(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)復(fù)習(xí)講義第56講《排列與組合》（講）（解析版）

第56講排列與組合思維導(dǎo)圖知識(shí)梳理1．排列、組合的定義排列的定義從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列組合的定義合成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合2．排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì)排列數(shù)組合數(shù)定義從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)性質(zhì)Aeq\o\al(n,n)＝n！，0?。?Ceq\o\al(0,n)＝1，Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)，Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)題型歸納題型1排列問(wèn)題【例1-1】有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù)．(1)選5人排成一排；(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；(3)全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾；(4)全體排成一排，女生必須站在一起；(5)全體排成一排，男生互不相鄰．【解】(1)從7人中選5人排列，有Aeq\o\al(5,7)＝7×6×5×4×3＝2520(種)．(2)分兩步完成，先選3人站前排，有Aeq\o\al(3,7)種方法，余下4人站后排，有Aeq\o\al(4,4)種方法，共有Aeq\o\al(3,7)Aeq\o\al(4,4)＝5040(種)．(3)法一：(特殊元素優(yōu)先法)先排甲，有5種方法，其余6人有Aeq\o\al(6,6)種排列方法，共有5×Aeq\o\al(6,6)＝3600(種)．法二：(特殊位置優(yōu)先法)首尾位置可安排另6人中的兩人，有Aeq\o\al(2,6)種排法，其他有Aeq\o\al(5,5)種排法，共有Aeq\o\al(2,6)Aeq\o\al(5,5)＝3600(種)．(4)(捆綁法)將女生看作一個(gè)整體與3名男生一起全排列，有Aeq\o\al(4,4)種方法，再將女生全排列，有Aeq\o\al(4,4)種方法，共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(4,4)＝576(種)．(5)(插空法)先排女生，有Aeq\o\al(4,4)種方法，再在女生之間及首尾5個(gè)空位中任選3個(gè)空位安排男生，有Aeq\o\al(3,5)種方法，共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,5)＝1440(種)．【跟蹤訓(xùn)練1-1】高三要安排畢業(yè)晚會(huì)的4個(gè)音樂(lè)節(jié)目，2個(gè)舞蹈節(jié)目和1個(gè)曲藝節(jié)目的演出順序，要求2個(gè)舞蹈節(jié)目不連排，則不同排法的種數(shù)是()A．1800 B．3600C．4320 D．5040【解析】選B先排除舞蹈節(jié)目以外的5個(gè)節(jié)目，共Aeq\o\al(5,5)種，再把2個(gè)舞蹈節(jié)目插在6個(gè)空位中，有Aeq\o\al(2,6)種，所以共有Aeq\o\al(5,5)Aeq\o\al(2,6)＝3600(種)．【跟蹤訓(xùn)練1-2】用數(shù)字0,1,2,3,4組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且大于3000的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)有()A．250個(gè) B．249個(gè)C．48個(gè) D．24個(gè)【解析】選C①當(dāng)千位上的數(shù)字為4時(shí)，滿足條件的四位數(shù)有Aeq\o\al(3,4)＝24(個(gè))；②當(dāng)千位上的數(shù)字為3時(shí)，滿足條件的四位數(shù)有Aeq\o\al(3,4)＝24(個(gè))．由分類加法計(jì)數(shù)原理得滿足條件的四位數(shù)共有24＋24＝48(個(gè))，故選C.【跟蹤訓(xùn)練1-3】將7個(gè)人(其中包括甲、乙、丙、丁4人)排成一排，若甲不能在排頭，乙不能在排尾，丙、丁兩人必須相鄰，則不同的排法共有()A．1108種 B．1008種C．960種 D．504種【解析】選B將丙、丁兩人進(jìn)行捆綁，看成一人．將6人全排列有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(6,6)種排法；將甲排在排頭，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(5,5)種排法；乙排在排尾，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(5,5)種排法；甲排在排頭，乙排在排尾，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)種排法．