§1 測(cè)地曲率與測(cè)地線

第六章曲面的內(nèi)蘊(yùn)幾何初步本章將對(duì)曲面的內(nèi)蘊(yùn)幾何展開進(jìn)一步討論.前面已經(jīng)知道，曲面的第一基本形式確定了曲面的度量性質(zhì)；同時(shí)，對(duì)于確定曲面的局部彎曲性質(zhì)而言，曲面的Gauss曲率以及曲面上的曲線的測(cè)地曲率都是重要的內(nèi)蘊(yùn)幾何量，它們衡量了幾何對(duì)象的內(nèi)在彎曲程度，這種內(nèi)在彎曲在本質(zhì)上依賴于曲面的度量性質(zhì).對(duì)于內(nèi)蘊(yùn)性質(zhì)的細(xì)致討論，將會(huì)為抽象理論提供可靠的直觀基礎(chǔ)，便于用自然和合理的方式引進(jìn)新的幾何空間概念并深入理解較為抽象的幾何空間.在本章的學(xué)習(xí)過(guò)程中，應(yīng)該注意體會(huì)什么是空間的基本要素.§1測(cè)地曲率與測(cè)地線在第四章中已經(jīng)知道，曲面上的曲線的測(cè)地曲率是曲面的內(nèi)蘊(yùn)幾何量，并且是平面曲線相對(duì)曲率的推廣.下面對(duì)此進(jìn)行進(jìn)一步的討論.一?測(cè)地曲率的Liouville公式平面曲線相對(duì)曲率可以利用切向角關(guān)于弧長(zhǎng)的導(dǎo)數(shù)而確定；類似地，曲面上的曲線的測(cè)地曲率也可以利用適當(dāng)?shù)那邢蚪莵?lái)加以刻畫.在正交網(wǎng)下考慮.設(shè)曲面S:r=r(ui,u2)的參數(shù)網(wǎng)正交，考慮其上的弧長(zhǎng)s參數(shù)化曲線C:ui=ui(s)的測(cè)地曲率.為此，取自然標(biāo)架場(chǎng)｛r;r1,r2,n｝所對(duì)應(yīng)的單位正交右手標(biāo)架場(chǎng)｛r;&1,&,n｝，其中巳=4=4=— 2=4=-T^=4p=F=0&=%=可—崩'&=r2=號(hào)虹—e'g12=F=0.沿曲線C可寫dui一| dui./du2T=riIS=■*gii17+"2217=21cosw+&sinw，其中夾角函數(shù)W=W(s)在曲線C局部總可取到連續(xù)可微的單值支，滿足(1.1) cosw=<g!I 柴，sinw=Vg21 晉.11(ui(s),u2(s))dS 22(ui(s),u2(s))dS故由測(cè)地曲率定義式出發(fā)進(jìn)行推導(dǎo)可得Kg=T'(s)?[n(u1(s),u2(s))xT(s)]=[n(u1(s),u2(s))xT(s)]?T'(s)

=(&cosw-&sinw)?±(&icosw+&sinw)=(&cosw-&sinw).堡cosw+笑sinw+(&cosW-&1sinw)詈】=ds+&?京cos2w-&i?京sin2w業(yè)=ds+d業(yè)=ds+dw=ds+dw=ds++ds心 G心 Gi砂疽勺％==勺，，?尸=-r?尸=毛么=專2'r2riir2iri2 2故進(jìn)一步有dwi G、du2dwi G、du2+2~dS.(i-2) Kg=ds+~EGV2dsdw(-("寸2)2dui(*G"du2=ds+V拓ds+框ds,或?qū)憺槊豜f-E^cos^勺_sinw(i.3) %=ds+成I2崩+2拓,dw -('JE)2cosw+(、?；G)[sinw=ds+ -..[EGdwf-i8lnE i 8lnG.)=ds+"MG卷cosw+市MsinwJdwf-i8lnE i 8lnG.)=ds+"袤湖2cosw^F如i饑叫-公式(i.2)或(i.3)式稱為正交網(wǎng)下的Liouvill公式，它揭示出曲面上曲線的測(cè)地曲率與曲線在曲面上由(i.i)式所確定的連續(xù)可微切向角函數(shù)w=w(s)的關(guān)系，在歐氏平面Descartes直角坐標(biāo)系下即為曲線相對(duì)曲率與切向角的關(guān)系式.二.