2023年中考試題分類匯編相似三角形

2023年中考試題分類匯編——相似三角形1、〔2023?昆明〕如圖，在正方形ABCD中，點P是AB上一動點〔不與A，B重合〕，對角線AC，BD相交于點O，過點P分別作AC，BD的垂線，分別交AC，BD于點E，F(xiàn)，交AD，BC于點M，N．以下結論：①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE2+PF2=PO2；④△POF∽△BNF；⑤當△PMN∽△AMP時，點P是AB的中點．其中正確的結論有〔〕A．5個B．4個C．3個D．2個考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì)分析：依據(jù)正方形的性質(zhì)以及勾股定理、矩形的判定方法即可判斷△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四邊形PEOF是矩形，從而作出判斷．解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠DAC=45°．∵在△APE和△AME中，，∴△APE≌△AME，故①正確；∴PE=EM=PM，同理，F(xiàn)P=FN=NP．∵正方形ABCD中AC⊥BD，又∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，且△APE中AE=PE∴四邊形PEOF是矩形．∴PF=OE，∴PE+PF=OA，又∵PE=EM=PM，F(xiàn)P=FN=NP，OA=AC，∴PM+PN=AC，故②正確；∵四邊形PEOF是矩形，∴PE=OF，在直角△OPF中，OF2+PF2=PO2，∴PE2+PF2=PO2，故③正確．∵△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，故④錯誤；∵△AMP是等腰直角三角形，當△PMN∽△AMP時，△PMN是等腰直角三角形．∴PM=PN，又∵△AMP和△BPN都是等腰直角三角形，∴AP=BP，即P時AB的中點．故⑤正確．應選B．點評：此題是正方形的性質(zhì)、矩形的判定、勾股定理得綜合應用，認識△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四邊形PEOF是矩形是關鍵．2、〔2023?新疆〕如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D為BC的中點，假設動點E以1cm/s的速度從A點出發(fā)，沿著A→B→A的方向運動，設E點的運動時間為t秒〔0≤t＜6〕，連接DE，當△BDE是直角三角形時，t的值為〔〕A．2B．2.5或3.5C．3.5或4.5D．2或3.5或4.5考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形．專題：動點型．分析：由Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，可求得AB的長，由D為BC的中點，可求得BD的長，然后分別從假設∠DBE=90°與假設∠EDB=90°時，去分析求解即可求得答案．解答：解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，∴AB=2BC=4〔cm〕，∵BC=2cm，D為BC的中點，動點E以1cm/s的速度從A點出發(fā)，∴BD=BC=1〔cm〕，BE=AB﹣AE=4﹣t〔cm〕，假設∠DBE=90°，當A→B時，∵∠ABC=60°，∴∠BDE=30°，∴BE=BD=〔cm〕，∴t=3.5，當B→A時，t=4+0.5=4.5．假設∠EDB=90°時，當A→B時，∵∠ABC=60°，∴∠BED=30°，∴BE=2BD=2〔cm〕，∴t=4﹣2=2，當B→A時，t=4+2=6〔舍去〕．綜上可得：t的值為2或3.5或4.5．應選D．點評：此題考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)．此題屬于動點問題，難度適中，注意掌握分類討論思想與數(shù)形結合思想的應用．3、〔2023?新疆〕如圖，△ABC中，DE∥BC，DE=1，AD=2，DB=3，那么BC的長是〔〕考點：相似三角形的判定與性質(zhì)．分析：根據(jù)DE∥BC，證明△ADE∽△ABC，然后根據(jù)對應邊成比例求得BC的長度．解答：解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，那么=，∵DE=1，AD=2，DB=3，∴AB=AD+DB=5，∴BC==．應選C．點評：此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，難度一般，解答此題的關鍵是根據(jù)平行證明△ADE∽△ABC．4、〔2023?內(nèi)江〕如圖，在?ABCD中，E為CD上一點，連接AE、BD，且AE、BD交于點F，S△DEF：S△ABF=4：25，那么DE：EC=〔〕A．2：5B．2：3C．3：5D．3：2考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．分析：先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根據(jù)S△DEF：S△ABF=4：10：25即可得出其相似比，由相似三角形的性質(zhì)即可求出DE：EC的值，由AB=CD即可得出結論．解答：解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE，∴△DEF∽△BAF，∵S△DEF：S△ABF=4：25，∴DE：AB=2：5，∵AB=CD，∴DE：EC=2：3．應選B．點評：此題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)，熟知相似三角形邊長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方是解答此題的關鍵．5、〔2023?自貢〕如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分線交BC于E，交DC的延長線于F，BG⊥AE于G，BG=，那么△EFC的周長為〔〕A．11B．10C．9D．8考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)．分析：判斷出△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，DF的長度，繼而得到EC的長度，在Rt△BGE中求出GE，繼而得到AE，求出△ABE的周長，根據(jù)相似三角形的周長之比等于相似比，可得出△EFC的周長．解答：解：∵在?ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分線交BC于點E，∴∠BAF=∠DAF，∵AB∥DF，AD∥BC，∴∠BAF=∠F=∠DAF，∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=6，AD=DF=9，∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，∵AD∥BC，∴△EFC是等腰三角形，且FC=CE，∴EC=FC=9﹣6=3，在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4，∴AG==2，∴AE=2AG=4，∴△ABE的周長等于16，又∵△CEF∽△BEA，相似比為1：2，∴△CEF的周長為8．應選D．點評：此題主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性質(zhì)，注意掌握相似三角形的周長之比等于相似比，此題難度較大．6、〔2023?雅安〕如圖，在?ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，假設AE：BE=4：3，且BF=2，那么DF=..考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．分析：由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AB∥CD，AB=CD，繼而可判定△BEF∽△DCF，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，即可得BF：DF=BE：CD問題得解．解答：解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD，∵AE：BE=4：3，∴BE：AB=3：7，∴BE：CD=3：7．∵AB∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴BF：DF=BE：CD=3：7，即2：DF=3：7，∴DF=．故答案為：．點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)與平行四邊形的性質(zhì)．此題比較簡單，解題的關鍵是根據(jù)題意判定△BEF∽△DCF，再利用相似三角形的對應邊成比例的性質(zhì)求解．7、〔2023?雅安〕如圖，DE是△ABC的中位線，延長DE至F使EF=DE，連接CF，那么S△CEF：S四邊形BCED的值為〔〕A．1：3B．2：3C．