大學(xué)物理-剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)課件

第三部分剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)

rotationofarigidbody第三部分剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)1、剛體：rigidbody

在力的作用下，大小和形狀都保持不變的物體稱(chēng)為剛體。（組成物體的所有質(zhì)點(diǎn)之間的距離始終保持不變）是一種理想模型。2、剛體的平動(dòng)：translationofarigidbody剛體內(nèi)所作的任何一條直線(xiàn)，始終保持和自身平行的運(yùn)動(dòng)。平動(dòng)時(shí)，剛體上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都相同，因此，剛體上一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可代表整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)。(剛體平動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律相同）§3.1剛體的平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)§3.1剛體的平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)3、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：rotationofarigidbodyaroundafixaxis轉(zhuǎn)軸相對(duì)于參照系不動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)稱(chēng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)⑴剛體上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)都在做圓周運(yùn)動(dòng),但各質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)的半徑不一定相同；⑵各質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)的平面垂直于軸,圓心在軸線(xiàn)上；⑶各質(zhì)點(diǎn)的矢徑,在相同的時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度是相同.ABz4、剛體的一般運(yùn)動(dòng)剛體的一般運(yùn)動(dòng)可看作是平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的疊加3、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：rotationofarigid5、角速度矢量：angularvelocityvectorOvP×,αrr定軸剛體參考方向θz剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，各質(zhì)元的線(xiàn)速度、角加速度一般是不同的，但由于各質(zhì)元的相對(duì)位置保持不變，所以描述各質(zhì)元的角量，如角位移、角速度、角加速度都是一樣的。因此描述剛體的整體運(yùn)動(dòng)時(shí)，用角量最為方便運(yùn)動(dòng)方程角速度角加速度角量與線(xiàn)量的關(guān)系5、角速度矢量：OvP×rr定軸剛體參考方向θz例題：一飛輪以n=1500r/min的轉(zhuǎn)速繞定軸作反時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。制動(dòng)后，飛輪均勻減速，經(jīng)時(shí)間t=50st停止轉(zhuǎn)動(dòng)。求：⑴角加速度和從開(kāi)始制動(dòng)到靜止，飛輪轉(zhuǎn)過(guò)的轉(zhuǎn)數(shù)N；⑵制動(dòng)開(kāi)始后t=25s時(shí)飛輪的角速度；⑶設(shè)飛輪半徑R=1m，求t=25s時(shí)飛輪邊緣上一點(diǎn)的速度和加速度。Ov解：⑴轉(zhuǎn)⑵⑶例題：一飛輪以n=1500r/min的轉(zhuǎn)速繞定軸作反時(shí)針轉(zhuǎn)§3.2.1剛體的角動(dòng)量轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1、剛體的角動(dòng)量angularmomentum

ofarigidbody質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量（對(duì)一給定點(diǎn)而言）剛體繞軸的角動(dòng)量即：把質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量推廣為剛體的角動(dòng)量棒分成許多質(zhì)點(diǎn),第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量的大小沿Z軸分量方向如圖所示oz剛體對(duì)OZ軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量§3.2.1剛體的角動(dòng)量轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)慣量12、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能rotationalkineticenergyofarigidbody剛體在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)能，應(yīng)該是組成剛體的各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能之和。設(shè)剛體中第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為，速度為，則該質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能是整個(gè)剛體的動(dòng)能式中正是剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能2、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能rotationalkineticen3、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量rotationalinertia(momentofinertia)質(zhì)量連續(xù)分布時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與下列三個(gè)因素有關(guān)：⑴形狀、大小相同的均勻剛體總質(zhì)量越大，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大。⑵總質(zhì)量相同的剛體，質(zhì)量分布離軸越遠(yuǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大。⑶同一剛體，轉(zhuǎn)軸不同，質(zhì)量對(duì)軸的分布就不同，因而轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同。單位:體分布面分布線(xiàn)分布3、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量rotationalinertia(m例題:三個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，A、B、C由三個(gè)長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕桿相聯(lián)結(jié)。求該質(zhì)點(diǎn)系通過(guò)A點(diǎn)和O點(diǎn)，且垂直于三個(gè)質(zhì)點(diǎn)所在平面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。ABCO4、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算

Calculationofmomentofinertia

解：可見(jiàn)，同一剛體對(duì)不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是不同的，只有指出剛體對(duì)某一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量才有明確的意義。例題:三個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，A、B、C由三個(gè)長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕桿相聯(lián)結(jié)例題

