特選八年級(jí)幾何證明題集錦及解答值得收藏

八年級(jí)幾何證明題集錦及解答值得收藏八年級(jí)幾何全等證明題歸納1.如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，BD⊥CD．過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，交對(duì)角線BD于F，點(diǎn)G為BC中點(diǎn)，連接EG、AF．求證：CF=AB+AF．證明：在線段CF上截取CH=BA，連接DH，∵BD⊥CD，BE⊥CE，∴∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°，∵∠EFB=∠DFC，∴∠EBF=∠DCF，∵DB=CD，BA=CH，∴△ABD≌△HCD，∴AD=DH，∠ADB=∠HDC，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=45°，∴∠HDC=45°，∴∠HDB=∠BDC—∠HDC=45°，∴∠ADB=∠HDB，∵AD=HD，DF=DF，∴△ADF≌△HDF，∴AF=HF，∴CF=CH+HF=AB+AF，∴CF=AB+AF．2.如圖，ABCD為正方形，E為BC邊上一點(diǎn)，且AE=DE，AE與對(duì)角線BD交于點(diǎn)F，連接CF，交ED于點(diǎn)G．判斷CF與ED的位置關(guān)系，并說明理由．解：垂直．理由：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠ABD=∠CBD，AB=BC，∵BF=BF，∴△ABF≌△CBF，∴∠BAF=∠BCF，∵在RT△ABE和△DCE中，AE=DE，AB=DC，∴RT△ABE≌△DCE，∴∠BAE=∠CDE，∴∠BCF=∠CDE，∵∠CDE+∠DEC=90°，∴∠BCF+∠DEC=90°，∴DE⊥CF．3.如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90o，AB＝AD，DE⊥CD交AB于E，DF平分∠CDE交BC于F，連接EF．證明：CF＝EF解：過D作DG⊥BC于G．由可得四邊形ABGD為正方形，∵DE⊥DC∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，∴∠ADE=∠GDC．又∵∠A=∠DGC且AD=GD，∴△ADE≌△GDC，∴DE=DC且AE=GC．在△EDF和△CDF中∠EDF=∠CDF，DE=DC，DF為公共邊，∴△EDF≌△CDF，∴EF=CF4.：在⊿ABC中，∠A=900，AB=AC，D是AC的中點(diǎn)，AE⊥BD，AE延長(zhǎng)線交BC于F，求證：∠ADB=∠FDC。證明：過點(diǎn)C作CG⊥CA交AF延長(zhǎng)線于G∴∠G+∠GAC=90°…………①又∵AE⊥BD∴∠BDA+∠GAC=90°…………②綜合①②，∠G=∠BDA在△BDA與△AGC中，∵∠G=∠BDA∠BAD=∠ACG=90°BA=CA∴△BDA≌△AGC∴DA=GC∵D是AC中點(diǎn)，∴DA=CD∴GC=CD由∠1=45°，∠ACG=90°，故∠2=45°=∠1在△GCF與△DCF中，∵GC=CD∠2=45°=∠1CF=CF∴△GCF≌△DCF∴∠G=∠FDC,又∠G=∠BDA∴∠ADB=∠FDC5.如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，BC=CD，O是BD的中點(diǎn)，E是CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，作OF⊥OE交DA的延長(zhǎng)線于F，OE交AD于H，OF交AB于G，F(xiàn)O的延長(zhǎng)線交CD于K，求證：OE=OF提示：由條件知△BCD為等腰Rt△，連接OC，可證△OCK≌△ODH(AAS)，得OK=OH，再證△FOH≌△EOK(AAS)，得OE=OF6.如圖，在正方形ABCD的邊BC上任取一點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CN⊥DM交AB于N，設(shè)正方形對(duì)角線交點(diǎn)為O，試確定OM與ON之間的關(guān)系，并說明理由．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴DC=BC，∠DCM=∠NBC=90°，又∵CN⊥DM交AB于N，∴∠NCM+∠CMD=90°，而∠CMD+∠CDM=90°，∴∠NCM=∠CDM，∴△DCM≌△CBN，∴CM=BN，再根據(jù)四邊形ABCD是正方形可以得到OC=OB，∠OCM=∠OBN=45°，∴△OCM≌△OBN．∴OM=ON，∠COM=∠BON，而∠COM+∠MOB=90°，∴∠BON+∠MOB=90°．∴∠MON=90°．