2021年高考數(shù)學(xué)第一輪專題復(fù)習(xí)課件2.3函數(shù)的奇偶性與周期性

2.3

函數(shù)的奇偶性與周期性2.3函數(shù)的奇偶性與周期性-2-知識梳理雙基自測23411.函數(shù)的奇偶性

f(-x)=f(x)y軸

f(-x)=-f(x)原點(diǎn)

-2-知識梳理雙基自測23411.函數(shù)的奇偶性f(-x)-3-知識梳理雙基自測23412.奇(偶)函數(shù)的性質(zhì)(1)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù),那么f(x)=f(|x|).(2)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.(3)在公共定義域內(nèi)有:奇函數(shù)±奇函數(shù)=奇函數(shù),偶函數(shù)±偶函數(shù)=偶函數(shù),奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù),偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù),奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù).(4)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù),且在x=0處有定義,則f(0)=0.-3-知識梳理雙基自測23412.奇(偶)函數(shù)的性質(zhì)-4-知識梳理雙基自測23413.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù):T為函數(shù)f(x)的一個(gè)周期,則需滿足的條件:①T≠0;②

對定義域內(nèi)的任意x都成立.

(2)最小正周期:如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)

,那么這個(gè)

就叫做它的最小正周期.

(3)周期不唯一:若T是函數(shù)y=f(x)(x∈R)的一個(gè)周期,則nT(n∈Z,且n≠0)也是函數(shù)f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).f(x+T)=f(x)最小的正數(shù)

最小正數(shù)

-4-知識梳理雙基自測23413.函數(shù)的周期性f(x+T)=-5-知識梳理雙基自測23414.函數(shù)周期性的常用結(jié)論對函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任一自變量的值x,(1)若f(x+a)=-f(x),則T=2a.(4)若f(x)是偶函數(shù),其圖象關(guān)于直線x=a對稱,則T=2a.(5)若f(x)是奇函數(shù),其圖象關(guān)于直線x=a對稱,則T=4a.(6)若函數(shù)的圖象關(guān)于兩條直線x=a,x=b對稱,則T=2|a-b|.(7)若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)M(a,0)和點(diǎn)N(b,0)對稱,則T=2|a-b|.(8)若函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=a和點(diǎn)M(b,0)對稱,則T=4|a-b|.-5-知識梳理雙基自測23414.函數(shù)周期性的常用結(jié)論2-6-知識梳理雙基自測34151.下列結(jié)論正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),函數(shù)y=x2是偶函數(shù).(

)(2)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù),則一定有f(0)=0.(

)(3)若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱;若函數(shù)y=f(x+b)是奇函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對稱.(

)(4)若函數(shù)f(x),g(x)是定義域相同的偶函數(shù),則F(x)=f(x)+g(x)是偶函數(shù).(

)(5)已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù),若f(x)在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)是減函數(shù),則f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù).(

)(6)若T為y=f(x)的一個(gè)周期,則nT(n∈Z)是函數(shù)f(x)的周期.(

)×

×

√√√×

2-6-知識梳理雙基自測34151.下列結(jié)論正確的畫“√”,-7-知識梳理雙基自測234152.已知f(x)=ax2+bx是定義在區(qū)間[a-1,2a]上的偶函數(shù),則a+b的值是(

)答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-7-知識梳理雙基自測234152.已知f(x)=ax2+b-8-知識梳理雙基自測234153.下列函數(shù)為奇函數(shù)的是(

)答案解析解析關(guān)閉令y=f(x),選項(xiàng)A,定義域?yàn)閇0,+∞),不關(guān)于原點(diǎn)對稱,所以為非奇非偶函數(shù);選項(xiàng)B,f(-x)=|sin(-x)|=|sinx|=f(x),為偶函數(shù);選項(xiàng)C,f(-x)=cos(-x)=cosx=f(x),為偶函數(shù);選項(xiàng)D,f(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-f(x),為奇函數(shù).答案解析關(guān)閉D-8-知識梳理雙基自測234153.下列函數(shù)為奇函數(shù)的是(-9-知識梳理雙基自測234154.已知f(x)滿足對任意x∈R,f(-x)+f(x)=0,且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=ex+m(m為常數(shù)),則f(-ln5)的值為(

