復(fù)變函數(shù)教案4.3

復(fù)變函數(shù)教案4.3.復(fù)變函數(shù)教案4.3.復(fù)變函數(shù)教案4.3.V:1.0精細(xì)整理，僅供參考復(fù)變函數(shù)教案4.3.日期：20xx年X月第四章教學(xué)課題：第三節(jié)解析函數(shù)的泰勒（Taylor）展式教學(xué)目的：1、掌握泰勒定理、泰勒系數(shù)公式及解析函數(shù)的等價(jià)刻畫命題；2、充分理解冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在收斂圓周上的狀況；3、了解冪級(jí)數(shù)的四則運(yùn)算及其冪級(jí)數(shù)的各種展開(kāi)法。教學(xué)重點(diǎn)：泰勒定理、泰勒系數(shù)公式及解析函數(shù)的等價(jià)刻畫命題教學(xué)難點(diǎn)：冪級(jí)數(shù)的各種展開(kāi)法教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)式、討論式教學(xué)手段：多媒體與板書相結(jié)合教材分析：主要研究在圓內(nèi)解析的函數(shù)如何展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的問(wèn)題。教學(xué)過(guò)程：第三節(jié)解析函數(shù)的泰勒展式1、解析函數(shù)泰勒定理：定理、設(shè)函數(shù)f(z)在圓盤內(nèi)解析，那么在U內(nèi)，證明：設(shè)。以為心，在U內(nèi)作一個(gè)圓C，使z屬于其內(nèi)區(qū)域。我們有由于當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)樗陨鲜降募?jí)數(shù)當(dāng)時(shí)一致收斂。把上面的展開(kāi)式代入積分中，然后利用一致收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)，得其中，由于z是U內(nèi)任意一點(diǎn)，定理的結(jié)論成立。定理函數(shù)f(z)在一點(diǎn)解析的必要與充分條件是：它在的某個(gè)鄰域內(nèi)有定理中的冪級(jí)數(shù)展式。注解：在定理中，f(z)在U內(nèi)的冪級(jí)數(shù)展式我們稱為它在U內(nèi)的泰勒展式。推論冪級(jí)數(shù)是它的和函數(shù)f(z)在收斂圓內(nèi)的泰勒展式，即因此，我們有解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展式的唯一性定理：推論在定理中，冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)f(z)在U內(nèi)不可能有另一種形式的冪級(jí)數(shù)。注解：利用泰勒展式的唯一性定理，我們可以用多種方法求一個(gè)函數(shù)的泰勒展式，所得結(jié)果一定相同。求在z=0的泰勒展式。解：由于，所以，因此同理，有由于在復(fù)平面上，以某些射線為割線而得的區(qū)域內(nèi)，多值函數(shù)---對(duì)數(shù)函數(shù)和一般冪函數(shù)可以分解成解析分支，因此在已給區(qū)域中任一圓盤內(nèi)，可以作出這些分支的泰勒展式。例2、求Ln(1+z)的下列解析分支在z=0的泰勒展式：解：已給解析分支在z=0的值為0，它在z=0的一階導(dǎo)數(shù)為1，二階導(dǎo)數(shù)為-1，n階導(dǎo)數(shù)為,…,因此，它在z=0或在|z|<1的泰勒展式是：其收斂半徑1。求的下列解析分支在z=0的泰勒展式（其中不是整數(shù)），。解：已給解析分支在z=0的值為1，它在z=0的一階導(dǎo)數(shù)為，二階導(dǎo)數(shù)為，n階導(dǎo)數(shù)為,…,因此，它在z=0或