)滿足，若采用款包裝盒，成本元，且每盒出現(xiàn)壞果個數(shù)滿足，（為常數(shù)），請運用概率統(tǒng)計的相關(guān)知識分析，選擇哪款包裝盒可以獲得更大利潤?參考數(shù)據(jù)：；；；；；.【答案】(1)0.38；(2)當(dāng)時，采用兩種包裝利潤一樣，當(dāng)時，采用B款包裝盒，當(dāng)時，采用A款包裝盒.【解析】(1)由題意得：，所以，，則，，所以，設(shè)從農(nóng)場中摘取20顆果，這20顆果恰好有一顆不是“標(biāo)準(zhǔn)果”為事件A，則(2)由，解得：，所以，采用A款包裝盒獲得利潤的數(shù)學(xué)期望，采用B款包裝盒獲得利潤的數(shù)學(xué)期望，令，解得：a=，由于，令，解得：，令，解得：，故當(dāng)時，采用兩種包裝利潤一樣，當(dāng)時，采用B款包裝盒，當(dāng)時，采用A款包裝盒.21．（2022·河北唐山·一模）已知橢圓經(jīng)過點，離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)如圖，橢圓C的左、右頂點為，，不與坐標(biāo)軸垂直且不過原點的直線l與C交于M，N兩點（異于，），點M關(guān)于原點O的對稱點為點P，直線與直線交于點Q，直線與直線l交于點R.證明：點R在定直線上.【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】(1)由題意知，，解得，故橢圓C的方程為.(2)設(shè)，，則.直線l的方程為，其中且，將代入橢圓，整理得，由與韋達(dá)定理得：，，.由（1）知：，，設(shè)，由、P、Q三點共線得：，由、N、Q三點共線得：，則，于是直線的斜率為，直線的方程為，聯(lián)立，解得：，即點R在定直線上.22．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知