2023高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)精講1

第一講、集合與簡(jiǎn)易邏輯一、集合根本概念：集合、元素；空集、全集；符號(hào)的使用.集合的表示法：列舉法、描述法、圖形表示法.集合元素的特征：確定性、互異性、無序性.3.集合的性質(zhì)：①任何一個(gè)集合是它本身的子集，記為；②空集是任何集合的子集，記為；③空集是任何非空集合的真子集；④空集的補(bǔ)集是全集.⑤假設(shè)集合A=集合B，那么S〔.4.①{〔x，y〕|xy=0，x∈R，y∈R}坐標(biāo)軸上的點(diǎn)集.②{〔x，y〕|xy＜0，x∈R，y∈R二、四象限的點(diǎn)集.③{〔x，y〕|xy＞0，x∈R，y∈R}一、三象限的點(diǎn)集.[注]：①對(duì)方程組解的集合應(yīng)是點(diǎn)集.例：解的集合{(2，1)}.②點(diǎn)集與數(shù)集的交集是.〔例：A={(x，y)|y=x+1}B={y|y=x2+1}那么A∩B=〕5.①n個(gè)元素的子集有2n個(gè).②n個(gè)元素的真子集有2n－1個(gè).③n個(gè)元素的非空真子集有2n－2個(gè).6.⑴①一個(gè)命題的否命題為真，它的逆命題一定為真.否命題逆命題.②一個(gè)命題為真，那么它的逆否命題一定為真.原命題逆否命題.例：①假設(shè)應(yīng)是真命題.解：逆否：a=2且b=3，那么a+b=5，成立，所以此命題為真.②.解：逆否：x+y=3x=1或y=2.,故是的既不是充分，又不是必要條件.7．主要性質(zhì)和運(yùn)算律包含關(guān)系：等價(jià)關(guān)系：集合的運(yùn)算律：交換律：結(jié)合律:分配律:.0-1律：等冪律：二、含絕對(duì)值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式的解法根軸法〔零點(diǎn)分段法〕將不等式化為a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)>0(<0)形式，并將各因式x的系數(shù)化“+〞；②求根，并在數(shù)軸上表示出來；③由右上方穿線，經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點(diǎn)〔為什么？〕；④假設(shè)不等式〔x的系數(shù)化“+〞后〕是“>0〞,那么找“線〞在x軸上方的區(qū)間；假設(shè)不等式是“<0〞,那么找“線〞在x軸下方的區(qū)間.〔自右向左正負(fù)相間〕那么不等式的解可以根據(jù)各區(qū)間的符號(hào)確定.特例①一元一次不等式ax>b解的討論；②一元二次不等式ax2+box>0(a>0)解的討論.二次函數(shù)〔〕的圖象一元二次方程有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根無實(shí)根R2.分式不等式的解法〔1〕標(biāo)準(zhǔn)化：移項(xiàng)通分化為>0(或<0)；≥0(或≤0)的形式，〔2〕轉(zhuǎn)化為整式不等式〔組〕3.含絕對(duì)值不等式的解法〔1〕公式法：,與型的不等式的解法.〔2〕定義法：用“零點(diǎn)分區(qū)間法〞分類討論.〔3〕幾何法：根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義用數(shù)形結(jié)合思想方法解題.4.一元二次方程根的分布一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)〔1〕根的“零分布〞：根據(jù)判別式和韋達(dá)定理分析列式解之.〔2〕根的“非零分布〞：作二次函數(shù)圖象，用數(shù)形結(jié)合思想分析列式解之.三、簡(jiǎn)易邏輯1、命題的定義：可以判斷真假的語句叫做命題。2、邏輯聯(lián)結(jié)詞、簡(jiǎn)單命題與復(fù)合命題：“或〞、“且〞、“非〞這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞；不含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題是簡(jiǎn)單命題；由簡(jiǎn)單命題和邏輯聯(lián)結(jié)詞“或〞、“且〞、“非〞構(gòu)成的命題是復(fù)合命題。構(gòu)成復(fù)合命題的形式：p或q(記作“p∨q〞)；p且q(記作“p∧q〞)；非p(記作“┑q〞)。3、“或〞、“且〞、“非〞的真值判斷〔1〕“非p〞形式復(fù)合命題的真假與F的真假相反；〔2〕“p且q〞形式復(fù)合命題當(dāng)P與q同為真時(shí)為真，其他情況時(shí)為假；〔3〕“p或q〞形式復(fù)合命題當(dāng)p與q同為假時(shí)為假，其他情況時(shí)為真．4、四種命題的形式：原命題：假設(shè)P那么q；逆命題：假設(shè)q那么p；否命題：假設(shè)┑P那么┑q；逆否命題：假設(shè)┑q那么┑p。(1)交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是逆命題；(2)同時(shí)否認(rèn)原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是否命題；(3)交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時(shí)否認(rèn)，所得的命題是逆否命題．5、四種命題之間的相互關(guān)系：一個(gè)命題的真假與其他三個(gè)命題的真假有如下三條關(guān)系：(原命題逆否命題)①、原命題為真，它的逆命題不一定為真。②、原命題為真，它的否命題不一定為真。③、原命題為真，它的逆否命題一定為真。6、如果pq那么我們說，p是q的充分條件，q是p的必要條件。假設(shè)pq且qp,那么稱p是q的充要條件，記為p?q.7、反證法：從命題結(jié)論的反面出發(fā)〔假設(shè)〕，引出(與、公理、定理…)矛盾，從而否認(rèn)假設(shè)證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。第二講、函數(shù)一、映射與函數(shù)1.映射與一一映射2.函數(shù)函數(shù)三要素是定義域，對(duì)應(yīng)法那么和值域，而定義域和對(duì)應(yīng)法那么是起決定作用的要素，因?yàn)檫@二者確定后，值域也就相應(yīng)得到確定，因此只有定義域和對(duì)應(yīng)法那么二者完全相同的函數(shù)才是同一函數(shù).3.反函數(shù)的定義設(shè)函數(shù)的值域是C，根據(jù)這個(gè)函數(shù)中x,y的關(guān)系，用y把x表示出，得到x=(y).假設(shè)對(duì)于y在C中的任何一個(gè)值，通過x=(y)，x在A中都有唯一的值和它對(duì)應(yīng)，那么，x=(y)就表示y是自變量，x是自變量y的函數(shù)，這樣的函數(shù)x=(y)(yC)叫做函數(shù)的反函數(shù)。二、函數(shù)的性質(zhì)⒈函數(shù)的單調(diào)性定義：對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2,⑴假設(shè)當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2),那么說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)；⑵假設(shè)當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2),那么說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).假設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有〔嚴(yán)格的〕單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.此時(shí)也說函數(shù)是這一區(qū)間上的單調(diào)函數(shù).2.函數(shù)的奇偶性⑴偶函數(shù)：設(shè)〔〕為偶函數(shù)上一點(diǎn)，那么〔〕也是圖象上一點(diǎn).偶函數(shù)的判定：兩個(gè)條件同時(shí)滿足①定義域一定要關(guān)于軸對(duì)稱，例如：在上不是偶函數(shù).②滿足，或，假設(shè)時(shí)，.⑵奇函數(shù)：設(shè)〔〕為奇函數(shù)上一點(diǎn)，那么〔〕也是圖象上一點(diǎn).奇函數(shù)的判定：兩個(gè)條件同時(shí)滿足①定義域一定要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，例如：在上不是奇函數(shù).②滿足，或，假設(shè)時(shí)，.⑶對(duì)稱變換：①y=f〔x〕②y=f〔x〕③y=f〔x〕⑷判斷函數(shù)單調(diào)性〔定義〕作差法：對(duì)帶根號(hào)的一定要分子有理化，例如：，在進(jìn)行討論.的值域，故，而A，故.3.常用變換：①.證：②證：4.函數(shù)圖像⑴熟悉常用函數(shù)圖象：例：→關(guān)于軸對(duì)稱.