四年級(jí)奧數(shù)《高斯求和》答案及解析

四年級(jí)奧數(shù)《高斯求和》答案及解析四年級(jí)奧數(shù)《高斯求和》答案及解析四年級(jí)奧數(shù)《高斯求和》答案及解析V:1.0精細(xì)整理，僅供參考四年級(jí)奧數(shù)《高斯求和》答案及解析日期：20xx年X月高斯求和德國著名數(shù)學(xué)家高斯幼年時(shí)代聰明過人，上學(xué)時(shí)，有一天老師出了一道題讓同學(xué)們計(jì)算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？

老師出完題后，全班同學(xué)都在埋頭計(jì)算，小高斯卻很快算出答案等于5050。高斯為什么算得又快又準(zhǔn)呢？原來小高斯通過細(xì)心觀察發(fā)現(xiàn)：

1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。1～100正好可以分成這樣的50對(duì)數(shù)，每對(duì)數(shù)的和都相等。于是，小高斯把這道題巧算為（1+100）×100÷2＝5050。小高斯使用的這種求和方法，真是聰明極了，簡(jiǎn)單快捷，并且廣泛地適用于“等差數(shù)列”的求和問題。若干個(gè)數(shù)排成一列稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為一項(xiàng)，其中第一項(xiàng)稱為首項(xiàng)，最后一項(xiàng)稱為末項(xiàng)。后項(xiàng)與前項(xiàng)之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項(xiàng)與前項(xiàng)之差稱為公差。例如：（1）1，2，3，4，5，…，100；（2）1，3，5，7，9，…，99；（3）8，15，22，29，36，…，71。其中（1）是首項(xiàng)為1，末項(xiàng)為100，公差為1的等差數(shù)列；（2）是首項(xiàng)為1，末項(xiàng)為99，公差為2的等差數(shù)列；（3）是首項(xiàng)為8，末項(xiàng)為71，公差為7的等差數(shù)列。由高斯的巧算方法，得到等差數(shù)列的求和公式：和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2。]例11＋2＋3＋…＋1999＝？

分析與解：這串加數(shù)1，2，3，…，1999是等差數(shù)列，首項(xiàng)是1，末項(xiàng)是1999，共有1999個(gè)數(shù)。由等差數(shù)列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。注意：利用等差數(shù)列求和公式之前，一定要判斷題目中的各個(gè)加數(shù)是否構(gòu)成等差數(shù)列。例211＋12＋13＋…＋31＝？

分析與解：這串加數(shù)11，12，13，…，31是等差數(shù)列，首項(xiàng)是11，末項(xiàng)是31，共有31-11＋1＝21（項(xiàng)）。原式=（11+31）×21÷2=441。在利用等差數(shù)列求和公式時(shí)，有時(shí)項(xiàng)數(shù)并不是一目了然的，這時(shí)就需要先求出項(xiàng)數(shù)。根據(jù)首項(xiàng)、末項(xiàng)、公差的關(guān)系，可以得到項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差+1，末項(xiàng)=首項(xiàng)+公差×（項(xiàng)數(shù)-1）。例33＋7＋11＋…＋99＝？

分析與解：3，7，11，…，99是公差為4的等差數(shù)列，項(xiàng)數(shù)=（99－3）÷4＋1＝25，原式=（3＋99）×25÷2＝1275。例4求首項(xiàng)是25，公差是3的等差數(shù)列的前40項(xiàng)的和。解：末項(xiàng)=25＋3×（40-1）＝142，和=（25＋142）×40÷2＝3340。利用等差數(shù)列求和公式及求項(xiàng)數(shù)和末項(xiàng)的公式，可以解決各種與等差數(shù)列求和有關(guān)的問題。例5在下圖中，每個(gè)最小的等邊三角形的面積是12厘米2，邊長(zhǎng)是1根火柴棍。問：（1）最大三角形的面積是多少平方厘米（