1：4D．2：5考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理．分析：先利用SAS證明△ADE≌△CFE〔SAS〕，得出S△ADE=S△CFE，再由DE為中位線，判斷△ADE∽△ABC，且相似比為1：2，利用相似三角形的面積比等于相似比，得到S△ADE：S△ABC=1：4，那么S△ADE：S四邊形BCED=1：3，進而得出S△CEF：S四邊形BCED=1：3．解答：解：∵DE為△ABC的中位線，∴AE=CE．在△ADE與△CFE中，，∴△ADE≌△CFE〔SAS〕，∴S△ADE=S△CFE．∵DE為△ABC的中位線，∴△ADE∽△ABC，且相似比為1：2，∴S△ADE：S△ABC=1：4，∵S△ADE+S四邊形BCED=S△ABC，∴S△ADE：S四邊形BCED=1：3，∴S△CEF：S四邊形BCED=1：3．應選A．點評：此題考查了全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理．關鍵是利用中位線判斷相似三角形及相似比．8、〔2023聊城〕如圖，D是△ABC的邊BC上一點，AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，假設△ABD的面積為a，那么△ACD的面積為〔〕 A．a(chǎn) B． C． D．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)．分析：首先證明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性質(zhì)可得：△ACD的面積：△ABC的面積為1：4，因為△ABD的面積為a，進而求出△ACD的面積．解答：解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，∴△ACD∽△BCA，∵AB=4，AD=2，∴△ACD的面積：△ABC的面積為1：4，∴△ACD的面積：△ABD的面積=1：3，∵△ABD的面積為a，∴△ACD的面積為a，應選C．點評：此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)：相似三角形的面積比等于相似比的平方，是中考常見題型．9、〔2023菏澤〕如圖，邊長為6的大正方形中有兩個小正方形，假設兩個小正方形的面積分別為S1，S2，那么S1+S2的值為〔〕 A．16 B．17 C．18 D．19考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．專題：計算題．分析：由圖可得，S1的邊長為3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=；然后，分別算出S1、S2的面積，即可解答．解答：解：如圖，設正方形S2的邊長為x，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)知，AC=x，x=CD，∴AC=2CD，CD==2，∴EC2=22+22，即EC=；∴S2的面積為EC2==8；∵S1的邊長為3，S1的面積為3×3=9，∴S1+S2=8+9=17．應選B．點評：此題考查了正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)，考查了學生的讀圖能力．10、〔2023?孝感〕如圖，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b〔a＞b〕．在△ABC內(nèi)依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．那么EF等于〔〕A．B．C．D．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)．分析：依次判定△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例的知識，可得出EF的長度．解答：解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵∠CBD=∠A，∴△ABC∽△BDC，同理可得：△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，∴=，=，=，解得：CD=，DE=，EF=．應選C．點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，此題中相似三角形比較容易找到，難點在于根據(jù)對應邊成比例求解線段的長度，注意仔細對應，不要出錯．11、〔2023?宜昌〕如圖，點A，B，C，D的坐標分別是〔1，7〕，〔1，1〕，〔4，1〕，〔6，1〕，以C，D，E為頂點的三角形與△ABC相似，那么點E的坐標不可能是〔〕A．〔6，0〕B．〔6，3〕C．〔6，5〕D．〔4，2〕考點：相似三角形的性質(zhì)；坐標與圖形性質(zhì)．分析：根據(jù)相似三角形的判定：兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似即可判斷．解答：解：△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．A、當點E的坐標為〔6，0〕時，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，那么AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC，故本選項不符合題意；B、當點E的坐標為〔6，3〕時，∠CDE=90°，CD=2，DE=2，那么AB：BC≠CD：DE，△CDE與△ABC不相似，故本選項符合題意；C、當點E的坐標為〔6，5〕時，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，那么AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC，故本選項不符合題意；D、當點E的坐標為〔4，2〕時，∠ECD=90°，CD=2，CE=1，那么AB：BC=CD：CE，△DCE∽△ABC，故本選項不符合題意；應選B．點評：此題考查了相似三角形的判定，難度中等．牢記判定定理是解題的關鍵．12、〔2023?咸寧〕如圖，正方形ABCD是一塊綠化帶，其中陰影局部EOFB，GHMN都是正方形的花圃．自由飛翔的小鳥，將隨機落在這塊綠化帶上，那么小鳥在花圃上的概率為〔〕A．B．C．D．考點：相似三角形的應用；正方形的性質(zhì)；幾何概率．分析：求得陰影局部的面積與正方形ABCD的面積的比即可求得小鳥在花圃上的概率；解答：解：設正方形的ABCD的邊長為a，那么BF=BC=，AN=NM=MC=a，∴陰影局部的面積為〔〕2+〔a〕2=a2，∴小鳥在花圃上的概率為=應選C．點評：此題考查了正方形的性質(zhì)及幾何概率，關鍵是表示出大正方形的邊長，從而表示出兩個陰影正方形的邊長，最后表示出面積．13、〔2023?恩施州〕如下列圖，在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，E為OD的中點，連接AE并延長交DC于點F，那么DF：FC=〔〕A．1：4B．1：3C．2：3D．1：2考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．分析：首先證明△DFE∽△BAE，然后利用對應變成比例，E為OD的中點，求出DF：AB的值，又知AB=DC，即可得出DF：FC的值．解答：解：在平行四邊形ABCD中，AB∥DC，那么△DFE∽△BAE，∴=，∵O為對角線的交點，∴DO=BO，又∵E為OD的中點，∴DE=DB，那么DE：EB=1：3，∴DF：AB=1：3，∵DC=AB，∴DF：DC=1：3，∴DF：FC=1：2．應選D．點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，難度適中，解答此題的關鍵是根據(jù)平行證明△DFE∽△BAE，然后根據(jù)對應邊成比例求值．14、〔9-2圖形的相似·2023東營中考〕如果一個直角三角形的兩條邊長分別是6和8，另一個與它相似的直角三角形邊長分別是3、4及x，那么x的值〔〕A.只有1個 B.可以有2個C.可以有3個 D.有無數(shù)個10.B.解析：當直角邊為6，8時，且另一個與它相似的直角三角形3，4也為直角邊時，x的值為5，當8，4為對應邊且為直角三角形的斜邊時，x的值為，故x的值可以為5或.兩種情況。15、〔2023?鄂州〕如圖，Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于點D，假設BD：CD=3：2，那么tanB=〔〕A．B．C．D．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義．分析：首先證明△ABD∽△ACD，然后根據(jù)BD：CD=3：2，設BD=3x，CD=2x，利用對應邊成比例表示出AD的值，繼而可得出tanB的值．解答：解：在Rt△ABC中，∵AD⊥BC于點D，∴∠ADB=∠CDA，∵∠B+∠BAD=90°，∠BAD+DAC=90°，∴∠B=∠DAC，∴△ABD∽△ACD，∴=，∵BD：CD=3：2，設BD=3x，CD=2x，∴AD==x，那么tanB===．應選D．