均勻桿質(zhì)量m,長(zhǎng)l，求桿對(duì)O軸和C軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。xdxxOlCl2l2解：平行移軸定理例題均勻桿質(zhì)量m,長(zhǎng)l，求桿對(duì)O軸和C軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。x例題均勻圓環(huán)：例題均勻圓盤(pán)：rmiCR面密度例題均勻圓環(huán)：例題均勻圓盤(pán)：rmiCR面密度半徑為R質(zhì)量為M的均勻圓盤(pán)聯(lián)結(jié)一長(zhǎng)為L(zhǎng)質(zhì)量為m的均勻直棒，寫(xiě)出剛體對(duì)O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。（O軸垂直紙面）OmRML半徑為R質(zhì)量為M的均勻圓盤(pán)聯(lián)結(jié)一長(zhǎng)為L(zhǎng)質(zhì)量為m§3.2.2力矩剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律ZOdr1、力矩Momentofforce

力F對(duì)O點(diǎn)的力矩力F對(duì)轉(zhuǎn)軸OZ的力矩與轉(zhuǎn)軸平行,不產(chǎn)生力矩在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中,幾個(gè)外力同時(shí)作用在剛體上時(shí),合外力矩為式中正負(fù)號(hào)根據(jù)右手螺旋法則規(guī)定§3.2.2力矩剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律ZOdr1、力矩剛體所受到的對(duì)于給定軸的總外力矩等于剛體對(duì)該軸的角動(dòng)量的時(shí)間變化率比較轉(zhuǎn)動(dòng)慣量表示剛體在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中表現(xiàn)出的慣性2、轉(zhuǎn)動(dòng)定律lawofrotation說(shuō)明:*為合外力矩瞬時(shí)性：二者同時(shí)存在，同時(shí)消失同軸性：都是對(duì)同一確定軸而言剛體所受到的對(duì)于給定軸的總外力矩等于剛體對(duì)該轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用隔離物體，分析受力建立坐標(biāo)，求力矩列出方程，求解應(yīng)用：類(lèi)似牛頓定律：轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用隔離物體，分析受力應(yīng)用：類(lèi)似牛頓定律：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用例題：一輕繩跨過(guò)一定滑輪，滑輪視為圓盤(pán),繩的兩端分別懸有質(zhì)量為和的物體，，如圖所示，設(shè)滑輪的質(zhì)量為m，半徑為r，所受的摩擦阻力矩為，繩與輪之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。試求物體的加速度和繩的張力。＜aa解：受力分析如圖按牛頓運(yùn)動(dòng)定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律可列出下列方程剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用例題：一輕繩跨過(guò)一定滑輪，滑輪視為圓盤(pán)從以上各式即可解得當(dāng)不計(jì)滑輪質(zhì)量及摩擦阻力即令從以上各式即可解得當(dāng)不計(jì)滑輪質(zhì)量及摩擦阻力即令例題：一半徑為R，質(zhì)量為m的均勻圓盤(pán)，放在粗糙的水平面上。設(shè)盤(pán)與桌面間的摩擦系數(shù)為，令圓盤(pán)最初以角繞通過(guò)中心且垂直盤(pán)面的軸旋轉(zhuǎn)，問(wèn)它將經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間才停止轉(zhuǎn)動(dòng)？e解：取盤(pán)上一面積元根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律設(shè)盤(pán)經(jīng)時(shí)間t停止df例題：一半徑為R，質(zhì)量為m的均勻圓盤(pán)，放在粗糙的水平面上。設(shè)質(zhì)量為M的勻質(zhì)圓盤(pán)可繞通過(guò)盤(pán)心，垂直于盤(pán)面的固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)，繞過(guò)盤(pán)的邊緣掛有質(zhì)量為m長(zhǎng)為L(zhǎng)的勻質(zhì)柔軟繩索，設(shè)繩與盤(pán)無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，求當(dāng)盤(pán)兩側(cè)繩之差為s時(shí)，繩的加速度的大小。s解：選長(zhǎng)為、兩段繩和繞著繩的盤(pán)為研究對(duì)象質(zhì)量為M的勻質(zhì)圓盤(pán)可繞通過(guò)盤(pán)心，垂直于盤(pán)面的固§3.3定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的中的功能關(guān)系1、力矩的功：

workdonebytorqueozP表示作用在剛體上P點(diǎn)的外力，當(dāng)物體繞軸有一角位移時(shí)，力做的元功為因?yàn)樵O(shè)剛體從轉(zhuǎn)到，則力作的功為所有外力的功（力矩的功）式中為剛體所受到的總外力矩§3.3定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的中的功能關(guān)系1、力矩的功：wor對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體，所有內(nèi)力的功總和在任何過(guò)程中均為零。（內(nèi)力成對(duì)，大小相等方向相反，一對(duì)內(nèi)力矩的代數(shù)和為零；∴內(nèi)力矩的功總和為零。）力矩的功率2、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理

rotationalkineticenergy

theorem轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理也與質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)中講的動(dòng)能定理相同，只是動(dòng)能的表示形式不同而己。對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體，所有內(nèi)力的功總和在任何過(guò)程中均為零3、剛體的重力勢(shì)能