)A.4 B.-4 C.6 D.-6答案解析解析關(guān)閉由題意知函數(shù)f(x)是奇函數(shù).因?yàn)閒(0)=e0+m=1+m=0,解得m=-1,所以f(-ln5)=-f(ln5)=-eln5+1=-5+1=-4,故選B.答案解析關(guān)閉B-9-知識梳理雙基自測234154.已知f(x)滿足對任意x-10-知識梳理雙基自測234155.(教材習(xí)題改編P39T6)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x(1+x),則當(dāng)x<0時(shí),f(x)=

.

答案解析解析關(guān)閉當(dāng)x<0時(shí),-x>0,故f(-x)=(-x)(1-x).又f(x)為奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x)=(-x)(1-x),∴f(x)=x(1-x).答案解析關(guān)閉x(1-x)

-10-知識梳理雙基自測234155.(教材習(xí)題改編P39T-11-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4例1判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1)f(x)=x3-x;思考判斷函數(shù)的奇偶性要注意什么?-11-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4例1判斷下列函數(shù)的奇偶性:-12-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解

(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對稱.又f(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-(x3-x)=-f(x),故函數(shù)f(x)為奇函數(shù).因?yàn)楹瘮?shù)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱,所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù).(3)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0},關(guān)于原點(diǎn)對稱.當(dāng)x>0時(shí),-x<0,此時(shí)f(x)=-x2+x,f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-(-x2+x)=-f(x);當(dāng)x<0時(shí),-x>0,此時(shí)f(x)=x2+x,f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-(x2+x)=-f(x).故對于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),均有f(-x)=-f(x).即函數(shù)f(x)為奇函數(shù).-12-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解(1)函數(shù)f(x)的定義-13-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解題心得判斷函數(shù)奇偶性的方法:(1)定義法.利用奇、偶函數(shù)的定義或定義的等價(jià)形式:=±1(f(x)≠0)判斷函數(shù)的奇偶性.(2)圖象法.利用函數(shù)圖象的對稱性判斷函數(shù)的奇偶性.(3)性質(zhì)法.設(shè)f(x),g(x)的定義域分別是D1,D2,那么在它們的公共定義域上,有下面結(jié)論:-13-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解題心得判斷函數(shù)奇偶性的方法-14-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4對點(diǎn)訓(xùn)練1設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域都為R,且f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則下列結(jié)論正確的是(

)A.f(x)g(x)是偶函數(shù) B.|f(x)|g(x)是奇函數(shù)C.f(x)|g(x)|是奇函數(shù) D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù)答案解析解析關(guān)閉由題意,知f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),對于A選項(xiàng),f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),f(x)g(x)為奇函數(shù),故A錯(cuò)誤;對于B選項(xiàng),|f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x),|f(x)|g(x)為偶函數(shù),故B錯(cuò)誤;對于C選項(xiàng),f(-x)|g(-x)|=-f(x)·|g(x)|,f(x)|g(x)|為奇函數(shù),故C正確;對于D選項(xiàng),|f(-x)g(-x)|=|f(x)·g(x)|,|f(x)g(x)|是偶函數(shù),故D錯(cuò)誤.答案解析關(guān)閉C-14-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4對點(diǎn)訓(xùn)練1設(shè)函數(shù)f(x),g-15-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4例2(1)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2-3x,則函數(shù)g(x)=f(x)-x+3的零點(diǎn)所構(gòu)成的集合為(

)A.{1,3} B.{-3,-1,1,3}(4)已知函數(shù)g(x)是定義在區(qū)間[-2,2]上的偶函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),g(x)單調(diào)遞減,若g(1-m)<g(m),求m的取值范圍.思考函數(shù)的奇偶性有哪幾個(gè)方面的應(yīng)用?D12-15-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4例2(1)已知f(x)是定義-16-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4經(jīng)檢驗(yàn),a=1時(shí),f(x)為偶函數(shù)