點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義，難度一般，解答此題的關鍵是根據(jù)垂直證明三角形的相似，根據(jù)對應變成比例求邊長．16、〔2023?綏化〕如圖，點A，B，C，D為⊙O上的四個點，AC平分∠BAD，AC交BD于點E，CE=4，CD=6，那么AE的長為〔〕A．4B．5C．6D．7考點：圓周角定理；圓心角、弧、弦的關系；相似三角形的判定與性質(zhì)．分析：根據(jù)圓周角定理∠CAD=∠CDB，繼而證明△ACD∽△DCE，設AE=x，那么AC=x+4，利用對應邊成比例，可求出x的值．解答：解：設AE=x，那么AC=x+4，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD，∵∠CDB=∠BAC〔圓周角定理〕，∴∠CAD=∠CDB，∴△ACD∽△DCE，∴=，即=，解得：x=5．應選B．點評：此題考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，解答此題的關鍵是得出∠CAD=∠CDB，證明△ACD∽△DCE．17、〔2023?牡丹江〕如圖，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N，P為BC邊的中點，連接PM，PN，那么以下結論：①PM=PN；②；③△PMN為等邊三角形；④當∠ABC=45°時，BN=PC．其中正確的個數(shù)是〔〕A．1個B．2個C．3個D．4個考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定；直角三角形斜邊上的中線．分析：根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可判斷①正確；先證明△ABM∽△ACN，再根據(jù)相似三角形的對應邊成比例可判斷②正確；先根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)求出∠ABM=∠ACN=30°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠BPN+∠CPM=120°，從而得到∠MPN=60°，又由①得PM=PN，根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形可判斷③正確；當∠ABC=45°時，∠BCN=45°，由P為BC邊的中點，得出BN=PB=PC，判斷④正確．解答：解：①∵BM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N，P為BC邊的中點，∴PM=BC，PN=BC，∴PM=PN，正確；②在△ABM與△ACN中，∵∠A=∠A，∠AMB=∠ANC=90°，∴△ABM∽△ACN，∴，正確；③∵∠A=60°，BM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N，∴∠ABM=∠ACN=30°，在△ABC中，∠BCN+∠CBM═180°﹣60°﹣30°×2=60°，∵點P是BC的中點，BM⊥AC，CN⊥AB，∴PM=PN=PB=PC，∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，∴∠BPN+∠CPM=2〔∠BCN+∠CBM〕=2×60°=120°，∴∠MPN=60°，∴△PMN是等邊三角形，正確；④當∠ABC=45°時，∵CN⊥AB于點N，∴∠BNC=90°，∠BCN=45°，∴BN=CN，∵P為BC邊的中點，∴PN⊥BC，△BPN為等腰直角三角形∴BN=PB=PC，正確．應選D．點評：此題主要考查了直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，相似三角形、等邊三角形、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，仔細分析圖形并熟練掌握性質(zhì)是解題的關鍵．18、〔2023哈爾濱〕如圖，在△ABC中，M、N分別是邊AB、AC的中點，那么△AMN的面積與四邊形MBCN的面積比為()．(A)(B)(C)(D)考點：相似三角形的性質(zhì)。，三角形的中位線分析：利用相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵解答：由MN是三角形的中位線，2MN=BC,MN∥BC∴△ABC∽△AMN∴三角形的相似比是2：1，∴△ABC與△AMN的面積之比為4：1．，那么△AMN的面積與四邊形MBCN的面積比為,應選B19、〔2023年河北〕如圖4，菱形ABCD中，點M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB.假設NF=NM=2，ME=3，那么AN= A．3 B．4 C．5 D．6答案：B解析：由△AFN∽△AEM，得：，即，解得：AN＝4，選B。20、〔2023?白銀〕如圖，路燈距離地面8米，身高1.6米的小明站在距離燈的底部〔點O〕20米的A處，那么小明的影子AM長為5米．考點：相似三角形的應用．分析：易得：△ABM∽△OCM，利用相似三角形的相似比可得出小明的影長．解答：解：根據(jù)題意，易得△MBA∽△MCO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知=，即=，解得AM=5m．那么小明的影長為5米．點評：此題只要是把實際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比可得出小明的影長．21、〔2023?牡丹江〕如圖，在△ABC中，D是AB邊上的一點，連接CD，請?zhí)砑右粋€適當?shù)臈l件∠ACD=∠ABC〔答案不唯一〕，使△ABC∽△ACD．〔只填一個即可〕考點：相似三角形的判定．專題：開放型．分析：相似三角形的判定有三種方法：①三邊法：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似；②兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；③兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似．由此可得出可添加的條件．解答：解：由題意得，∠A=∠A〔公共角〕，那么可添加：∠ACD=∠ABC，利用兩角法可判定△ABC∽△ACD．故答案可為：∠ACD=∠ABC．點評：此題考查了相似三角形的判定，解答此題的關鍵是熟練掌握三角形相似的三種判定方法，此題答案不唯一．22、〔2023?巴中〕如圖，小明在打網(wǎng)球時，使球恰好能打過網(wǎng)，而且落在離網(wǎng)4米的位置上，那么球拍擊球的高度h為1.5米．考點：相似三角形的應用．分析：根據(jù)球網(wǎng)和擊球時球拍的垂直線段平行即DE∥BC可知，△ADE∽△ACB，根據(jù)其相似比即可求解．解答：解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，即=，那么=，∴h=1.5m．故答案為：1.5米．點評：此題考查了相似三角形在測量高度時的應用，解題時關鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應邊成比例列出方程，建立適當?shù)臄?shù)學模型來解決問題．23、〔2023?黔東南州〕將一副三角尺如下列圖疊放在一起，那么的值是．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)．分析：由∠BAC=∠ACD=90°，可得AB∥CD，即可證得△ABE∽△DCE，然后由相似三角形的對應邊成比例，可得：，然后利用三角函數(shù)，用AC表示出AB與CD，即可求得答案．解答：解：∵∠BAC=∠ACD=90°，∴AB∥CD，∴△ABE∽△DCE，∴，∵在Rt△ACB中∠B=45°，∴AB=AC，∵在RtACD中，∠D=30°，∴CD==AC，∴==．故答案為：．點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)與三角函數(shù)的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．24、〔2023臺灣、33〕如圖，將一張三角形紙片沿虛線剪成甲、乙、丙三塊，其中甲、丙為梯形，乙為三角形．根據(jù)圖中標示的邊長數(shù)據(jù)，比較甲、乙、丙的面積大小，以下判斷何者正確？〔〕A．甲＞乙，乙＞丙 B．甲＞乙，乙＜丙 C．甲＜乙，乙＞丙 D．甲＜乙，乙＜丙考點：相似三角形的判定與性質(zhì)．分析：首先過點B作BH⊥GF于點H，那么S乙=AB?AC，易證得△ABC∽△DBE，△GBH∽△BCA，可求得GF，DB，DE，DF的長，繼而求得答案．解答：解：如圖：過點B作BH⊥GF于點H，那么S乙=AB?AC，∵AC∥DE，∴△ABC∽△DBE，∴，∵BC=7，CE=3，∴DE=AC，DB=AB，∴AD=BD﹣BA=AB，∴S丙=〔AC+DE〕?AD=AB?AC，∵A∥GF，BH⊥GF，AC⊥AB，∴BH∥AC，∴四邊形BDFH是矩形，∴BH=DF，F(xiàn)H=BD=AB，∴△GBH∽△BCA，∴，∵GB=2，BC=7，∴GH=AB，BHAC，∴DF=AC，GF=GH+FH=AB，∴S甲=〔BD+GF〕?DF=AB?AC，∴甲＜乙，乙＜丙．應選D．