→→→關(guān)于軸對(duì)稱.⑵熟悉分式圖象：例：定義域，值域→值域前的系數(shù)之比.三、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)(1)定義域：R〔2〕值域：〔0，+∞〕〔3〕過定點(diǎn)〔0，1〕，即x=0時(shí)，y=1(4)x>0時(shí)，y>1;x<0時(shí)，0<y<1(4)x>0時(shí)，0<y<1;x<0時(shí)，y>1.〔5〕在R上是增函數(shù)〔5〕在R上是減函數(shù)a>10<a<1圖象性質(zhì)〔1〕定義域：〔0，+∞〕〔2〕值域：R〔3〕過點(diǎn)〔1，0〕，即當(dāng)x=1時(shí)，y=0〔4〕時(shí)時(shí)y>0時(shí)時(shí)〔5〕在〔0，+∞〕上是增函數(shù)在〔0，+∞〕上是減函數(shù)2.對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax的圖象和性質(zhì):⑴對(duì)數(shù)運(yùn)算：〔以上〕注：當(dāng)時(shí)，.⑵〔〕與互為反函數(shù).當(dāng)時(shí)，的值越大，越靠近軸；當(dāng)時(shí)，那么相反.四、函數(shù)的一些根本求法1.函數(shù)表達(dá)式的求法：①定義法；②換元法；③待定系數(shù)法.2.反函數(shù)的求法：先解x,互換x、y，注明反函數(shù)的定義域(即原函數(shù)的值域).3.函數(shù)的定義域的求法：布列使函數(shù)有意義的自變量的不等關(guān)系式，求解即可求得函數(shù)的定義域.常涉及到的依據(jù)為①分母不為0；②偶次根式中被開方數(shù)不小于0；③對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，底數(shù)大于零且不等于1；④零指數(shù)冪的底數(shù)不等于零；⑤實(shí)際問題要考慮實(shí)際意義等.4.函數(shù)值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法〞；③反函數(shù)法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數(shù)的單調(diào)性法.5.單調(diào)性的判定法：①設(shè)x,x是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x＜x；②判定f(x)與f(x)的大小；③作差比擬或作商比擬.6.奇偶性的判定法：首先考察定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再計(jì)算f(-x)與f(x)之間的關(guān)系：①f(-x)=f(x)為偶函數(shù)；f(-x)=-f(x)為奇函數(shù)；②f(-x)-f(x)=0為偶；f(x)+f(-x)=0為奇；③f(-x)/f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1為奇函數(shù).7.圖象的作法與平移：①據(jù)函數(shù)表達(dá)式，列表、描點(diǎn)、連光滑曲線；②利用熟知函數(shù)的圖象的平移、翻轉(zhuǎn)、伸縮變換；③利用反函數(shù)的圖象與對(duì)稱性描繪函數(shù)圖象.第三講數(shù)列一、等差、等比數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列定義通項(xiàng)公式=+〔n-1〕d=+〔n-k〕d=+-d求和公式中項(xiàng)公式A=推廣：2=。推廣：性質(zhì)1假設(shè)m+n=p+q那么假設(shè)m+n=p+q，那么。2假設(shè)成A.P〔其中〕那么也為A.P。假設(shè)成等比數(shù)列〔其中〕，那么成等比數(shù)列。3．成等差數(shù)列。成等比數(shù)列。4，1.看數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法：①②2()③(為常數(shù)).2.看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法：①②(，)①③(為非零常數(shù)).④正數(shù)列{}成等比的充要條件是數(shù)列{}〔〕成等比數(shù)列.3.數(shù)列{}的前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系：4.①等差數(shù)列依次每k項(xiàng)的和仍成等差數(shù)列，其公差為原公差的k2倍；②假設(shè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2，那么；③假設(shè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，那么，且，.5.常用公式〔1〕1+2+3+...+n=〔2〕1+3+5+...+(2n-1)=〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕[注]：熟悉常用通項(xiàng)：9，99，999，…；5，55，555，….二、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式的常見應(yīng)用題：1.生產(chǎn)部門中有增長(zhǎng)率的總產(chǎn)量問題.例如，第一年產(chǎn)量為，年增長(zhǎng)率為，那么每年的產(chǎn)量成等比數(shù)列，公比為.其中第年產(chǎn)量為，且過年后總產(chǎn)量為：2.銀行部門中按復(fù)利計(jì)算問題.例如：一年中每月初到銀行存元，利息為，每月利息按復(fù)利計(jì)算，那么每月的元過個(gè)月后便成為元.因此，第二年年初可存款：=.3.分期付款應(yīng)用題：為分期付款方式貸款為a元；m為m個(gè)月將款全部付清；為年利率.三、幾種常見的數(shù)列的思想方法：1.在等差數(shù)列｛｝中,有關(guān)Sn的最值問題：(1)當(dāng)>0,d<0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得取最大值.(2)當(dāng)<0,d>0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得取最小值。在解含絕對(duì)值的數(shù)列最值問題時(shí),注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用2.如果數(shù)列可以看作是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積，求此數(shù)列前項(xiàng)和可依照等比數(shù)列前項(xiàng)和的推倒導(dǎo)方法：錯(cuò)位相減求和.例如：3.兩個(gè)等差數(shù)列的相同項(xiàng)亦組成一個(gè)新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項(xiàng)就是原兩個(gè)數(shù)列的第一個(gè)相同項(xiàng)，公差是兩個(gè)數(shù)列公差的最小公倍數(shù).4.判斷和證明數(shù)列是等差〔等比〕數(shù)列常有三種方法：(1)定義法:對(duì)于n≥2的任意自然數(shù),驗(yàn)證為同一常數(shù)。(2)通項(xiàng)公式法。(3)中項(xiàng)公式法:驗(yàn)證都成立。四、數(shù)列求和的常用方法1.公式法:適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列。2.倒序相加法:類似于等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法.3.裂項(xiàng)相消法:適用于其中{}是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；局部無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。例求數(shù)列的前和〔N*〕，4.錯(cuò)位相減法:適用于其中{}是等差數(shù)列，是各項(xiàng)不為0的等比數(shù)列。例求和：①-②可得第四講三角函數(shù)一、三角函數(shù)的根本知識(shí)1.①與〔0°≤＜360°〕終邊相同的角的集合〔角與角的終邊重合〕：②終邊在x軸上的角的集合：③終邊在y軸上的角的集合：④終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：⑤終邊在y=x軸上的角的集合：⑥終邊在軸上的角的集合：⑦假設(shè)角與角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，那么角與角的關(guān)系：⑧假設(shè)角與角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，那么角與角的關(guān)系：⑨假設(shè)角與角的終邊在一條直線上，那么角與角的關(guān)系：⑩角與角的終邊互相垂直，那么角與角的關(guān)系：2.