測(cè)地線基本概念定義1若曲面s上的曲線C的測(cè)地曲率向量恒等于零，即曲線C的測(cè)地曲率Kg三0，則稱C為s的一條測(cè)地線.注記1①測(cè)地線是內(nèi)蘊(yùn)幾何體.測(cè)地線具有明確的外在幾何意義，即：曲線C為曲面s上的測(cè)地線當(dāng)且僅當(dāng)曲線C的曲率向量處處垂直于曲面s的切平面.特別當(dāng)曲面s上的曲線C無(wú)逗留點(diǎn)時(shí)，C為s上的測(cè)地線的充要條件為N三珈.曲面上的直線一定是曲面上的測(cè)地線.曲面上的測(cè)地線若同時(shí)為漸近曲線，則一定是直線.旋轉(zhuǎn)面的經(jīng)線是其上的測(cè)地線.例1曲面上的運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的軌跡若質(zhì)點(diǎn)被垂直于曲面的外力約束在正則曲面上作慣性滑動(dòng)，摩擦系數(shù)為零，則質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡一定是曲面上的測(cè)地線.口曲面s：r(ui,U2)上測(cè)地線的微分方程可以以不同的方式表示.夕卜在形式可寫為C:(T'(s'),n(ui(s),u2(s)),T(s))三0或(r'(s),r"(s),n(ui(s),u2(s)))三0，或等價(jià)變形為一般參數(shù)r下的形式(drd2r)八^7，底，誠(chéng)三0.測(cè)地線微分方程的常見(jiàn)內(nèi)在形式分別為以下兩種，一者為測(cè)地線弧長(zhǎng)參數(shù)下關(guān)于曲面一般參數(shù)(u1,u2)的形式(1.4)C:票5精柴=0,1=1,2；dw￡du' i.(1.4)C:另一者為關(guān)于曲面正交網(wǎng)(u1,u2)的Liouville形式d」(-181鳴E 18ln\,‘G.)小(1.5) C:Jds+"苦8u2C0S^^E 8u1sin"=0；(1.5) C:Ji—du1 . i—du2cos」=、;E石，Sin」=\：G石?利用內(nèi)在形式常微分方程組的解的唯一連續(xù)性理論，可證下述結(jié)論.定理1(測(cè)地線存在唯一性定理)給定正則曲面S:r(ui,U2)之上任意一點(diǎn)P0(u0i,u02)，則存在點(diǎn)P0的某個(gè)鄰域￡0uS，使得在￡0內(nèi)從點(diǎn)P0出發(fā)沿指定單位切向T0eTp存在唯一一條測(cè)地線C:r(ui(s),u2(s))滿足"柴)[=s°=T0，"混°)=時(shí)，―1，2-該定理的唯一性，強(qiáng)調(diào)了兩條測(cè)地線若相切則必然重合.該定理的證明只要注意到下面的引理便容易得到.引理1(1.4)式第一式的滿足初始條件(g.集*頊 =1的唯一解s。/s=S0定適合適定條件(1.4)式第二式.證明對(duì)于(1.4)式第一式的解函數(shù)有d ( du￡ duj) dui dui dujd2ui dujdui d2ujds \^ij ds ds) =(gi/')i dsds ds +gids2 ds +giids ds2duldui業(yè)(業(yè)duin\dujdui—(gj)ldsdsds+g( lmdsds)ds+gds()dw￡ dwi duj「dw￡ dum dui「du￡ dum 業(yè)1 業(yè)duidui=T{2(gi)i-[(gii)i+(/?—(“?)/]-[(gi)z+("一(/?]}云isd7此即gijds票取常值，故得結(jié)論.關(guān)于測(cè)地線的內(nèi)蘊(yùn)確定方式，一般可以考慮兩種.一種是求解對(duì)應(yīng)的測(cè)地線內(nèi)在形式的微分方程；其中在正交網(wǎng)下的測(cè)地線對(duì)應(yīng)于Liouville形式下的一階常微分方程組(1.5)階數(shù)較低，而當(dāng)聯(lián)絡(luò)系數(shù)較為簡(jiǎn)單時(shí)測(cè)地線所對(duì)應(yīng)的二階常微分方程組(1.4)也有可能較易求解.另一種是利用測(cè)地線的內(nèi)蘊(yùn)屬性，在一些特殊曲面上考慮測(cè)地線時(shí)，利用等距對(duì)應(yīng)進(jìn)行考慮；其前提是已經(jīng)或容易了解等距對(duì)應(yīng)曲面的測(cè)地線行為.前一種解法通常依賴于微分方程組的求解技巧；后一種解法通常依賴于幾何直觀能力.在下