∴OM與ON之間的關(guān)系是OM=ON；OM⊥ON．7.如圖，正方形CGEF的對(duì)角線CE在正方形ABCD的邊BC的延長(zhǎng)線上〔CG＞BC〕，M是線段AE的中點(diǎn)，DM的延長(zhǎng)線交CE于N．探究：線段MD、MF的關(guān)系，并加以證明．證明：根據(jù)題意，知AD∥BC．∴∠EAD=∠AEN〔內(nèi)錯(cuò)角相等〕，∵∠DMA=∠NME〔對(duì)頂角相等〕，又∵M(jìn)是線段AE的中點(diǎn)，∴AM=ME．∴△ADM≌△ENM〔ASA〕．∴AD=NE,DM=MN．〔對(duì)應(yīng)邊相等〕．連接線段DF，線段FN，線段CE是正方形的對(duì)角線，∠DCF=∠NEF=45°，根據(jù)上題可知線段AD=NE，又∵四邊形CGEF是正方形，∴線段FC等于FE．∴△DCF≌△NEF〔SAS〕．∴線段FD=FN．∴△FDN是等腰三角形．∴線段MD⊥線段MF．8.如圖，△ABC是等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角∠NDM，角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點(diǎn)，連接MN．試探究BM、MN、CN之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．證明：BM+CN=NM延長(zhǎng)AC至E，使CE=BM，連接DE，∵△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，△ABC是等邊三角形，∴∠BCD=30°，∴∠ABD=∠ACD=90°，∵DB=DC，CE=BM，∴△DCE≌△BMD，∵∠MDN=∠NDE=60°∴DM=DE〔上面已經(jīng)全等〕∴DN=ND〔公共邊〕∴△DMN≌△DEN∴BM+CN=NM9.如圖，點(diǎn)D為等腰直角△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠CAD=∠CBD=15°．E為AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CE=CA，求證：AD+CD=DE；證明：∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠ABC=45°．∵∠CAD=∠CBD=15°，∴∠BAD=∠ABD=30°．∴AD=BD．在DE上截取DM=DC，連接CM，∵AD=BD，AC=BC，DC=DC，∴△ACD≌△BCD．∴∠ACD=∠BCD=45°．∵∠CAD=15°，∴∠EDC=60°．∵DM=DC，∴△CMD是等邊三角形．∴∠CDA=∠CME=120°．∵CE=CA，∴∠E=∠CAD．∴△CAD≌△CEM．∴ME=AD．∴DA+DC=ME+MD=DE．即AD+CD=DE．10.如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，E是BC邊上的一點(diǎn)，且AF平分∠DAE，求證：AE=EC+CD．證明：∵AF平分∠DAE，∠D=90°，F(xiàn)H⊥AE，∴∠DAF=∠EAF，F(xiàn)H=FD，在△AHF與△ADF中，∵AF為公共邊，∠DAF=∠EAF，F(xiàn)H=FD〔角平分線上的到角的兩邊距離相等〕，∴△AHF≌△ADF〔HL〕．∴AH=AD，HF=DF．又∵DF=FC=FH，F(xiàn)E為公共邊，∴△FHE≌△FCE．∴HE=CE．∵AE=AH+HE，AH=AD=CD，HE=CE，∴AE=EC+CD．11.梯形ABCD中，AB∥CD，BD⊥AC于E，AD=BC，AC=AB，DF⊥AB于F，AC、DF相交于DF的中點(diǎn)O．求證：AB+CD=2BE．證明：過D作DM∥AC交BA的延長(zhǎng)線于M．∵梯形ABCS中，AD=BC，∴BD=AC．又∵CD∥AM，DM∥AC，∴四邊形CDMA為平行四邊形．∴DM=AC，CD=AM．∵M(jìn)D∥AC，又AC⊥BD，且AC=BD，∴DM⊥BD，DM=BD，∴△DMB為等腰直角三角形．又∵DF⊥BM，∴DF=BF．∴BM=2DF=2BF∴AM+AB=2BF．∵CD=AM，∴AB+CD=2BF．∵AC=BD=AB，∴在△BEA和△BFD中，△BEA≌△BFD．∴BE=BF．∵AB+CD=2BF，∴AB+CD=2BE．12.：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延長(zhǎng)線交DC于點(diǎn)E．求證：AD=DE．證明：〔1〕∵CF平分∠BCD，∴∠BCF=∠DCF．在△BFC和△DFC中，∴△BFC≌△DFC．∴BF=DF，∴∠FBD=∠FDB．連接BD．∵DF∥AB，∴∠ABD=∠FDB．∴∠ABD=∠FBD．∵AD∥BC，∴∠BDA=∠DBC．∵BC=DC，∴∠DBC=∠BDC．∴∠BDA=∠BDC．