完整word版本MUSIC算法

6.4.3MUSIC算法基本原理6.4.3.1信號(hào)模型MUSIC算法是針對(duì)多元天線陣列測(cè)向問題提出的，用含個(gè)陣元的陣列對(duì)KKM個(gè)目標(biāo)信號(hào)進(jìn)行測(cè)向，以均勻線陣為例，假設(shè)天線陣元在觀測(cè)平面內(nèi)是各向同性的，陣元的位置示意圖如圖6.23所示。: 片 ?/；k k^4 ■ i 2： 1 \/\/\/\/YyYY-咅 g■圖6.23均勻線陣示意圖來(lái)自各遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)源的輻射信號(hào)到達(dá)天線陣列時(shí)均可以看作是平面波，以第一個(gè)陣元為參考，相鄰陣元間的距離為d，若由第k個(gè)輻射元輻射的信號(hào)到達(dá)陣元 1的波前信號(hào)為Sk(t)，則第i個(gè)陣元接收的信號(hào)為akSktexpjoakSktexpjosink(6.84)其中，k為陣元i對(duì)第k個(gè)信號(hào)源信號(hào)的響應(yīng),這里可取ak 1，因?yàn)榧杭俣ǜ麝囋谟^察平面內(nèi)是無(wú)方向性的,o為信號(hào)的中心頻率,為波的傳播速度,k表示第k個(gè)信號(hào)源的入射角度，是入射信號(hào)方向與天線法線的夾角。計(jì)及測(cè)量噪聲(包括來(lái)自自由空間和接收機(jī)入射角度，是入射信號(hào)方向與天線法線的夾角。計(jì)及測(cè)量噪聲(包括來(lái)自自由空間和接收機(jī)內(nèi)部的)和所有信號(hào)源的來(lái)波信號(hào)，則第 i個(gè)陣元的輸出信號(hào)為KXKXjt akSktexpk1式中，ni(t)為噪聲，標(biāo)號(hào)i表示該變量屬于第j0i1dsink/cnit (6.85)個(gè)陣元，標(biāo)號(hào)k表示第k個(gè)信號(hào)源。假定各陣元的噪聲是均值為零的平穩(wěn)白噪聲過程，方差為2陣元的噪聲是均值為零的平穩(wěn)白噪聲過程，方差為2，并且噪聲之間不相關(guān)，且與信號(hào)不相關(guān)。將式(2-13)寫成向量形式，則有XtAStNt (6.86)式中，X(t) [x1(t),程(t), ,xM(t)]T為M維的接收數(shù)據(jù)向量S(t) [S1(t),S>(t),,Sk(t)]T為K維信號(hào)向量A[a(1),a( 2)， ，a(k)]為維的陣列流形矩陣a(k) [1，e ,，e j1) 為維的方向向量，kdsinkcok j0(M1)kN(t) [n1(t),n2(t), ,nM(t)]T為M維的噪聲向量6.4.3.2算法原理由于各陣元的噪聲互不相關(guān)，且也與信號(hào)不相關(guān)，因此接收數(shù)據(jù)X(t)的協(xié)方差矩陣為其中，上標(biāo)H表示共軛轉(zhuǎn)置，即PP為空間信號(hào)的協(xié)方差矩陣RAPAHRAPAH(6.88)由于假設(shè)空間各信號(hào)源不相干，并設(shè)陣元間隔小于信號(hào)的半波長(zhǎng)，即d由于假設(shè)空間各信號(hào)源不相干，并設(shè)陣元間隔小于信號(hào)的半波長(zhǎng)，即d(6.89)2,22nc.o，這樣矩陣A將有如下形式2ndjsin12ndj sin22ndej—sinD(6.90)j2nd(M

