《函數(shù)的應(yīng)用（II）》教學(xué)教案 省賽獲獎

PAGE16函數(shù)的應(yīng)用II一、教學(xué)內(nèi)容分析1．教學(xué)主要內(nèi)容本課為數(shù)學(xué)必修一模塊第三章第節(jié)的內(nèi)容。本節(jié)課要利用本章中學(xué)習的基本初等函數(shù)：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)來解決在實際生活中的有關(guān)增長率的問題。2．教材編寫特點新課標、新教材非常重視課本知識與實際問題的結(jié)合。新課標中強調(diào)，“學(xué)生將學(xué)習指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)等具體的基本初等函數(shù)，結(jié)合實際問題，感受運用函數(shù)概念建立模型的過程和方法，體會函數(shù)在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中的重要性，初步運用函數(shù)思想理解和處理現(xiàn)實生活和社會中的簡單問題?！毙抡n標、新教材還十分重視“以學(xué)生為本”，依照學(xué)生對知識的認知過程，強調(diào)知識的“螺旋式上升”。在B版教材中，函數(shù)的應(yīng)用被分成兩部分，分別設(shè)置在第二章與第三章中。在第二章《函數(shù)的應(yīng)用（Ⅰ）》中，主要是對學(xué)生已經(jīng)熟知的一次函數(shù)和二次函數(shù)的實際應(yīng)用。而在第三章《函數(shù)的應(yīng)用（Ⅱ）》的講授中，需要在之前的基礎(chǔ)上提升、總結(jié)，使學(xué)生掌握利用數(shù)學(xué)建模的思想解決實際問題的方法。教材中的三道例題主要涉及到實際生活中與增長率相關(guān)的問題，主要是指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用，并在求解過程中運用到對數(shù)。3．教材內(nèi)容的數(shù)學(xué)核心思想數(shù)學(xué)建模思想4．我的思考：根據(jù)學(xué)生和教材的情況和特點，我們的這節(jié)課就以“增長率問題”為研究對象，并且補充了冪函數(shù)型的數(shù)學(xué)模型，來講解這三種基本初等函數(shù)在經(jīng)濟學(xué)、核物理學(xué)和考古學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用。在教學(xué)方法上，我們采用學(xué)案導(dǎo)學(xué)法，引起學(xué)生的學(xué)習興趣，并引導(dǎo)學(xué)生深入理解概念，使學(xué)生通過這一節(jié)課的學(xué)習理解掌握解決實際問題的方法、步驟。二、學(xué)生情況分析1．學(xué)生已有知識基礎(chǔ)、已有生活經(jīng)驗和學(xué)習該內(nèi)容的經(jīng)驗、學(xué)習該內(nèi)容可能的困難、學(xué)習的興趣、學(xué)習方式和學(xué)法分析：通過對教材前面內(nèi)容的學(xué)習，學(xué)生已經(jīng)初步掌握了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)這三種基本初等函數(shù)的性質(zhì)，并且初步具備了利用函數(shù)模型解決實際問題的思想和方法。對于與實際生活結(jié)合緊密的問題，容易引起學(xué)生的學(xué)習興趣，但是，學(xué)生對這類應(yīng)用問題普遍具有畏難情緒，主要的困難就在于對實際問題、文字材料的理解，以及如何從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型。2．我的思考：在教學(xué)方法上，我們采用學(xué)案導(dǎo)學(xué)法，引起學(xué)生的學(xué)習興趣，并引導(dǎo)學(xué)生深入理解概念，使學(xué)生通過這一節(jié)課的學(xué)習理解掌握解決實際問題的方法、步驟。三、學(xué)習目標1．學(xué)生能夠運用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)，解決有關(guān)增長率的某些實際問題。2．學(xué)生能通過對所研究問題分層設(shè)問的解答過程，逐步理解掌握解決實際問題的三個主要步驟。3．通過對指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的實際應(yīng)用，學(xué)生能夠提高對數(shù)學(xué)的學(xué)習興趣，激發(fā)出學(xué)習數(shù)學(xué)的熱情；通過分層設(shè)問，學(xué)生能夠樹立起對學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，并養(yǎng)成鍥而不舍的鉆研精神和科學(xué)態(tài)度。四、教學(xué)活動活動內(nèi)容活動的組織與實施設(shè)計意圖時間分配一、設(shè)置閱讀，引入疑問閱讀材料：京華時報訊：利息稅調(diào)減相當于存款利率增%，記者：趙鵬|時間：2022-07-26本報訊（記者趙鵬）昨天，中國人民銀行條法司副司長劉慧蘭在接受中國政府網(wǎng)訪談時指出，國務(wù)院宣布自8月15日起將利息稅的適用稅率由20%調(diào)減為5%，相當于增加存款利率近個百分點。有網(wǎng)友提出，本次加息和調(diào)減利息稅后，居民的實際存款利率將達到怎樣的水平對此，劉慧蘭以目前一年期定期存款為例分析說，金融機構(gòu)一年期存款基準利率上調(diào)個百分點，由現(xiàn)行的%提高到%。同時，利息稅率由20%調(diào)減為5%，相當于存款利率增加了將近個百分點。教師給出一段新聞，學(xué)生進行閱讀理解通過閱讀，引出基礎(chǔ)知識5分鐘二、問題分層，釋疑解惑問題1：金融機構(gòu)一年期存款基準利率%是什么意思答案：增長率公式：問題2：如果銀行的一年期存款利率為%，現(xiàn)存入本金1000元，試計算第1年后的本利和是多少，第2年后的本利和是多少答案：1年后的本利和為元2年后的本利和為

