高中數(shù)學第四屆全國高中青年數(shù)學教師優(yōu)秀課觀摩大賽 兩角差的余弦公式教案 必修4

課：角的弦式三目：知目：通過讓學生猜想、探索、發(fā)現(xiàn)并推導“兩角差的余弦公式單與復角的三角函數(shù)之間的內在聯(lián)系；通過變式訓練，加深對兩角差的余弦公式的理解；培養(yǎng)學生的運算能力及邏輯推理能力，提高學生的數(shù)學素質。能目：運用兩角差的余弦公式，會進行簡的求值、化簡、證明；體會化歸、數(shù)形結合等數(shù)學思想在數(shù)學當中的運用，使學生樹立聯(lián)系與轉化的辨證唯物主義觀點，提高學生分析問題、解決問題的能力。情目：本節(jié)課通過創(chuàng)設問題情景，使學生驗科學探索的過程，感受科學探索的樂趣，激勵科學探索的勇氣，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和良好的團隊合作意識。重難：教重：通過探究得到兩角差的余弦公式教難：探索過程的組織和適當引導。教過：一走生引入同們在第一章我們學了同角三角函數(shù)式的變換天我們將一起探

生究一種包含兩個角的三角函數(shù)式的變換角差的余弦公式讓我們走入生活看活實一個例子：

例引例所示,一個斜坡的高為6m,坡的水平長度為8m,已作用在物體上的力入體F與水平方向的夾角為60°,且小為10N,在力F的用下物體沿斜坡運動了m,現(xiàn)數(shù)求力F作在物體上的功W．解：W=

)

F

S

學與實際=30

cos(60

．

6m

生活的聯(lián)提問：、決問題需要求什?

系，增2、你能找到哪些與關條?

8m

強學3、能否利用這些條件求出

c

？如果能，提出你的猜想．

生的4、怎樣檢驗這些猜想是否正確？二合探

應用意識，

1scs1scs從特殊情況去猜測公式的結構形式．

激發(fā)令

學生令

2

,則

2

的學習熱分析：可見，我們的公式的形式應該與

cos

in

均有關系？他

情，同們之間存在怎樣的代數(shù)關系呢？會不會是“＋下表中數(shù)據(jù)，相互交流討論，提出你的猜想．用具體值檢驗猜想的合理性．

請同學們根據(jù)時也讓學生體令

30cos(cos(120900

會數(shù)三角函數(shù)

cos30

sin120

sin30

學知識的三角函數(shù)值

12

12

產(chǎn)生、學生再舉特例進行驗證抒見）利用幾何畫板，對更多的情況加以驗證。

發(fā)展過程．三提猜：

cos(cos

師：要讓猜想更有說服力，我們還要進行理論證明．四理證：引導探究研三角函數(shù)問題我常用的一種方法就是利用單位圓在單位圓中，角的余弦值可用余弦線來表示．

鼓勵學生發(fā)我們先來討論最簡單的情況：

y1

P

揮想為角且方法一用角函數(shù)線）證明：在單位圓中作OX1

，

AiC

P

象力，大膽猜測，交單位圓于點，POP，1

然后OBM1x再去則

．過點P作PM垂直x軸于，

于A1

，過點

驗證點A作OM于點

，過點

P作PC于點

，則：

其合理性，cos

，

AP，1

(cos(cos增強OMOBBMOBCP

sin

cos

sin

學生探索∴

cos(cos銳角，且

）

問題、方法小結：在整個證明過程中，我們通過幾何的手段，得到了一個代數(shù)公式，這挑戰(zhàn)運用到了在數(shù)學探究過程中一種重要的思想方法：數(shù)形結合．

困難提問：

取任意角的時候，結果又會怎樣呢？（展示下一張幻燈片

的勇思考一下學思考的時間要求學生說出自己的思考結果．若學生說出來要給予及時的肯定，若沒能說出則作為課后思考作業(yè)方法二用量）啟發(fā)思考我來仔細觀察猜想結構式的左邊是差角的余弦們在什么

氣．依地方見到過類似結構？（引導學生發(fā)現(xiàn)，提出證明方法）（學生：向量的數(shù)量積

A

y1

B

(cos

,sin

據(jù)特殊情況進行猜-1

0

1

x

想往往是人們-1證明：在平面直角坐標系xOy內作位圓，以Ox為始邊作角邊與單位圓O的點分別為A、B，則：

，它們終

探索問題的第OA=

，OB=(cos

,sin

一步．

OAOA|

(cos

,sin

)(cos

,sin

鼓=

勵學∴

cos(=cos

cos

sin

（0≤）

生對方法小結對比一下兩種證明方認為哪種更簡單？向量在我們數(shù)學探究過程中是一種非常簡潔有效的工具后的學習中我們還將繼續(xù)領悟向量在數(shù)學探究過程中的魅力！

各種可能的情

思考：、兩量的夾角，有沒有限制條件？

況進2、如果

不在［０，

］這個區(qū)間內，我們的結論還會成立嗎？怎

行探樣給出證明？（展示幻燈片，引導學生找到間的關系）推廣完善：令、OB的角，

索，培養(yǎng)他們的①當

時，則

交流cos(cossin

合作意識，②當

時，則存在

k、mZ，使得

在探

索的過程無論哪種情況，都有

中獲即os(sin

得成小結：兩角差的余弦公式：

cos(

cos

sin

sin

就感．（其中

任意角，簡記為

C

(

）

引思考：請同學們仔細觀察一下公式的結構，說說公式的結構有什么特點？應怎導學樣記憶？（對學生的回答給予及時肯定）五知運1、解決引例中的問題．

生運用數(shù)形結合的2、學以致用：已知

sin

4,,52

是第三象限角，

思想求．（運用公式時應根據(jù)角的范圍，正確確定兩角正、余弦值的范圍）

給出證明．3、公的逆用求4、拓廣延伸：已知in

cos45,(0,cos513

是第三象限角，

加強新舊知求

cos(

（此題根據(jù)學生的接受情況，作為后備練習）

識的

10105、公式活用：

111,,且，求714

．

聯(lián)系．（此題根據(jù)學生的接受情況，作為后備練習）六回總師：我們一起來回顧總結一下今天這節(jié)課的收獲．1、公式探究的一般步驟：特殊→猜想→證明2、在運用兩角差的余弦公式時注意：（1）根據(jù)角的范圍，確定兩角、余弦值的正、負．（2）適當逆用公式，可達到化計算的目的．（3）靈活選取兩角的形式，活公式．七課后考

使學生從直觀角度加強對差角公式結構形式的認適當變換兩角差的余弦公式中兩角的形式，例如取

，你能得到哪些結

識．論？八作：必做：2、3、4選做：sin

4cos,5

讓學生求

)

經(jīng)歷用向量知識解出一個數(shù)學問題的過程，體會

向量方法的作用．統(tǒng)一對“恒等”要求的認識．運用分類討論思

想．要求學生對公式的形式加以分