點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角梯形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．25、〔13年北京4分5〕如圖，為估算某河的寬度，在河對岸邊選定一個目標點A，在近岸取點B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，點E在BC上，并且點A，E，D在同一條直線上。假設測得BE=20m，EC=10m，CD=20m，那么河的寬度AB等于A.60mB.40mC.30mD.20m答案：B解析：由△EAB∽△EDC，得：，即，解得：AB＝4026、〔2023?牡丹江〕勞技課上小敏拿出了一個腰長為8厘米，底邊為6厘米的等腰三角形，她想用這個等腰三角形加工成一個邊長比是1：2的平行四邊形，平行四邊形的一個內(nèi)角恰好是這個等腰三角形的底角，平行四邊形的其它頂點均在三角形的邊上，那么這個平行四邊形的較短的邊長為2.4cm或cm．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．專題：分類討論．分析：設平行四邊形的短邊為xcm，分兩種情況進行討論，①假設BE是平行四邊形的一個短邊，②假設BD是平行四邊形的一個短邊，利用三角形相似的性質(zhì)求出x的值．解答：解：如圖AB=AC=8cm，BC=6cm，設平行四邊形的短邊為xcm，①假設BE是平行四邊形的一個短邊，那么EF∥BC，=，解得x=2.4厘米，②假設BD是平行四邊形的一個短邊，那么EF∥AB，=，解得x=cm，綜上所述短邊為2.4cm或cm．點評：此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，解答此題的關鍵是正確的畫出圖形，結合圖形很容易解答．27、〔2023?眉山〕如圖，△ABC中，E、F分別是AB、AC上的兩點，且，假設△AEF的面積為2，那么四邊形EBCF的面積為16．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)．分析：根據(jù)題意可判定△AEF∽△ABC，利用面積比等于相似比平方可得出△ABC的面積，繼而根據(jù)S四邊形EBCF=S△ABC﹣S△AEF，即可得出答案．解答：解：∵，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴=〔〕2=〔〕2=，∴S△ABC=18，那么S四邊形EBCF=S△ABC﹣S△AEF=18﹣2=16．故答案為：16．點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解答此題的關鍵是證明△AEF∽△ABC，要求同學們熟練掌握相似三角形的面積比等于相似比平方．28、〔2023?六盤水〕如圖，添加一個條件：∠ADE=∠ACB〔答案不唯一〕，使△ADE∽△ACB，〔寫出一個即可〕考點：相似三角形的判定．專題：開放型．分析：相似三角形的判定有三種方法：①三邊法：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似；②兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；③兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似．由此可得出可添加的條件．解答：解：由題意得，∠A=∠A〔公共角〕，那么可添加：∠ADE=∠ACB，利用兩角法可判定△ADE∽△ACB．故答案可為：∠ADE=∠ACB．點評：此題考查了相似三角形的判定，解答此題的關鍵是熟練掌握三角形相似的三種判定方法，此題答案不唯一．29、〔2023?蘇州〕如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是邊長為2的正方形，頂點A、C分別在x，y軸的正半軸上．點Q在對角線OB上，且QO=OC，連接CQ并延長CQ交邊AB于點P．那么點P的坐標為〔2，4﹣2〕．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；坐標與圖形性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．分析：根據(jù)正方形的對角線等于邊長的倍求出OB，再求出BQ，然后求出△BPQ和△OCQ相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求出BP的長，再求出AP，即可得到點P的坐標．解答：解：∵四邊形OABC是邊長為2的正方形，∴OA=OC=2，OB=2，∵QO=OC，∴BQ=OB﹣OQ=2﹣2，∵正方形OABC的邊AB∥OC，∴△BPQ∽△OCQ，∴=，即=，解得BP=2﹣2，∴AP=AB﹣BP=2﹣〔2﹣2〕=4﹣2，∴點P的坐標為〔2，4﹣2〕．故答案為：〔2，4﹣2〕．點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的對角線等于邊長的倍的性質(zhì)，以及坐標與圖形的性質(zhì)，比較簡單，利用相似三角形的對應邊成比例求出BP的長是解題的關鍵．30、〔2023?眉山〕如圖，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，點D、E為BC邊上的兩點，且∠DAE=45°，連接EF、BF，那么以下結論：①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC＞DE；④BE2+DC2=DE2，其中正確的有〔〕個．A．1B．2C．3D．4考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．分析：根據(jù)∠DAF=90°，∠DAE=45°，得出∠FAE=45°，利用SAS證明△AED≌△AEF，判定①正確；如果△ABE∽△ACD，那么∠BAE=∠CAD，由∠ABE=∠C=45°，那么∠AED=∠ADE，AD=AE，而由不能得出此條件，判定②錯誤；先由∠BAC=∠DAF=90°，得出∠CAD=∠BAF，再利用SAS證明△ACD≌△ABF，得出CD=BF，又①知DE=EF，那么在△BEF中根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊可得BE+BF＞EF，等量代換后判定③正確；先由△ACD≌△ABF，得出∠C=∠ABF=45°，進而得出∠EBF=90°，然后在Rt△BEF中，運用勾股定理得出BE2+BF2=EF2，等量代換后判定④正確．解答：解：①∵∠DAF=90°，∠DAE=45°，∴∠FAE=∠DAF﹣∠DAE=45°．在△AED與△AEF中，，∴△AED≌△AEF〔SAS〕，①正確；②∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABE=∠C=45°．∵點D、E為BC邊上的兩點，∠DAE=45°，∴AD與AE不一定相等，∠AED與∠ADE不一定相等，∵∠AED=45°+∠BAE，∠ADE=45°+∠CAD，∴∠BAE與∠CAD不一定相等，∴△ABE與△ACD不一定相似，②錯誤；③∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAC﹣∠BAD=∠DAF﹣∠BAD，即∠CAD=∠BAF．在△ACD與△ABF中，，∴△ACD≌△ABF〔SAS〕，∴CD=BF，由①知△AED≌△AEF，∴DE=EF．在△BEF中，∵BE+BF＞EF，∴BE+DC＞DE，③正確；④由③知△ACD≌△ABF，∴∠C=∠ABF=45°，∵∠ABE=45°，∴∠EBF=∠ABE+∠ABF=90°．在Rt△BEF中，由勾股定理，得BE2+BF2=EF2，∵BF=DC，EF=DE，∴BE2+DC2=DE2，④正確．所以正確的結論有①③④．應選C．點評：此題考查了勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角直角三角形的性質(zhì)，三角形三邊關系定理，相似三角形的判定，此題涉及的知識面比較廣，解題時要注意仔細分析，有一定難度．31、〔2023?天津〕如圖，在邊長為9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，那么AE的長為7．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．分析：先根據(jù)邊長為9，BD=3，求出CD的長度，然后根據(jù)∠ADE=60°和等邊三角形的性質(zhì)，證明△ABD∽△DCE，進而根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，求得CE的長度，即可求出AE的長度．解答：解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC；∴CD=BC﹣BD=9﹣3=6；∴∠BAD+∠ADB=120°∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=120°，∴∠DAB=∠EDC，又∵∠B=∠C=60°，∴△ABD∽△DCE，那么=，即=，解得：CE=2，故AE=AC﹣CE=9﹣2=7．故答案為：7．點評：此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證得△ABD∽△DCE是解答此題的關鍵．32、〔2023安順〕在平行四邊形ABCD中，E在DC上，假設DE：EC=1：2，那么BF：BE=．