2022屆甘肅省靖遠三中數(shù)學高二第二學期期末綜合測試試題含解析

2021-2022高二下數(shù)學模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，且，則向量在方向上的投影為（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，若恰有兩個不同的零點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．3．一盒中裝有5張彩票，其中2張有獎，3張無獎，現(xiàn)從此盒中不放回地抽取2次，每次抽取一張彩票．設第1次抽出的彩票有獎的事件為A，第2次抽出的彩票有獎的事件為B，則()A． B． C． D．4．若實軸長為2的雙曲線上恰有4個不同的點滿足，其中，，則雙曲線C的虛軸長的取值范圍為（）A． B． C． D．5．若A＝{(x，y)|y＝x}，，則A，B關系為()A．AB B．BAC．A＝B D．AB6．若直線經(jīng)過點，且原點到直線的距離為，則直線的方程為A． B．C．或 D．或7．函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間是（）A． B．C． D．8．我們正處于一個大數(shù)據(jù)飛速發(fā)展的時代，對于大數(shù)據(jù)人才的需求也越來越大，其崗位大致可分為四類：數(shù)據(jù)開發(fā)、數(shù)據(jù)分析、數(shù)據(jù)挖掘、數(shù)據(jù)產品.以北京為例，2018年這幾類工作崗位的薪資（單位：萬元/月）情況如下表所示.由表中數(shù)據(jù)可得各類崗位的薪資水平高低情況為A．數(shù)據(jù)挖掘>數(shù)據(jù)開發(fā)>數(shù)據(jù)產品>數(shù)據(jù)分析 B．數(shù)據(jù)挖掘>數(shù)據(jù)產品>數(shù)據(jù)開發(fā)>數(shù)據(jù)分析C．數(shù)據(jù)挖掘>數(shù)據(jù)開發(fā)>數(shù)據(jù)分析>數(shù)據(jù)產品 D．數(shù)據(jù)挖掘>數(shù)據(jù)產品>數(shù)據(jù)分析>數(shù)據(jù)開發(fā)9．拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離是（）A． B． C． D．10．若隨機變量滿足，且，，則（）A． B． C． D．11．某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐四個面的面積中最大的是A． B．3C． D．12．已知點在拋物線C：的準線上，記C的焦點為F，則直線AF的斜率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，其中e是自然數(shù)對數(shù)的底數(shù)，若，則實數(shù)a的取值范圍是_________。14．命題：“，使得”的否定是_______.15．如圖所示，陰影部分為曲線與軸圍成的圖形，在圓：內隨機取一點，則該點取自陰影部分的概率為___．16．某學校為了了解住校學生每天在校平均開銷情況，隨機抽取了名學生，他們的每天在校平均開銷都不低于20元且不超過60元，其頻率分布直方圖如圖三所示，則其中每天在校平均開銷在元的學生人數(shù)為_________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)上是減函數(shù)，求實數(shù)a的最小值；（2）若，使（）成立，求實數(shù)a的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù)，其中為常數(shù)．(1)若，求函數(shù)的極值；(2)若函數(shù)在上單調遞增，求實數(shù)的取值范圍．19．（12分）已知等差數(shù)列的公差為，等差數(shù)列的公差為，設，分別是數(shù)列，的前項和，且，，.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）設，數(shù)列的前項和為，證明：.20．（12分）以直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，且在兩種坐標系中取相同的長度單位.曲線的極坐標方程是.（Ⅰ）求曲線的直角坐標方程；（Ⅱ）設曲線與軸正半軸及軸正半軸交于點，在第一象限內曲線上任取一點，求四邊形面積的最大值.21．（12分）已知函數(shù)的定義域為.（1）若，解不等式；（2）若，求證：.22．（10分）設且，函數(shù).（1）當時，求曲線在處切線的斜率；（2）求函數(shù)的極值點．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

分析：由推導出，從而，由此能求出向量在向量方向上的投影.詳解：，且，，，向量在向量方向上的投影為，故選C.點睛：本題主要考查向量的模及平面向量數(shù)量積公式，屬于中檔題.平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應用以下幾個方面:(1)求向量的夾角，（此時往往用坐標形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量的模（平方后需求）.2、B【解析】分析：求出函數(shù)的導數(shù)，通過導數(shù)判定函數(shù)的單調性，從而得到的取值范圍詳解：令，則，令，在單調增，在單調減的取值范圍為故選點睛：本題主要考查的是函數(shù)的零點問題，解決問題的關鍵是導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，然后通過數(shù)形結合的方法得到關于的范圍3、D【解析】

由題意，第1次抽出的彩票有獎，剩下4張彩票，其中1張有獎，3張無獎，即可求出．【詳解】由題意，第1次抽出的彩票有獎，剩下4張彩票，其中1張有獎，3張無獎，所以．故選：D．【點睛】本題考查條件概率，考查學生的計算能力，比較基礎．4、C【解析】