-16-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4經(jīng)檢驗(yàn),a=1時(shí),f(x)為-17-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4-17-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4-18-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解題心得函數(shù)奇偶性應(yīng)用的類型及解法(1)求函數(shù)值將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解.(2)求解析式先將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f(x)的方程(組),從而得到f(x)的解析式.(3)求函數(shù)解析式中參數(shù)的值利用待定系數(shù)法求解,根據(jù)f(x)±f(-x)=0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式,由系數(shù)的對等性得參數(shù)的值或方程(組),進(jìn)而得出參數(shù)的值.(4)畫函數(shù)圖象和判斷單調(diào)性利用奇偶性可畫出另一對稱區(qū)間上的圖象及判斷另一區(qū)間上的單調(diào)性.-18-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解題心得函數(shù)奇偶性應(yīng)用的類型-19-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4(3)若f(x)是R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x3-8,則{x|f(x-2)>0}=(

)A.{x|-2<x<0或x>2} B.{x|0<x<2或x>4}C.{x|x<0或2<x<4} D.{x|x<-2或x>2}對點(diǎn)訓(xùn)練2(1)已知函數(shù)f(x)=x3+sinx+1(x∈R),若f(a)=2,則f(-a)的值為(

)A.3 B.0 C.-1 D.-2(2)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間[0,+∞)內(nèi)單BDB-19-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4(3)若f(x)是R上的奇函-20-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4(4)設(shè)a,b∈R,且a≠2,若定義在區(qū)間(-b,b)內(nèi)的函數(shù)f(x)=lg是奇函數(shù),則a+b的取值范圍為

.

-20-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4(4)設(shè)a,b∈R,且a≠2-21-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解析：(1)設(shè)F(x)=f(x)-1=x3+sin

x,顯然F(x)為奇函數(shù),又F(a)=f(a)-1=1,所以F(-a)=f(-a)-1=-1,從而f(-a)=0.故選B.-21-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解析：(1)設(shè)F(x)=f(-22-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4(3)當(dāng)x=2時(shí),有f(2)=0,因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以f(-2)=0,作出f(x)的大致圖象,由圖象可知,當(dāng)-2<x-2<0或x-2>2,即0<x<2或x>4時(shí),有f(x-2)>0,故選B.-22-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4(3)當(dāng)x=2時(shí),有f(2)-23-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4(4)∵f(x)在(-b,b)上是奇函數(shù),-23-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4(4)∵f(x)在(-b,b-24-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4例3(1)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+6)=f(x),當(dāng)-3≤x<-1時(shí),f(x)=-(x+2)2;當(dāng)-1≤x<3時(shí),f(x)=x.則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2017)等于

(

)A.336 B.337 C.1678 D.2012(2)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),并且f(x+2)=-,當(dāng)2≤x≤3時(shí),f(x)=x,則f(105.5)=

.

思考函數(shù)的周期性主要的應(yīng)用是什么?2.5B-24-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4例3(1)定義在R上的函數(shù)f-25-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解析:(1)∵f(x+6)=f(x),∴函數(shù)f(x)的周期T=6.∵當(dāng)-3≤x<-1時(shí),f(x)=-(x+2)2;當(dāng)-1≤x<3時(shí),f(x)=x,∴f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,

f(6)=f(0)=0,∴f(1)+f(2)+…+f(6)=1.又f(2

017)=f(1)=1,∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2

017)=337.-25-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解析:(1)∵f(x+6)=-26-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4∴函數(shù)f(x)的周期為4.∴f(105.5)=f(4×27-2.5)=f(-2.5)=f(2.5).∵2≤2.5≤3,∴f(2.5)=2.5.∴f(105.5)=2.5.解題心得利用函數(shù)的周期性,可將其他區(qū)間上的求值、求零點(diǎn)個(gè)數(shù)、求解析式等問題,轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的相應(yīng)問題進(jìn)行求解.-26-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4∴函數(shù)f(x)的周期為4.解-27-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4對點(diǎn)訓(xùn)練3(1)已知f(x)是定義在R上的函數(shù),且f(x+2)=-f(x),當(dāng)2≤x≤3時(shí),f(x)=x,則f(2018)=

.

(2)已知f(x)是R上的奇函數(shù),f(1)=2,且對任意x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,則f(2017)=

.