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．分析：由題可知△ABF∽△CEF，然后根據(jù)相似比求解．解答：解：∵DE：EC=1：2∴EC：CD=2：3即EC：AB=2：3∵AB∥CD，∴△ABF∽△CEF，∴BF：EF=AB：EC=3：2．∴BF：BE=3：5．點評：此題主要考查了平行四邊形、相似三角形的性質(zhì)．33、〔2023?欽州〕如圖，DE是△ABC的中位線，那么△ADE與△ABC的面積的比是1：4．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理．分析：由中位線可知DE∥BC，且DE=BC；可得△ADE∽△ABC，相似比為1：2；根據(jù)相似三角形的面積比是相似比的平方，即得結果．解答：解：∵DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，且DE=BC，∴△ADE∽△ABC，相似比為1：2，∵相似三角形的面積比是相似比的平方，∴△ADE與△ABC的面積的比為1：4〔或〕．點評：此題要熟悉中位線的性質(zhì)及相似三角形的判定及性質(zhì)，牢記相似三角形的面積比是相似比的平方．34、〔13年安徽省4分、13〕如圖，P為平行四邊形ABCD邊AD上一點，E、F分別為PB、PC的中點，ΔPEF、ΔPDC、ΔPAB的面積分別為S、S1、S2。假設S=2，那么S1+S2=35、〔2023?寧夏〕△ABC中，D、E分別是邊AB與AC的中點，BC=4，下面四個結論：①DE=2；②△ADE∽△ABC；③△ADE的面積與△ABC的面積之比為1：4；④△ADE的周長與△ABC的周長之比為1：4；其中正確的有①②③．〔只填序號〕考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理．分析：根據(jù)題意做出圖形，點D、E分別是AB、AC的中點，可得DE∥BC，DE=BC=2，那么可證得△ADE∽△ABC，由相似三角形面積比等于相似比的平方，證得△ADE的面積與△ABC的面積之比為1：4，然后由三角形的周長比等于相似比，證得△ADE的周長與△ABC的周長之比為1：2，選出正確的結論即可．解答：解：∵在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，∴DE∥BC，DE=BC=2，∴△ADE∽△ABC，故①②正確；∵△ADE∽△ABC，=，∴△ADE的面積與△ABC的面積之比為1：4，△ADE的周長與△ABC的周長之比為1：2，故③正確，④錯誤．故答案為：①②③．點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì)，難度不大，注意掌握數(shù)形結合思想的應用，要求同學們掌握相似三角形的周長之比等于相似比，面積比等于相似比的平方．36、〔2023年濰坊市〕如圖，直角三角形中，，，，在線段上取一點，作交于點.現(xiàn)將沿折疊，使點落在線段上，對應點記為；的中點的對應點記為.假設∽，那么=__________.答案：3.2解：∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，∴AC=AB2-BC2=102-62=8，設AD=2x，∵點E為AD的中點，將△ADF沿DF折疊，點A對應點記為A1，點E的對應點為E1，∴AE=DE=DE1=A1E1=x，∵DF⊥AB，∠ACB=90°，∠A=∠A，∴△ABC∽△AFD，∴AD：AC=DF：BC，即2x：8=DF：6，解得DF=1.5x，在Rt△DE1F中，E1F2=DF2+DE12=3.25x2，又∵BE1=AB-AE1=10-3x，△E1FA1∽△E1BF，∴E1F:A1E1=BE1:E1F，∴E1F2=A1E1?BE1，即3.25x2=x〔10-3x〕，解得x=1.6，∴AD的長為2×1.6=3.2．考點：此題是一道綜合性難題，主要考查軸對稱變換，折疊，勾股定理，相似三角形的對應邊成比例.點評：利用勾股定理列式求出AC，設AD=2x，得到AE=DE=DE1=A1E1=x，然后求出BE1，再利用相似三角形對應邊成比例列式求出DF，然后利用勾股定理列式求出E1F，然后根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求解得到x的值，從而可得AD的值．37、〔2023?益陽〕如圖，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求證：△ABD∽△CBE．考點：相似三角形的判定．專題：證明題．分析：根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AD⊥BC，然后求出∠ADB=∠CEB=90°，再根據(jù)兩組角對應相等的兩個三角形相似證明．解答：證明：在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBE．點評：此題考查了相似三角形的判定，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，比較簡單，確定出兩組對應相等的角是解題的關鍵．38、〔2023年佛山市〕網(wǎng)格圖中每個方格都是邊長為1的正方形．AABCDEF第17題圖假設A，B，C，D，E，F(xiàn)都是格點，試說明△ABC∽△DEF．分析：利用圖形與勾股定理可以推知圖中兩個三角形的三條對應邊成比例，由此可以證得△ABC∽△DEF．解：證明：∵AC=，BC==，AB=4，DF==2，EF==2，ED=8，∴===2，∴△ABC∽△DEF．點評：此題考查了相似三角形的判定、勾股定理．相似三角形相似的判定方法有：〔1〕平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似；這是判定三角形相似的一種根本方法．相似的根本圖形可分別記為“A〞型和“X〞型，如下列圖在應用時要善于從復雜的圖形中抽象出這些根本圖形；〔2〕三邊法：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似；〔3〕兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；〔4〕兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似．39、〔2023成都市〕如圖，點Ｂ在線段AC上，點D,E在AC同側(cè)，，，AD=BC.〔1〕求證：AC=AD+CE;〔2〕假設AD=3,CE=5，點P為線段AB上的動點，連接DP，作，交直線BE于點Q.i)假設點P與A,B兩點不重合，求的值；ii)當點P從A點運動到AC的中點時，求線段DQ的中點所經(jīng)過的路徑〔線段〕長?！仓苯訉懗鼋Y果，不必寫出解答〕。解析：〔1〕證明：∠A=∠C=90°DB⊥BE有∠ADB+∠ABD=90°以及∠ABD+∠EBC=90°∴∠ADB=∠EBC又AD=BC∴Rt△ADB≌Rt△EBC?AB=EC∴AC=AB+BC=EC+AD〔2〕ⅰ〕連結DQ,∠DPQ=∠DBQ=90°,∴D,PB,Q四點共圓.且DQ為該圓直徑，那么就有∠DQP=∠DBP∴Rt△DPQ∽Rt△DABⅱ)P到AC中點時，AP=4，AD=3，由勾股定理得DP=5由?.又∴即為中點運動軌跡。40、〔2023?巴中〕如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點，且∠AFE=∠B〔1〕求證：△ADF∽△DEC；〔2〕假設AB=8，AD=6，AF=4，求AE的長．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)．分析：〔1〕利用對應兩角相等，證明兩個三角形相似△ADF∽△DEC；〔2〕利用△ADF∽△DEC，可以求出線段DE的長度；然后在在Rt△ADE中，利用勾股定理求出線段AE的長度．解答：〔1〕證明：∵?ABCD，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C．在△ADF與△DEC中，∴△ADF∽△DEC．〔2〕解：∵?ABCD，∴CD=AB=8．由〔1〕知△ADF∽△DEC，∴，∴DE===12．在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE===6．點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理三個知識點．題目難度不大，注意仔細分析題意，認真計算，防止出錯．41、〔2023?徐州〕如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使點C落在斜邊AB上某一點D處，折痕為EF〔點E、F分別在邊AC、BC上〕〔1〕假設△CEF與△ABC相似．①當AC=BC=2時，AD的長為；②當AC=3，BC=4時，AD的長為1.8或2.5；〔2〕當點D是AB的中點時，△CEF與△ABC相似嗎？請說明理由．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；翻折變換〔折疊問題〕．分析：〔1〕假設△CEF與△ABC相似．①當AC=BC=2時，△ABC為等腰直角三角形；②當AC=3，BC=4時，分兩種情況：〔I〕假設CE：CF=3：4，如答圖2所示，此時EF∥AB，CD為AB邊上的高；〔II〕假設CF：CE=3：4，如答圖3所示．