角度與弧度的互換關(guān)系：360°=2180°=1°=0.017451=57.30°=57°18′注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零.弧度與角度互換公式：1rad＝°≈57.30°=57°18ˊ；1°＝≈0.01745〔rad〕3.弧長(zhǎng)公式：.扇形面積公式：4.三角函數(shù)：設(shè)是一個(gè)任意角，在的終邊上任取〔異于原點(diǎn)的〕一點(diǎn)P〔x,y〕P與原點(diǎn)的距離為r，那么；；；；；..5.三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：〔一全二正弦，三切四余弦〕6.三角函數(shù)線正弦線：MP;余弦線：OM;正切線：AT.7.幾個(gè)重要結(jié)論8.三角函數(shù)的定義域：三角函數(shù)定義域sinxcosxtanxcotxsecxcscx9.同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式：10.誘導(dǎo)公式：“奇變偶不變，符號(hào)看象限〞二、三角函數(shù)的公式：1.根本關(guān)系公式組二公式組三公式組四公式組五公式組六2.角與角之間的互換公式組一公式組二公式組三公式組四公式組五,,,.三、正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的性質(zhì)：〔A、＞0〕定義域RRR值域RR周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)當(dāng)非奇非偶當(dāng)奇函數(shù)單調(diào)性上為增函數(shù)；上為減函數(shù)〔〕；上為增函數(shù)上為減函數(shù)〔〕上為增函數(shù)〔〕上為減函數(shù)〔〕上為增函數(shù)；上為減函數(shù)〔〕注意：①與的單調(diào)性正好相反；與的單調(diào)性也同樣相反.一般地，假設(shè)在上遞增〔減〕，那么在上遞減〔增〕.②與的周期是.③或〔〕的周期.的周期為2〔，如圖，翻折無效〕.④的對(duì)稱軸方程是〔〕，對(duì)稱中心〔〕；的對(duì)稱軸方程是〔〕，對(duì)稱中心〔〕；的對(duì)稱中心〔〕.⑤當(dāng)·；·.⑥與是同一函數(shù),而是偶函數(shù)，那么.⑦函數(shù)在上為增函數(shù).〔×〕[只能在某個(gè)單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增.假設(shè)在整個(gè)定義域，為增函數(shù)，同樣也是錯(cuò)誤的].⑧定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是具有奇偶性的必要不充分條件.〔奇偶性的兩個(gè)條件：一是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱〔奇偶都要〕，二是滿足奇偶性條件，偶函數(shù)：，奇函數(shù)：〕奇偶性的單調(diào)性：奇同偶反.例如：是奇函數(shù)，是非奇非偶.〔定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱〕。奇函數(shù)特有性質(zhì)：假設(shè)的定義域，那么一定有.〔的定義域，那么無此性質(zhì)〕⑨不是周期函數(shù)；為周期函數(shù)〔〕；是周期函數(shù)；為周期函數(shù)〔〕；的周期為；⑩有.四、三角函數(shù)圖象的作法：1.幾何法：2.描點(diǎn)法及其特例——五點(diǎn)作圖法〔正、余弦曲線〕，三點(diǎn)二線作圖法〔正、余切曲線〕.3.利用圖象變換作三角函數(shù)圖象．函數(shù)y＝Asin〔ωx＋φ〕的振幅|A|，周期，頻率，相位初相〔即當(dāng)x＝0時(shí)的相位〕．〔當(dāng)A＞0，ω＞0時(shí)以上公式可去絕對(duì)值符號(hào)〕，①由y＝sinx的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)〔當(dāng)|A|＞1〕或縮短〔當(dāng)0＜|A|＜1〕到原來的|A|倍，得到y(tǒng)＝Asinx的圖象②由y＝sinx的圖象上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)〔0＜|ω|＜1〕或縮短〔|ω|＞1〕到原來的倍，得到y(tǒng)＝sinωx的圖象③由y＝sinx的圖象上所有的點(diǎn)向左〔當(dāng)φ＞0〕或向右〔當(dāng)φ＜0〕平行移動(dòng)｜φ｜個(gè)單位，得到y(tǒng)＝sin〔x＋φ〕的圖象④由y＝sinx的圖象上所有的點(diǎn)向上〔當(dāng)b＞0〕或向下〔當(dāng)b＜0〕平行移動(dòng)｜b｜個(gè)單位，得到y(tǒng)＝sinx＋b的圖象叫做沿y軸方向的平移．五、反三角函數(shù)：1.函數(shù)y＝sinx，的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù)，記作y＝arcsinx，它的定義域是［－1，1］，值域是．2.函數(shù)y＝cosx，〔x∈［0，π］〕的反響函數(shù)叫做反余弦函數(shù)，記作y＝arccosx，它的定義域是［－1，1］，值域是［0，π］．3.函數(shù)y＝tanx，的反函數(shù)叫做反正切函數(shù)，記作y＝arctanx，它的定義域是〔－∞，＋∞〕，值域是．4.函數(shù)y＝ctgx，［x∈〔0，π〕］的反函數(shù)叫做反余切函數(shù)，記作y＝arcctgx，它的定義域是〔－∞，＋∞〕，值域是〔0，π〕．第五講平面向量一、平面向量1.向量的概念(1)向量的根本要素：大小和方向.(2)向量的表示：幾何表示法；字母表示：a；坐標(biāo)表示法a＝ｘｉ＋ｙj＝〔ｘ，ｙ〕.(3)向量的長(zhǎng)度：即向量的大小，記作｜a｜.(4)特殊的向量：零向量a＝O｜a｜＝O.單位向量aO為單位向量｜aO｜＝1.(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝〔ｘ2，ｙ2〕(6)相反向量：a=-bb=-aa+b=0(7)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的向量，稱為平行向量.記作a∥b.平行向量也稱為共線向量.2.向量的運(yùn)算運(yùn)算類型幾何方法坐標(biāo)方法運(yùn)算性質(zhì)向量的加法1.平行四邊形法那么2.三角形法那么向量的減法三角形法那么,數(shù)乘向量1.是一個(gè)向量,滿足:2.>0時(shí),同向;<0時(shí),異向;=0時(shí),.向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)1.時(shí)，.2.3.重要定理、公式(1)平面向量根本定理e1，e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么，對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)任一向量，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)兩個(gè)向量平行的充要條件a∥ba＝λb(b≠0)x1y2－x2y1＝O.(3)兩個(gè)向量垂直的充要條件a⊥ba·b＝Ox1x2＋y1y2＝O.(4)線段的定比分點(diǎn)公式設(shè)點(diǎn)P分有向線段所成的比為λ，即＝λ，那么＝＋線段的定比分點(diǎn)的向量公式線段定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式當(dāng)λ＝1時(shí)，得中點(diǎn)公式：＝〔＋〕或(5)平移公式設(shè)點(diǎn)P(x，y)按向量a＝〔ｈ，ｋ〕平移后得到點(diǎn)P′〔x′，y′〕，那么＝+a或曲線y＝f〔x〕按向量a＝〔ｈ，ｋ〕平移后所得的曲線的函數(shù)解析式為：y－ｋ＝f〔x－ｈ)(6)正、余弦定理正弦定理：余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.二、空間向量1．空間向量的運(yùn)算與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運(yùn)算如下運(yùn)算律：⑴加法交換律：⑵加法結(jié)合律：⑶數(shù)乘分配律：2.共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．平行于記作．當(dāng)我們說向量、共線〔或//〕時(shí)，表示、的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線．3．共線向量定理及其推論：共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量、〔≠〕，//的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ.推論：如果為經(jīng)過點(diǎn)A且平行于非零向量的直線，那么對(duì)于任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t滿足等式．