13廣東高考 數(shù)列求和

33)本資料是本校與本人創(chuàng)作的@廣東高考資料車，本車的資料立足與廣東高考為參加全國統(tǒng)一高校招生考試(廣東卷)而制作的資料本資料嚴(yán)格要求廣東普通高考招生統(tǒng)一考試的考試大綱嚴(yán)格制作2013廣東省普通高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料之?dāng)?shù)列求和一.知識清單1、等差數(shù)列求和公式：S2、等比數(shù)列求和公式：Sna1=<a(1-q1、等差數(shù)列求和公式：S2、等比數(shù)列求和公式：Sna1=<a(1-qn)—1(q=1)3、n1S=乙k=n(n+1)2k=1a-aq

1—1-q~n4、S(q豐1)=￡k2=~n(n+1)(2n+1)6k=15、k5、k=13=[-n(n+1)]226?錯位相減法：這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列｛an?bn｝的前n項和，其中｛an｝、｛bn｝分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.7?反序相加法：這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列(反序)，再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(a+a)?1n8?分組數(shù)列求和：有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開,可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.9?裂項求和法：這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項(通項)分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.通項分解(裂項)如：(1)a=f(n+1)-f(n)n2)sin12)=tan(n+1)。-tann。cosn°cos(n+1)°a=

n4）a=空=1+丄亠一丄)n(24）a=空=1+丄亠一丄)n(2n一1)(2n+1)22n一12n+15）1n(n一1)(n+2)111=[一]2n(n+1)(n+1)(n+2)(6)ann+2

n(n+1)12(n+1)一n2nn(n+1)2n1n-2n-11(n+1)2n1(n+1)2n10.合并法求和：針對一些特殊的數(shù)列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此在求數(shù)列的和時，可將這些項放在一起先求和，然后再求Sn.11.數(shù)列通項求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進行分析，找出數(shù)列的通項及其特征，然后再利用數(shù)列的通項揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前n項和，是一個重要的方法.二.例題解析例1已知函數(shù)f（x）=(1)證明：f(x)+f(1-x)=1；(1\(1\⑵求f—+f的值.解：（1）先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對函數(shù)化簡，后證明左邊=右邊（2）利用第（1）小題已經(jīng)證明的結(jié)論可知，=1+f兩式相加得：2S=92S=9（10丿丿9所以S=2小結(jié)：解題時，認(rèn)真分析對某些前后具有對稱性的數(shù)列，可以運用倒序相加法求和.5011850118例2、數(shù)列呻的通項公式為爲(wèi)=n(n+1)求它的前n項和例2、數(shù)列呻的通項公式為爲(wèi)=n(n+1)求它的前n項和S解：S=a+a+a+…+a+an123n-1n1-+22x31++.3x4-)111-一I2丿n-1n丿=1」n+1n+1小結(jié)：裂項相消法求和的關(guān)鍵是數(shù)列的通項可以分解成兩項的差，且這兩項是同一數(shù)列的相鄰兩項，即這兩項的結(jié)構(gòu)應(yīng)一致，并且消項時前后所剩的項數(shù)相同.，求x+x12+x，求x+x12+x3+Txn+…的前n項和.log32解：由logx解：由logx=3log321-log2nx=—32由等比數(shù)列求和公式得=x+x2+x3+???+xn(利用常用公式)由等比數(shù)列求和公式得11(1—_)［2n_12n1-—2評注：本題運用了等比數(shù)列求和公式求解［例4］設(shè)S=1+2+3+???+n,n=N*,求f(n)=的最大值.(n+32)Sn+1解：由等差數(shù)列求和公式得解：由等差數(shù)列求和公式得1(n+1)(n+2)2用常用公式)(n(n+32)Sn+12T341T64n+34+64n+34+64(5—i)2+50n?當(dāng)Vn一一—，即n_8時，f(n)max50［例5］求和：S=1+3x+5x2+7x3+???+(2n-1)x?-1①n解：由題可知，｛(2n-1)xn-i｝的通項是等差數(shù)列｛2n—1｝的通項與等比數(shù)列｛x”-1｝的通項之積設(shè)xS=1x+3x2+5x3+7x4++(2n-1)xn②n(設(shè)制錯位)①一②得(1-x)S=1+2x+2x2+2x3+2x4++2xn-1-(2n-1)xnn(錯位相減)1-xn-1再利用等比數(shù)列的求和公式得：(1-x)S=1+2x?--(2n-1)xnn1-x門(2n-1)xn+1-(2n+1)xn+(1+x)S=n(1-x)22n，…前n項的和.2n［例6］求數(shù)列232n1｛絲｝2n，…前n項的和.2n［例6］求數(shù)列232n1｛絲｝的通項是等差數(shù)列｛2n｝的通項與等比數(shù)列｛丄｝的通項之積2n46解：由題可知，2n2n1