由相似三角形角之間的關系，可以推出∠A=∠ECD與∠B=∠FCD，從而得到CD=AD=BD，即D點為AB的中點；〔2〕當點D是AB的中點時，△CEF與△ABC相似．可以推出∠CFE=∠A，∠C=∠C，從而可以證明兩個三角形相似．解答：解：〔1〕假設△CEF與△ABC相似．①當AC=BC=2時，△ABC為等腰直角三角形，如答圖1所示．此時D為AB邊中點，AD=AC=．②當AC=3，BC=4時，有兩種情況：〔I〕假設CE：CF=3：4，如答圖2所示．∵CE：CF=AC：BC，∴EF∥BC．由折疊性質(zhì)可知，CD⊥EF，∴CD⊥AB，即此時CD為AB邊上的高．在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∴BC=5，∴cosA=．AD=AC?cosA=3×=1.8；〔II〕假設CF：CE=3：4，如答圖3所示．∵△CEF∽△CAB，∴∠CEF=∠B．由折疊性質(zhì)可知，∠CEF+∠ECD=90°，又∵∠A+∠B=90°，∴∠A=∠ECD，∴AD=CD．同理可得：∠B=∠FCD，CD=BD，∴此時AD=AB=×5=2.5．綜上所述，當AC=3，BC=4時，AD的長為1.8或2.5．〔2〕當點D是AB的中點時，△CEF與△ABC相似．理由如下：如答圖3所示，連接CD，與EF交于點Q．∵CD是Rt△ABC的中線，∴CD=DB=AB，∴∠DCB=∠B．由折疊性質(zhì)可知，∠CQF=∠DQF=90°，∴∠DCB+∠CFE=90°，∵∠B+∠A=90°，∴∠CFE=∠A，又∵∠C=∠C，∴△CEF∽△CBA．點評：此題是幾何綜合題，考查了幾何圖形折疊問題和相似三角形的判定與性質(zhì)．第〔1〕②問需要分兩種情況分別計算，此處容易漏解，需要引起注意．42、〔2023?濱州〕某高中學校為高一新生設計的學生板凳的正面視圖如下列圖，其中BA=CD，BC=20cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距離分別為40cm、8cm．為使板凳兩腿底端A、D之間的距離為50cm，那么橫梁EF應為多長？〔材質(zhì)及其厚度等暫忽略不計〕．考點：相似三角形的應用；等腰梯形的性質(zhì)．分析：根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，可得AH=DG，EM=NF，先求出AH、GD的長度，再由△BEM∽△BAH，可得出EM，繼而得出EF的長度．解答：解：由題意得，MH=8cm，BH=40cm，那么BM=32cm，∵四邊形ABCD是等腰梯形，AD=50cm，BC=20cm，∴AH=〔AD﹣BC〕=15cm．∵EF∥CD，∵△BEM∽△BAH，∴=，即=，解得：EM=12，故EF=EM+NF+BC=2EM+BC=44cm．答：橫梁EF應為44cm．點評：此題考查了相似三角形的應用及等腰梯形的性質(zhì)，解答此題的關鍵是熟練掌握等腰梯形的性質(zhì)，這些是需要我們熟練記憶的內(nèi)容．43、〔2023?眉山〕在矩形ABCD中，DC=2，CF⊥BD分別交BD、AD于點E、F，連接BF．〔1〕求證：△DEC∽△FDC；〔2〕當F為AD的中點時，求sin∠FBD的值及BC的長度．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；解直角三角形．分析：〔1〕根據(jù)題意可得∠DEC=∠FDC，利用兩角法即可進行相似的判定；〔2〕根據(jù)F為AD的中點，可得FB=FC，根據(jù)AD∥BC，可得FE：EC=FD：BC=1：2，再由sin∠FBD=EF：BF=EF：FC，即可得出答案，設EF=x，那么EC=2x，利用〔1〕的結論求出x，在Rt△CFD中求出FD，繼而得出BC．解答：解：〔1〕∵∠DEC=∠FDC=90°，∠DCE=∠FCD，∴△DEC∽△FDC．〔2〕∵F為AD的中點，AD∥BC，∴FE：EC=FD：BC=1：2，F(xiàn)B=FC，∴FE：FC=1：3，∴sin∠FBD=EF：BF=EF：FC=；設EF=x，那么FC=3x，∵△DEC∽△FDC，∴=，即可得：6x2=12，解得：x=，那么CF=3，在Rt△CFD中，DF==，∴BC=2DF=2．點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解答此題的關鍵是掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的性質(zhì)：對應邊成比例．44、〔2023?株洲〕在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．點Q是線段AC上的一個動點，過點Q作AC的垂線交線段AB〔如圖1〕或線段AB的延長線〔如圖2〕于點P．〔1〕當點P在線段AB上時，求證：△APQ∽△ABC；〔2〕當△PQB為等腰三角形時，求AP的長．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理．分析：〔1〕由兩對角相等〔∠APQ=∠C，∠A=∠A〕，證明△APQ∽△ABC；〔2〕當△PQB為等腰三角形時，有兩種情況，需要分類討論．〔I〕當點P在線段AB上時，如題圖1所示．由三角形相似〔△APQ∽△ABC〕關系計算AP的長；〔II〕當點P在線段AB的延長線上時，如題圖2所示．利用角之間的關系，證明點B為線段AP的中點，從而可以求出AP．解答：〔1〕證明：∵∠A+∠APQ=90°，∠A+∠C=90°，∴∠APQ=∠C．在△APQ與△ABC中，∵∠APQ=∠C，∠A=∠A，∴△APQ∽△ABC．〔2〕解：在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5．∵∠BPQ為鈍角，∴當△PQB為等腰三角形時，只可能是PB=PQ．〔I〕當點P在線段AB上時，如題圖1所示．由〔1〕可知，△APQ∽△ABC，∴，即，解得：PB=，∴AP=AB﹣PB=3﹣=；〔II〕當點P在線段AB的延長線上時，如題圖2所示．∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P，∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，∴∠AQB=∠A，∴BQ=AB，∴AB=BP，點B為線段AB中點，∴AP=2AB=2×3=6．綜上所述，當△PQB為等腰三角形時，AP的長為或6．點評：此題考查相似三角形及分類討論的數(shù)學思想，難度不大．第〔2〕問中，當△PQB為等腰三角形時，有兩種情況，需要分類討論，防止漏解．考點：相似形綜合題．專題：綜合題．分析：〔1〕如圖1，過A作AE垂直于BC，在直角三角形ABE中，由∠B=45°，AB=x，利用銳角三角函數(shù)定義表示出AE，三角形PAD的面積以AD為底，AE為高，利用三角形面積公式表示出，根據(jù)的面積即可列出y與x的函數(shù)關系式；〔2〕根據(jù)∠APC=∠APD+∠CPD，以及∠APC為三角形ABP的外角，利用外角性質(zhì)得到關系式，等量代換得到∠BAP=∠CPD，再由四邊形ABCD為等腰梯形，得到一對底角相等及AB=CD，可得出三角形ABP與三角形PDC相似，由相似得比例，將CD換為AB，由y的值求出x的值，即為AB的值，即可求出PB?PC的值；45、〔2023福省福州21〕如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，P是BC邊上一點，△PAD的面積為，設AB=x，AD=y〔1〕求y與x的函數(shù)關系式；〔2〕假設∠APD=45°，當y=1時，求PB?PC的值；〔3〕假設∠APD=90°，求y的最小值．〔3〕取AD的中點F，過P作PH垂直于AD，由直角三角形PF大于等于PH，當PF=PH時，PF最小，此時F與H重合，由三角形APD為直角三角形，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到PF等于AD的一半，表示出PF即為PH，三角形APD面積以AD為底，PH為高，利用三角形面積公式表示出三角形APD面積，由的面積求出y的值，即為最小值．解答：解：〔1〕如圖1，過A作AE⊥BC于點E，在Rt△ABE中，∠B=45°，AB=x，∴AE=AB?sinB=x，∵S△APD=AD?AE=，∴?y?x=，那么y=；〔2〕∵∠APC=∠APD+∠CPD=∠B+∠BAP，∠APD=∠B=45°，∴∠BAP=∠CPD，∵四邊形ABCD為等腰梯形，∴∠B=∠C，AB=CD，∴△ABP∽△PCD，∴=，∴PB?PC=AB?DC=AB2，當y=1時，x=，即AB=，那么PB?PC=〔〕2=2；〔3〕如圖2，取AD的中點F，連接PF，過P作PH⊥AD，可得PF≥PH，當PF=PH時，PF有最小值，∵∠APD=90°，∴PF=AD=y，∴PH=y，∵S△APD=?AD?PH=，∴?y?y=，即y2=2，∵y＞0，∴y=，那么y的最小值為．點評：此題考查了相似形綜合題，涉及的知識有：等腰梯形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，以及三角形的面積求法，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解此題的關鍵．46、〔2023?蘇州〕如圖，點P是菱形ABCD對角線AC上的一點，連接DP并延長DP交邊AB于點E，連接BP并延長交邊AD于點F，交CD的延長線于點G．〔1〕求證：△APB≌△APD；〔2〕DF：FA=1：2，設線段DP的長為x，線段PF的長為y．