〔其中向量叫做直線的方向向量〕4．向量與平面平行：平面和向量，作，如果直線平行于或在內(nèi)，那么我們說向量平行于平面，記作：．通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量說明：空間任意的兩向量都是共面的5．共面向量定理：如果兩個(gè)向量不共線，與向量共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)使推論：空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，或?qū)臻g任一點(diǎn)，有此式叫做平面的向量表達(dá)式6.空間向量根本定理：如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組，使推論：設(shè)是不共面的四點(diǎn)，那么對(duì)空間任一點(diǎn)，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)，使7.空間向量的夾角及其表示：兩非零向量，在空間任取一點(diǎn)，作，那么叫做向量與的夾角，記作；且規(guī)定，顯然有；假設(shè)，那么稱與互相垂直，記作：.8．向量的模：設(shè)，那么有向線段的長(zhǎng)度叫做向量的長(zhǎng)度或模，記作：.9．向量的數(shù)量積：．向量和軸，是上與同方向的單位向量，作點(diǎn)在上的射影，作點(diǎn)在上的射影，那么叫做向量在軸上或在上的正射影.可以證明的長(zhǎng)度．10．空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：〔1〕．〔2〕．〔3〕．11．空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：〔1〕〔2〕〔交換律〕〔3〕〔分配律〕．三、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算1.空間向量的坐標(biāo)：空間直角坐標(biāo)系的x軸是橫軸〔對(duì)應(yīng)為橫坐標(biāo)〕，y軸是縱軸〔對(duì)應(yīng)為縱軸〕，z軸是豎軸〔對(duì)應(yīng)為豎坐標(biāo)〕.①令=(a1,a2,a3),，那么∥(用到常用的向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化：)②空間兩點(diǎn)的距離公式：.2.法向量：假設(shè)向量所在直線垂直于平面，那么稱這個(gè)向量垂直于平面，記作，如果那么向量叫做平面的法向量.法向量的常用方法：①利用法向量求點(diǎn)到面的距離定理：如圖，設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條射線，其中，那么點(diǎn)B到平面的距離為.②利用法向量求二面角的平面角定理：設(shè)分別是二面角中平面的法向量，那么所成的角就是所求二面角的平面角或其補(bǔ)角大小〔方向相同，那么為補(bǔ)角，反方，那么為其夾角〕.③證直線和平面平行定理：直線平面，，且CDE三點(diǎn)不共線，那么a∥的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)使.〔常設(shè)求解假設(shè)存在即證畢，假設(shè)不存在，那么直線AB與平面相交〕.①②③第六講不等式一、不等式的根本性質(zhì)〔1〕〔對(duì)稱性〕〔2〕〔傳遞性〕〔3〕〔加法單調(diào)性〕〔4〕〔同向不等式相加〕〔5〕〔異向不等式相減〕〔6〕〔7〕〔乘法單調(diào)性〕〔8〕〔同向不等式相乘〕〔異向不等式相除〕〔倒數(shù)關(guān)系〕〔11〕〔平方法那么〕〔12〕〔開方法那么〕二、常見不等式1.幾個(gè)重要不等式〔1〕〔2〕〔當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)〕〔3〕如果a,b都是正數(shù)，那么〔當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)〕極值定理：假設(shè)那么：①如果P是定值,那么當(dāng)x=y時(shí)，S的值最??；②如果S是定值,那么當(dāng)x=y時(shí)，P的值最大.利用極值定理求最值的必要條件：一正、二定、三相等.〔當(dāng)僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)〕〔當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)〕〔7〕2.幾個(gè)著名不等式〔1〕平均不等式：如果a,b都是正數(shù)，那么〔當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)〕即：平方平均≥算術(shù)平均≥幾何平均≥調(diào)和平均〔a、b為正數(shù)〕：特別地，〔當(dāng)a=b時(shí)，〕冪平均不等式：〔2〕柯西不等式：〔3〕凸函數(shù)與凹函數(shù)假設(shè)定義在某區(qū)間上的函數(shù)f(x),對(duì)于定義域中任意兩點(diǎn)有那么稱f(x)為凸〔或凹〕函數(shù).〔4〕常用不等式的放縮法：①②三、不等式的解法1.整式不等式的解法〔根軸法〕.步驟：正化，求根，標(biāo)軸，穿線〔偶重根打結(jié)〕，定解.特例①一元一次不等式ax>b解的討論；②一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)解的討論.2.分式不等式的解法：先移項(xiàng)通分標(biāo)準(zhǔn)化，那么3.無理不等式：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解①②③4.指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式5.對(duì)數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式6.含絕對(duì)值不等式①應(yīng)用分類討論思想去絕對(duì)值；②應(yīng)用數(shù)形思想；③應(yīng)用化歸思想等價(jià)轉(zhuǎn)化注：常用不等式的解法舉例〔x為正數(shù)〕：①②類似于，③第七講直線和圓的方程一、直線方程.1.直線的傾斜角：一條直線向上的方向與軸正方向所成的最小正角叫做這條直線的傾斜角，其中直線與軸平行或重合時(shí)，其傾斜角為0，故直線傾斜角的范圍是.注：①當(dāng)或時(shí)，直線垂直于軸，它的斜率不存在.②每一條直線都存在惟一的傾斜角，除與軸垂直的直線不存在斜率外，其余每一條直線都有惟一的斜率，并且當(dāng)直線的斜率一定時(shí)，其傾斜角也對(duì)應(yīng)確定.2.直線方程的幾種形式：點(diǎn)斜式、截距式、兩點(diǎn)式、斜切式.特別地，當(dāng)直線經(jīng)過兩點(diǎn)，即直線在軸，軸上的截距分別為時(shí)，直線方程是：.注：假設(shè)是一直線的方程，那么這條直線的方程是，但假設(shè)那么不是這條線.附：直線系：對(duì)于直線的斜截式方程，當(dāng)均為確定的數(shù)值時(shí)，它表示一條確定的直線，如果變化時(shí)，對(duì)應(yīng)的直線也會(huì)變化.①當(dāng)為定植，變化時(shí)，它們表示過定點(diǎn)〔0，〕的直線束.②當(dāng)為定值，變化時(shí)，它們表示一組平行直線.⑴兩條直線平行：∥兩條直線平行的條件是：①和是兩條不重合的直線.②在和的斜率都存在的前提下得到的.〔一般的結(jié)論是：對(duì)于兩條直線，它們?cè)谳S上的縱截距是，那么∥，且或的斜率均不存在〕推論：如果兩條直線的傾斜角為那么∥.⑵兩條直線垂直：兩條直線垂直的條件：①設(shè)兩條直線和的斜率分別為和，那么有這里的前提是的斜率都存在.②，且的斜率不存在或，且的斜率不存在.〔即是垂直的充要條件〕4.直線的交角：⑴直線到的角〔方向角〕；直線到的角，是指直線繞交點(diǎn)依逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與重合時(shí)所轉(zhuǎn)動(dòng)的角，它的范圍是，當(dāng)時(shí).⑵兩條相交直線與的夾角：兩條相交直線與的夾角，是指由與相交所成的四個(gè)角中最小的正角，又稱為和所成的角，它的取值范圍是，當(dāng)，那么有.5.過兩直線的交點(diǎn)的直線系方程為參數(shù)，不包括在內(nèi)〕6.點(diǎn)到直線的距離：⑴點(diǎn)到直線的距離公式：設(shè)點(diǎn)，直線到的距離為，那么有.⑵兩條平行線間的距離公式：設(shè)兩條平行直線，它們之間的距離為，那么有.注：①兩點(diǎn)P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距離公式：.特例：點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)O的距離：②定比分點(diǎn)坐標(biāo)分式。假設(shè)點(diǎn)P(x,y)分有向線段,其中P1(x1,y1),P2(x2,y2).那么特例：中點(diǎn)坐標(biāo)公式；重要結(jié)論，三角形重心坐標(biāo)公式。