19.4綜合與實(shí)踐-多邊形鑲嵌

19.4綜合與實(shí)踐多邊形的鑲嵌制作人：王偉19.4綜合與實(shí)踐制作人：王偉學(xué)習(xí)目標(biāo)1、通過用一種正多邊形進(jìn)行鑲嵌的實(shí)驗(yàn)（課件展示），探究平面鑲嵌的條件2、探究能用哪兩種不同的正多邊形可以進(jìn)行組合鑲嵌3、探究用三角形與四邊形能否進(jìn)行平面鑲嵌重點(diǎn)難點(diǎn)：正多邊形鑲嵌的條件（或原理）學(xué)習(xí)目標(biāo)1、通過用一種正多邊形進(jìn)行鑲嵌的實(shí)驗(yàn)（課件展示），探好漂亮的地板!這是怎么鋪設(shè)的?一點(diǎn)空隙也沒有.感知生活好漂亮的地板!這是怎么鋪設(shè)的?一點(diǎn)空隙也沒有.感知生活美哉！生活美哉！生活這是你家的地板嗎？這是你家的地板嗎？在你身邊看到過嗎？在你身邊看到過嗎？你知道怎么做的嗎？你知道怎么做的嗎？學(xué)習(xí)新知鑲嵌學(xué)習(xí)新知鑲嵌

定義：這種用形狀相同或不同的平面封閉圖形，覆蓋平面區(qū)域，使圖形間既無縫隙又不重疊地全部覆蓋，在幾何里面叫做平面鑲嵌。（簡單理解成：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，這叫做平面鑲嵌。鑲嵌也叫密鋪。）注意：各種圖形拼接后要既無縫隙，又不重疊什么是鑲嵌？定義：這種用形狀相同或不同的平面封閉圖形，覆蓋平面僅用一種正多邊形鑲嵌，哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個(gè)平面區(qū)域？探究（一）平面鑲嵌條件僅用一種正多邊形鑲嵌，哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個(gè)平面區(qū)域？探(一）正三角形的平面鑲嵌60°60°60°60°60°60°6個(gè)正三角形可以鑲嵌觀察同一個(gè)頂點(diǎn)處有幾個(gè)內(nèi)角恰好拼成一個(gè)周角？6個(gè)初步感知：同一頂點(diǎn)處的幾個(gè)內(nèi)角之和360度(一）正三角形的平面鑲嵌60°60°60°60°60°60°（二）正方形的平面鑲嵌90°4個(gè)正方形可以鑲嵌觀察同一個(gè)頂點(diǎn)處有幾個(gè)內(nèi)角恰好拼成一個(gè)周角？4個(gè)（二）正方形的平面鑲嵌90°4個(gè)正方形可以鑲嵌觀察同一個(gè)頂點(diǎn)（三）正六邊形的平面鑲嵌120°120°120°3個(gè)正六邊形可以鑲嵌3個(gè)觀察同一個(gè)頂點(diǎn)處有幾個(gè)內(nèi)角恰好拼成一個(gè)周角？（三）正六邊形的平面鑲嵌120°120°120°3個(gè)正123∠1+∠2+∠3=（四）用邊長相同的正五邊形能否鑲嵌？觀察同一個(gè)頂點(diǎn)處有幾個(gè)內(nèi)角恰好拼成一個(gè)周角？不能拼成周角1080108010803240正五邊形不能鑲嵌123∠1+∠2+∠3=（四）用邊長相同的正五邊形能否鑲嵌？思考：為什么邊長相等的正五邊形不能鑲嵌，而邊長相等的正六邊形能鑲嵌？思考：為什么邊長相等的正五邊形不能鑲嵌，而邊長相等的正六邊形結(jié)論（平面鑲嵌條件）要用圖形不留空隙、不重疊地鑲嵌一個(gè)平面區(qū)域，需使得拼接點(diǎn)處的所有內(nèi)角之和等于360°。思考還有其它正多邊形能鑲嵌嗎？結(jié)論（平面鑲嵌條件）要用圖形不留空隙、不重疊地鑲嵌一個(gè)平面區(qū)

還能找到能鑲嵌的其他正多邊形嗎？

。k·(n-2)×180n=360。(n-2)(k-2)=4k=6n=3k=4n=4k=3n=6

設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有k個(gè)正n邊形的角，則有∵k為正整數(shù)，n為大于等于3的正整數(shù)∴解為即6個(gè)正三角形、4個(gè)正方形、3個(gè)正六邊形…K個(gè)角