又BD是公共邊，∴△BAD≌△BED．∴AD=DE．13.如圖，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AB∥DC，AB=BC，AD與BC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，G是DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AG⊥BC于E．求證：CF=CG；證明：連接AC，∵DC∥AB，AB=BC，∴∠1=∠CAB，∠CAB=∠2，∴∠1=∠2；∵∠ADC=∠AEC=90°，AC=AC，∴△ADC≌△AEC，∴CD=CE；∵∠FDC=∠GEC=90°，∠3=∠4，∴△FDC≌△GEC，∴CF=CG．14.如圖，P為∠AOB的平分線OP上一點(diǎn)，PC⊥OA于C，PA=PB，求證AO+BO=2CO證明：過點(diǎn)P作PQ⊥OB于Q，那么∠PQB=90°∵OP平分∠AOB，且PC⊥OA，PQ⊥OB∴PC=PQ在Rt△POC與Rt△POQ中，∵PC=PQPO=PO∴Rt△POC≌Rt△POQ〔HL〕∴OC=OQ∴2OC=OC+OQ=OC+OB+BQ在Rt△PCA與Rt△PQB中，∵PC=PQPA=PB∴Rt△PCA≌Rt△PQB〔HL〕∴CA=QB又2OC=OC+OB+BQ∴2OC=OC+OB+CA=OA+OB15.：如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且AE=AC．求證：BG=FG；證明:∵∠ABC=90°，DE⊥AC于點(diǎn)F，∴∠ABC=∠AFE．∵AC=AE，∠EAF=∠CAB，∴△ABC≌△AFE∴AB=AF．連接AG，∵AG=AG，AB=AF，∴Rt△ABG≌Rt△AFG．∴BG=FG16.如圖，在平行四邊形ABCD中，分別以AB、AD為邊向外作等邊△ABE、△ADF，連接CE、CF，求證：①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等邊△解：∵△ABE、△ADF是等邊三角形∴FD=AD，BE=AB∵AD=BC，AB=DC∴FD=BC，BE=DC∵∠B=∠D，∠FDA=∠ABE∴∠CDF=∠EBC∴△CDF≌△EBC，∵AF=FD，AE=DC，EF=CF∴△EAF≌△CDF∴∠CDF=∠EAF，∵∠AFC=∠AFE+∠EFD+∠DFC，∠AFE+∠EFD=60°∴∠AFC-∠DFC=60°∴∠AFE=∠DFC∴∠EFC=60°同理，∠FEC=60°∵CF=CE∴△ECF是等邊三角形17.正方形ABCD中，F(xiàn)為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，過F點(diǎn)作EF⊥BA于E，G為DF中點(diǎn)，連接EG，CG．求證：EG=CG；證明：延長(zhǎng)CG至M，使MG=CG，連接MF，ME，EC，在△DCG與△FMG中，∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，∴△DCG≌△FMG．∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，∴MF∥CD∥AB，∴EF⊥MF．在Rt△MFE與Rt△CBE中，∵M(jìn)F=CB，EF=BE，∴△MFE≌△CBE∴∠MEF=∠CEB．∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，∴△MEC為直角三角形．∵M(jìn)G=CG，∴EG=MC，∴EG=CG．18.如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，求證：AC=AE+CD．解：在AC上取AF=AE，連接OF，那么△AEO≌△AFO〔SAS〕，∴∠AOE=∠AOF；∵AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，∴∠ECA+∠DAC=〔180°-∠B〕=60°那么∠AOC=180°-∠ECA-∠DAC=120°；∴∠AOC=∠DOE=120°，∠AOE=∠COD=∠AOF=60°，那么∠COF=60°，∴∠COD=∠COF，又∵∠FCO=∠DCO，CO=CO，∴△FOC≌△DOC〔ASA〕，∴DC=FC，∵AC=AF+FC，∴AC=AE+CD．19.：如圖，AD∥BC，AE平分∠BAD，AE⊥BE；說明：AD+BC=AB．解：如圖，在AB上截取AF=AD，∴AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠FAE，∵AF=AD，AE=AE，∴△DAE≌△FAE，∴∠D=∠AFE，∠DEA=∠FEA，∵AD∥BC，∴∠DAB+∠CBA=180°，∵AE⊥BE，∴∠BAE+∠ABE=90°，∴∠DAE+∠CBE=90°，∴∠ABE=∠CBE，同理，∠FEB=∠CEB，∵BE=BE，∴△BEF≌△BEC，∴BF=BC，∴AB=AF+FB=AD+BC．