五年級(jí)奧數(shù)等差數(shù)列、三階幻方、分?jǐn)?shù)的拆分專題

選講1等差數(shù)列求和一、知識(shí)要點(diǎn)若干個(gè)數(shù)排成一列稱為數(shù)列。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為一項(xiàng)。其中第一項(xiàng)稱為首項(xiàng)，最后一項(xiàng)稱為末項(xiàng);數(shù)列中,項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱為項(xiàng)數(shù)。從第二項(xiàng)開(kāi)始，后項(xiàng)與其相鄰的前項(xiàng)之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項(xiàng)與前項(xiàng)的差稱為公差。在這一章要用到兩個(gè)非常重要的公式：“通項(xiàng)公式”和“項(xiàng)數(shù)公式”。通項(xiàng)公式：第n項(xiàng)二首項(xiàng)+（項(xiàng)數(shù)一1）義公差項(xiàng)數(shù)公式：項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)一首項(xiàng)）?公差+1二、精講精練【例題1】有一個(gè)數(shù)列：4,10,16,22…，52.這個(gè)數(shù)列共有多少項(xiàng)？練習(xí)1：1.等差數(shù)列中,首項(xiàng)=1.末項(xiàng)=39,公差=2.這個(gè)等差數(shù)列共有多少項(xiàng)？2.有一個(gè)等差數(shù)列：2,5,8,11一?，101.這個(gè)等差數(shù)列共有多少項(xiàng)?3.已知等差數(shù)列11,16,21,26,…，1001.這個(gè)等差數(shù)列共有多少項(xiàng)?【例題2】有一等差數(shù)列：3,7,11,15,……，這個(gè)等差數(shù)列的第100項(xiàng)是多少？練習(xí)2：1.一等差數(shù)列,首項(xiàng)=3.公差=2.項(xiàng)數(shù)=10,它的末項(xiàng)是多少？2.求1.4,7,10……這個(gè)等差數(shù)列的第30項(xiàng)。3.求等差數(shù)列2.6，10,14……的第100項(xiàng)?！纠}3】有這樣一個(gè)數(shù)列：1,2,3,4,…，99,100。請(qǐng)求出這個(gè)數(shù)列所有項(xiàng)的和。練習(xí)3：計(jì)算下面各題。(1)1+2+3H——(1)1+2+3H——H49+50(2)6+7+8H——H74+75(3)100+99+98H——H61+60【例題4】求等差數(shù)列2,4,6,…，48,50的和。練習(xí)4：計(jì)算下面各題。(1)2+6+10+14+18+22(2)5+10+15+20H——+195+200(1)2+6+10+14+18+22(3)9+18+27+36H——H261+270【例題5】計(jì)算(2+4+6H——H100)—(1+3+5H——H99)練習(xí)5：用簡(jiǎn)便方法計(jì)算下面各題。(1)(2001+1999+1997+1995)—(2000+1998+1996+1994)(2)(2+4+6H——+2000)—(1+3+5+——+1999)(3)(1+3+5+…+1999)—(2+4+6+…+1998)三、課后作業(yè)1、張師傅做一批零件，第一天做了20個(gè)，以后每天都比前一天多做2個(gè)，做了30天剛好做完，則這批零件一共有多少個(gè)？2、在一次同學(xué)聚會(huì)中，一共到了45位同學(xué)和2位老師，每位同學(xué)或老師都要和其他所有人握一次手，那么一共握手了幾次？3、新星幼兒園304個(gè)小朋友圍成若干個(gè)圓圈（一圈套一圈）做游戲，已知最里面的圈有24人，最外面的圈有52人，如果相鄰兩圈相差的人數(shù)相等，那么相鄰兩圈相差多少人？選講2三階幻方的性質(zhì)一、知識(shí)點(diǎn)整理：性質(zhì)1：能組成幻方的數(shù)必須為從小到大排列，首尾對(duì)應(yīng)相加都相等且等于中間數(shù)兩倍的九個(gè)數(shù)數(shù)列；性質(zhì)2：幻方的中心數(shù)為數(shù)列的中間數(shù)；性質(zhì)3：幻方中關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)數(shù)均為數(shù)列中首尾相對(duì)應(yīng)的配對(duì)；性質(zhì)4：幻方中所有相等的和稱做幻和，幻方的幻和等于中心數(shù)的3倍；性質(zhì)5：數(shù)列中最大與最小數(shù)的配對(duì)不能出現(xiàn)在幻方中的四角，即只能出現(xiàn)在中間位置，第二大與第二小的配對(duì)只能出現(xiàn)在四角；性質(zhì)6：幻方中四角的數(shù)等于與它不相鄰的兩個(gè)行列中間數(shù)的平均數(shù)；性質(zhì)7：具有一個(gè)共同數(shù)的一行和一列中其他兩個(gè)數(shù)的和相等。二、精講精練例1：請(qǐng)你將210這9個(gè)自然數(shù)填入下圖中的空格內(nèi)，使每行、每列、每條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和相等。