22-27-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4對點(diǎn)訓(xùn)練3(1)已知f(x)-28-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解析:

(1)因?yàn)閒(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),所以函數(shù)f(x)的周期為4,所以f(2

018)=f(4×504+2)=f(2).又2≤2≤3,所以f(2)=2,即f(2

018)=2.(2)因?yàn)閒(x)是R上的奇函數(shù),所以f(0)=0.又對任意x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3),所以當(dāng)x=-3時(shí),有f(3)=f(-3)+f(3)=0,所以f(-3)=0,f(3)=0,所以f(x+6)=f(x),周期為6.故f(2

017)=f(1)=2.-28-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解析:(1)因?yàn)閒(x+2-29-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4例4(1)已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),且f(x+1)=-f(x),若f(x)在區(qū)間[-1,0]上是減函數(shù),則f(x)在區(qū)間[1,3]上是(

)A.增函數(shù) B.減函數(shù)C.先增后減的函數(shù) D.先減后增的函數(shù)(2)已知f(x)是定義域?yàn)?-∞,+∞)的奇函數(shù),滿足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=(

)A.-50 B.0 C.2 D.50思考解有關(guān)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性綜合問題的策略有哪些?DC-29-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4例4(1)已知函數(shù)f(x)是-30-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解析:

(1)由f(x)在[-1,0]上是減函數(shù),又f(x)是R上的偶函數(shù),故f(x)在[0,1]上是增函數(shù).由f(x+1)=-f(x),得f(x+2)=f[(x+1)+1]=-f(x+1)=f(x),故2是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期.結(jié)合以上性質(zhì),畫出f(x)的部分草圖,如圖所示.由圖象可以觀察出,f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù),在區(qū)間[2,3]上為增函數(shù).故選D.-30-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解析:(1)由f(x)在[-31-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4(2)∵f(-x)=f(2+x)=-f(x),∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x).∴f(x)的周期為4.∵f(x)為奇函數(shù),∴f(0)=0.∵f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0)=0,∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.∴f(1)+f(2)+…+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.-31-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4(2)∵f(-x)=f(2+-32-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解題心得函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用問題的常見類型及解題策略:(1)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合.注意奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同,偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反.(2)周期性與奇偶性結(jié)合.此類問題多考查求值問題,常利用奇偶性及周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)換,將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的定義域內(nèi)求解.(3)周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合.解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間,再利用奇偶性和單調(diào)性求解.-32-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解題心得函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用問題-33-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4對點(diǎn)訓(xùn)練4(1)已知函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù),g(x)是R上的奇函數(shù),且g(x)=f(x-1),若f(2)=2,則f(2018)的值為(

)A.2 B.0 C.-2 D.±2AD-33-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4對點(diǎn)訓(xùn)練4(1)已知函數(shù)f(-34-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解析:(1)∵g(-x)=f(-x-1),∴-g(x)=f(x+1).又g(x)=f(x-1),∴f(x+1)=-f(x-1).∴f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),則f(x)是以4為周期的周期函數(shù),∴f(2

018)=f(2)=2.-34-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解析:(1)∵g(-x)=f-35-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4令f(x)=0,則x2-x+1=1,解得x=1.又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),∴f(1.5)=f(-1.5+3)=f(-1.5)=-f(1.5),∴f(-1)=f(1)=f(0)=f(1.5)=f(-1.5)=0,又函數(shù)f(x)是周期為3的周期函數(shù),∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,6]上的零點(diǎn)為0,1,1.5,2,3,4,4.5,5,6,共9個(gè),故選D.-35-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4令f(x)=0,則x2-x+2.3

函數(shù)的奇偶性與周期性2.3函數(shù)的奇偶性與周期性-37-知識梳理雙基自測23411.函數(shù)的奇偶性

f(-x)=f(x)y軸

f(-x)=-f(x)原點(diǎn)

-2-知識梳理雙基自測23411.函數(shù)的奇偶性f(-x)-38-知識梳理雙基自測23412.奇(偶)函數(shù)的性質(zhì)(1)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù),那么f(x)=f(|x|).(2)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.(3)在公共定義域內(nèi)有:奇函數(shù)±奇函數(shù)=奇函數(shù),偶函數(shù)±偶函數(shù)=偶函數(shù),奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù),偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù),奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù).(4)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù),且在x=0處有定義,則f(0)=0.-3-知識梳理雙基自測23412.奇(偶)函數(shù)的性質(zhì)-39-知識梳理雙基自測23413.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù):T為函數(shù)f(x)的一個(gè)周期,則需滿足的條件:①T≠0;②

對定義域內(nèi)的任意x都成立.