入1)sin01e2ndj,(M1)sin0入 22nd2ndjsin12ndj sin22ndej—sinD(6.90)j2nd(M

入1)sin01e2ndj,(M1)sin0入 22ndj(M1)sin0入 D矩陣A是范德蒙德陣，只要j(ij)，它的列就相互獨(dú)立。這樣若P為非奇異陣，則有rankAPAHK(6.91)由于P是正定的，因此矩陣在式(6.88)中值，按降序排列為APAH的特征值為正，即共有K個(gè)正的特征值。而APAH的特征值為正，R為滿秩陣，因此R有個(gè)正特征m，它們所對(duì)應(yīng)的特征向量為V],V2,,Vm，且各特征向量是相互正交的，這些特征向量構(gòu)成MM維空間的一組正交基。與信號(hào)有關(guān)的特征值有K個(gè)，且K(MK)個(gè)特征值為M，它們分別等于APAH的各特征值與2，也就是說2為R的最小特征值，它是(M2之和，而矩陣的其余K)重的。因此只要將天線各陣元輸出數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解，找出最小特征值的個(gè)數(shù)nE，據(jù)此就可以求出信號(hào)源的個(gè)數(shù)，即有(6.92)同時(shí)求得的最小特征值就是噪聲功率2，設(shè)已求得R的最小特征值為min，它是nE重的，對(duì)應(yīng)著nE個(gè)相互正交的最小特征向量RVi設(shè)為vi， iK1,LM，則有minvi，iK1,L,M(6.93)代入式(6.88)得APAHviAPAHviminvi0，iK1,L,M(6.94)由于min= 2，所以APAAPAvi0，iK1,L,M(6.95)由于矩陣A是范德蒙陣，矩陣P是正定陣，因此(6.96)Avi0，iK1,L,M(6.96)式(6.96)表明的諸最小特征向量與矩陣 的各列正交。由于R的最小特征向量?jī)H與噪聲有關(guān)，因此由這nE個(gè)特征向量所張成的子空間稱之為噪聲子空間，而與它正交的子空間，即由信號(hào)的方向向量張成的子空間則是信號(hào)子空間。信號(hào)子空間和噪聲子空間，形矩陣R所在的MM維空間分解成兩個(gè)完備的正交子空間式上可以寫成信號(hào)子空間和噪聲子空間，形spanvK1,vK2,L,vMspana1,a2,L,aK最小特征向量構(gòu)造一個(gè)(6.97)(6.98)為了求出入射信號(hào)的方向，可以利用兩個(gè)子空間的正交性，將諸最小特征向量構(gòu)造一個(gè)(6.97)(6.98)M(MK)維噪聲特征向量矩陣ENENvK1,vK2,L,vM則在信號(hào)所在的方向k上，顯然有ENHak 0上式右邊0為零向量。由于協(xié)方差矩陣R是根據(jù)有限次觀測(cè)數(shù)據(jù)估計(jì)得到的，對(duì)其進(jìn)行特征分解時(shí)，最小特征值(噪聲方差)和重?cái)?shù)nE的確定以及最小特征向量的估計(jì)都是有誤差的， 當(dāng)EN為存在偏差時(shí)，式(6.98)右邊不是零向量。這時(shí)，可取使得ENa(k)的2-范數(shù)為最小值的 k作第k個(gè)信號(hào)源方向的估值。連續(xù)改變值，進(jìn)行譜峰搜索，由此得到K個(gè)最小值所對(duì)應(yīng)的 就是K個(gè)信號(hào)源的位置角度。通常做法是利用噪聲子空間與信號(hào)子空間的正交性，構(gòu)造如下空間譜函數(shù)MUSICaH En胛a(6.99)譜函數(shù)最大值所對(duì)應(yīng)的就是信號(hào)源方向的估計(jì)值。為了更清楚起見，現(xiàn)把music算法計(jì)算步驟總結(jié)如下:(1)MUSICaH En胛a(6.99)譜函數(shù)最大值所對(duì)應(yīng)的就是信號(hào)源方向的估計(jì)值。為了更清楚起見，現(xiàn)把music算法計(jì)算步驟總結(jié)如下:(1)根據(jù)天線陣列中各陣元接收的數(shù)據(jù)Xin估計(jì)協(xié)方差矩陣R；由陣列輸出信號(hào)的采樣值求協(xié)方差矩陣 R的估計(jì)R，設(shè)陣列輸出信號(hào)向量表示為XnX]n,X2n,,XmnT，每次采樣叫做一個(gè)快拍，設(shè)一次估計(jì)所用的快拍數(shù)為 L,則共有個(gè)數(shù)據(jù)向量Xn,1,2, ,L，于是1L

Ln1(6.100)(2)對(duì)R進(jìn)行特征值分解,獲得特征值i和特征向量Vii12,M；(3)按照某則種準(zhǔn)則確定矩陣最小特征值的數(shù)目定矩陣最小特征值的數(shù)目nE，設(shè)這nE個(gè)最小特征值分別為1K1(6.101)與之對(duì)應(yīng)的特征向量為VK1與之對(duì)應(yīng)的特征向量為VK1,VK2,,VM,利用這些特征向量構(gòu)造噪聲特征向量矩陣EN VK1,VK2，，VM；⑷按照式(6.102)⑷按照式(6.102)計(jì)算空間譜PmuSIC，進(jìn)行譜峰搜索，它的個(gè)極大值所對(duì)應(yīng)的是信號(hào)源的方向PmusicaPmusicaH ENENHa(6.102)上述是經(jīng)典MUSIC算法的基本原理，許多限制是可以放寬或取消的。首先，關(guān)于均勻線陣的