S2設(shè)制錯位）2+++???+..222232n2462n—+—++???+_2223241(1-)S22n錯位相減）2n［例7］求證：C0+3C1nn+5C2n22222=++++???+-22223242n2n+112--2n-12n+1n+24-2n-1+???+(2n+1)C(n+1)2n證明：設(shè)S=C0+3C1+5C2+???+(2n+1)C"①nnnnn把①式右邊倒轉(zhuǎn)過來得S=(2n+1)C"+(2n-1)C"-1+???+3C1+C。nnnnn(反序)又由Cm=Cn-m可得nnS=(2n+1)C0+(2n-1)C1+???+3C"-1+C"②nnnnn

①+②得2S=(2n+2)(C0+C1+???+C?-1+C?)=2(n+1)①+②得nnnnn反序相加)???S=(n+1)-2nn［例8］求sin21。+sin22。+sin23。+bsin288。+sin289。的值解：設(shè)S=sin21。+sin22。+sin23。+bsin288。+sin289。①將①式右邊反序得S=sin289。+sin288。+???+sin23。+sin22。+sin21。②反序)又因為sinx=cos(90。-x),sin2x+cos2x=1①+②得反序相加)2S=(sin21。+cos21。)+(sin22。+cos22。)++(sin289。+cos289。)—89［例9］求數(shù)列的前n項和：1［例9］求數(shù)列的前n項和：1+1,丄+4,丄+7,...,-^+3n-2,a解：a2、八111設(shè)S=(1+1)+(+4)+(+7)+???+(+3n-2)naa2an-1將其每一項拆開再重新組合得1)+(1+4+7+???+3n-2)aa2分組）當(dāng)a—當(dāng)a—1時，(3n-1)nn+(3n+1)n組求和）當(dāng)a豐1時,1-an11當(dāng)a豐1時,1-an11-a(3n-1)na-1［例10］求數(shù)列11+\：2V2+%3vn+vn+1(3n-1)n+，…的前n項和.11裂項）則11Sn=1+込"<1+魚■'???'、；1n+n+1裂項求和）=(t2-v'1)+(「3一J2)+???+(Pn+1—\n)［例11］在數(shù)列｛an｝中，a1nnb12+nb1+???n+n+1，又bn2=,a?ann+1求數(shù)列｛bn｝的前n項的和.解：12nn-a=+-+???+=nnb1nb1n+12b=21=8(-1)（裂項）nnn+1nn+122■??數(shù)列｛bj的前n項和1111111S=8[(1一--)+(-?一―)+(—一)+???+(―)]n22334nn+1（裂項求和）18n=8(1一)-nb1nb1解=\n+1解=\n+1一n+、：n+1［例12］在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若aa=9,求loga+loga+bloga的563132310值.解：設(shè)S=loga+loga+???+loga找特n3132310找特由等比數(shù)列的性質(zhì)m+n=p+qnaa=aamnpq殊性質(zhì)項）和對數(shù)的運算性質(zhì)logM