2001年高考數(shù)學(xué)(理科)真題及答案全國卷I

2001年全國普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(理工農(nóng)醫(yī)類)一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．(1)若，則θ在(A)第一、二象限(B)第一、三象限(C)第一、四象限(D)第二、四象限(2)過點(diǎn)A(1，-1)，B(-1，1)且園心在直線x+y-2=0上的圓珠筆的方程是(A)(x-3)2+(y+1)2=4(C)(x-1)2+(y-1)2=4(B)(x+3)2+(y-1)2=4(B)(x+1)2+(y+1)2=4(3)設(shè){an}是遞增等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為12，前三項(xiàng)的積為48，則它的首項(xiàng)是(A)1(B)2(C)4(D)6(4)若定義在區(qū)間(-1，0)內(nèi)的函數(shù)f(x)=log2a(x＋1)滿足f(x)＞0，則a的取值范圍是(A)(0，)(B)(0，](C)(，+∞)(D)(0，+∞)(5)極坐標(biāo)方程的圖形是(6)函數(shù)(A)的反函數(shù)是(B)(D)(C)(7)若橢圓經(jīng)過原點(diǎn)，且焦點(diǎn)為F1(1，0)，F(xiàn)2(3，0)，則其離心率為(A)(B)(C)(D)(8)若，則(A)a<b(A)a>b(A)ab<1(D)ab>2(9)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB=BB1，則AB與C1B所成的角的大小為(A)60°(B)90°(C)105°(D)75°(10)設(shè)f(x)、g(x)都是單調(diào)函數(shù)，有如下四個(gè)命題：①若f(x)單調(diào)速增，g(x)單調(diào)速增，則f(x)-g(x))單調(diào)遞增;②若f(x)單調(diào)速增，g(x)單調(diào)速減，則f(x)-g(x))單調(diào)遞增;③若f(x)單調(diào)速減，g(x)單調(diào)速增，則f(x)-g(x))單調(diào)遞減;④若f(x)單調(diào)速減，g(x)單調(diào)速減，則f(x)-g(x))單調(diào)遞減;其中，正確的命題是(A)①③(B)①④(C)②③(D)②④(11)一間民房的屋頂有如圖三種不同的蓋法：①單向傾斜；②雙向傾斜；③四向傾斜．記三種蓋法屋頂面積分別為P1、P2、P3．若屋頂斜面與水平面所成的角都是α，則(A)P3>P2>P1(B)P3>P2=P1(C)P3=P2>P1(D)P3=P2=P1(12)如圖，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的連線表承它們有網(wǎng)線相聯(lián)．連線標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時(shí)間內(nèi)可以通過的最大信息量．現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)A向結(jié)點(diǎn)B傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時(shí)傳遞．則單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量為(A)26(B)24(C)20(D)19二．填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．把答案填在題中橫線上．(13)若一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是_________．(14)雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P在雙曲線上．若PF⊥PF2，則點(diǎn)P到x軸的距離為_________。(15)設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和．若{Sn}是等差數(shù)列，則q＝＿．(16)園周上有幾個(gè)等分點(diǎn)(n＞1)，以其中三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角三角形的個(gè)數(shù)為________．三．解答題：本大題共6小題共74分．解答應(yīng)寫出文字說明．證明過程或演算步驟．(17)(本小題滿分12分)如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC=1，AD=．(I)求四棱錐S-ABCD的體積；(11)求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值．(18)(本小題滿分12分)已知復(fù)數(shù)z1=i(1-i)3(I)求argz1及|z1|(II)當(dāng)復(fù)數(shù)z滿足|z|＝l，求|z-z1|的最大值．(19)(本小題滿分12分)設(shè)拋物線y2=2pc(p>0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)．點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC∥x軸．證明直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O．(20)(本小題滿分12分)已知i，m，n是正整數(shù)，且1＜i≤m＜n(I)證明nipim＜mipin；門)證明(1+m)n>(1+n)m．(21)(本小題滿分12分)從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)．根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少．本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬元，由于該項(xiàng)建設(shè)對旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加．(I)設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入為bn萬元．寫出an，bn的表達(dá)式；(II)至少經(jīng)過幾年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？(22)(本小題滿分14分)設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x＝1對稱，對任意x1；，x2∈[0，]，都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2)．(I)求f()及f()；(II)證明f(x)是周期函數(shù)；(III)記an=f(2n+)，求．?dāng)?shù)學(xué)試題(理工農(nóng)醫(yī)類)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一．選擇題：本題考查基本知識和基本運(yùn)算．每小題5分，滿分60分．(1)B(2)C(3)B(4)A(5)C(6)A(7)C(8)A(9)B(10)C(11)D(12)D二．填空題：本題考查基本知識和基本運(yùn)算．每小題4分．滿分16分．(13)2π(14)(15)1(16)2n(n－1)三．解答題．(17)本小題考查線面關(guān)系和棱錐體積計(jì)算，以及空間想象能力和邏輯推理能力．滿分12分．解：(I)直角梯形ABCD的面積是M底面=(BC+AD)AB＝……2分∴四棱推S-ABCD的體積是……4分(II)延長BA、CD相交于點(diǎn)E，連結(jié)SE，則SE是所求二面角的棱……6分∵AD∥BC，BC=2AD∴EA=AB=SA，∴SE⊥SB∵SA⊥面ABCD，得面ASB⊥面ESC，EB是交線，又BC⊥EB，∴BC⊥面SEB，故SB是CS在面SEB上的射影，∴CS⊥SE，所以∠BSC是所求二面角的平面角．……10分即所求二面角的正切值為。……12分(18)本小題考查復(fù)數(shù)的基本性質(zhì)和基本運(yùn)算，以及分析問題和解決問題的能力．滿分12分．(19)本小題考查拋物線的概念和性質(zhì)，直線的方程和性質(zhì)，運(yùn)算能力和邏輯推理能力．滿分12分．證明一：因?yàn)閽佄锞€y2=2pc(p>0)的焦點(diǎn)為F()，所以經(jīng)過點(diǎn)F的直線AB的方程可設(shè)為x=my+代人拋物線方程得y2-2pcmy-p2=0若記A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，y2是該方程的兩個(gè)根，所以y1y2=-p2因?yàn)锽C∥x軸，且點(diǎn)C在準(zhǔn)線x=-上，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-，y2)，故直線CO的斜率為即k也是直線OA的斜率，所以直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O．證明二：如圖，記x軸與拋物線準(zhǔn)線l的交點(diǎn)為E，過A作AD⊥l，D是垂足．則AD∥FE∥BC．……2分連結(jié)AC，與EF相交手點(diǎn)N，則……6分根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，|AF|=|AD|，|BF|=|BC|……8分即點(diǎn)N是EF的中點(diǎn)，與拋物線的頂點(diǎn)O重合，所以直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O．……12分(20)本小題考查排列、組合、二項(xiàng)式定理、不等式的基本知識和邏輯推理能力．滿分12分．(21)本小題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識；考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力．滿分12分．解．(I)第1年投入為800萬元．第2年投入為800×(1-)萬元，……，第n年投入為800×(1-)n-1萬元.所以，n年的總收入為第1年旅游業(yè)收入為400萬元，第2年旅游業(yè)收入為400×(1+)萬元，……，第n年旅游業(yè)收人為400×(1+