③直線的傾斜角〔0°≤＜180°〕、斜率:④過兩點(diǎn).當(dāng)〔即直線和x軸垂直〕時(shí)，直線的傾斜角＝，沒有斜率7.直線系方程⑴與直線：Ax+By+C=0平行的直線系方程是：Ax+By+m=0.(m?R,C≠m).⑵與直線：Ax+By+C=0垂直的直線系方程是：Bx-Ay+m=0.(m?R)⑶過定點(diǎn)〔x1,y1〕的直線系方程是：A(x-x1)+B(y-y1)=0(A,B不全為0)⑷過直線l1、l2交點(diǎn)的直線系方程：〔A1x+B1y+C1〕+λ(A2x+B2y+C2〕=0(λ?R〕注：該直線系不含l2.8.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱和關(guān)于某直線對(duì)稱：⑴關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的兩條直線一定是平行直線，且這個(gè)點(diǎn)到兩直線的距離相等.⑵關(guān)于某直線對(duì)稱的兩條直線性質(zhì)：①假設(shè)兩條直線平行，那么對(duì)稱直線也平行，且兩直線到對(duì)稱直線距離相等.②假設(shè)兩條直線不平行，那么對(duì)稱直線必過兩條直線的交點(diǎn)，且對(duì)稱直線為兩直線夾角的角平分線.⑶點(diǎn)關(guān)于某一條直線對(duì)稱，用中點(diǎn)表示兩對(duì)稱點(diǎn)，那么中點(diǎn)在對(duì)稱直線上〔方程①〕，過兩對(duì)稱點(diǎn)的直線方程與對(duì)稱直線方程垂直〔方程②〕①②可解得所求對(duì)稱點(diǎn).注：①曲線、直線關(guān)于一直線〔〕對(duì)稱的解法：y換x，x換y.例：曲線f(x,y)=0關(guān)于直線y=x–2對(duì)稱曲線方程是f(y+2,x–2)=0.②曲線C:f(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對(duì)稱曲線方程是f(a–x,2b–y)=0.二、圓的方程.1.⑴曲線與方程：在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線上的與一個(gè)二元方程的實(shí)數(shù)建立了如下關(guān)系：①曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解.②以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).那么這個(gè)方程叫做曲線方程；這條曲線叫做方程的曲線〔圖形〕.⑵求曲線方程的方法：.①直接法：建系設(shè)點(diǎn)，列式表標(biāo),簡(jiǎn)化檢驗(yàn);②參數(shù)法;③定義法，④待定系數(shù)法.⑶曲線和方程的關(guān)系，實(shí)質(zhì)上是曲線上任一點(diǎn)其坐標(biāo)與方程的一種關(guān)系，曲線上任一點(diǎn)是方程的解；反過來，滿足方程的解所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是曲線上的點(diǎn).注：如果曲線C的方程是f(x,y)=0，那么點(diǎn)P0(x0,y0)在線C上的充要條件是f(x0,y0)=02.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.特例：圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為的圓的方程是：.注：特殊圓的方程：①與軸相切的圓方程②與軸相切的圓方程③與軸軸都相切的圓方程3.圓的一般方程：.當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)圓，其中圓心，半徑.當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn).注：方程表示圓的充要條件是：且且.4.圓的參數(shù)方程：〔為參數(shù)〕.5.點(diǎn)和圓的位置關(guān)系：給定點(diǎn)及圓.①在圓內(nèi)②在圓上③在圓外6.直線和圓的位置關(guān)系：⑴圓心與直線距離判斷法設(shè)圓圓：；直線：；圓心到直線的距離.①時(shí)，與相切；附：假設(shè)兩圓相切，那么相減為公切線方程.②時(shí)，與相交；附：兩圓公共弦方程：設(shè)有兩個(gè)交點(diǎn)，那么其公共弦方程為.③時(shí)，與相離.附：假設(shè)兩圓相離，那么相減為圓心的連線的中線方程.⑵代數(shù)特征判斷法：方程組用代入法，得關(guān)于〔或〕的一元二次方程，其判別式為，那么：與相切；與相交；與相離.注：兩圓為同心圓那么，相減，不表示直線.7.圓的切線方程：過圓上一點(diǎn)的切線方程為：.①一般方程假設(shè)點(diǎn)(x0,y0)在圓上，那么(x–a)(x0–a)+(y–b)(y0–b)=R2.特別地，過圓上一點(diǎn)的切線方程為.第八講圓錐曲線方程一、橢圓方程.1.橢圓方程的第一定義：⑴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上：.②中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上：.⑵一般方程：.⑶橢圓的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程：的參數(shù)方程為〔一象限應(yīng)是屬于〕.2.橢圓方程的第二定義：平面上到定點(diǎn)距離與到定直線間距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的集合的方程為橢圓。其中定點(diǎn)就是焦點(diǎn)，定直線就是和這個(gè)焦點(diǎn)在同一側(cè)的準(zhǔn)線，這個(gè)比值就是離心率e(0<e<1)3．橢圓的幾何性質(zhì)①頂點(diǎn)：或.②軸：對(duì)稱軸：x軸，軸；長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng).③焦點(diǎn)：或.④焦距：.⑤準(zhǔn)線：或.⑥離心率：.⑦焦點(diǎn)半徑：4．焦半徑定理⑴設(shè)為橢圓上的一點(diǎn)，為左、右焦點(diǎn)，由橢圓方程的第二定義可以推出⑵設(shè)為橢圓上的一點(diǎn)，為上、下焦點(diǎn)，由橢圓方程的第二定義可以推出注：由橢圓第二定義可知：歸結(jié)起來為“左加右減〞。5.通徑：垂直于x軸且過焦點(diǎn)的弦叫做通經(jīng).坐標(biāo)：和6．常見的求面積假設(shè)P是橢圓：上的點(diǎn).為焦點(diǎn)，假設(shè)，那么的面積為〔用余弦定理與可得〕.假設(shè)是雙曲線，那么面積為.二、雙曲線方程.1.雙曲線的第一定義：⑴雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：⑵一般方程：.2.雙曲線的第二定義:平面上到定點(diǎn)距離與到定直線間距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的集合的方程為橢圓。其中定點(diǎn)就是焦點(diǎn)，定直線就是和這個(gè)焦點(diǎn)在同一側(cè)的準(zhǔn)線，這個(gè)比值就是離心率e〔e>1〕3．雙曲線的幾何性質(zhì)⑴焦點(diǎn)在x軸上：頂點(diǎn)：焦點(diǎn)：準(zhǔn)線方程漸近線方程：或⑵焦點(diǎn)在軸上：頂點(diǎn)：.焦點(diǎn)：.準(zhǔn)線方程：.漸近線方程：或，參數(shù)方程：或.⑶①軸為對(duì)稱軸，實(shí)軸長(zhǎng)為2a,虛軸長(zhǎng)為2b，焦距2c.②離心率.準(zhǔn)線距〔兩準(zhǔn)線的距離〕；④通徑.⑤參數(shù)關(guān)系.4.焦點(diǎn)半徑定理對(duì)于雙曲線方程〔分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)或分別為雙曲線的上下焦點(diǎn)〕按照“長(zhǎng)加短減〞原那么：5.等軸雙曲線：雙曲線稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為，離心率.6.共軛雙曲線：以雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線，叫做雙曲線的共軛雙曲線.與互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：.7.共漸近線的雙曲線系方程：的漸近線方程為如果雙曲線的漸近線為時(shí)，它的雙曲線方程可設(shè)為.例：假設(shè)雙曲線一條漸近線為且過，求雙曲線的方程？解：令雙曲線的方程為：，代入得.8.假設(shè)P在雙曲線，①那么常用結(jié)論1：P到焦點(diǎn)的距離為m=n，那么P到兩準(zhǔn)線的距離比為m︰n.簡(jiǎn)證：=.②常用結(jié)論2：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)到另一條漸近線的距離等于b.三、拋物線方程.1.