(2)最小正周期:如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)

,那么這個(gè)

就叫做它的最小正周期.

(3)周期不唯一:若T是函數(shù)y=f(x)(x∈R)的一個(gè)周期,則nT(n∈Z,且n≠0)也是函數(shù)f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).f(x+T)=f(x)最小的正數(shù)

最小正數(shù)

-4-知識梳理雙基自測23413.函數(shù)的周期性f(x+T)=-40-知識梳理雙基自測23414.函數(shù)周期性的常用結(jié)論對函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任一自變量的值x,(1)若f(x+a)=-f(x),則T=2a.(4)若f(x)是偶函數(shù),其圖象關(guān)于直線x=a對稱,則T=2a.(5)若f(x)是奇函數(shù),其圖象關(guān)于直線x=a對稱,則T=4a.(6)若函數(shù)的圖象關(guān)于兩條直線x=a,x=b對稱,則T=2|a-b|.(7)若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)M(a,0)和點(diǎn)N(b,0)對稱,則T=2|a-b|.(8)若函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=a和點(diǎn)M(b,0)對稱,則T=4|a-b|.-5-知識梳理雙基自測23414.函數(shù)周期性的常用結(jié)論2-41-知識梳理雙基自測34151.下列結(jié)論正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),函數(shù)y=x2是偶函數(shù).(

)(2)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù),則一定有f(0)=0.(

)(3)若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱;若函數(shù)y=f(x+b)是奇函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對稱.(

)(4)若函數(shù)f(x),g(x)是定義域相同的偶函數(shù),則F(x)=f(x)+g(x)是偶函數(shù).(

)(5)已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù),若f(x)在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)是減函數(shù),則f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù).(

)(6)若T為y=f(x)的一個(gè)周期,則nT(n∈Z)是函數(shù)f(x)的周期.(

)×

×

√√√×

2-6-知識梳理雙基自測34151.下列結(jié)論正確的畫“√”,-42-知識梳理雙基自測234152.已知f(x)=ax2+bx是定義在區(qū)間[a-1,2a]上的偶函數(shù),則a+b的值是(

)答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-7-知識梳理雙基自測234152.已知f(x)=ax2+b-43-知識梳理雙基自測234153.下列函數(shù)為奇函數(shù)的是(

)答案解析解析關(guān)閉令y=f(x),選項(xiàng)A,定義域?yàn)閇0,+∞),不關(guān)于原點(diǎn)對稱,所以為非奇非偶函數(shù);選項(xiàng)B,f(-x)=|sin(-x)|=|sinx|=f(x),為偶函數(shù);選項(xiàng)C,f(-x)=cos(-x)=cosx=f(x),為偶函數(shù);選項(xiàng)D,f(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-f(x),為奇函數(shù).答案解析關(guān)閉D-8-知識梳理雙基自測234153.下列函數(shù)為奇函數(shù)的是(-44-知識梳理雙基自測234154.已知f(x)滿足對任意x∈R,f(-x)+f(x)=0,且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=ex+m(m為常數(shù)),則f(-ln5)的值為(

)A.4 B.-4 C.6 D.-6答案解析解析關(guān)閉由題意知函數(shù)f(x)是奇函數(shù).因?yàn)閒(0)=e0+m=1+m=0,解得m=-1,所以f(-ln5)=-f(ln5)=-eln5+1=-5+1=-4,故選B.答案解析關(guān)閉B-9-知識梳理雙基自測234154.已知f(x)滿足對任意x-45-知識梳理雙基自測234155.(教材習(xí)題改編P39T6)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x(1+x),則當(dāng)x<0時(shí),f(x)=

.

