二重積分的計(jì)算法

1利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分小結(jié)思考題作業(yè)利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分doubleintegral9.2

二重積分的計(jì)算法第9章重積分如果積分區(qū)域?yàn)椋浩渲泻瘮?shù)、在區(qū)間上連續(xù).一、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分［X－型］

X型區(qū)域的特點(diǎn)：

穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).應(yīng)用計(jì)算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法,得.先對y后對x的二次積分(累次積分)如果積分區(qū)域?yàn)椋海踄－型］

Y型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).若區(qū)域如圖，在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使用積分公式則必須分割.解積分區(qū)域如圖解積分區(qū)域如圖解原式交換積分次序的步驟(1)將已給的二次積分的積分限得出相應(yīng)的二重積分的積分區(qū)域,(2)按相反順序?qū)懗鱿鄳?yīng)的二次積分.并畫出草圖;解先y后x解解解曲面圍成的立體如圖.例

求由下列曲面所圍成的立體體積，(1)設(shè)區(qū)域D關(guān)于x軸對稱,如果函數(shù)f(x,y)關(guān)于坐標(biāo)y為偶函數(shù).oxyD1性質(zhì)8則D1為D在第一象限中的部分,坐標(biāo)y為奇函數(shù)則設(shè)區(qū)域D關(guān)于x軸對稱,如果函數(shù)f(x,y)關(guān)于補(bǔ)充奇偶對稱性結(jié)論:(書上P73習(xí)題8-12)這個(gè)性質(zhì)的幾何意義如圖:OxyzOxyz

區(qū)域D關(guān)于x軸對稱f(x,y)關(guān)于坐標(biāo)y為偶函數(shù)

區(qū)域D關(guān)于x軸對稱f(x,y)關(guān)于坐標(biāo)y為奇函數(shù)（2）若D關(guān)于y軸對稱，D1為D在右半平面部分，則有：類似地,oxyD1設(shè)D為圓域(如圖)0D1為上半圓域例

解由性質(zhì)得

例

今后在計(jì)算重積分利用對稱性簡化計(jì)算時(shí),

注意被積函數(shù)的奇偶性.

積分區(qū)域的對稱性,要特別注意考慮兩方面:(A)(B)(C)(D)0.A為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域,D1是D在第一象限的部分,(書上P123復(fù)習(xí)題82)思考題2D1D2D3D4記I=則I=I1+

I2,其中I1=I2=而I1=D1與D2關(guān)于y軸對稱D3與D4關(guān)于x軸對稱xy關(guān)于x和關(guān)于y都是奇函數(shù)而I2=是關(guān)于x的偶函數(shù),關(guān)于y的奇函數(shù).

所以D1D2D3D4補(bǔ)充輪換對稱性結(jié)論:若D關(guān)于x,y滿足輪換對稱性(將D的邊界曲線方程中的x與y交換位置,方程不變),則證所以,

例二重積分在直角坐標(biāo)下的計(jì)算公式（在積分中要正確選擇積分次序）二、小結(jié)［Y－型］［X－型］練求證

左邊的累次積分中,提示不能直接計(jì)算，是y的抽象函數(shù),證畢.要先交換積分次序.證明1990年研究生考題,填空,3分解練習(xí)交換積分次序解由給出的積分畫出相應(yīng)的積分區(qū)域練習(xí)二、利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分二重積分化為二次積分的公式（１）區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖二重積分化為二次積分的公式（２）區(qū)域特征如圖極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積二重積分化為二次積分的公式（３）區(qū)域特征如圖解計(jì)算所圍成的平面閉區(qū)域.例及直線解解解夾逼定理解解雙紐線因被積函數(shù)D2極坐標(biāo)

計(jì)算例分析故的在積分域內(nèi)變號.D1例求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積.解

由對稱性可知只需求第一卦限部分體積V1,xzoy2a被積函數(shù)(曲頂)為:積分區(qū)域(底)為:xzoy2a

二重積分的計(jì)算規(guī)律再確定交換積分次1.

交換積分次序:先依給定的積分次序?qū)懗龇e分域D的不等式,并畫D的草圖;序后的積分限;2.

如被積函數(shù)為圓環(huán)域時(shí),或積分域?yàn)閳A域、扇形域、則用極坐標(biāo)計(jì)算;小結(jié)

3.

注意利用對稱性質(zhì),數(shù)中的絕對值符號.以便簡化計(jì)算;4.

被積函數(shù)中含有絕對值符號時(shí),應(yīng)將積分域分割成幾個(gè)子域,使被積函數(shù)在每個(gè)子域中保持同一符號,以消除被積函oxy解將直角坐標(biāo)系下累次積分:化為極坐標(biāo)系下的累次積分.原式=練習(xí)

計(jì)算解積分區(qū)域D關(guān)于x軸對稱,被積函數(shù)關(guān)于y為偶函數(shù).原式=記D1為D的y≥0的部分.則D1練習(xí)例求兩個(gè)底圓半徑為R,且這兩個(gè)圓柱面的方程分別為及

解

求所圍成的立體的體積.作業(yè)P1-2，直角坐標(biāo)，28-31極坐標(biāo)注：（不做坐標(biāo)變換P31/3*）思考題思考題解答56解其中先將累次積分表成二重積分,則有例于是思考題思考題解答60若函數(shù)f(x,y)在矩形區(qū)域D:解上連續(xù),且求f(x,y).設(shè)兩邊積分,得例

61二重積分在直角坐標(biāo)系下的計(jì)算二重積分在極坐標(biāo)系下的計(jì)算公式

(注意使用對稱性)三、小結(jié)(注意正確選擇積分次序,掌握交換積分次序恰當(dāng)選擇坐標(biāo)系計(jì)算二重積分(注意選擇的原則)的方法)62思考題1考研數(shù)學(xué)(一)5分解令不能直接積出,改變積分次序.法一因?yàn)樗?63故所以,64法二設(shè)則則65思考題2設(shè)有一曲頂柱體,以雙曲拋物面以xOy坐標(biāo)面為底,體積.解