設(shè)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類型及其幾何性質(zhì)：圖形焦點(diǎn)準(zhǔn)線范圍對(duì)稱軸軸軸頂點(diǎn)〔0，0〕離心率焦點(diǎn)注：①頂點(diǎn).②那么焦點(diǎn)半徑;那么焦點(diǎn)半徑為.③通徑為2p，這是過焦點(diǎn)的所有弦中最短的.④〔或〕的參數(shù)方程為〔或〕〔為參數(shù)〕.四、圓錐曲線的統(tǒng)一定義平面內(nèi)到定點(diǎn)F和定直線的距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡.①當(dāng)時(shí)，軌跡為橢圓；②當(dāng)時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)時(shí)，軌跡為雙曲線；③當(dāng)時(shí)，軌跡為圓〔，當(dāng)時(shí)〕.第九講立體幾何一、平面1.經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)面.注：兩兩相交且不過同一點(diǎn)的四條直線必在同一平面內(nèi).2.兩個(gè)平面可將平面分成3或4局部.〔①兩個(gè)平面平行，②兩個(gè)平面相交〕3.過三條互相平行的直線可以確定1或3個(gè)平面.〔①三條直線在一個(gè)平面內(nèi)平行，②三條直線不在一個(gè)平面內(nèi)平行〕注：三條直線可以確定三個(gè)平面，三條直線的公共點(diǎn)有0或1個(gè).4.三個(gè)平面最多可把空間分成8局部.〔X、Y、Z三個(gè)方向〕二、空間直線1.空間直線位置分三種：相交、平行、異面.相交直線—共面有反且有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線—共面沒有公共點(diǎn)；異面直線—不同在任一平面內(nèi)注：①兩條異面直線在同一平面內(nèi)射影一定是相交的兩條直線.〔×〕〔可能兩條直線平行，也可能是點(diǎn)和直線等〕②直線在平面外，指的位置關(guān)系：平行或相交③假設(shè)直線a、b異面，a平行于平面，b與的關(guān)系是相交、平行、在平面內(nèi).④兩條平行線在同一平面內(nèi)的射影圖形是一條直線或兩條平行線或兩點(diǎn).⑤在平面內(nèi)射影是直線的圖形一定是直線.〔×〕〔射影不一定只有直線，也可以是其他圖形〕⑥在同一平面內(nèi)的射影長(zhǎng)相等，那么斜線長(zhǎng)相等.〔×〕〔并非是從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段〕⑦是夾在兩平行平面間的線段，假設(shè)，那么的位置關(guān)系為相交或平行或異面.2.異面直線判定定理：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線.〔不在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線〕3.平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.4.等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等〔如下列圖〕.推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角〔或直角〕相等.注：①二面角的取值范圍②直線與直線所成角③斜線與平面成角④直線與平面所成角⑤向量與向量所成角公垂線異面直線a、b，直線c垂直于a又垂直于b，那么我們把c叫做異面直線a和b的公垂線。其中公垂線段為兩異面直線的距離。三、直線與平面平行、直線與平面垂直1.空間直線與平面位置分三種：相交、平行、在平面內(nèi).2.直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行.〔“線線平行，線面平行〞〕注：①直線與平面內(nèi)一條直線平行，那么∥.〔×〕〔平面外一條直線〕②直線與平面內(nèi)一條直線相交，那么與平面相交.〔×〕〔平面外一條直線〕③假設(shè)直線與平面平行，那么內(nèi)必存在無數(shù)條直線與平行.〔√〕〔不是任意一條直線，可利用平行的傳遞性證之〕④兩條平行線中一條平行于一個(gè)平面，那么另一條也平行于這個(gè)平面.〔×〕〔可能在此平面內(nèi)〕⑤平行于同一直線的兩個(gè)平面平行.〔×〕〔兩個(gè)平面可能相交〕⑥平行于同一個(gè)平面的兩直線平行.〔×〕〔兩直線可能相交或者異面〕⑦直線與平面、所成角相等，那么∥.〔×〕〔、可能相交〕3.直線和平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行.〔“線面平行，線線平行〞〕4.⑴直線與平面垂直的判定定理一：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這兩條直線垂直于這個(gè)平面.〔“線線垂直，線面垂直〞〕⑵直線與平面垂直的判定定理二：如果平行線中一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面.推論：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行.三垂線定理與逆定理①假設(shè)⊥，⊥，得⊥〔三垂線定理〕②假設(shè)⊥，⊥，得⊥〔三垂線逆定理〕注：①垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行.〔×〕〔可能相交，垂直于同一直線的兩平面平行〕②垂直于同一平面的兩條直線平行.〔√〕6.垂線段和斜線段長(zhǎng)定理：從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中，①射影相等的兩條斜線段相等，射影較長(zhǎng)的斜線段較長(zhǎng)；②相等的斜線段的射影相等，較長(zhǎng)的斜線段射影較長(zhǎng)；③垂線段比任何一條斜線段短。[注]：垂線在平面的射影為一個(gè)點(diǎn).〔一條直線在平面內(nèi)的射影是一條直線.〔×〕〕射影定理推論：如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，那么這點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在這個(gè)角的平分線上四、平面平行與平面垂直1.空間兩個(gè)平面的位置關(guān)系：相交、平行.2.平面平行判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，哪么這兩個(gè)平面平行.〔“線面平行，面面平行〞〕推論：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行；平行于同一平面的兩個(gè)平面平行.3.平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面平行同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們交線平行.〔“面面平行，線線平行〞〕4.①兩個(gè)平面垂直性質(zhì)判定一：兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，那么兩個(gè)平面垂直.②兩個(gè)平面垂直性質(zhì)判定二：如果一個(gè)平面與一條直線垂直，那么經(jīng)過這條直線的平面垂直于這個(gè)平面.〔“線面垂直，面面垂直〞〕5.兩個(gè)平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線也垂直于另一個(gè)平面.推論：如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三平面，那么它們交線垂直于第三平面.證明：如圖，找O作OA、OB分別垂直于，因?yàn)槟敲?7.⑴最小角定理：l為直線l與地面所成所有角的最小角五、棱錐、棱柱、球1.棱柱.⑴①直棱柱側(cè)面積：〔為底面周長(zhǎng)，是高〕該公式是利用直棱柱的側(cè)面展開圖為矩形得出的.②斜棱住側(cè)面積：〔是斜棱柱直截面周長(zhǎng)，是斜棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)〕該公式是利用斜棱柱的側(cè)面展開圖為平行四邊形得出的.⑵{四棱柱}{平行六面體}{直平行六面體}{長(zhǎng)方體}{正四棱柱}{正方體}.{直四棱柱}{平行六面體}={直平行六面體}.⑶棱柱具有的性質(zhì)：①棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等；直棱柱的各個(gè)側(cè)面都是矩形；正棱柱的各個(gè)側(cè)面都是全等的矩形.②棱柱的兩個(gè)底面與平行于底面的截面是對(duì)應(yīng)邊互相平行的全等多邊形.③過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形.⑷平行六面體：定理一：平行六面體的對(duì)角線交于一點(diǎn)，并且在交點(diǎn)處互相平分.注：四棱柱的對(duì)角線不一定相交于一點(diǎn).定理二：長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線長(zhǎng)的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)的平方和.