一個(gè)不太大的剛體的重力勢(shì)能和它的全部質(zhì)量集中在質(zhì)心時(shí)所具有的勢(shì)能一樣。如圖所示，已知滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，半徑為R，物體的質(zhì)量為m，彈簧的勁度系數(shù)為k，系統(tǒng)從靜止釋放，釋放時(shí)彈簧無(wú)伸長(zhǎng)。求物體下滑x米時(shí)的速度。\/\/\/\/JRm光滑解:取物體m、滑輪、彈簧和地球?yàn)橄到y(tǒng)，系統(tǒng)只有重力和彈力做功，機(jī)械能守恒。3、剛體的重力勢(shì)能一個(gè)不太大的剛體的重力勢(shì)能

一均勻細(xì)棒，可繞通過(guò)其端點(diǎn)并與棒垂直的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)。已知棒長(zhǎng)為L(zhǎng)，質(zhì)量為m，開(kāi)始時(shí)棒處于水平位置。令棒由水平位置自由下擺，求：⑴棒在任意位置時(shí)的角加速度和角速度；⑵棒擺至鉛直位置時(shí)重力矩所做的功。OCCmg解：⑴棒在任意位置時(shí)的重力矩因?yàn)榉蛛x變量得一均勻細(xì)棒，可繞通過(guò)其端點(diǎn)并與棒垂直的水平軸轉(zhuǎn)積分所以這功即是細(xì)棒重力勢(shì)能的減少⑴也可根據(jù)機(jī)械能守恒求角速度OCCmg⑵棒擺至鉛直位置時(shí)重力矩所做的功重力勢(shì)能零點(diǎn)積分所以這功即是細(xì)棒重力勢(shì)能的減少⑴也可根據(jù)機(jī)械能守恒求角速一根細(xì)棒長(zhǎng)為L(zhǎng)，總質(zhì)量為m，其質(zhì)量分布與離o點(diǎn)的距離成正比，現(xiàn)將細(xì)棒放在粗糙的水平桌面上，棒可繞過(guò)其端點(diǎn)o的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，已知棒與桌面間的摩擦系數(shù)為，棒的初始角速度為，求：⑴棒對(duì)給定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；⑵棒繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)受到的摩擦力矩；⑶棒從到靜止所經(jīng)過(guò)的時(shí)間；⑷棒轉(zhuǎn)過(guò)一圈后的角速度。解：⑴設(shè)棒的線(xiàn)密度為一根細(xì)棒長(zhǎng)為L(zhǎng)，總質(zhì)量為m，其質(zhì)量分布與離o⑵棒繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)受到的摩擦力矩f⑶棒從到靜止所經(jīng)過(guò)的時(shí)間⑷棒轉(zhuǎn)過(guò)一圈后的角速度⑵棒繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)受到的摩擦力矩f⑶棒從到靜止所經(jīng)§3.4定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律

1、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定理

angularmomentum

theoremofarotationalrigidbodyaroundafixaxis

轉(zhuǎn)動(dòng)物體所受合外力矩的沖量矩等于在這段時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)物體角動(dòng)量的增量------角動(dòng)量定理。

所以

由轉(zhuǎn)動(dòng)定律§3.4定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律

1、2、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律lawofconservationofangularmomentumofa

rotationalrigidbodyaroundafixaxis

當(dāng)物體所受合外力矩等于零時(shí)，物體的角動(dòng)量保持不變。-------角動(dòng)量守恒定律若則由角動(dòng)量定理2、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律當(dāng)物體所受合外說(shuō)明1、

角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律，不僅適用于宏觀問(wèn)題，也適用于原子、原子核等微觀問(wèn)題，因此角動(dòng)量守定律是比牛頓定律更為基本的定律。2、

角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律只適用于慣性系。4、內(nèi)力矩可以改變系統(tǒng)內(nèi)部各組成部分的角動(dòng)量，但不能改變系統(tǒng)的總角動(dòng)量。3、

