講義線性代數(shù)

6.1實二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形一、二次型及其矩陣二、合同變換三、用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形四、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形返回問題：在平面直角坐標(biāo)系中，方程ax2+2bxy+cy2=d表示怎樣的曲線研究方法：通過坐標(biāo)變換將上述方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式判斷曲線是橢圓或者雙曲線。如何知道曲線的形狀是否做了改變？一、二次型及其矩陣

稱為n元二次型.

若aij為實數(shù)，則稱為實二次型.

若aij為復(fù)數(shù)，則稱為復(fù)二次型.二次型的矩陣表示方法

則f(x1,…,xn)=XTAX.

A:

二次型f(x1,…,xn)的矩陣.顯然，二次型與其矩陣是互相唯一確定的

例1

f(x1,x2,x3)=2x12–3x22+4x32

-2

x1x2+3x2

x3A:

f(x1,x2,x3)的矩陣

若令

則有

f(x1,x2,x3)=XTBX

但BT≠B,故B不是f(x1,x2,x3)的矩陣二次型也記為f(X)=XTAX.(AT=A)二次型f(X)的秩：A的秩.在例1中，f(x1,x2,x3)的矩陣R(A)=3,故f(x1,x2,x3)的秩為3.二、合同變換(1)式稱為從y1,…,yn

到x1,…,xn的線性變換.上式可以進一步寫成矩陣形式

X=CY(2)其中若C為可逆矩陣，則(2)式稱為可逆變換，若C為正交矩陣，則(2)式稱為正交變換.當(dāng)C可逆時，(2)式又可記為

Y=C-1X(3)對于二次型f(X)=XTAX，將變換X=CY(C可逆)代入，則有

f(X)=(CY)TA(CY)=YT

(CTAC)Y.記B=CTAC,則

BT=B,且

f(X)=YT

(CTAC)Y=YTBY=g(Y).現(xiàn)在考慮兩個矩陣之間的如下關(guān)系CTAC=B1.矩陣合同定義對n階矩陣A,B,若存在可逆矩陣C,使CTAC=B,則稱A與B合同.矩陣合同具有以下性質(zhì)：(1)反身性：矩陣A與自身合同；(2)對稱性：若A與B合同，則B與A合同；(3)傳遞性：若A與B合同，且B與C合同,則A與C

合同.

A與B等價：PAQ=B,P,Q可逆；

A與B相似：P-1AP=B,P可逆；請思考：矩陣合同與等價、相似有何關(guān)系？則f(X)與g(Y)的矩陣A與B合同.也稱二次型f(X)與g(Y)合同.稱X=CY(C可逆)為合同變換.

正交變換是一種特殊的可逆變換，也是一種特殊的合同變換，而合同變換就是可逆變換.若二次型f(X)=YT

(CTAC)Y=YTBY=g(Y)三、用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形只含平方項的二次型

d1y12+d2y22+…+dr

yr2(di

≠0)

稱為標(biāo)準(zhǔn)形.形如

z12+

…+

zp2–zp+12-…-

zr2

的二次型稱為規(guī)范形.

p:正慣性指數(shù)；

r-p:負(fù)正慣性指數(shù)；|r-2p|:符號差.例2用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

f(x1,x2,x3)=x12+2x22+3x32+2x1x2+6x2

x3+2x1x3

f(x1,x2,x3)=x12+2x22+3x32+2x1x2+6x2

x3+2x1x3=(x12+2x1x2+2x1

x3)+2x22+3x32+6x2

x3=(x1+x2+x3)2+(x22+4x2

x3)+2x32=(x1+x2+x3)2+(x2+2x3)2-2x32則f(x1,x2,x3)=y12+y22–2y32

即(1):從x1,x2,x3到y(tǒng)1,

y2,y3的線性變換.(2):從y1,

y2,y3到x1,x2,x3的線性變換.(1)與(2)所表達的x1,x2,x3與y1,

y2,y3的關(guān)系是相同的.利用配方法與歸納法可以證明：

定理1

任一實二次型f(X)=XTAX都可用配方法化為標(biāo)準(zhǔn)形.例3

f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3-6x2

x3令則,f(x1,x2,x3)=2y12–2y22–4y1y3+8y2

y3=2(y12–2y1y3)-2y22

+8y2

y3=2(y1

–y3)2-2(y22

-4y2

y3

)-2y32

=2(y1

–y3)2-2(y2-2y3)2+6y32

=2z12–2z22+6z32上式最后一步使用的變換是則,

f=2z12–2z22+6z32=t12+

t22

-t32

將實二次型f(X)=XTAX經(jīng)合同變換化為標(biāo)準(zhǔn)形后，將正項集中在前，負(fù)項集中在后：定理2

任何一個實二次型的規(guī)范形都是惟一的.證明思路

d1y12+…+dpyp2-dp+1yp+12-…-

dryr2

得f(X)=XTAX的規(guī)范形為

z12+

…+

zp2–zp+12-…-

zr2

由于合同變換不改變二次型的秩，所以r是惟一確定的.進一步還可證明正慣性指數(shù)p是惟一的，因此，負(fù)慣性指數(shù)r–p與符號差|r–2p|也是惟一的.例4

設(shè)二次型的正負(fù)慣性指數(shù)都是1，求的規(guī)范型及常數(shù)a。解：的規(guī)范型為二次型的矩陣因為二次型的秩為2，所以R(A)=2又因為由R(A)=2，得a=-2性質(zhì)1

正交變換保持向量的長度不變．證明定義

若為正交陣,則線性變換稱為正交變換．性質(zhì)2

正交變換保持兩向量的內(nèi)積不變，從而保持兩向量間的夾角不變。證明四、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

定理3

任一n元實二次型f(X)=XTAX都可用正交變換X=CY化為標(biāo)準(zhǔn)形1y12+

2

y22+…+n

yn2其中1，2

，…，n是A的特征值.

證因A為n階實對稱矩陣，所以存在正交矩陣C,使CTAC=C-1AC=diag(1，2

，…，n)令X=CY,則f(X)=YTCTACY=1y12+

2

y22+…+n

yn2結(jié)論：在正交變換下，幾何圖形的的形狀不會發(fā)生改變。例4用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

f(x1,x2,x3)=x12-2x22-2x32

-4

x1x2+4x1x3+8x2

x3解

f(x1,x2,x3)的矩陣特征值：1=2（二重特征值），2

=-7，求1=2的特征向量：

x1

+2x2-2x3=0特征向量：1=(-2,1,0)T,2=(2,0,1)T將1,2正交化：