元

復(fù)利：一種計算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再計算下一期的利息。問題3：有一種儲蓄按復(fù)利計算利息，本金為元，每期利率為，設(shè)本利和為，存期為，寫出本利和隨存期變化的函數(shù)式．答案：問題4：生活中還有哪些類似增長率（即兩個量的關(guān)系）的問題答案：當時，增長率；當時，增長率，此時稱為負增長率．教師層層設(shè)問，學(xué)生討論，明確概念，探索歸納，找到解題方法由此引入兩個量的關(guān)系——增長率概念．

通過實例，指出“參照物”的變化，并引出復(fù)利的概念．

（1）自變量要有定義域；（2）讓學(xué)生初步領(lǐng)略解決應(yīng)用題要關(guān)注根據(jù)各個量的關(guān)系，進行數(shù)學(xué)化設(shè)計：即建立目標函數(shù)，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．

（1）指出不同領(lǐng)域里兩個量關(guān)系的表達方式不同，如打折問題，衰變等，并借此指出負增長率的概念；（2）讓學(xué)生初步領(lǐng)略解決應(yīng)用題要關(guān)注閱讀理解：即讀懂題目中的文字敘述所反映的實際背景，領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，弄清題中出現(xiàn)的量及其數(shù)學(xué)含義．15分鐘三、例題演繹，知識升華例：半衰期是指某種特定物質(zhì)的濃度經(jīng)過某種反應(yīng)降低到初始濃度的一半時所消耗的時間．比如：放射性核素的衰變、一級化學(xué)反應(yīng)、藥物在體內(nèi)的吸收和代謝等都有半衰期．現(xiàn)有一種放射性元素，最初的質(zhì)量為500g，按每年10%衰減．1求年后，這種放射性元素質(zhì)量表達式；2由求出的函數(shù)表達式，求這種放射性元素的半衰期（精確到）．解：（1）最初的質(zhì)量為500g，經(jīng)過1年，，經(jīng)過2年，，……由此推知，年后，．（2）解方程．，，，

所以這種放射性元素的半衰期約為年．考古探秘：湖南長沙馬王堆漢墓女尸出土時，碳14的殘余量約占原始含量的%，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，生物機體內(nèi)碳14的“半衰期”為5730年，試推算馬王堆古墓的年代．解：設(shè)每年按衰減，并設(shè)原始含量為1，5730年后含量為．則有

