2023屆江西省“紅色十校”高三上學(xué)期第一聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages44頁(yè)2023屆江西省“紅色十?！备呷蠈W(xué)期第一聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．若復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)加減運(yùn)算及復(fù)數(shù)模的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，故選：B．2．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，求出集合B，再利用交集的定義求解作答.【詳解】因集合，則有，所以.故選：D3．記正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則該數(shù)列的公比（

）A． B． C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合等比數(shù)列的意義列出關(guān)于的方程，求解作答.【詳解】正項(xiàng)等比數(shù)列中，，由得，整理得，即，解得，所以數(shù)列的公比.故選：C4．下圖是國(guó)家統(tǒng)計(jì)局7月發(fā)布的2021年6月至2022年6月規(guī)模以上工業(yè)原煤產(chǎn)量增速的月度走勢(shì)，其中2022年1~2月看作1個(gè)月，現(xiàn)有如下說(shuō)法：①2021年10月至2022年3月，規(guī)模以上工業(yè)原煤產(chǎn)量增速呈現(xiàn)上升趨勢(shì)；②2021年6月至2022年6月，規(guī)模以上工業(yè)原煤產(chǎn)量增速的中位數(shù)為；③從這12個(gè)增速中隨機(jī)抽取1個(gè)，增速超過(guò)10的概率為．則說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】觀察走勢(shì)圖易判斷①正確；12個(gè)數(shù)據(jù)由小到大排列，位于第6位和第7位的分別是4.6和7.2，故中位數(shù)為4.6和7.2的平均數(shù)；12個(gè)數(shù)據(jù)中，超過(guò)10的有5個(gè)，由古典概型可得結(jié)果.【詳解】從2021年10月至2022年3月，規(guī)模以上工業(yè)原煤產(chǎn)量增速呈現(xiàn)上升趨勢(shì)，故①正確；2021年6月至2022年6月，規(guī)模以上工業(yè)原煤產(chǎn)量增速的的中位數(shù)為，故②正確；從這12個(gè)增速中隨機(jī)抽取1個(gè)，超過(guò)10的概率為，故③正確.故選：D．5．已知，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)比較【詳解】因?yàn)?，所以，故選：D6．函數(shù)的大致圖象為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由函數(shù)的奇偶性與特殊值判斷【詳解】由得函數(shù)為奇函數(shù)，故排除B，D，當(dāng)時(shí)，，排除A，故選：C7．若，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．的最大值為1 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最大值為2【答案】C【分析】根據(jù)均值不等式，重要不等式及其變形，逐項(xiàng)分析即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且時(shí)，的最大值為1，當(dāng)且時(shí)，的最小值為，故A、B正確；由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，C錯(cuò)誤；因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，D正確，故選：C．8．在長(zhǎng)方體中，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體中的平行關(guān)系可得即為異面直線與所成角，解直角三角形即可得解.【詳解】如圖，因?yàn)?，所以即為異面直線與所成角，設(shè)，則，在長(zhǎng)方體中，在中，，故選：A．9．已知函數(shù)的兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)為，則的一條對(duì)稱軸是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)兩個(gè)相鄰零點(diǎn)的距離求出最小正周期，從而求出，代入特殊值后求出，求出的解析式，求出對(duì)稱軸方程為，從而求出正確答案.【詳解】設(shè)的最小正周期為T(mén)，則，得，所以，又因?yàn)?，且，所以，則，所以的對(duì)稱軸為，解得，取，得一條對(duì)稱軸為直線.故選：B．10．“寸影千里”法是《周髀算經(jīng)》中記載的一種遠(yuǎn)距離測(cè)量的估算方法，其具體方法是在同一天（如夏至）的正午，于兩地分別豎起同高的標(biāo)桿，然后測(cè)量標(biāo)桿的影長(zhǎng)，并根據(jù)“日影差一寸，實(shí)地相距千里”的原則推算兩地距離．如圖，某人在夏至的正午分別在同一水平面上的A，B兩地豎起高度均為a寸的標(biāo)桿與，與分別為標(biāo)桿與在地面的影長(zhǎng)，再按影長(zhǎng)與的差結(jié)合“寸影千里”來(lái)推算A，B兩地的距離．記，則按照“寸影千里”的原則，A，B兩地的距離大約為（

）A．里 B．里C．里 D．里【答案】C【分析】在直角三角形中利用正切表示出，再由同角三角函數(shù)及兩角和的余弦公式化簡(jiǎn)，最后根據(jù)“寸影千里”的原則得解.【詳解】由題意可知，所以，所以可以估計(jì)A，B兩地的距離大約為里，故選：C．11．在EXCEL軟件中，函數(shù)ROUND（number，num_digits）是四舍五入函數(shù)，它含有兩個(gè)參數(shù)，其中number表示要進(jìn)行四舍五入的數(shù)，num_digits表示保留小數(shù)的位數(shù)．如：，已知，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性確定的范圍，再按給定定義計(jì)算作答.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，則有，令函數(shù)，顯然在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，因此，即，所以.故選：B12．已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象的平移變換求解【詳解】在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出與的圖象，當(dāng)射線與曲線相切時(shí)，即方程時(shí)，由，解得，結(jié)合圖象可得時(shí)，，所以a的的取值范圍是，故選：B二、填空題13．設(shè)，若，則實(shí)數(shù)____________．【答案】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量平行的坐標(biāo)表示列方程求解即可.【詳解】因?yàn)?，且，故，解得．故答案為?4．若拋物線上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為6，則點(diǎn)P到x軸的距離為_(kāi)___________．【答案】4【分析】根據(jù)拋物線的方程求出準(zhǔn)線，再由拋物線定義求解即可.【詳解】拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為，由拋物線的定義可知，點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為6，所以點(diǎn)P到x軸的距離為4．故答案為：415．已知，且，則____________．【答案】【分析】由三角恒等變換公式化簡(jiǎn)后求解【詳解】，，因?yàn)?，所以，，所以．故答案為：三、雙空題16．已知曲線在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線垂直，則____________；的最大值為_(kāi)___________．【答案】