20.如圖，Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC=∠ADE=90°，BC與DE相交于點(diǎn)F，連接CD，EB．求證：CF=EF．證明：∵Rt△ABC≌Rt△ADE，∴AC=AE，AD=AB，∠CAB=∠EAD，∴∠CAB-∠DAB=∠EAD-∠DAB．即∠CAD=∠EAB．∴△CAD≌△EAB，∴CD=EB，∠ADC=∠ABE．又∵∠ADE=∠ABC，∴∠CDF=∠EBF．又∵∠DFC=∠BFE，∴△CDF≌△EBF．∴CF=EF．21.將兩個(gè)全等的直角三角形ABC和DBE如圖方式擺放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，點(diǎn)E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于點(diǎn)F．求證：AF+EF=DE證明：連接BF∵△ABC≌△DBE，∴BC=BE，AC=DE．∵∠ACB=∠DEB=90°，∴∠BCF=∠BEF=90°．∵BF=BF，∴Rt△BFC≌Rt△BFE．∴CF=EF．又∵AF+CF=AC，∴AF+EF=DE．初二幾何全等證明題集錦〔二〕1.〔1〕如圖1，點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連結(jié)AC和BD，相交于點(diǎn)E，連結(jié)BC．求∠AEB的大??；CBCBOD圖1AEBAODCE圖2〔2〕如圖2，ΔOAB固定不動(dòng)，保持ΔOCD的形狀和大小不變，將ΔOCD繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)〔ΔOAB和ΔOCD不能重疊〕，求∠AEB的大小.2．如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)G與C、D不重合)，以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連結(jié)BG，DE．我們探究以以下圖中線段BG、線段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系：〔1〕①猜測(cè)如圖1中線段BG、線段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系；②將圖1中的正方形CEFG繞著點(diǎn)C按順時(shí)針(或逆時(shí)針)方向旋轉(zhuǎn)任意角度，得到如圖2、如圖3情形．請(qǐng)你通過觀察、測(cè)量等方法判斷①中得到的結(jié)論是否仍然成立,并選取圖2證明你的判斷．〔2〕將原題中正方形改為矩形〔如圖4—6〕，且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb(ab，k0)，第(1)題①中得到的結(jié)論哪些成立，哪些不成立？假設(shè)成立，以圖5為例簡(jiǎn)要說明理由．〔3〕在第(2)題圖5中，連結(jié)、，且a=3，b=2，k=，求的值．3.如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角．點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．解答以下問題：〔1〕如果AB=AC，∠BAC=90o．=1\*GB3①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)〔與點(diǎn)B不重合〕，如圖乙，線段CF、BD之間的位置關(guān)系為▲，數(shù)量關(guān)系為▲．圖甲圖乙圖丙=2\*GB3②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖丙，=1\*GB3①中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？圖甲圖乙圖丙〔2〕如果AB≠AC，∠BAC≠90o，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)．試探究：當(dāng)△ABC滿足一個(gè)什么條件時(shí)，CF⊥BC〔點(diǎn)C、F重合除外〕？畫出相應(yīng)圖形，并說明理由．〔畫圖不寫作法〕CF相交于點(diǎn)P，求線段CP長(zhǎng)的最大值．4.：如圖5—132，點(diǎn)C在線段AB上，以AC和BC為邊在AB的同側(cè)作正三角形△ACM和△BCN，連結(jié)AN、BM，分別交CM、CN于點(diǎn)P、Q．求證：PQ∥AB．5.如圖，在正方形ABCD中，△PBC、△QCD是兩個(gè)等邊三角形，PB與DQ交于M，BP與CQ交于E，CP與DQ交于F。