答案解析解析關(guān)閉當(dāng)x<0時(shí),-x>0,故f(-x)=(-x)(1-x).又f(x)為奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x)=(-x)(1-x),∴f(x)=x(1-x).答案解析關(guān)閉x(1-x)

-10-知識梳理雙基自測234155.(教材習(xí)題改編P39T-46-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4例1判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1)f(x)=x3-x;思考判斷函數(shù)的奇偶性要注意什么?-11-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4例1判斷下列函數(shù)的奇偶性:-47-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解

(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對稱.又f(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-(x3-x)=-f(x),故函數(shù)f(x)為奇函數(shù).因?yàn)楹瘮?shù)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱,所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù).(3)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0},關(guān)于原點(diǎn)對稱.當(dāng)x>0時(shí),-x<0,此時(shí)f(x)=-x2+x,f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-(-x2+x)=-f(x);當(dāng)x<0時(shí),-x>0,此時(shí)f(x)=x2+x,f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-(x2+x)=-f(x).故對于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),均有f(-x)=-f(x).即函數(shù)f(x)為奇函數(shù).-12-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解(1)函數(shù)f(x)的定義-48-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解題心得判斷函數(shù)奇偶性的方法:(1)定義法.利用奇、偶函數(shù)的定義或定義的等價(jià)形式:=±1(f(x)≠0)判斷函數(shù)的奇偶性.(2)圖象法.利用函數(shù)圖象的對稱性判斷函數(shù)的奇偶性.(3)性質(zhì)法.設(shè)f(x),g(x)的定義域分別是D1,D2,那么在它們的公共定義域上,有下面結(jié)論:-13-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解題心得判斷函數(shù)奇偶性的方法-49-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4對點(diǎn)訓(xùn)練1設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域都為R,且f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則下列結(jié)論正確的是(

)A.f(x)g(x)是偶函數(shù) B.|f(x)|g(x)是奇函數(shù)C.f(x)|g(x)|是奇函數(shù) D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù)答案解析解析關(guān)閉由題意,知f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),對于A選項(xiàng),f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),f(x)g(x)為奇函數(shù),故A錯(cuò)誤;對于B選項(xiàng),|f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x),|f(x)|g(x)為偶函數(shù),故B錯(cuò)誤;對于C選項(xiàng),f(-x)|g(-x)|=-f(x)·|g(x)|,f(x)|g(x)|為奇函數(shù),故C正確;對于D選項(xiàng),|f(-x)g(-x)|=|f(x)·g(x)|,|f(x)g(x)|是偶函數(shù),故D錯(cuò)誤.答案解析關(guān)閉C-14-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4對點(diǎn)訓(xùn)練1設(shè)函數(shù)f(x),g-50-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4例2(1)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2-3x,則函數(shù)g(x)=f(x)-x+3的零點(diǎn)所構(gòu)成的集合為(

)A.{1,3} B.{-3,-1,1,3}(4)已知函數(shù)g(x)是定義在區(qū)間[-2,2]上的偶函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),g(x)單調(diào)遞減,若g(1-m)<g(m),求m的取值范圍.思考函數(shù)的奇偶性有哪幾個(gè)方面的應(yīng)用?D12-15-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4例2(1)已知f(x)是定義-51-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4經(jīng)檢驗(yàn),a=1時(shí),f(x)為偶函數(shù)

-16-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4經(jīng)檢驗(yàn),a=1時(shí),f(x)為-52-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4-17-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4-53-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解題心得函數(shù)奇偶性應(yīng)用的類型及解法(1)求函數(shù)值將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解.(2)求解析式先將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f(x)的方程(組),從而得到f(x)的解析式.(3)求函數(shù)解析式中參數(shù)的值利用待定系數(shù)法求解,根據(jù)f(x)±f(-x)=0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式,由系數(shù)的對等性得參數(shù)的值或方程(組),進(jìn)而得出參數(shù)的值.(4)畫函數(shù)圖象和判斷單調(diào)性利用奇偶性可畫出另一對稱區(qū)間上的圖象及判斷另一區(qū)間上的單調(diào)性.-18-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解題心得函數(shù)奇偶性應(yīng)用的類型-54-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4(3)若f(x)是R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x3-8,則{x|f(x-2)>0}=(