，由題意可知，，．所以按每年%衰減．設(shè)馬王堆古墓距今年．由題意可得，，．馬王堆古墓距今約2193年．小結(jié)：在函數(shù)知識的應(yīng)用過程中，關(guān)鍵是如何將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，明白數(shù)學(xué)問題與實際問題之間的關(guān)系。處理這一問題，通常分為三步：（1）閱讀理解：即讀懂題目中的文字敘述所反映的實際背景，領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，弄清題中出現(xiàn)的量及其數(shù)學(xué)含義；（2）根據(jù)各個量的關(guān)系，進行數(shù)學(xué)化設(shè)計：即建立目標函數(shù)，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；（3）解決問題：即轉(zhuǎn)化為常規(guī)的函數(shù)問題或其他常規(guī)的數(shù)學(xué)問題加以解決，通過數(shù)學(xué)問題的解決來解釋生活現(xiàn)象或?qū)で髮嶋H問題的解決方案。

強化解題步驟，在落實的同時，理解不同領(lǐng)域里的兩個量關(guān)系的不同表達形式10分鐘

7分鐘四、歸納小結(jié)，強化要點（1）解應(yīng)用題的三個步驟．（2）一個模型．學(xué)生回顧本節(jié)課的內(nèi)容，總結(jié)出解應(yīng)用題的步驟及注意事項．教師引導(dǎo)學(xué)生完善小結(jié)2分鐘五、布置作業(yè)，延拓課堂思考題：引入中所得的結(jié)論“增加了將近個百分點”的數(shù)學(xué)依據(jù)是什么，用所學(xué)知識給出一個準確數(shù)值，看看與文中的結(jié)論是否一致存在爭議的問題：對于引入的閱讀材料中“以目前一年期定期存款為例分析說，金融機構(gòu)一年期存款基準利率上調(diào)個百分點，由現(xiàn)行的%提高到%。同時，利息稅率由20%調(diào)減為5%，相當于存款利率增加了將近個百分點?！睂W(xué)生得到兩種不同的結(jié)論。結(jié)論一：經(jīng)計算相當于存款利率增加了將近個百分點。計算過程：結(jié)論二：經(jīng)計算相當于存款利率增加了將近個百分點。計算過程：學(xué)生課下完成討論對文章的理解不同，參照物不同，導(dǎo)致計算結(jié)果不同，結(jié)論不同，存在一些爭議。1分鐘五、教學(xué)效果評價1對新課標的基本理念的認識和理解。新課標充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的文化價值及數(shù)學(xué)對社會發(fā)展所起的作用。本節(jié)課“考古探秘”這一環(huán)節(jié)就很好的體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的文化價值。馬王堆古墓及其出土文物對研究中國漢代歷史、文化、科學(xué)等有著異常珍貴的價值。這個實例本身就“很具有中國特色”，并且能夠體現(xiàn)出數(shù)學(xué)在考古學(xué)中的實際應(yīng)用。既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用與文化意識，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系。

2關(guān)于幾個問題在本節(jié)課中的處理。（1）對教材中例1的處理：例1是人口問題，從實際生活看，這是與人們?nèi)粘Ｉ钕⑾⑾嚓P(guān)的具有可持續(xù)發(fā)展意義的實際問題；從數(shù)學(xué)角度看，這是非常典型的指數(shù)函數(shù)型模型實例。但由于一堂課時間有限，我們在本節(jié)課的處理中只滲透思想，涉及增長率模型，并未給出這道例題。（2）本節(jié)課我們采用學(xué)案導(dǎo)學(xué)法，結(jié)合學(xué)生的特點設(shè)計學(xué)案，指導(dǎo)學(xué)生完成知識的學(xué)習過程。通過研究教法，我們發(fā)現(xiàn)對于概念多、容量大、綜合性高以及復(fù)習課適合使用學(xué)案導(dǎo)學(xué)法授課。使用根據(jù)學(xué)生認知特點設(shè)計的學(xué)案，可以指導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習過程，提高課堂效率。在設(shè)計學(xué)案的過程中，我們就充分考慮了學(xué)生的學(xué)習情況和特點。如果在學(xué)案上給出所有引導(dǎo)問題、例題和探究問題，學(xué)生可能會只專注于自己解題，而忽略了老師想要通過例題和提問所給出的基本知識點和重要的思想方法。所以我們在學(xué)案的處理上只給出了閱讀材料和例題，分層設(shè)問的四個問題和考古探秘的實例我們只給出了標題、框架，而沒有給出實際內(nèi)容（可見附1）。這樣引導(dǎo)學(xué)生首先弄清本節(jié)課的基本知識點及基本思