求證：PM=QM。6ABCDABCD7、如圖，△ABC中，AB＝AC，D、E、F分別是BC、AB、AC上的點(diǎn)，BD＝CF，CD＝BE，G為EF中點(diǎn)，連結(jié)DG，問DG與EF之間有何關(guān)系?證明你的結(jié)論。8.：三角形ABC和CDE為等腰直角三角形，點(diǎn)F、G分別為BE和AD的中點(diǎn)，連接FG和GC，求證：FG和GC的關(guān)系。9.如圖1，△ABC，∠ACB=90°，分別以AB、BC為邊向外作△ABD與△BCE，且DA=DB，BE=EC，假設(shè)∠ADB=∠BEC=2∠ABC，連接DE交AB于點(diǎn)F，試探究線段DF與EF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明。10.：如圖，P是正方形ABCD內(nèi)點(diǎn)，∠PAD＝∠PDA＝150．APAPCDB11.：如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、BC的延長(zhǎng)線交MN于E、F．求證：∠DEN＝∠F．PCPCGFBQADE求證：點(diǎn)P到邊AB的距離等于AB的一半．13如圖，四邊形ABCD為正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE與CD相交于F．求證：CE＝CF．AAFDECB14、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直線EC交DA延長(zhǎng)線于F．求證：AE＝AF．EEDACBF15、設(shè)P是正方形ABCD一邊BC上的任一點(diǎn)，PF⊥AP，CF平分∠DCE．求證：PA＝PF．FFEPCBAD16、設(shè)P是平行四邊形ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，且∠PBA＝∠PDA．求證：∠PAB＝∠PCB．PPADCB17.如圖2-1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，〔1〕將Rt△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到Rt△AC'B'，直線BB'交直線CC'于點(diǎn)D，連接AD.探究：AD與BB'之間的關(guān)系，并說明理由?！?〕如圖2-2，假設(shè)將Rt△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度，其他條件不變，還有〔1〕的結(jié)論嗎？為什么？18.在△ABC與△BDE中，∠ABC=∠BDE=90°，BC=DE，AC=BE，M.N分別是AB.BD的中點(diǎn)，連接MN交CE于點(diǎn)K〔1〕如圖3-1，當(dāng)C.B.D共線，AB=2BC時(shí)，探究CK與EK之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；〔2〕如圖3-2，當(dāng)C.B.D不共線，AB≠2BC時(shí)，〔1〕中的結(jié)論是否成立，假設(shè)成立，請(qǐng)證明；假設(shè)不成立，請(qǐng)說明理由；〔3〕將題目中的條件“∠ABC=∠BDE=90°，BC=DE，AC=BE〞都去掉，再添加一個(gè)條件，寫出一個(gè)類似的對(duì)一般三角形都成立的問題〔畫出圖形，寫出和結(jié)論，不用證明〕19.如圖，△ABO與△CDO均為等腰三角形，且∠BAO=∠DCO=90°，M為BD的中點(diǎn)，MN⊥AC，試探究MN與AC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。20.填空或解答：點(diǎn)B．C．E在同一直線上，點(diǎn)A．D在直線CE的同側(cè)，AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，直線AE、BD交于點(diǎn)F?！?〕如圖①，假設(shè)∠BAC＝60°，那么∠AFB＝_________；如圖②，假設(shè)∠BAC＝90°，那么∠AFB＝_________；〔2〕如圖③，假設(shè)∠BAC＝α，那么∠AFB＝_________〔用含α的式子表示〕；〔3〕將圖③中的△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)〔點(diǎn)F不與點(diǎn)A．B重合〕，得圖④或圖⑤。在圖④中，∠AFB與∠α的數(shù)量關(guān)系是________________；在圖⑤中，∠AFB與∠α的數(shù)量關(guān)系是________________。請(qǐng)你任選其中一個(gè)結(jié)論證明。2