①求y與x的函數(shù)關系式；②當x=6時，求線段FG的長．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)．分析：〔1〕根據(jù)菱形的性質(zhì)得出∠DAP=∠PAB，AD=AB，再利用全等三角形的判定得出△APB≌△APD；〔2〕①首先證明△DFP≌△BEP，進而得出=，=，進而得出=，即=，即可得出答案；②根據(jù)①中所求得出PF=PE=4，DP=PB=6，進而得出==，求出即可．解答：〔1〕證明：∵點P是菱形ABCD對角線AC上的一點，∴∠DAP=∠PAB，AD=AB，∵在△APB和△APD中，∴△APB≌△APD〔SAS〕；〔2〕解：①∵△APB≌△APD，∴DP=PB，∠ADP=∠ABP，∵在△DFP和△BEP中，，∴△DFP≌△BEP〔ASA〕，∴PF=PE，DF=BE，∵GD∥AB，∴=，∵DF：FA=1：2，∴=，=，∴=，∵=，即=，∴y=x；②當x=6時，y=×6=4，∴PF=PE=4，DP=PB=6，∵==，∴=，解得：FG=5，故線段FG的長為5．點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)平行關系得出=，=是解題關鍵．47、〔2023?衢州〕【提出問題】〔1〕如圖1，在等邊△ABC中，點M是BC上的任意一點〔不含端點B、C〕，連結AM，以AM為邊作等邊△AMN，連結CN．求證：∠ABC=∠ACN．【類比探究】〔2〕如圖2，在等邊△ABC中，點M是BC延長線上的任意一點〔不含端點C〕，其它條件不變，〔1〕中結論∠ABC=∠ACN還成立嗎？請說明理由．【拓展延伸】〔3〕如圖3，在等腰△ABC中，BA=BC，點M是BC上的任意一點〔不含端點B、C〕，連結AM，以AM為邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN=∠ABC．連結CN．試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關系，并說明理由．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．分析：〔1〕利用SAS可證明△BAM≌△CAN，繼而得出結論；〔2〕也可以通過證明△BAM≌△CAN，得出結論，和〔1〕的思路完全一樣．〔3〕首先得出∠BAC=∠MAN，從而判定△ABC∽△AMN，得到=，根據(jù)∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，得到∠BAM=∠CAN，從而判定△BAM∽△CAN，得出結論．解答：〔1〕證明：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN，∵在△BAM和△CAN中，∴△BAM≌△CAN〔SAS〕，∴∠ABC=∠ACN．〔2〕解：結論∠ABC=∠ACN仍成立．理由如下：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN，∵在△BAM和△CAN中，∴△BAM≌△CAN〔SAS〕，∴∠ABC=∠ACN．〔3〕解：∠ABC=∠ACN．理由如下：∵BA=BC，MA=MN，頂角∠ABC=∠AMN，∴底角∠BAC=∠MAN，∴△ABC∽△AMN，∴=，又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，∴∠BAM=∠CAN，∴△BAM∽△CAN，∴∠ABC=∠ACN．點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解答此題的關鍵是仔細觀察圖形，找到全等〔相似〕的條件，利用全等〔相似〕的性質(zhì)證明結論．48、〔2023?紹興〕在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于點D，點E為AB的中點，EC與AD交于點G，點F在BC上．〔1〕如圖1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求證：EF=CD．〔2〕如圖2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．分析：〔1〕根據(jù)同角的余角相等得出∠CAD=∠B，根據(jù)AC：AB=1：2及點E為AB的中點，得出AC=BE，再利用AAS證明△ACD≌△BEF，即可得出EF=CD；〔2〕作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，先證明四邊形EQDH是矩形，得出∠QEH=90°，那么∠FEQ=∠GEH，再由兩角對應相等的兩三角形相似證明△EFQ∽△EGH，得出EF：EG=EQ：EH，然后在△BEQ中，根據(jù)正弦函數(shù)的定義得出EQ=BE，在△AEH中，根據(jù)余弦函數(shù)的定義得出EH=AE，又BE=AE，進而求出EF：EG的值．解答：〔1〕證明：如圖1，在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC于點D，∴∠CAD=∠B=90°﹣∠ACB．∵AC：AB=1：2，∴AB=2AC，∵點E為AB的中點，∴AB=2BE，∴AC=BE．在△ACD與△BEF中，，∴△ACD≌△BEF，∴CD=EF，即EF=CD；〔2〕解：如圖2，作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，∴四邊形EQDH是矩形，∴∠QEH=90°，∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG，又∵∠EQF=∠EHG=90°，∴△EFQ∽△EGH，∴EF：EG=EQ：EH．∵AC：AB=1：，∠CAB=90°，∴∠B=30°．在△BEQ中，∵∠BQE=90°，∴sin∠B==，∴EQ=BE．在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，∴cos∠AEH==，∴EH=AE．∵點E為AB的中點，∴BE=AE，∴EF：EG=EQ：EH=BE：AE=1：．點評：此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，綜合性較強，有一定難度．解題的關鍵是作輔助線，構造相似三角形，并且證明四邊形EQDH是矩形．49、(2023年廣東省8分、22)如題22圖，矩形ABCD中,以對角線BD為一邊構造一個矩形BDEF,使得另一邊EF過原矩形的頂點C.(1)設Rt△CBD的面積為S1,Rt△BFC的面積為S2,Rt△DCE的面積為S3,那么S1______S2+S3(用“>〞、“=〞、“<〞填空)；〔2〕寫出題22圖中的三對相似三角形，并選擇其中一對進行證明.解析：〔1〕S1=S2+S3；〔2〕△BCF∽△DBC∽△CDE;選△BCF∽△CDE證明:在矩形ABCD中,∠BCD=90°且點C在邊EF上,∴∠BCF+∠DCE=90°在矩形BDEF中,∠F=∠E=90°,∴在Rt△BCF中，∠CBF+∠BCF=90°∴∠CBF=∠DCE,∴△BCF∽△CDE.50、(2023年廣東省9分、25壓軸題)有一副直角三角板,在三角板ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=6,在三角板DEF中,∠FDE=90°,DF=4,DE=.將這副直角三角板按如題25圖(1)所示位置擺放,點B與點F重合,直角邊BA與FD在同一條直線上.現(xiàn)固定三角板ABC,將三角板DEF沿射線BA方向平行移動,當點F運動到點A時停止運動.(1)如題25圖(2),當三角板DEF運動到點D與點A重合時,設EF與BC交于點M,那么∠EMC=______度；(2)如題25圖〔3〕，在三角板DEF運動過程中,當EF經(jīng)過點C時,求FC的長;(3)在三角板DEF運動過程中,設BF=,兩塊三角板重疊局部面積為,求與的函數(shù)解析式,并求出對應的取值范圍.解析：〔1〕15；〔2〕在Rt△CFA中,AC=6,∠ACF=∠E=30°,∴FC==6÷(3)如圖(4),設過點M作MN⊥AB于點N,那么MN∥DE,∠NMB=∠B=45°,∴NB=NM,NF=NB-FB=MN-x∵MN∥DE∴△FMN∽FED,∴,即，∴①當時,如圖(4),設DE與BC相交于點G,那么DG=DB=4+x∴即;題25圖(4)②當時,如圖(5),題25圖(4)即;題25圖(5)③當時,如圖(6)設AC與EF交于點H，題25圖(5)∵AF=6－x，∠AHF=∠E=30°∴AH=綜上所述，當時，當，當時，51、〔2023?遵義〕如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．動點M，N從點C同時出發(fā)，均以每秒1cm的速度分別沿CA、CB向終點A，B移動，同時動點P從點B出發(fā)，以每秒2cm的速度沿BA向終點A移動，連接PM，PN，設移動時間為t〔單位：秒，0＜t＜2.5〕．〔1〕當t為何值時，以A，P，M為頂點的三角形與△ABC相似？〔2〕是否存在某一時刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值？假設存在，求S的最小值；假設不存在，請說明理由．考點：相似形綜合題．分析：根據(jù)勾股定理求得AB=5cm．〔1〕分類討論：△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC兩種情況．