設點，由結合兩點間的距離公式得出點的軌跡方程，將問題轉化為雙曲線與點的軌跡有個公共點，并將雙曲線的方程與動點的軌跡方程聯(lián)立，由得出的取值范圍，可得出答案．【詳解】依題意可得，設，則由，得，整理得.由得，依題意可知，解得，則雙曲線C的虛軸長.5、B【解析】

分別確定集合A,B的元素，然后考查兩個集合的關系即可.【詳解】由已知，故，故選B.【點睛】本題主要考查集合的表示方法，集合之間的關系等知識，屬于基礎題.6、D【解析】

當直線斜率不存在時，滿足題意；當直線斜率存在時，假設直線方程，利用點到直線距離公式構造方程解得結果.【詳解】當直線斜率不存在時，方程為：，滿足題意；當直線斜率存在時，設直線方程為：，即：原點到直線距離：，解得：直線為：，即：綜上所述：直線的方程為：或本題正確選項：【點睛】本題考查點到直線距離公式的應用，易錯點是忽略直線斜率不存在的情況，導致求解錯誤.7、C【解析】

，函數(shù)f(x)在（0，+∞）上單調遞增，∵f(3)=ln3-1＞0，f(e)=lne-=1-＜0，∴f(3)·f(e)＜0，∴在區(qū)間（e，3）內函數(shù)f(x)存在零點.故選C.8、B【解析】

根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)計算出各類崗位的平均薪資，比較大小后得出結論。【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可知，數(shù)據(jù)開發(fā)崗位的平均薪資為（萬元），數(shù)據(jù)分析崗位的平均薪資為（萬元），數(shù)據(jù)挖掘崗位的平均薪資為（萬元），數(shù)據(jù)產品崗位的平均薪資為（萬元）。故選：B?！军c睛】本題考查樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，熟練利用平均數(shù)公式計算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，是解本題的關鍵，考查計算能力與數(shù)據(jù)分析能力，屬于中等題。9、C【解析】

求得拋物線的焦點，雙曲線的漸近線，再由點到直線的距離公式求出結果.【詳解】依題意，拋物線的焦點為，雙曲線的漸近線為，其中一條為，由點到直線的距離公式得.故選C.【點睛】本小題主要考查拋物線的焦點坐標，考查雙曲線的漸近線方程，考查點到直線的距離公式，屬于基礎題.10、A【解析】

根據(jù)二項分布的數(shù)學期望和方差求解.【詳解】由題意得：解得：，故選A.【點睛】本題考查二項分布的數(shù)學期望和方差求解，屬于基礎題.11、C【解析】作出三棱錐P?ABC的直觀圖如圖所示，過A作AD⊥BC，垂足為D，連結PD.由三視圖可知PA⊥平面ABC，BD=AD=1,CD=PA=2,∴.∴，.∴三棱錐P?ABC的四個面中，側面PBC的面積最大.故選C.點睛：思考三視圖還原空間幾何體首先應深刻理解三視圖之間的關系，遵循“長對正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；俯視圖的長是幾何體的長，寬是幾何體的寬；側視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.12、C【解析】試題分析：由已知得，拋物線的準線方程為，且過點，故，則，，則直線AF的斜率，選C．考點：1、拋物線的標準方程和簡單幾何性質；2、直線的斜率．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】因為，所以函數(shù)是奇函數(shù)，因為，所以數(shù)在上單調遞增，又，即，所以，即，解得，故實數(shù)的取值范圍為．點睛:解函數(shù)不等式時，首先根據(jù)函數(shù)的性質把不等式轉化為的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調性去掉“”，轉化為具體的不等式(組)，此時要注意與的取值應在函數(shù)的定義域內．14、，【解析】

直接利用特稱命題的否定解答即可.【詳解】因為特稱命題的否定是全稱命題,所以命題：“，使得”的否定是：，.故答案為：，.【點睛】本題主要考查特稱命題的否定，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.15、【解析】分析：由題求出圓的面積，根據(jù)定積分求出曲線與軸圍成的圖形的面積，利用幾何概型求出概率.詳解：由題圓：的面積為曲線與軸圍成的圖形的面積為故該點取自陰影部分的概率為.即答案為.點睛：本題考查幾何概型，考查利用定積分求面積，是緇.16、1【解析】分析：由頻率分布直方圖，得每天在校平均開銷在[50，60]元的學生所點的頻率為0.3，由此能求出每天在校平均開銷在[50，60]元的學生人數(shù)．詳解：由頻率分布直方圖，得：每天在校平均開銷在[50，60]元的學生所點的頻率為：1﹣（0.01+0.024+0.036）×10=0.3∴每天在校平均開銷在[50，60]元的學生人數(shù)為500×0.3=1．故答案為1點睛：本題考查頻率分布直方圖的應用，考查頻數(shù)的求法，考查頻率分布直方圖等基礎知識，意在考查學生對這些基礎知識的掌握能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)．【解析】