則甲不能在排頭，乙不能在排尾，丙、丁兩人必須相鄰的不同排法共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(6,6)－Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(5,5)－Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)＝1008(種)．【名師指導(dǎo)】求解排列應(yīng)用問(wèn)題的6種主要方法直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對(duì)不相鄰問(wèn)題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中定序問(wèn)題除法處理對(duì)于定序問(wèn)題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法題型2組合問(wèn)題【例2-1】某市工商局對(duì)35種商品進(jìn)行抽樣檢查，已知其中有15種假貨．現(xiàn)從35種商品中選取3種．(1)其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同取法有多少種？(2)其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同取法有多少種？(3)恰有2種假貨在內(nèi)，不同取法有多少種？(4)至少有2種假貨在內(nèi)，不同取法有多少種？(5)至多有2種假貨在內(nèi)，不同取法有多少種？【解】(1)從余下的34種商品中，選取2種有Ceq\o\al(2,34)＝561(種)取法，所以某一種假貨必須在內(nèi)的不同取法有561種．(2)從34種可選商品中，選取3種，有Ceq\o\al(3,34)種或者Ceq\o\al(3,35)－Ceq\o\al(2,34)＝Ceq\o\al(3,34)＝5984(種)取法．所以某一種假貨不能在內(nèi)的不同取法有5984種．(3)從20種真貨中選取1種，從15種假貨中選取2種有Ceq\o\al(1,20)Ceq\o\al(2,15)＝2100(種)取法．所以恰有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2100種．(4)選取2種假貨有Ceq\o\al(1,20)Ceq\o\al(2,15)種，選取3種假貨有Ceq\o\al(3,15)種，共有選取方式Ceq\o\al(1,20)Ceq\o\al(2,15)＋Ceq\o\al(3,15)＝2100＋455＝2555(種)．所以至少有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2555種．(5)法一：(間接法)選取3種商品的總數(shù)為Ceq\o\al(3,35)，因此共有選取方式Ceq\o\al(3,35)－Ceq\o\al(3,15)＝6545－455＝6090(種)．所以至多有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有6090種．法二：(直接法)共有選取方式Ceq\o\al(3,20)＋Ceq\o\al(2,20)Ceq\o\al(1,15)＋Ceq\o\al(1,20)Ceq\o\al(2,15)＝6090(種)．所以至多有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有6090種．【跟蹤訓(xùn)練2-1】從{1,2,3，…，10}中選取三個(gè)不同的數(shù)，使得其中至少有兩個(gè)相鄰，則不同的選法種數(shù)是()A．72 B．70C．66 D．64【解析】選D從{1,2,3，…，10}中選取三個(gè)不同的數(shù)，恰好有兩個(gè)數(shù)相鄰，共有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(1,7)·Ceq\o\al(1,6)＝56種選法，三個(gè)數(shù)相鄰共有Ceq\o\al(1,8)＝8種選法，故至少有兩個(gè)數(shù)相鄰共有56＋8＝64種選法．【跟蹤訓(xùn)練2-2】從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有________種．(用數(shù)字作答)【解析】從2位女生，4位男生中選3人，共有Ceq\o\al(3,6)種情況，沒(méi)有女生參加的情況有Ceq\o\al(3,4)種，故共有Ceq\o\al(3,6)－Ceq\o\al(3,4)＝20－4＝16(種)．【答案】16【跟蹤訓(xùn)練2-3】(2019·遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考)在《爸爸去哪兒》第二季第四期中，村長(zhǎng)給6位“萌娃”布置一項(xiàng)搜尋空投食物的任務(wù)．已知：①食物投擲地點(diǎn)有遠(yuǎn)、近兩處；②由于Grace年紀(jì)尚小，所以要么不參與該項(xiàng)任務(wù)，但此時(shí)另需一位小孩在大本營(yíng)陪同，要么參與搜尋近處投擲點(diǎn)的食物；③所有參與搜尋任務(wù)的小孩須被均分成兩組，一組去遠(yuǎn)處，一組去近處．