還能找到能鑲嵌的其他正多邊形嗎？。k·(n-2)×18用一種正多邊形可以鑲嵌的條件每個(gè)內(nèi)角都能整除360o

。

用一種正多邊形可以鑲嵌的條件每個(gè)內(nèi)角都能整除360o。用兩種正多邊形鑲嵌，哪些能鑲嵌成一個(gè)平面區(qū)域?探究（二）平面鑲嵌條件用兩種正多邊形鑲嵌，哪些能鑲嵌成一個(gè)平面區(qū)域?探究（二）平面（一）正三角形與正方形2m+3n=12m=3n=2

m·60°+n·90°=360°設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有m個(gè)正三角形的角,n個(gè)正方形的角，則有∵m,n為正整數(shù)∴解為…m個(gè)正三角形角，n個(gè)正方形角（一）正三角形與正方形2m+3n=12m=33個(gè)正三角形+2個(gè)正方形3個(gè)正三角形+2個(gè)正方形（二）正三角形與正六邊形m+2n=6

m·60°+n·120°=360°設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有m個(gè)正三角形的角,n個(gè)正六邊形的角，則有∵m,n為正整數(shù)m=4n=1m=2n=2∴解為…m個(gè)正三角形角，n個(gè)正六邊形角（二）正三角形與正六邊形m+2n=62個(gè)正三角形+2個(gè)正六邊形2個(gè)正三角形+2個(gè)正六邊形4個(gè)正三角形+1個(gè)正六邊形4個(gè)正三角形+1個(gè)正六邊形1個(gè)正方形+2個(gè)正八邊形（三）正方形與正八邊形1個(gè)正方形+2個(gè)正八邊形（三）正方形與正八邊形2個(gè)正五邊形+1個(gè)正十邊形（四）正五邊形與正十邊形2個(gè)正五邊形+1個(gè)正十邊形（四）正五邊形與正十邊形（五）正三角形與正十二邊形1個(gè)正三角形+2個(gè)正十二邊形（五）正三角形與正十二邊形1個(gè)正三角形+2個(gè)正十二邊形我的收獲當(dāng)拼接點(diǎn)處的所有角之和是360o時(shí)，就能拼成一個(gè)平面圖形。思考：能否用三種正多邊形，如用正三角形，正方形，正六邊形（邊長相同）能鋪滿地面？我的收獲當(dāng)拼接點(diǎn)處的所有角之和是360o時(shí)，就能拼成一個(gè)平面1個(gè)正三角形+2個(gè)正方形+1個(gè)正六邊形1個(gè)正三角形+2個(gè)正方形+1個(gè)正六邊形探究（三）僅用同一種形狀、大小完全相同的多邊形能進(jìn)行平面鑲嵌嗎？探究（三）僅用同一種形狀、大小完全相同的231231231231231231231231231231（一）同一種任意三角形的鑲嵌結(jié)論：形狀、大小完全相同的任意三角形能鑲嵌成平面圖形。231231231231231231231231231231

通過探究我發(fā)現(xiàn)：1.任意形狀、大小相同的三角形都____鑲嵌,2.在每個(gè)拼接點(diǎn)處有___個(gè)角，而這___個(gè)角的和恰好是這個(gè)三角形的內(nèi)角和的___倍，也就是它們的和為____.可以六六兩360o通過探究我發(fā)現(xiàn)：1.任意形狀、大小相同的三角形都____241324132413241324132413241324132413241324132413（二）同一種任意四角形的鑲嵌結(jié)論：形狀、大小相同的任意四邊形能鑲嵌成平面圖形。在每一個(gè)拼接點(diǎn)，四邊形的每一個(gè)內(nèi)角用了一次，它們的和等于3600，即等于四邊形的內(nèi)角和。241324132413241324132413241324通過探究我發(fā)現(xiàn)：1.任意形狀大小相同的四邊形___鑲嵌.2.在每個(gè)拼接點(diǎn)處有___個(gè)角，而這___個(gè)角的和恰好是這個(gè)四邊形的四個(gè)內(nèi)角之___,也就是它們的和為____.可以四四和360o通過探究我發(fā)現(xiàn)：1.任意形狀大小相同的四邊形___鑲嵌.可以想一想上面我們討論的一般三角形和四邊形都可以平面鑲嵌，因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和是180°，四邊形內(nèi)角和是360°它們的內(nèi)角和是整數(shù)倍都是360°，那么其它的一般多邊形能進(jìn)行鑲嵌嗎？想一想上面我們討論的一般三角形和四邊形都可以平面鑲嵌，因?yàn)槿纾涸谖暹呅沃?，?nèi)角和540°，已經(jīng)超過360°，即每一個(gè)內(nèi)角拼接在一起時(shí)有重疊部分，不符合平面鑲嵌的含義。當(dāng)邊數(shù)越大時(shí)，內(nèi)角和也越大，更不符合要求，因此邊數(shù)大于4的一般多邊形不可以平面鑲嵌。示例說明例如：在五邊形中，內(nèi)角和540°，已經(jīng)超過360°，即每一個(gè)結(jié)論1、要用圖形不留空隙、不重疊地鑲嵌一個(gè)平面區(qū)域，需使得拼接點(diǎn)處的所有角之和等于360°。2、任意形狀但全等的三角形都可以進(jìn)行鑲嵌3、任意形狀但全等的四邊形也都可以進(jìn)行鑲嵌4、用一種正多邊形可以進(jìn)行鑲嵌的是：正三角形、正方形、正六邊形5、用兩種正多邊形可以進(jìn)行鑲嵌的是：正三角形和正方形、正三角形和正六邊形、正方形和正八邊形、正五邊形與正十邊形、正三角形與正十二邊形等。6、用三種正多邊形，如用正三角形，正方形，正六邊形（邊長相同）也可鑲嵌。結(jié)論1、要用圖形不留空隙、不重疊地鑲嵌一個(gè)平面區(qū)域，需使得拼謝謝您的熱情參與謝謝您的熱情參與