由已知函數(shù)的定義域均為,且.(1)函數(shù),因f(x)在上為減函數(shù)，故在上恒成立．所以當時，．又，故當，即時，．所以于是，故a的最小值為．(2)命題“若使成立”等價于“當時，有”．由（1），當時，，．問題等價于：“當時，有”．當時，由（1），在上為減函數(shù)，則=，故．當時，由于在上為增函數(shù)，故的值域為，即．由的單調性和值域知，唯一，使，且滿足：當時，，為減函數(shù)；當時，，為增函數(shù)；所以，=，．所以，，與矛盾，不合題意．綜上，得．考點：1.導數(shù)公式；2.函數(shù)的單調性；3.恒成立問題；4.函數(shù)的最值以及命題的等價變換.18、（1）見解析；（2）.【解析】分析：求出，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間，利用函數(shù)的單調性可求出函數(shù)的極值；（2）在上單調遞增等價于在上恒成立，求得導數(shù)和單調區(qū)間，討論與極值點的關系，結合單調性，運用參數(shù)分離和解不等式可得范圍.詳解：（1）當時：的定義域為令，得當時，，在上單調遞增；當時，，在上單調遞減；當時，的極大值為，無極小值.（2）在上單調遞增在上恒成立，只需在上恒成立在上恒成立令則令，則：①若即時在上恒成立在上單調遞減，這與矛盾，舍去②若即時當時，，在上單調遞減；當時，，在上單調遞增；當時，有極小值，也是最小值，綜上點睛：本題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調性以及不等式恒成立問題，屬于難題．不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結合(圖象在上方即可)；③討論最值或恒成立；④討論參數(shù).本題是利用方法①求得的最大值.19、（1），；（2）見解析【解析】

（1）由等差數(shù)列的通項公式及求和公式列的方程組求解則可求，進而得（2）利用分組求和即可證明【詳解】（1）因為數(shù)列，是等差數(shù)列，且，，所以.整理得，解得，所以，即，，即.綜上，，.（2）由（1）得，所以，即.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式及求和公式，裂項相消求和，考查推理計算能力，是中檔題20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）把整合成，再利用就可以得到曲線的直角坐標方程；（Ⅱ）因為在橢圓上且在第一象限，故可設，從而所求面積可用的三角函數(shù)來表示，求出該函數(shù)的最大值即可.詳解：（Ⅰ）由題可變形為，∵，，∴，∴.（Ⅱ）由已知有，，設，.于是由，由得，于是，∴四邊形最大值.點睛：直角坐標方程轉為極坐標方程的關鍵是利用公式，而極坐標方程轉化為直角坐標方程的關鍵是利用公式，后者也可以把極坐標方程變形盡量產生以便轉化.另一方面，當動點在圓錐曲線運動變化時，我們可用一個參數(shù)來表示動點坐標，從而利用一元函數(shù)求與動點有關的最值問題.21、(1)(2)見解析【解析】分析：（1）由可得，然后將不等式中的絕對值去掉后解不等式可得所求．（2）結合題意運用絕對值的三角不等式證明即可．詳解：（1），即，則，∴，∴不等式化為．①當時，不等式化為，解得；②當時，不等式化為，解得.綜上可得．∴原不等式的解集為.（2）證明：∵，∴.又，∴.點睛：含絕對值不等式的常用解法（1）基本性質法：當a>0時，|x|＜a?－a＜x＜a，|x|＞a?x＜－a或x＞a．（2）零點分區(qū)間法：含有兩個或兩個以上絕對值符號的不等式，可用零點分區(qū)間法去掉絕對值符號，將其轉化為與之等價的不含絕對值符號的不等式(組)求解．（3）幾何法：利用絕對值的幾何意義，畫出數(shù)軸，將絕對值轉化為數(shù)軸上兩點的距離求解．（4）數(shù)形結合法：在直角坐標系中作出不等式兩邊所對應的兩個函數(shù)的圖象，利用函數(shù)圖象求解．22、(1).(2)見解析.【解析】試題分析：（1）由已知中函數(shù)，根據(jù)a=2，我們易求出f（3）及f′（3）的值，代入即可得到切線的斜率k=f′（3）．（2）由已知我們易求出函數(shù)的導函數(shù)，令導函數(shù)值為0，我們則求出導函數(shù)的零點，根據(jù)m＞0，我們可將函數(shù)的定義域分成若干個區(qū)間，分別在每個區(qū)間上討論導函數(shù)的符號，即