推論一：長(zhǎng)方體一條對(duì)角線與同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱所成的角為，那么.推論二：長(zhǎng)方體一條對(duì)角線與同一個(gè)頂點(diǎn)的三各側(cè)面所成的角為，那么.注：①有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱.〔×〕〔斜四面體的兩個(gè)平行的平面可以為矩形〕②棱柱成為直棱柱的一個(gè)必要不充分條件是棱柱有一條側(cè)棱與底面的兩條邊垂直.〔兩條邊可能相交，可能不相交，假設(shè)兩條邊相交，那么應(yīng)是充要條件〕2.棱錐：棱錐是一個(gè)面為多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形.注：①一個(gè)棱錐可以四各面都為直角三角形.②一個(gè)棱柱可以分成等體積的三個(gè)三棱錐；所以V=1/3Sh〔S為錐體的底面積，h為錐體的高〕⑴正棱錐定義：底面是正多邊形；頂點(diǎn)在底面的射影為底面的中心.注：①正四棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形.〔不是等邊三角形〕②正四面體是各棱相等，而正三棱錐是底面為正△側(cè)棱與底棱不一定相等③正棱錐定義的推論：假設(shè)一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形〔即側(cè)棱相等〕；底面為正多邊形.⑵正棱錐的側(cè)面積：〔底面周長(zhǎng)為，斜高為〕⑶棱錐的側(cè)面積與底面積的射影公式：〔側(cè)面與底面成的二面角為〕附：以知⊥，，為二面角.那么①，②，③①②③得.⑵棱錐具有的性質(zhì)：①正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等〔它叫做正棱錐的斜高〕.②正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個(gè)直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個(gè)直角三角形.⑶特殊棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影位置：①棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)均相等，那么頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形的外心.②棱錐的側(cè)棱與底面所成的角均相等，那么頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形的外心.③棱錐的各側(cè)面與底面所成角均相等，那么頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.④棱錐的頂點(diǎn)到底面各邊距離相等，那么頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.⑤三棱錐有兩組對(duì)棱垂直，那么頂點(diǎn)在底面的射影為三角形垂心.⑥三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，那么頂點(diǎn)在底面上的射影為三角形的垂心.3.球：⑴球的截面是一個(gè)圓面.①球的外表積公式：.②球的體積公式：.⑵緯度、經(jīng)度：①緯度：地球上一點(diǎn)的緯度是指經(jīng)過點(diǎn)的球半徑與赤道面所成的角的度數(shù).②經(jīng)度：地球上兩點(diǎn)的經(jīng)度差，是指分別經(jīng)過這兩點(diǎn)的經(jīng)線與地軸所確定的二個(gè)半平面的二面角的度數(shù)，特別地，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)的經(jīng)線是本初子午線時(shí)，這個(gè)二面角的度數(shù)就是點(diǎn)的經(jīng)度.附：①圓柱體積：〔為半徑，為高〕②圓錐體積：〔為半徑，為高〕③錐形體積：〔為底面積，為高〕⑶球面距：球面距是指過兩點(diǎn)的球的大圓上兩點(diǎn)間的劣弧長(zhǎng)。

求解步驟如下〔如右圖〕1.計(jì)算線段AB的長(zhǎng)(利用直角三角形AO′B來求);2.在大圓內(nèi)，計(jì)算弦AB所對(duì)的圓心角∠AOB大小;3.利用弧長(zhǎng)公式求劣弧長(zhǎng)(L=r·︱α︱)⑷內(nèi)切球：當(dāng)四面體為正四面體時(shí)，設(shè)邊長(zhǎng)為a，，，得.⑸外接球：球外接于正四面體，可如圖建立關(guān)系式.六、空間向量1.⑴共線向量：共線向量亦稱平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合.注：①假設(shè)與共線，與共線，那么與共線.〔×〕[當(dāng)時(shí)，不成立]②向量共面即它們所在直線共面.〔×〕[可能異面]③假設(shè)∥，那么存在小任一實(shí)數(shù)，使.〔×〕[與不成立]④假設(shè)為非零向量，那么.〔√〕[這里用到之積仍為向量]⑵共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量，∥的充要條件是存在實(shí)數(shù)〔具有唯一性〕，使.⑶共面向量：假設(shè)向量使之平行于平面或在內(nèi)，那么與的關(guān)系是平行，記作∥.⑷①共面向量定理：如果兩個(gè)向量不共線，那么向量與向量共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)x、y使.②空間任一點(diǎn)O和不共線三點(diǎn)A、B、C，那么是PABC四點(diǎn)共面的充要條件.〔簡(jiǎn)證：P、A、B、C四點(diǎn)共面〕注：①②是證明四點(diǎn)共面的常用方法.2.空間向量根本定理：如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使.推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，那么對(duì)空間任一點(diǎn)P,都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z使(這里隱含x+y+z≠1).注：設(shè)四面體ABCD的三條棱，其中Q是△BCD的重心，那么向量用即證.3.⑴空間向量的坐標(biāo)：空間直角坐標(biāo)系的x軸是橫軸〔對(duì)應(yīng)為橫坐標(biāo)〕，y軸是縱軸〔對(duì)應(yīng)為縱軸〕，z軸是豎軸〔對(duì)應(yīng)為豎坐標(biāo)〕.①令=(a1,a2,a3),，那么∥(用到常用的向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化：)②空間兩點(diǎn)的距離公式：.⑵法向量：假設(shè)向量所在直線垂直于平面，那么稱這個(gè)向量垂直于平面，記作，如果那么向量叫做平面的法向量.⑶法向量的常用方法：①利用法向量求點(diǎn)到面的距離定理：如圖，設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條射線，其中，那么點(diǎn)B到平面的距離為.②利用法向量求二面角的平面角定理：設(shè)分別是二面角中平面的法向量，那么所成的角就是所求二面角的平面角或其補(bǔ)角大小〔方向相同，那么為補(bǔ)角，反方，那么為其夾角〕.③證直線和平面平行定理：直線平面，，且CDE三點(diǎn)不共線，那么a∥的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)使.〔常設(shè)求解假設(shè)存在即證畢，假設(shè)不存在，那么直線AB與平面相交〕.七、常用結(jié)論、方法和公式1.異面直線所成角的求法：⑴平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn)，作另一條的平行線；⑵補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系；2.二面角的求法⑴定義法：直接在二面角的棱上取一點(diǎn)〔特殊點(diǎn)〕，分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線，得出平面角，用定義法時(shí)，要認(rèn)真觀察圖形的特性；⑵三垂線法：二面角其中一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)到一個(gè)面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角；⑶垂面法：二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí)，過兩垂線作平面與兩個(gè)半平面的交線所成的角即為平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面與棱垂直；⑷射影法：利用面積射影公式S射＝S原cos,其中為平面角的大小，此法不必在圖形中畫出平面角；特別:對(duì)于一類沒有給出棱的二面角，應(yīng)先延伸兩個(gè)半平面，使之相交出現(xiàn)棱，然后再選用上述方法〔尤其要考慮射影法〕。