世界上精度最高的橢圓周長初等公式

世界上精度最高的橢圓周長初等公式世界上精度最高的橢圓周長初等公式成都七中高中遠程教學周鈺據(jù)微積分基本原理，可以寫出橢圓周長的定積分公式，但由于被積函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù)，所以橢圓周長沒有標準的初等公式。但數(shù)學家們推導、證明了下面這個橢圓周長標準公式：（1）公式（2）中，。這個公式表明，橢圓周長的主要部分為，我們可以把（1）中括號里從第二項起稱為橢圓率多項式：（2）通常，我們要計算橢圓周長，必須先給出一個精確度。假如要求我們誤差率低于，我們設(shè)需要計算到橢圓率多項式第n項，不妨設(shè)，則橢圓率多項式（2）中，第n+1項及其以后無窮多項之和必須滿足下列不等式：因為（注意）：所以只須：（3）取滿足不等式（4）的最小整數(shù)。為此，我們需要一個帶有函數(shù)的學生計算器，根據(jù)精確度要求，首先計算出我們應(yīng)該計算到第幾項。計算所得的橢圓周長值在給定誤差率的情況下是精確的。注意：計算到橢圓率多項式第n項，就是標準公式（2）括號中算到2n次方項；若n為負數(shù)或者小于2，就算到橢圓率多項式（3）第2項，即公式（2）中括號里的4次方項。例如：n>-1.86745.則標準公式（2）中，中括號里應(yīng)該算到4次方項。因為誤差公式證明中n大于或等于2是前提條件。需要知道的是，多數(shù)情況下求橢圓周長，只須計算到前兩三項，因而往往可以筆算。但是，當時，算得:,即用到橢圓率多項式第58項即116次方項，才能保證誤差率小于萬分之一。為此，我們可以構(gòu)建一個新的函數(shù)模型，用以解決很小即很大時的計算問題。我們把橢圓率多項式中的系數(shù)簡化得：（4）觀察（5），由于，所以隨著增大而減??；各項系數(shù)逐漸變小，但與等比數(shù)列相比，“小得越來越慢”。根據(jù)（5）式的這些特點，我們構(gòu)造一個多項式函數(shù)，使它與前三項相同，同時為了方便運算，我們從第二項起各項系數(shù)為等比數(shù)列：（5）變形為無窮等比數(shù)列求和（其系數(shù)從項開始為等比數(shù)列）：用近似代替，代入標準公式（1）得：從而得到一個橢圓周長的近似公式：（6）公式（6）中，。這是我們在下一課時計算橢圓周長要用到的近似公式。為了突出這個公式，我們稱（6）為橢圓周長一級等比公式。近似公式如果沒有誤差估計是沒有實際意義的。這個初等公式的精度如何呢？為此，我們介紹一下橢圓周長誤差率定理：橢圓周長真值C滿足下列不等式：是橢圓周長的一個下界公式；是橢圓周長的一個上界公式。是橢圓周長二級等比公式。限于篇幅，此處不給出詳細證明過程，只對證明思路作簡要介紹。證明思路：上界公式與下界公式的級數(shù)展開式與橢圓標準公式相比，和它以前的所有系數(shù)完全相同，稱第一部分。而從到的系數(shù)，稱第二部分。以的系數(shù)為首項，公比為（100：144）的等比數(shù)列作為下界公式的第二部分，公比為（103：144）為等比數(shù)列作為上界公式的第二部分，可用完全歸納法證明：下界公式每項系數(shù)小于標準公式中相同次數(shù)的系數(shù)（僅有一項例外，但可用前一項系數(shù)補足），上界公式每項系數(shù)大于標準公式中相同次數(shù)的系數(shù)。從項開始稱為第三部分。上界公式與下界公式中的項主要作用是保持與二級等比公式形式上的統(tǒng)一性，所以它們并不是最佳選配的系數(shù)和次數(shù)?？捎脭?shù)學歸納法證明上界公式和下界公式第三部分的正確性。注意二級等比公式中，第二個分式的分母中為，不是40次方，而是4次方，它的出現(xiàn)是從到漸變過程中產(chǎn)生的。二級等比公式中系數(shù)和次數(shù)是最佳選配的，不可更易。上界公式與下界公式均超過了目前所有的橢圓周長初等公式（包括中國橢圓周長公式）的精度；用上界公式與下界公式及兩邊夾定理，可以求出橢圓周長的精確值，這是上界公式與下界公式的主要優(yōu)點，它能夠讓我們判斷，我們用程序計算標準橢圓周長公式時，累加一百萬項后精確度如何，特別是當接近于1時。二級等比公式是比上界公式和下界公式精度還高得多的橢圓周長初等公式。筆者預言，這將是地球上精度最高的初等公式，永遠不會再出現(xiàn)比這個公式更簡潔、更美麗、更實用、精度更高的橢圓周長初等公式。我們可以懷疑用程序累加項名達公式五百萬項的結(jié)果，但不可懷疑這個僅用學生計算器就可計算橢圓周長的二級等比公式。一級等比C1真值下界W1兩邊夾得真值C真值上界W2二級等比C210.003.99244066393.99972239594.000（舍入值）4.00000731924.000025842210.054.01716545824.01940529694.0194（不足值）4.01947309434.019421366610.104.06315100734.06396981664.0640（過剩值）4.06398509574.063974164710.154.12577971624.12609916884.12610（不足）4.12610272354.126100218510.204.20188017424.20200859314.202009（舍入）4.20200945784.202008847410.254.28915862394.28921079814.289211（舍入）4.28921101354.289210860710.304.38588891394.38591004464.3859100（不）4.38591009834.385910060110.354.49073113294.49073956614.4907396（過）4.49073957934.490739569910.404.60261923714.60262251744.60262252（舍）4.60262252054.602622518310.454.72068801434.72068924374.720689244舍4.72068924444.720689243910.504.84422367214.84422411024.8442241102舍4.84422411034.844224110210.554.97262925434.97262940044.9726294004舍4.97262940054.972629400410.605.1053997285.10539977275.10539977275.10539977275.105399772710.655.24210358745.24210359965.24210359965.24210359965.242103599610.705.38236897865.38236898155.38236898155.38236898155.382368981510.755.52587303965.52587304025.52587304025.52587304025.525873040210.805.67233357775.67233357785.67233357785.67233357785.672333577810.855.82150248025.82150248035.82150248035.82150248035.821502480310.905.97316043255.97316043255.97316043255.97316043255.973160432510.956.12711263666.12711263666.12711263666.12711263666.127112636611.006.28318530726.28318530726.28318530726.28318530726.2831853072一級等比C1真值下界W1兩邊夾得真值真值上界W2二級等比C2