角動(dòng)量保持不變、恒矢量：①不變，也不變②變，也變，但保持不變。說(shuō)明1、

角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律，不僅適用于宏觀應(yīng)用舉例1、花樣滑冰，芭蕾舞演員的表演：（繞通過(guò)重心的鉛直軸高速旋轉(zhuǎn)，由于外力（重力，支撐力）對(duì)軸的矩總為零，角動(dòng)量守恒，通過(guò)改變自身的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，來(lái)改變角速度）。2、直升飛機(jī)尾部豎直的尾翼（產(chǎn)生一反向角動(dòng)量，避免在水平面打轉(zhuǎn)）3、跳水運(yùn)動(dòng)員，跳馬（伸直，以初角速度起跳；卷縮，減小J，以增大角速度；伸直；入水時(shí)J增大了，減小角速度以保持豎直入水）應(yīng)用舉例1、花樣滑冰，芭蕾舞演員的表演：（繞通過(guò)重心的鉛直軸一質(zhì)量為M的均勻圓盤(pán)正以角速度旋轉(zhuǎn)著，今有一質(zhì)量為m，速度為v的鐵釘，⑴從正上方⑵從正右方嵌入圓盤(pán)邊緣，則圓盤(pán)的角速度分別變?yōu)槎嗌伲縱vmmRMo解：角動(dòng)量守恒⑴⑵一質(zhì)量為M的均勻圓盤(pán)正以角速度旋轉(zhuǎn)著A和B兩飛輪繞同一中心線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)，它們的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為、，轉(zhuǎn)動(dòng)角速度分為、，。C為摩擦嚙合器。求：⑴兩輪嚙合后的角速度；⑵嚙合過(guò)程損失的能量；⑶兩輪各自所受的沖量矩。ABC解：⑴系統(tǒng)角動(dòng)量守恒⑵能量損失⑶沖量矩A和B兩飛輪繞同一中心線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)，它們的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量質(zhì)量分別為、，半徑分別為、的兩均勻圓柱，可分別繞它們本身的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，二軸平行。原來(lái)它們沿同一轉(zhuǎn)向分別以、的角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，然后平移兩軸使它們的邊緣相接觸，求最后在接觸處無(wú)相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，每個(gè)圓柱的角速度。對(duì)上述問(wèn)題有以下解法：在接觸處無(wú)相對(duì)滑動(dòng)時(shí)兩圓柱系統(tǒng)角動(dòng)量守恒由以上二式就可解出和，你對(duì)這種解法有何見(jiàn)解？其中⑴⑵質(zhì)量分別為、，半徑分別為解：原解⑵式是認(rèn)為系統(tǒng)的角動(dòng)量為二圓柱各自對(duì)各自的軸的角動(dòng)量之和，這樣的計(jì)算是錯(cuò)誤的，因?yàn)橄到y(tǒng)的總角動(dòng)量只能對(duì)某一個(gè)軸進(jìn)行計(jì)算，此外，二圓柱在各自的軸處均受外力，因此不論對(duì)哪一個(gè)軸來(lái)說(shuō)，這一系統(tǒng)的合外力矩均不為零，所以系統(tǒng)的角動(dòng)量是不守恒的，正確的解法是用角動(dòng)量定理，設(shè)二圓柱接觸處的一對(duì)切向摩擦力為則有且有聯(lián)立以上各式可解出正確的解。解：原解⑵式是認(rèn)為系統(tǒng)的角動(dòng)量為二圓柱各自對(duì)各自的軸的角動(dòng)如圖，一長(zhǎng)為l,質(zhì)量為M的桿可繞支點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，一質(zhì)量為m，速率為v0的子彈，射入距支點(diǎn)為a的桿內(nèi)，若桿的偏轉(zhuǎn)角=300，求子彈的初速率v0例題解：此題分兩個(gè)階段，第一階段，子彈射入桿中，擺獲得角速度，尚未擺動(dòng)，子彈和擺組成的系統(tǒng)所受外力對(duì)O點(diǎn)的力矩為零，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒：第二階段，子彈在桿中，與擺一起擺動(dòng)，以子彈、桿和地地球組成的系統(tǒng)除保守內(nèi)力外，其余力不作功，于是系統(tǒng)機(jī)械能守恒：如圖，一長(zhǎng)為l,質(zhì)量為M的桿可繞支點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，一質(zhì)量為m由（2）（3）（4）式求得：代入（1）式，得：其中：由（2）（3）（4）式求得：代入（1）式，得：其中：解：以人和轉(zhuǎn)盤(pán)組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，設(shè)人相對(duì)于轉(zhuǎn)盤(pán)的速度為vr，轉(zhuǎn)盤(pán)相對(duì)于固定鉛直軸的角速度為。當(dāng)人走動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)所受外力對(duì)鉛直軸之矩為零，故對(duì)軸角動(dòng)量守恒：質(zhì)量為M、半徑為R的轉(zhuǎn)盤(pán)，可繞鉛直軸無(wú)摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)盤(pán)的初角速度為零。一個(gè)質(zhì)量為m的人，在轉(zhuǎn)盤(pán)上從靜止開(kāi)始沿半徑為r的圓周相對(duì)轉(zhuǎn)盤(pán)勻速走動(dòng)，如圖。求當(dāng)人在轉(zhuǎn)盤(pán)上走一周回到盤(pán)