3.空間距離的求法⑴兩異面直線間的距離，高考要求是給出公垂線，所以一般先利用垂直作出公垂線，然后再進(jìn)行計(jì)算；⑵求點(diǎn)到直線的距離，一般用三垂線定理作出垂線再求解；⑶求點(diǎn)到平面的距離，一是用垂面法，借助面面垂直的性質(zhì)來作，因此，確定面的垂面是關(guān)鍵；二是不作出公垂線，轉(zhuǎn)化為求三棱錐的高，用等體積法列方程求解；4.:長(zhǎng)方體的體對(duì)角線與過同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為因此有cos2+cos2+cos2=1;假設(shè)長(zhǎng)方體的體對(duì)角線與過同一頂點(diǎn)的三側(cè)面所成的角分別為那么有cos2+cos2+cos2=2;第十講排列組合二項(xiàng)定理一、排列1.對(duì)排列定義的理解定義：從n個(gè)不同的元素中任取m(m≤n)個(gè)元素，按照一定順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.2.相同排列：如果兩個(gè)排列相同，不僅這兩個(gè)排列的元素必須完全相同，而且排列的順序也必須完全相同.3.排列數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素排成一列，稱為從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列數(shù)，用符號(hào)表示.4.排列數(shù)公式：注意：規(guī)定0!=1二、組合1.⑴組合：從n個(gè)不同的元素中任取m(m≤n)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.⑵組合數(shù)公式：⑶兩個(gè)公式：①?gòu)膎個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素后就剩下n-m個(gè)元素，因此從n個(gè)不同元素中取出n-m個(gè)元素的方法是一一對(duì)應(yīng)的，因此是一樣多的就是說從n個(gè)不同元素中取出n-m個(gè)元素的唯一的一個(gè)組合.②根據(jù)組合定義與加法原理得；在確定n+1個(gè)不同元素中取m個(gè)元素方法時(shí)，對(duì)于某一元素，只存在取與不取兩種可能，如果取這一元素，那么需從剩下的n個(gè)元素中再取m-1個(gè)元素，所以有C，如果不取這一元素，那么需從剩余n個(gè)元素中取出m個(gè)元素，所以共有C種，依分類原理有.⑷排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別.聯(lián)系：都是從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素.區(qū)別：前者是“排成一排〞，后者是“并成一組〞，前者有順序關(guān)系，后者無順序關(guān)系.⑸幾個(gè)常用組合數(shù)公式三、排列、組合綜合.1.⑴排列、組合問題幾大解題方法及題型：①直接法.②排除法.③捆綁法：在特定要求的條件下，將幾個(gè)相關(guān)元素當(dāng)作一個(gè)元素來考慮，待整體排好之后再考慮它們“局部〞的排列.它主要用于解決“元素相鄰問題〞。例：有n件不同商品，假設(shè)其中A、B排在一起有.有n件不同商品，假設(shè)其中有二件要排在一起有.④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法主要解決“元素不相鄰問題〞.例：n個(gè)元素全排列，其中m個(gè)元素互不相鄰，不同的排法種數(shù)為多少？〔插空法〕，當(dāng)n–m+1≥m,即m≤時(shí)有意義.⑤占位法：從元素的特殊性上講，對(duì)問題中的特殊元素應(yīng)優(yōu)先排列，然后再排其他一般元素；從位置的特殊性上講，對(duì)問題中的特殊位置應(yīng)優(yōu)先考慮，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般〞的解題原那么.⑥平均法：假設(shè)把kn個(gè)不同元素平均分成k組，每組n個(gè)，共有.例：從1，2，3，4中任取2個(gè)元素將其平均分成2組有幾種分法？有〔平均分組就用不著管組與組之間的順序問題了〕2.排列組合常見解題策略：①特殊元素優(yōu)先安排策略；②合理分類與準(zhǔn)確分步策略；③排列、組合混合問題先選后排的策略；④相鄰問題插空處理策略；⑤不相鄰問題插空處理策略；⑥分排問題直排處理的策略；四、二項(xiàng)式定理1.⑴二項(xiàng)式定理：.展開式具有以下特點(diǎn)：①項(xiàng)數(shù)：共有項(xiàng)；②系數(shù)：依次為組合數(shù)③每一項(xiàng)的次數(shù)是一樣的，即為n次，展開式依a的降幕排列，b的升幕排列展開.⑵二項(xiàng)展開式的通項(xiàng).展開式中的第項(xiàng)為：.⑶二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).①在二項(xiàng)展開式中與首未兩項(xiàng)“等距離〞的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等；②二項(xiàng)展開式的中間項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大.I.當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間項(xiàng)是第項(xiàng)，它的二項(xiàng)式系數(shù)最大；II.當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間項(xiàng)為兩項(xiàng)，即第項(xiàng)和第項(xiàng)，它們的二項(xiàng)式系數(shù)最大.③系數(shù)和：11314201022nnnnnnnnnnnCCCCCCCC⑷如何來求展開式中含的系數(shù)呢？其中且把視為二項(xiàng)式，先找出含有的項(xiàng)，另一方面在中含有的項(xiàng)為，故在中含的項(xiàng)為.其系數(shù)為.第十一講概率一、幾個(gè)根本定義1.概率：隨機(jī)事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值，反之，頻率是概率的近似值.2.等可能事件的概率：如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有年n個(gè)，且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么，每一個(gè)根本領(lǐng)件的概率都是，如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率.3.①互斥事件：不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫互斥事件.如果事件A、B互斥，那么事A+B發(fā)生(即A、B中有一個(gè)發(fā)生)的概率，等于事件A、B分別發(fā)生的概率和，P(A+B)=P(A)+P(B)，推廣：.②對(duì)立事件：兩個(gè)事件必有一個(gè)發(fā)生的互斥事件叫對(duì)立事件.例如：從1～52張撲克牌中任取一張抽到“紅桃〞與抽到“黑桃〞互為互斥事件，因?yàn)槠渲幸粋€(gè)不可能同時(shí)發(fā)生，但又不能保證其中一個(gè)必然發(fā)生，故不是對(duì)立事件.而抽到“紅色牌〞與抽到黑色牌“互為對(duì)立事件，因?yàn)槠渲幸粋€(gè)必發(fā)生.注意：i.對(duì)立事件的概率和等于1：.ii.互為對(duì)立的兩個(gè)事件一定互斥，但互斥不一定是對(duì)立事件.相互獨(dú)立事件：事件A(或B)是否發(fā)生對(duì)事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響.這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件.如果兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即P(A·B)=P(A)·P(B).由此，當(dāng)兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率P〔AB〕等于這兩個(gè)事件發(fā)生概率之和，這時(shí)我們也可稱這兩個(gè)事件為獨(dú)立事件.例如：從一副撲克牌〔52張〕中任抽一張?jiān)O(shè)A：“抽到老K〞；B：“抽到紅牌〞那么A應(yīng)與B互為獨(dú)立事件[看上去A與B有關(guān)系很有可能不是獨(dú)立事件，但.又事件AB表示“既抽到老K對(duì)抽到紅牌〞即“抽到紅桃老K或方塊老K〞有，因此有.推廣：假設(shè)事件相互獨(dú)立，那么.注意：i.一般地，如