)A.{x|-2<x<0或x>2} B.{x|0<x<2或x>4}C.{x|x<0或2<x<4} D.{x|x<-2或x>2}對點(diǎn)訓(xùn)練2(1)已知函數(shù)f(x)=x3+sinx+1(x∈R),若f(a)=2,則f(-a)的值為(

)A.3 B.0 C.-1 D.-2(2)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間[0,+∞)內(nèi)單BDB-19-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4(3)若f(x)是R上的奇函-55-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4(4)設(shè)a,b∈R,且a≠2,若定義在區(qū)間(-b,b)內(nèi)的函數(shù)f(x)=lg是奇函數(shù),則a+b的取值范圍為

.

-20-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4(4)設(shè)a,b∈R,且a≠2-56-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解析：(1)設(shè)F(x)=f(x)-1=x3+sin

x,顯然F(x)為奇函數(shù),又F(a)=f(a)-1=1,所以F(-a)=f(-a)-1=-1,從而f(-a)=0.故選B.-21-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解析：(1)設(shè)F(x)=f(-57-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4(3)當(dāng)x=2時(shí),有f(2)=0,因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以f(-2)=0,作出f(x)的大致圖象,由圖象可知,當(dāng)-2<x-2<0或x-2>2,即0<x<2或x>4時(shí),有f(x-2)>0,故選B.-22-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4(3)當(dāng)x=2時(shí),有f(2)-58-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4(4)∵f(x)在(-b,b)上是奇函數(shù),-23-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4(4)∵f(x)在(-b,b-59-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4例3(1)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+6)=f(x),當(dāng)-3≤x<-1時(shí),f(x)=-(x+2)2;當(dāng)-1≤x<3時(shí),f(x)=x.則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2017)等于

(

)A.336 B.337 C.1678 D.2012(2)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),并且f(x+2)=-,當(dāng)2≤x≤3時(shí),f(x)=x,則f(105.5)=

.

思考函數(shù)的周期性主要的應(yīng)用是什么?2.5B-24-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4例3(1)定義在R上的函數(shù)f-60-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解析:(1)∵f(x+6)=f(x),∴函數(shù)f(x)的周期T=6.∵當(dāng)-3≤x<-1時(shí),f(x)=-(x+2)2;當(dāng)-1≤x<3時(shí),f(x)=x,∴f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,

f(6)=f(0)=0,∴f(1)+f(2)+…+f(6)=1.又f(2

017)=f(1)=1,∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2

017)=337.-25-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解析:(1)∵f(x+6)=-61-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4∴函數(shù)f(x)的周期為4.∴f(105.5)=f(4×27-2.5)=f(-2.5)=f(2.5).∵2≤2.5≤3,∴f(2.5)=2.5.∴f(105.5)=2.5.解題心得利用函數(shù)的周期性,可將其他區(qū)間上的求值、求零點(diǎn)個(gè)數(shù)、求解析式等問題,轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的相應(yīng)問題進(jìn)行求解.-26-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4∴函數(shù)f(x)的周期為4.解-62-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4對點(diǎn)訓(xùn)練3(1)已知f(x)是定義在R上的函數(shù),且f(x+2)=-f(x),當(dāng)2≤x≤3時(shí),f(x)=x,則f(2018)=

.

(2)已知f(x)是R上的奇函數(shù),f(1)=2,且對任意x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,則f(2017)=

.

22-27-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4對點(diǎn)訓(xùn)練3(1)已知f(x)-63-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解析:

(1)因?yàn)閒(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),所以函數(shù)f(x)的周期為4,所以f(2

018)=f(4×504+2)=f(2).又2≤2≤3,所以f(2)=2,即f(2

018)=2.(2)因?yàn)閒(x)是R上的奇函數(shù),所以f(0)=0.又對任意x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3),所以當(dāng)x=-3時(shí),有f(3)=f(-3)+f(3)=0,所以f(-3)=0,f(3)=0,所以f(x+6)=f(x),周期為6.故f(2

017)=f(1)=2.-28-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4解析:(1)因?yàn)閒(x+2-64-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4例4(1)已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),且f(x+1)=-f(x),若f(x)在區(qū)間[-1,0]上是減函數(shù)