練習(xí)1在下圖的9個(gè)方格中填入不大于12且互不相同的9個(gè)自然數(shù)(其中已填好一個(gè)數(shù))，使得任一行、任一列及兩條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和都等于21.例2：在下面方陣中已填好了兩個(gè)數(shù)19和95，在其余的空格中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，可以使得每行、每列以及兩條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都相等。⑴如下左圖所示，求x；(2)如果中間的空格內(nèi)填入100，如下右圖所示，試在(1)的基礎(chǔ)上完成填圖下圖是一個(gè)三階幻方，那么標(biāo)有☆的方格中所填的數(shù)是多少?選講3分?jǐn)?shù)的拆分1.概念單位分?jǐn)?shù):分子為1、分母為自然數(shù)的分?jǐn)?shù)叫單位分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)的分拆：把一個(gè)分?jǐn)?shù)分拆成幾個(gè)分?jǐn)?shù)相加的和，叫做分?jǐn)?shù)的分拆2．解題方法與技巧。(1)把單位分?jǐn)?shù)拆分成單位分?jǐn)?shù)相加的和方法一：先擴(kuò)分：同剩以分母的約數(shù)的和再拆分：拆分成約數(shù)作分子的分?jǐn)?shù)。后約分：約分成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)方法二：分子、分母同剩以大于分母，小于分母兩倍的自然樹(shù)(2)把真分?jǐn)?shù)分拆成單位分?jǐn)?shù)相加的和。把一個(gè)真分?jǐn)?shù)拆成兩個(gè)單位分?jǐn)?shù)相加的和，先給要分拆的分?jǐn)?shù)分子和分母同剩以分母除以分子的整數(shù)商加1的和，再給分子加上分母，要使分?jǐn)?shù)大小不變，同時(shí)應(yīng)減去這個(gè)數(shù)，然后再分拆并約分。(3)把假分?jǐn)?shù)分拆成單位分?jǐn)?shù)相加的和方法：先把這個(gè)假分?jǐn)?shù)分拆成真分?jǐn)?shù)，再按真分?jǐn)?shù)的分拆方法去分。例題一在?二二-二的括號(hào)里填入適當(dāng)?shù)淖匀粩?shù)，使等式成立。8(.j(J分析一：從式子的左邊往右邊看，是分?jǐn)?shù)的分拆；才有便往左邊看，則是分?jǐn)?shù)的加法，可見(jiàn)分?jǐn)?shù)的分析與分?jǐn)?shù)的加法過(guò)程剛好相反。分?jǐn)?shù)加法主要步驟是通分、合并、約分，因此分?jǐn)?shù)的分拆可按先擴(kuò)分，再拆分，最后約分的步驟來(lái)做。分析二：根據(jù)把單位分?jǐn)?shù)分拆成單位分?jǐn)?shù)相加的和的方法二：分子、分母同剩以大于分母8，小于分母8的2倍(16)的自然數(shù)分別求解。解析一：8的約數(shù)有1、2、4、8。會(huì)1lX(l+2)1,21,1①-=：=1=1S3x1白月324122=衛(wèi)區(qū)=L十士=二十二S3x(l+4]3xS3x5401￡>1_lX（l+8）33X（l+8）3X9-3X9-7Z31lX1lX（2+4）S-9x（2+4]工+士=三十上

3x68舛6241211X（2+S）11X（2+S）9-3x（2+5]3x10+3x10TOC\o"1-5"\h\z1_1X（4+8）_4+3_1133X（4+8）3X123X122412以上六種分析方法，其中①、④、⑥相同，②和⑤相同。如果兩個(gè)約數(shù)相同時(shí)，可以得到:==：一二,共有四組解。解法二：|=1X9_解法二：|=1X9_1+33X98X9=--=-—二（像解法二這樣的拆分方法不止8X9SX9729一種．同學(xué)們，你們?cè)敢庋芯繂?？）練?xí)一將下列各分?jǐn)?shù)寫(xiě)成兩個(gè)單位分?jǐn)?shù)：2.3.4.2.3.4.5.：=，一6例題二:將二分拆成三個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和（任求一解）。10思路導(dǎo)航分析一可以先把:拆成兩個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和，再拆成三個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和。分析二：任取分母10的三個(gè)約數(shù)之和進(jìn)行擴(kuò)分。解法一：10的約數(shù)有1、2、5、10，任取兩個(gè)約數(shù)之和進(jìn)行擴(kuò)分，就能得到一種拆分TOC\o"1-5"\h\z1_1+2_121110—10X(1+2)—10X3+10X3-304153904S1__工3904S3030X(l+2)30X3'30X3-…1111所以一二一—一—一ID1S4590方法二：任取10的三個(gè)約數(shù)1、2、5。1_1黑（142+5〕_1?2?510—10X（1+2-F5）-10X8+10X8+10X8-80+40+16練習(xí)二：將下列各分?jǐn)?shù)分拆成三個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和。例題三在下面的括號(hào)里面填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字。

思路導(dǎo)航根據(jù)題意，已知該題是要把三分拆成四個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和?？梢韵劝逊植鸪蓛蓚€(gè)單3位分?jǐn)?shù)之和，再把這兩個(gè)單位分?jǐn)?shù)分拆成四個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和；或者可以取8的四個(gè)公約數(shù)1、2、4、8之和擴(kuò)分解答。解:1_lx（n-l）解:TOC\o"1-5"\h\z33X（H-2）3X33X324121_lX（l+2）_12_112424X（l+2）24X124X17236同時(shí)］=lX（2+3）_2+3_11同時(shí)］=12.X（2+3i）12X512X53020所以;=;一￡一口_二練習(xí)三在下列等式中的括號(hào)填上適當(dāng)?shù)母鞑幌嗤淖匀粩?shù)，使等式成立。例題四：若A,8是自然數(shù)，求符合條件二=二-二的A和B的值（求出兩組即可）AB思路導(dǎo)航：

分母