例中采用后一種解法是非常方便和有效的，同時(shí)也可以推廣到一般可展曲面之上.例2確定圓柱面上的測(cè)地線全體解將圓柱面局部等距對(duì)應(yīng)于平面，使圓柱面的經(jīng)緯網(wǎng)對(duì)應(yīng)于平面的正交直線網(wǎng).平面上的測(cè)地線全體是平面上的直線全體，可以劃分為對(duì)應(yīng)于圓柱面直紋的一族平行直線，以及與該族平行直線處處相交成非平凡定角的直線全體.于是，利用局部等距不變量和等距不變性可知，圓柱面上的測(cè)地線全體可以劃分為兩族，一族是直紋，另一族是與直紋處處相交成定角的曲線全體一一圓柱螺線全體和緯圓全體.口三.弧長(zhǎng)的第一變分公式與局部短程線圖6-1同考察面積變分一樣，為了考察曲面上的曲線段的形變對(duì)于其長(zhǎng)度的影響可以利用變分法進(jìn)行一般化的討論.本段將討論較為簡(jiǎn)單的情形，對(duì)應(yīng)的幾何直觀可以參照弦的振動(dòng).考慮曲面S:r=r(ui,u2)上的具有固定端點(diǎn)A(ui(a),u2(a))和圖6-1B(ui(b),U2(b))的連續(xù)可微單參數(shù)P正則曲線段族Cp:r:[a,b]^SuE3s—r(ui(s,p),u2(s,p)),ui(a,p) = ui(a), ui(b, p)= ui(b),i=1,2， pg(-￡, ￡)，其中s是C0的弧長(zhǎng)參數(shù)(未必是Cp的弧長(zhǎng)參數(shù))，8是某個(gè)正數(shù).記C=C0:r=r(ui(s,0),u2(s,0))，通常稱曲線段族｛Cp|pG(-8,8)｝是曲線段C的具有固定端點(diǎn)的一個(gè)變分族.為考慮曲線段C的弧長(zhǎng)變分，記曲線段C的單位切向?yàn)門(s)，記曲線段Cp的弧長(zhǎng)為

(1.6)郵)=L(5)="氣?氣ds；dsd2rdsd2rdr 8ar dr 82,(■,6s?dpds b6s?dsdp=J? 應(yīng)WdS=J? 叵.WdS'...：d^*ds \：d^*ds(i-7) l(0)T2*制p=o心=』a說(shuō)(*L0)ds-記曲面s的沿曲線c的切向量場(chǎng)V=drp=0，通常稱之為變分向量場(chǎng).取曲面S的沿曲線C的單位法向n=n(ui(s,0),u2(s,0))=n(s)，則變分向量場(chǎng)可分解為V(s)=l(s)T(s)+h(s)n(s)xT(s)，l(a)=l(b)=h(a)=h(b)=0，其中系數(shù)函數(shù)是連續(xù)可微的.此時(shí)，(1.7)式改寫為(L8) ")=fbT?fds=\baT.(IT+h'nxT+IT'+hn‘xT+hnxT')ds=\ba[l'+h(T,n,T')]ds=l(b)-l(a)-*h%ds=-\bahKgds.公式(1.8)稱為曲面上具有固定端點(diǎn)的曲線段的弧長(zhǎng)的第一變分公式.由此可見(jiàn)，弧長(zhǎng)的第一變分L(0)由測(cè)地曲率％和變分向量場(chǎng)V的垂直分量h確定，并且用以直接得到下列定理和推論.定理2設(shè)曲面S上的連續(xù)可微單參數(shù)p正則曲線段族{Cp|pe(-8,8)}是測(cè)地線段C的具有固定端點(diǎn)的一個(gè)變分族，則C的弧長(zhǎng)在該變分族中取逗留值.