2）整個(gè)圖形由多少根火柴棍擺成？分析：最大三角形共有8層，從上往下擺時(shí)，每層的小三角形數(shù)目及所用火柴數(shù)目如下表：由上表看出，各層的小三角形數(shù)成等差數(shù)列，各層的火柴數(shù)也成等差數(shù)列。解：（1）最大三角形面積為（1＋3＋5＋…＋15）×12＝［（1＋15）×8÷2］×12＝768（厘米2）。2）火柴棍的數(shù)目為3＋6＋9+…+24＝（3＋24）×8÷2=108（根）。答：最大三角形的面積是768厘米2，整個(gè)圖形由108根火柴擺成。例6盒子里放有三只乒乓球，一位魔術(shù)師第一次從盒子里拿出一只球，將它變成3只球后放回盒子里；第二次又從盒子里拿出二只球，將每只球各變成3只球后放回盒子里……第十次從盒子里拿出十只球，將每只球各變成3只球后放回到盒子里。這時(shí)盒子里共有多少只乒乓球？

分析與解：一只球變成3只球，實(shí)際上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球。因此拿了十次后，多了2×1＋2×2＋…＋2×10＝2×（1＋2＋…＋10）＝2×55＝110（只）。加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。綜合列式為：（3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）。

練習(xí)1.計(jì)算下列各題：（1）2＋4＋6＋…＋200；解：項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差+1=（200-2）÷2+1=1和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2，所以2＋4＋6＋…＋200=（2+200）×100÷2=10100（2）17＋19＋21＋…＋39；解：項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差+1=（39-17）÷2+1=12和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2，所以17＋19＋21＋…＋39=（17+39）×12÷2=336（3）5＋8＋11＋14＋…＋50；解：項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差+1=（50-5）÷3+1=16和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2，所以5＋8＋11＋14＋…＋50=（5+50）×16÷2=24200（4）3＋10＋17＋24＋…＋101。解：項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差+1=（101-3）÷7+1=15和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2，所以3＋10＋17＋24＋…＋101=（3+101）×15÷2=7802.求首項(xiàng)是5，末項(xiàng)是93，公差是4的等差數(shù)列的和。解：項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差+1=（93-5）÷4+1=23所以，和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2=（5+93）×23÷2=11273.求首項(xiàng)是13，公差是5的等差數(shù)列的前30項(xiàng)的和。解：末項(xiàng)=首項(xiàng)+公差×（項(xiàng)數(shù)-1）=13+5×（30-1）=158所以，和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2=（13+158）×30÷2=25654.時(shí)鐘在每個(gè)整點(diǎn)敲打，敲打的次數(shù)等于該鐘點(diǎn)數(shù)，每半點(diǎn)鐘也敲一下。問：時(shí)鐘一晝夜敲打多少次？

解：有題可知，時(shí)鐘在每個(gè)整點(diǎn)敲打，敲打的次數(shù)等于該鐘點(diǎn)數(shù)，時(shí)鐘整點(diǎn)敲打的次數(shù)構(gòu)成了首項(xiàng)為1，末項(xiàng)為12，公差為1的等差數(shù)列：1，2，3，4，5，…，12。那么時(shí)鐘每小時(shí)整點(diǎn)敲打的次數(shù)的和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2=（1+12）×12÷2=78；因?yàn)槊堪朦c(diǎn)鐘也敲一下，所以半點(diǎn)鐘敲打總次數(shù)為12，所以時(shí)鐘每小時(shí)共敲打78+12=90次；所以時(shí)鐘一晝夜敲打次數(shù)為90×24=21605.求100以內(nèi)除以3余2的所有數(shù)的和。解：100以內(nèi)除以3余2的數(shù)有，（1×3+2），（2×3+2），（3×3+2），…（32×3+2）；構(gòu)成了首項(xiàng)為5，末項(xiàng)為98，公差為3的等差數(shù)列，因?yàn)?，?xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差+1=（98-5）÷3+1=32所以，和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2=（5+98）×32÷2=16486.在所有的兩位數(shù)中，十位數(shù)比個(gè)位數(shù)大的數(shù)共有多少個(gè)？

解：十位數(shù)比個(gè)位數(shù)大的數(shù)中，十位數(shù)為10的有1個(gè)：10；十位數(shù)為2的有2個(gè)：20,21；十位數(shù)為3的