那么不同的搜尋方案有________種．【解析】若Grace不參與任務(wù)，則需要從剩下的5位小孩中任意挑出1位陪同，有Ceq\o\al(1,5)種挑法，再?gòu)氖Ｏ碌?位小孩中挑出2位搜尋遠(yuǎn)處，有Ceq\o\al(2,4)種挑法，最后剩下的2位小孩搜尋近處，因此一共有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)＝30種搜尋方案；若Grace參與任務(wù)，則其只能去近處，需要從剩下的5位小孩中挑出2位搜尋近處，有Ceq\o\al(2,5)種挑法，剩下3位小孩去搜尋遠(yuǎn)處，因此共有Ceq\o\al(2,5)＝10種搜尋方案．綜上，一共有30＋10＝40種搜尋方案．【答案】40【名師指導(dǎo)】組合問(wèn)題的2類題型及求解方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外的元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再?gòu)氖Ｏ碌脑刂腥ミx?。?2)“至少”或“至多”含有幾個(gè)元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解．用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理．題型3排列與組合問(wèn)題的綜合應(yīng)用【例3-1】(1)在高三某班進(jìn)行的演講比賽中，共有5位選手參加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能連續(xù)出場(chǎng)，且女生甲不能排第一個(gè)，那么出場(chǎng)的順序的排法種數(shù)為_(kāi)_______．(2)大數(shù)據(jù)時(shí)代出現(xiàn)了滴滴打車服務(wù)，二胎政策的放開(kāi)使得家庭中有兩個(gè)孩子的現(xiàn)象普遍存在．某城市關(guān)系要好的A，B，C，D四個(gè)家庭各有兩個(gè)孩子共8人，他們準(zhǔn)備使用滴滴打車軟件，分乘甲、乙兩輛汽車出去游玩，每車限坐4名(乘同一輛車的4個(gè)孩子不考慮位置)，其中A家庭的孿生姐妹需乘同一輛車，則乘坐甲車的4個(gè)孩子恰有2個(gè)來(lái)自于同一個(gè)家庭的乘坐方式共有________種．【解析】(1)2位男生不能連續(xù)出場(chǎng)的排法共有N1＝Aeq\o\al(3,3)×Aeq\o\al(2,4)＝72(種)，女生甲排第一個(gè)且2位男生不連續(xù)出場(chǎng)的排法共有N2＝Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(2,3)＝12(種)，所以出場(chǎng)順序的排法種數(shù)為N＝N1－N2＝60.(2)根據(jù)題意，分兩種情況討論：①A家庭的孿生姐妹在甲車上，甲車上另外的兩個(gè)孩子要來(lái)自不同的家庭，可以在剩下的三個(gè)家庭中任選2個(gè)，再?gòu)拿總€(gè)家庭的2個(gè)孩子中任選一個(gè)來(lái)乘坐甲車．有Ceq\o\al(2,3)×Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(1,2)＝12(種)乘坐方式；②A家庭的孿生姐妹不在甲車上，需要在剩下的三個(gè)家庭中任選1個(gè)，讓其2個(gè)孩子都在甲車上，對(duì)于剩余的兩個(gè)家庭，從每個(gè)家庭的2個(gè)孩子中任選一個(gè)來(lái)乘坐甲車，有Ceq\o\al(1,3)×Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(1,2)＝12(種)乘坐方式，故共有12＋12＝24(種)乘坐方式．【答案】(1)60(2)24【例3-2】某學(xué)校舉行校慶文藝晚會(huì)，已知節(jié)目單中共有七個(gè)節(jié)目，為了活躍現(xiàn)場(chǎng)氣氛，主辦方特地邀請(qǐng)了三位老校友演唱經(jīng)典歌曲，并要將這三個(gè)不同節(jié)目添入節(jié)目單，而不改變?cè)瓉?lái)的節(jié)目順序，則不同的安排方式有________種．【解析】添入三個(gè)節(jié)目后共十個(gè)節(jié)目，故該題可轉(zhuǎn)化為安排十個(gè)節(jié)目，其中七個(gè)節(jié)目順序固定．這七個(gè)節(jié)目的不同安排方法共有Aeq\o\al(7,7)種，添加三個(gè)節(jié)目后，節(jié)目單中共有十個(gè)節(jié)目，先將這十個(gè)節(jié)目進(jìn)行全排列，不同的排列方法有Aeq\o\al(10,10)種，而原先七個(gè)節(jié)目的順序一定，故不同的安排方式共有eq\f(A\o\al(10,10),A\o\al(7,7))＝720(種)．【答案】720【例3-3】(1)國(guó)家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國(guó)重點(diǎn)師范大學(xué)免費(fèi)培養(yǎng)教育專業(yè)師范生，畢業(yè)后要分到相應(yīng)的地區(qū)任教．