利用相似三角形的對應邊成比例來求t的值；〔2〕如圖，過點P作PH⊥BC于點H，構造平行線PH∥AC，由平行線分線段成比例求得以t表示的PH的值；然后根據(jù)“S=S△ABC﹣S△BPH〞列出S與t的關系式S=〔t﹣〕2+〔0＜t＜2.5〕，那么由二次函數(shù)最值的求法即可得到S的最小值．解答：解：∵如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．∴根據(jù)勾股定理，得=5cm．〔1〕以A，P，M為頂點的三角形與△ABC相似，分兩種情況：①當△AMP∽△ABC時，=，即=，解得t=；②當△APM∽△ABC時，=，即=，解得t=0〔不合題意，舍去〕；綜上所述，當t=時，以A、P、M為頂點的三角形與△ABC相似；〔2〕存在某一時刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值．理由如下：假設存在某一時刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值．如圖，過點P作PH⊥BC于點H．那么PH∥AC，∴=，即=，∴PH=t，∴S=S△ABC﹣S△BPH，=×3×4﹣×〔3﹣t〕?t，=〔t﹣〕2+〔0＜t＜2.5〕．∵＞0，∴S有最小值．當t=時，S最小值=．答：當t=時，四邊形APNC的面積S有最小值，其最小值是．點評：此題綜合考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例，二次函數(shù)最值的求法以及三角形面積公式．解答〔1〕題時，一定要分類討論，以防漏解．另外，利用相似三角形的對應邊成比例解題時，務必找準對應邊．52、〔2023?泰州〕如圖，在矩形ABCD中，點P在邊CD上，且與C、D不重合，過點A作AP的垂線與CB的延長線相交于點Q，連接PQ，M為PQ中點．〔1〕求證：△ADP∽△ABQ；〔2〕假設AD=10，AB=20，點P在邊CD上運動，設DP=x，BM2=y，求y與x的函數(shù)關系式，并求線段BM的最小值；〔3〕假設AD=10，AB=a，DP=8，隨著a的大小的變化，點M的位置也在變化．當點M落在矩形ABCD外部時，求a的取值范圍．考點：相似形綜合題．分析：〔1〕由對應兩角相等，證明兩個三角形相似；〔2〕如解答圖所示，過點M作MN⊥QC于點N，由此構造直角三角形BMN，利用勾股定理求出y與x的函數(shù)關系式，這是一個二次函數(shù)，求出其最小值；〔3〕如解答圖所示，當點M落在矩形ABCD外部時，須滿足的條件是“BE＞MN〞．分別求出BE與MN的表達式，列不等式求解，即可求出a的取值范圍．解答：〔1〕證明：∵∠QAP=∠BAD=90°，∴∠QAB=∠PAD，又∵∠ABQ=∠ADP=90°，∴△ADP∽△ABQ．〔2〕解：∵△ADP∽△ABQ，∴，即，解得QB=2x．∵DP=x，CD=AB=20，∴PC=CD﹣DP=20﹣x．如解答圖所示，過點M作MN⊥QC于點N，∵MN⊥QC，CD⊥QC，點M為PQ中點，∴點N為QC中點，MN為中位線，∴MN=PC=〔20﹣x〕=10﹣x，BN=QC﹣BC=〔BC+QB〕﹣BC=〔10+2x〕﹣10=x﹣5．在Rt△BMN中，由勾股定理得：BM2=MN2+BN2=〔10﹣x〕2+〔x﹣5〕2=x2﹣20x+125，∴y=x2﹣20x+125〔0≤x≤20〕．∵y=x2﹣20x+125=〔x﹣4〕2+45，∴當x=4即DP=4時，y取得最小值為45，BM的最小值為=．〔3〕解：設PQ與AB交于點E．如解答圖所示，點M落在矩形ABCD外部，須滿足的條件是BE＞MN．∵△ADP∽△ABQ，∴，即，解得QB=a．∵AB∥CD，∴△QBE∽△QCP，∴，即，解得BE=．∵MN為中位線，∴MN=PC=〔a﹣8〕．∵BE＞MN，∴＞〔a﹣8〕，解得a＞12.5．∴當點M落在矩形ABCD外部時，a的取值范圍為：a＞12.5．點評：此題綜合考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、中位線、勾股定理、二次函數(shù)的最值、解一元一次不等式等知識點，涉及考點較多，有一定的難度．解題關鍵是：第〔2〕問中，由BM2=y，容易聯(lián)想到直角三角形與勾股定理；由最值容易聯(lián)想到二次函數(shù)；第〔3〕問中需要明確“點M落在矩形ABCD外部〞所要滿足的條件．53、〔2023?呼和浩特〕如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，點E是BC邊上的點，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分線CP于點P，交邊CD于點F，〔1〕的值為；〔2〕求證：AE=EP；〔3〕在AB邊上是否存在點M，使得四邊形DMEP是平行四邊形？假設存在，請給予證明；假設不存在，請說明理由．考點：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定．分析：〔1〕由正方形的性質(zhì)可得：∠B=∠C=90°，由同角的余角相等，可證得：∠BAE=∠CEF，根據(jù)同角的正弦值相等即可解答；〔2〕在BA邊上截取BK=NE，連接KE，根據(jù)角角之間的關系得到∠AKE=∠ECP，由AB=CB，BK=BE，得AK=EC，結合∠KAE=∠CEP，證明△AKE≌△ECP，于是結論得出；〔3〕作DM⊥AE于AB交于點M，連接ME、DP，易得出DM∥EP，由條件證明△ADM≌△BAE，進而證明MD=EP，四邊形DMEP是平行四邊形即可證出．解答：〔1〕解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B=∠D，∵∠AEP=90°，∴∠BAE=∠FEC，在Rt△ABE中，AE==，∵sin∠BAE==sin∠FEC=，∴=，〔2〕證明：在BA邊上截取BK=NE，連接KE，∵∠B=90°，BK=BE，∴∠BKE=45°，∴∠AKE=135°，∵CP平分外角，∴∠DCP=45°，∴∠ECP=135°，∴∠AKE=∠ECP，∵AB=CB，BK=BE，∴AB﹣BK=BC﹣BE，即：AK=EC，易得∠KAE=∠CEP，∵在△AKE和△ECP中，，∴△AKE≌△ECP〔ASA〕，∴AE=EP；〔3〕答：存在．證明：作DM⊥AE于AB交于點M，那么有：DM∥EP，連接ME、DP，∵在△ADM與△BAE中，，∴△ADM≌△BAE〔AAS〕，∴MD=AE，∵AE=EP，∴MD=EP，∴MDEP，∴四邊形DMEP為平行四邊形．點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)等知識．此題綜合性很強，圖形比較復雜，解題的關鍵是注意數(shù)形結合思想的應用與輔助線的準確選擇．54、〔2023泰安〕如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E為AB的中點，〔1〕求證：AC2=AB?AD；〔2〕求證：CE∥AD；〔3〕假設AD=4，AB=6，求的值．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線．分析：〔1〕由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可證得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的對應邊成比例，證得AC2=AB?AD；〔2〕由E為AB的中點，根據(jù)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證得CE=AB=AE，繼而可證得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD；〔3〕易證得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得的值．解答：〔1〕證明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB?AD；〔2〕證明：∵E為AB的中點，∴CE=AB=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD；〔3〕解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE=AF：CF，∵CE=AB，∴CE=×6=3，∵AD=4，∴，∴．點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．55、〔2023?蘇州〕如圖，點O為矩形ABCD的對稱中心，AB=10cm，BC=12cm，點E、F、G分別從A、B、C三點同時出發(fā)，沿矩形的邊按逆時針方向勻速運動，點E的運動速度為1cm/s，點F的運動速度為3cm/s，點G的運動速度為1.5cm/s，當點F到達點C〔即點F與點C重合〕時，三個點隨之停止運動．在運動過程中，△EBF關于直線EF的對稱圖形是△EB′F．設點E、F、G運動的時間為t〔單位：s〕．〔1〕當t=2.5s時，四邊形EBFB′為正方形；〔2〕假設以點E、B、F為頂點的三角形與以點F，C，G為頂點的三角形相似，求t的值；〔3〕是否存在實數(shù)t，使得點B′與點O重合？假設存在，求出t的值；假設不存在，請說明理由．考點：相似形綜合題．分析：〔1〕利用正方形的性質(zhì)，得到BE=BF，列一元一次方程求解即可；〔2〕△EBF與△FCG相似，分兩種情況，需要分類討論