19.4綜合與實(shí)踐多邊形的鑲嵌制作人：王偉19.4綜合與實(shí)踐制作人：王偉學(xué)習(xí)目標(biāo)1、通過用一種正多邊形進(jìn)行鑲嵌的實(shí)驗(yàn)（課件展示），探究平面鑲嵌的條件2、探究能用哪兩種不同的正多邊形可以進(jìn)行組合鑲嵌3、探究用三角形與四邊形能否進(jìn)行平面鑲嵌重點(diǎn)難點(diǎn)：正多邊形鑲嵌的條件（或原理）學(xué)習(xí)目標(biāo)1、通過用一種正多邊形進(jìn)行鑲嵌的實(shí)驗(yàn)（課件展示），探好漂亮的地板!這是怎么鋪設(shè)的?一點(diǎn)空隙也沒有.感知生活好漂亮的地板!這是怎么鋪設(shè)的?一點(diǎn)空隙也沒有.感知生活美哉！生活美哉！生活這是你家的地板嗎？這是你家的地板嗎？在你身邊看到過嗎？在你身邊看到過嗎？你知道怎么做的嗎？你知道怎么做的嗎？學(xué)習(xí)新知鑲嵌學(xué)習(xí)新知鑲嵌

定義：這種用形狀相同或不同的平面封閉圖形，覆蓋平面區(qū)域，使圖形間既無縫隙又不重疊地全部覆蓋，在幾何里面叫做平面鑲嵌。（簡單理解成：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，這叫做平面鑲嵌。鑲嵌也叫密鋪。）注意：各種圖形拼接后要既無縫隙，又不重疊什么是鑲嵌？定義：這種用形狀相同或不同的平面封閉圖形，覆蓋平面僅用一種正多邊形鑲嵌，哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個(gè)平面區(qū)域？探究（一）平面鑲嵌條件僅用一種正多邊形鑲嵌，哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個(gè)平面區(qū)域？探(一）正三角形的平面鑲嵌60°60°60°60°60°60°6個(gè)正三角形可以鑲嵌觀察同一個(gè)頂點(diǎn)處有幾個(gè)內(nèi)角恰好拼成一個(gè)周角？6個(gè)初步感知：同一頂點(diǎn)處的幾個(gè)內(nèi)角之和360度(一）正三角形的平面鑲嵌60°60°60°60°60°60°（二）正方形的平面鑲嵌90°4個(gè)正方形可以鑲嵌觀察同一個(gè)頂點(diǎn)處有幾個(gè)內(nèi)角恰好拼成一個(gè)周角？4個(gè)（二）正方形的平面鑲嵌90°4個(gè)正方形可以鑲嵌觀察同一個(gè)頂點(diǎn)（三）正六邊形的平面鑲嵌120°120°120°3個(gè)正六邊形可以鑲嵌3個(gè)觀察同一個(gè)頂點(diǎn)處有幾個(gè)內(nèi)角恰好拼成一個(gè)周角？（三）正六邊形的平面鑲嵌120°120°120°3個(gè)正123∠1+∠2+∠3=（四）用邊長相同的正五邊形能否鑲嵌？觀察同一個(gè)頂點(diǎn)處有幾個(gè)內(nèi)角恰好拼成一個(gè)周角？不能拼成周角1080108010803240正五邊形不能鑲嵌123∠1+∠2+∠3=（四）用邊長相同的正五邊形能否鑲嵌？思考：為什么邊長相等的正五邊形不能鑲嵌，而邊長相等的正六邊形能鑲嵌？思考：為什么邊長相等的正五邊形不能鑲嵌，而邊長相等的正六邊形結(jié)論（平面鑲嵌條件）要用圖形不留空隙、不重疊地鑲嵌一個(gè)平面區(qū)域，需使得拼接點(diǎn)處的所有內(nèi)角之和等于360°。思考還有其它正多邊形能鑲嵌嗎？結(jié)論（平面鑲嵌條件）要用圖形不留空隙、不重疊地鑲嵌一個(gè)平面區(qū)