現(xiàn)有6個(gè)免費(fèi)培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學(xué)校去任教，有________種不同的分派方法．(2)有4名優(yōu)秀學(xué)生A，B，C，D全部被保送到甲、乙、丙3所學(xué)校，每所學(xué)校至少去一名，則不同的保送方案共有________種．(3)若將6名教師分到3所中學(xué)任教，一所1名，一所2名，一所3名，則有________種不同的分法．【解析】(1)先把6個(gè)畢業(yè)生平均分成3組，有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))＝15(種)方法．再將3組畢業(yè)生分到3所學(xué)校，有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)方法，故6個(gè)畢業(yè)生平均分到3所學(xué)校，共有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))·Aeq\o\al(3,3)＝90(種)分派方法．(2)先把4名學(xué)生分為2,1,1共3組，有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))＝6(種)分法，再將3組對(duì)應(yīng)3個(gè)學(xué)校，有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)情況，則共有6×6＝36(種)不同的保送方案．(3)將6名教師分組，分三步完成：第1步，在6名教師中任取1名作為一組，有Ceq\o\al(1,6)種取法；第2步，在余下的5名教師中任取2名作為一組，有Ceq\o\al(2,5)種取法；第3步，余下的3名教師作為一組，有Ceq\o\al(3,3)種取法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60種取法．再將這3組教師分配到3所中學(xué)，有Aeq\o\al(3,3)＝6種分法，故共有60×6＝360種不同的分法．【答案】(1)90(2)36(3)360【跟蹤訓(xùn)練3-1】(2019·廣州調(diào)研)某學(xué)校獲得5個(gè)高校自主招生推薦名額，其中甲大學(xué)2個(gè)，乙大學(xué)2個(gè)，丙大學(xué)1個(gè)，并且甲大學(xué)和乙大學(xué)都要求必須有男生參加，學(xué)校通過(guò)選拔定下3男2女共5個(gè)推薦對(duì)象，則不同的推薦方法共有()A．36種 B．24種C．22種 D．20種【解析】選B根據(jù)題意，分兩種情況討論：第一種，3名男生每個(gè)大學(xué)各推薦1人，2名女生分別推薦給甲大學(xué)和乙大學(xué)，共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)＝12種推薦方法；第二種，將3名男生分成兩組分別推薦給甲大學(xué)和乙大學(xué)，共有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝12種推薦方法．故共有24種推薦方法．【跟蹤訓(xùn)練3-2】(2019·河北省九校第二次聯(lián)考)第十四屆全國(guó)運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2021年在陜西舉辦，為宣傳地方特色，某電視臺(tái)派出3名男記者和2名女記者到民間進(jìn)行采訪報(bào)導(dǎo)．工作過(guò)程中的任務(wù)劃分為：“負(fù)重扛機(jī)”，“對(duì)象采訪”，“文稿編寫(xiě)”，“編制剪輯”四項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少一人參加，但2名女記者不參加“負(fù)重扛機(jī)”工作，則不同的安排方案數(shù)共有()A．150 B．126C．90 D．54【解析】選B根據(jù)題意，“負(fù)重扛機(jī)”可由1名男記者或2名男記者參加，當(dāng)由1名男記者參加“負(fù)重扛機(jī)”工作時(shí)，有Ceq\o\al(1,3)種方法，剩余2男2女記者可分為3組參加其余三項(xiàng)工作，共有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)種方法，故由1名男記者參加“負(fù)重扛機(jī)”工作時(shí)，有Ceq\o\al(1,3)·eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)種方法；當(dāng)由2名男記者參加“負(fù)重扛機(jī)”工作時(shí)，剩余1男2女3名記者各參加一項(xiàng)工作，有Ceq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(3,3)種方法．故滿足題意的不同安排方案數(shù)共有Ceq\o\al(1,3)·eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(3,3)＝108＋18＝126.故選B.【跟蹤訓(xùn)練3-3】冬季供暖就要開(kāi)始，現(xiàn)分配出5名水暖工去3個(gè)不同的居民小區(qū)檢查暖氣管道，每名水暖工只去一個(gè)小區(qū)，且每個(gè)小區(qū)都要有人去檢查，那