推論2若曲面S上連接兩點(diǎn)的曲線段C的弧長(zhǎng)在所有連接這兩點(diǎn)的曲線段的弧長(zhǎng)值中達(dá)到最小值，則C必為測(cè)地線段.即：局部最短線一定是測(cè)地線．另一方面，在上述曲面S上，若指定連接兩點(diǎn)A(ui(a),U2(a))和B(ui(b),U2(b))的弧長(zhǎng)s參數(shù)化曲線段C:ui=ui(s),i=1,2，并且指定連續(xù)可微函數(shù)h(s)滿足h(a)=h(b)=0，則一定存在曲線段族｛Cp|pe(-￡,￡)｝是曲線段C的一個(gè)固定端點(diǎn)的變分族，使變分向量場(chǎng)羽(s)=h(s)n(s)xT(s)；此種變分通常稱為垂直變分.所指定的垂直變分可構(gòu)造如下：分解h(s)n(s)xT(s)=vi(s)r.(s)，作Ui(s,P)=Ui(s)+PVi(s),i=1,2，貝dr dui| —冰P=0=ri麗1P=0=h(s)n(s)^T(s)-由此可以得到定理2的逆定理，并綜合為測(cè)地線段的一個(gè)特征定理3曲面S上的正則曲線段C是測(cè)地線段的一個(gè)充要條件為：對(duì)其任何具有固定端點(diǎn)的變分族，C的弧長(zhǎng)在該變分族中總?cè)《毫糁?證明只需證明充分性.已知連接兩點(diǎn)A和B的弧長(zhǎng)s參數(shù)化曲線段C:ui=ui(s),se[a,b],i=1,2，取連續(xù)可微函數(shù)(s一小hsS=%(s)sm2b-a作為垂直變分的變分向量場(chǎng)的分量函數(shù)，則弧長(zhǎng)的第一變分L'(0)=—,hKgds=一,(％)2sin2七 ds=0.注意到被積函數(shù)連續(xù)并保號(hào)，只能處處為零，故％三0，C是測(cè)地線.口根據(jù)測(cè)地線的定義，曲面上的測(cè)地線按照測(cè)地曲率衡量?jī)?nèi)蘊(yùn)彎曲時(shí)是“直”的.根據(jù)弧長(zhǎng)的第一變分公式及其相應(yīng)定理進(jìn)一步可見(jiàn)，曲面上的兩點(diǎn)之間的最短線只能由測(cè)地線實(shí)現(xiàn).因此有理由認(rèn)為，測(cè)地線在曲面內(nèi)蘊(yùn)幾何中的地位，應(yīng)該相當(dāng)于直線在平面幾何中的地位.本章后續(xù)內(nèi)容將不斷支持這種看法.習(xí)題】?設(shè)兩張正則曲面S和S*沿曲面S上的測(cè)地線C相切.試證：曲線C也是曲面S*上的測(cè)地線.對(duì)球面，若其上圓周的半徑等于球面的半徑則稱之為大圓周.試證：球面的測(cè)地線全體就是大圓周全體.設(shè)曲面S上的測(cè)地線C無(wú)逗留點(diǎn).試證：若C是曲率線，則C也是平面曲線；

若C是平面曲線，則C也是曲率線.設(shè)曲面S上的測(cè)地線都分別為平面曲線.試證S全臍.巳知下列曲面r(u,v)的第一基本形式I；試求其弧長(zhǎng)參數(shù)化測(cè)地線.①I=v(du2+dv2)；C2②I=v2(du2+dv2)，其中c=const.e設(shè)正則曲面S上存在兩族測(cè)地線構(gòu)成相交為定角的坐標(biāo)曲線網(wǎng).試證：S上存在正交網(wǎng)使上述一族測(cè)地線為一族坐標(biāo)曲線；S局部等距對(duì)應(yīng)于平面.在E3直角坐標(biāo)系。"興下，設(shè)光滑函數(shù)f(x,y,z)的梯度向量處處非零.試證：由方程f(x,y,z)=0所確定的正則曲面的測(cè)地線微分方程為fxfyfzdxdydz=0.d2xd2yd2z設(shè)正則曲面S上的正則曲線C無(wú)逗留點(diǎn)，并且曲線C的從切平面族的包絡(luò)即為S.試證：C是S上的測(cè)地線.9.巳知正則曲面S:r(ui,u2)上的弧長(zhǎng)參數(shù)化曲線C:r(s)=r(ui(s),u2(s))，曲面的單位法向沿曲線C記為n(s)=n(ui(s),u2(s))，考