【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得的關(guān)系后求解，再將轉(zhuǎn)化為函數(shù)求解求值【詳解】因?yàn)椋?，由題意得，即，所以；，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以．故答案為：，四、解答題17．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，填在下面的橫線上，并解答問(wèn)題．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且____________．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若是的等比中項(xiàng)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．注：如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)條件選擇見(jiàn)解析，；(2).【分析】（1）選①，利用與的關(guān)系求解作答；選②，構(gòu)造等差數(shù)列求出求解作答；選③，構(gòu)造常數(shù)列計(jì)算作答；（2）由（1）求出，再利用裂項(xiàng)相消法求解作答.【詳解】(1)選①，，由，得，則，即，而，因此是以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，，所以的通項(xiàng)公式為．選②，由，得，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以的通項(xiàng)公式為．選③，由，得，因此數(shù)列是常數(shù)列，則有，即，所以的通項(xiàng)公式為．(2)由（1）知，，依題意，，則所以，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和．18．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且．(1)求證：a，b，c依次成等差數(shù)列；(2)若，求的面積的最大值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)．【分析】（1）利用正弦定理將題干條件變形為，進(jìn)而得到，證明出結(jié)論；（2）在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，結(jié)合基本不等式求出，利用余弦定理得到，從而結(jié)合同角三角函數(shù)平方關(guān)系求出，利用面積公式求出.【詳解】(1)證明：由正弦定理可知，得，即，因?yàn)?，所以．由正弦定理得，故a，b，c依次成等差數(shù)列．(2)由于，得，所以．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以．所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即的面積的最大值為．19．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，．是等腰直角三角形，，且平面平面．(1)求證：；(2)若，求點(diǎn)C到平面的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)定理得平面，再由線面垂直的性質(zhì)定理即可得證；（2）利用等體積法求出點(diǎn)到平面的距離即可.【詳解】(1)證明：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，所以．又平面平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以?2)設(shè)的中點(diǎn)為O，連接，因?yàn)槭堑妊苯侨切危?，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面．由，可得，由?）知，所以．所以，所以．設(shè)點(diǎn)C到平面的距離為h，則，所以，即點(diǎn)C到平面的距離為．20．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．(1)求C的方程；(2)若直線與C交于P，Q兩點(diǎn)，且的面積是，求證：．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由橢圓過(guò)的點(diǎn)可得，再結(jié)合離心率即可計(jì)算作答；（2）聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，求出弦PQ長(zhǎng)及點(diǎn)O到直線l的距離即可求解作答.【詳解】(1)因橢圓過(guò)點(diǎn)，則，又橢圓C的離心率為，則有，解得，所以C的方程為．(2)依題意，，由消去x并整理得：，，設(shè)，則，于是得，點(diǎn)O到l的距離，因此，即，整理得，即，顯然滿足，所以.21．已知函數(shù)．(1)若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，證明：．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性知函數(shù)導(dǎo)數(shù)不小于0恒成立，分離參數(shù)后，利用導(dǎo)數(shù)求最大值即可得解；（2）要證明原不等式可轉(zhuǎn)化為證明，換元后只需證，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最小值不小于0即可.【詳解】(1)因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立．令，則．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，即在上單調(diào)遞減，所以，從而，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是．(2)證明：當(dāng)時(shí)，．要證，即證，即證，即證．令，則只要證．令，則．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即成立，故．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：證明不等式時(shí)，首先對(duì)證明不等式化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化是正確求證的前提，也是最關(guān)鍵一步，其次化簡(jiǎn)不等式后一般要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，據(jù)此判斷不等式是否成立.22．在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．(1)求C的極坐標(biāo)方程和l的直角坐標(biāo)方程；(2)l與C交于A，B兩點(diǎn)，若，求．【答案】(1)，(2)或．【分析】（1）由C的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，再根據(jù)公式轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程，根據(jù)極坐標(biāo)意義直線方程可化為直角坐標(biāo)方程；（2）根據(jù)極徑的幾何意義及根與系數(shù)的關(guān)系，由可得極角.【詳解】(1)將C的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程得，即，∴C的極坐標(biāo)方程為．∵l的極坐標(biāo)方程為，∴l(xiāng)的直角坐標(biāo)方程為．(2)將l的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程得．當(dāng)時(shí)，設(shè)A，B所對(duì)應(yīng)的極徑分別為，則，∴，∴，∴