還能找到能鑲嵌的其他正多邊形嗎？

。k·(n-2)×180n=360。(n-2)(k-2)=4k=6n=3k=4n=4k=3n=6

設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有k個(gè)正n邊形的角，則有∵k為正整數(shù)，n為大于等于3的正整數(shù)∴解為即6個(gè)正三角形、4個(gè)正方形、3個(gè)正六邊形…K個(gè)角

還能找到能鑲嵌的其他正多邊形嗎？。k·(n-2)×18用一種正多邊形可以鑲嵌的條件每個(gè)內(nèi)角都能整除360o

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用一種正多邊形可以鑲嵌的條件每個(gè)內(nèi)角都能整除360o。用兩種正多邊形鑲嵌，哪些能鑲嵌成一個(gè)平面區(qū)域?探究（二）平面鑲嵌條件用兩種正多邊形鑲嵌，哪些能鑲嵌成一個(gè)平面區(qū)域?探究（二）平面（一）正三角形與正方形2m+3n=12m=3n=2

m·60°+n·90°=360°設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有m個(gè)正三角形的角,n個(gè)正方形的角，則有∵m,n為正整數(shù)∴解為…m個(gè)正三角形角，n個(gè)正方形角（一）正三角形與正方形2m+3n=12m=33個(gè)正三角形+2個(gè)正方形3個(gè)正三角形+2個(gè)正方形（二）正三角形與正六邊形m+2n=6

m·60°+n·120°=360°設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有m個(gè)正三角形的角,n個(gè)正六邊形的角，則有∵m,n為正整數(shù)m=4n=1m=2n=2∴解為…m個(gè)正三角形角，n個(gè)正六邊形角（二）正三角形與正六邊形m+2n=62個(gè)正三角形+2個(gè)正六邊形2個(gè)正三角形+2個(gè)正六邊形4個(gè)正三角形+1個(gè)正六邊形4個(gè)正三角形+1個(gè)正六邊形1個(gè)正方形+2個(gè)正八邊形（三）正方形與正八邊形1個(gè)正方形+2個(gè)正八邊形（三）正方形與正八邊形2個(gè)正五邊形+1個(gè)正十邊形（四）正五邊形與正十邊形2個(gè)正五邊形+1個(gè)正十邊形（四）正五邊形與正十邊形（五）正三角形與正十二邊形1個(gè)正三角形+2個(gè)正十二邊形（五）正三角形與正十二邊形1個(gè)正三角形+2個(gè)正十二邊形我的收獲當(dāng)拼接點(diǎn)處的所有角之和是360o時(shí)，就能拼成一個(gè)平面圖形。思考：能否用三種正多邊形，如用正三角形，正方形，正六邊形（邊長相同）能鋪滿地面？我的收獲當(dāng)拼接點(diǎn)處的所有角之和是360o時(shí)，就能拼成一個(gè)平面1個(gè)正三角形+2個(gè)正方形+1個(gè)正六邊形1個(gè)正三角形+2個(gè)正方形+1個(gè)正六邊形探究（三）僅用同一種形狀、大小完全相同的多邊形能進(jìn)行平面鑲嵌嗎？探究（三）僅用同一種形狀、大小完全相同的231231231231231231231231231231（一）同一種任意三角形的鑲嵌結(jié)論：形狀、大小完全相同的任意三角形能鑲嵌成平面圖形。231231231231231231231231231231

通過探究我發(fā)現(xiàn)：1.任意形狀、大小相同的三角形都____鑲嵌,2.在每個(gè)拼接點(diǎn)處有___個(gè)角，而這___個(gè)角的和恰好是這個(gè)三角形的內(nèi)角和的___倍，也就是它們的和為____.可以六六兩360o通過探究我發(fā)現(xiàn)：1.任意形狀、大小相同的三角形都____241324132413241324132413241324132413241324132413（二）同一種任意四角形的鑲嵌結(jié)論：形狀、大小相同的任意四邊形能鑲嵌成平面圖形。在每一個(gè)拼接點(diǎn)，四邊形的每一個(gè)內(nèi)角用了一次，它們的和等于3600，即等于四邊形的內(nèi)角和。2413241324