求不定積分的幾種基本方法

關(guān)于求不定積分的幾種基本方法第1頁，共36頁，2022年，5月20日，5點15分，星期五

一般地，如果是的一個原函數(shù)，則而如果又是另一個變量的函數(shù)且可微，那么根據(jù)復(fù)合函數(shù)的微分法，有由此得第2頁，共36頁，2022年，5月20日，5點15分，星期五

是具有原函數(shù)于是有如下定理：定理1

設(shè)可導，則有換元公式（5-2）由此可見，一般地，如果積分不能直接利用利用基本積分公式計算，而其被積表達式能表示為的形式，且較易計算，那么可令第3頁，共36頁，2022年，5月20日，5點15分，星期五代入后有這樣就得到了的原函數(shù).這種積分稱為第一類換元法.由于在積分過程中，先要從被積表達式中湊出一個積分因子因此第一類換元法也稱為湊微分法.例2

求解

第4頁，共36頁，2022年，5月20日，5點15分，星期五

再以代入，即得例3

求解

被積函數(shù)可看成與構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，雖沒有這個因子，但我們可以湊出這個因子：，

如果令便有第5頁，共36頁，2022年，5月20日，5點15分，星期五

，

一般地，對于積分總可以作變量代換，把它化為第6頁，共36頁，2022年，5月20日，5點15分，星期五，

例4

求解令則第7頁，共36頁，2022年，5月20日，5點15分，星期五

，

例5

求解

令,則,有湊微分與換元的目的是為了便于利用基本積分公式．在比較熟悉換元法后就可以略去設(shè)中間變量和換元的步驟．第8頁，共36頁，2022年，5月20日，5點15分，星期五例7

求

例6

求解

解

第9頁，共36頁，2022年，5月20日，5點15分，星期五解

例8

求第10頁，共36頁，2022年，5月20日，5點15分，星期五例9

求解

類似地可得第11頁，共36頁，2022年，5月20日，5點15分，星期五例10

求解

第12頁，共36頁，2022年，5月20日，5點15分，星期五例11

求解

類似地可得第13頁，共36頁，2022年，5月20日，5點15分，星期五類似地可得例12

求解

例13

求解

第14頁，共36頁，2022年，5月20日，5點15分，星期五第一類換元法有如下幾種常見的湊微分形式:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)第15頁，共36頁，2022年，5月20日，5點15分，星期五二、

第二類換元法

第一類換元法是通過變量代換，將積分化為積分．第二類換元法是通過變量代換，將積分化為積分在求出后一個積分后,再以反函數(shù)代回去,這樣換元積分公式可表示為:上述公式的成立是需要一定條件的，首先等式右邊的不定積分要存在，即被積函數(shù)的第16頁，共36頁，2022年，5月20日，5點15分，星期五有原函數(shù)；其次,的反函數(shù)要存在.我們有下面的定理．定理2

設(shè)函數(shù)連續(xù),單調(diào)、可導，并且，則有換元公式(5-3)下面舉例說明公式(5-3)的應(yīng)用．第17頁，共36頁，2022年，5月20日，5點15分，星期五例14

求解遇到根式中是一次多項式時，可先通過適當?shù)膿Q元將被積函數(shù)有理化，然后再積分．令,則，故第18頁，共36頁，2022年，5月20日，5點15分，星期五例15

求解令，則,則有例16

求解為使被積函數(shù)有理化．利用三角公式令則它是的單調(diào)可導函數(shù)，具有反函數(shù),且第19頁，共36頁，2022年，5月20日，5點15分，星期五因而例17

求解令則于是第20頁，共36頁，2022年，5月20日，5點15分，星期五其中例18

求解

被積函數(shù)的定義域為,令，這時故第21頁，共36頁，2022年，5月20日，5點15分，星期五其中,當時,可令類似地可得到相同形式的結(jié)果．以上三例中所作的變換均利用了三角恒等式，稱之為三角代換，可將將被積函數(shù)中的無理因式化為三角函數(shù)的有理因式．一般地，若被積函數(shù)中含有時，可作代換或；含有時，可作代換；含有時，可作代換第22頁，共36頁，2022年，5月20日，5點15分，星期五利用第二類換元法求不定積分時，還經(jīng)常用到倒代換即等．例19

求解

令,則因此當時，,有第23頁，共36頁，2022年，5月20日，5點15分，星期五當時，有綜合起來，得在本節(jié)的例題中，有幾個積分結(jié)果是以后經(jīng)常會遇到的．所以它們通常也被當作公式使用．這樣,常用的積分公式，除了基本積分表中的以外，再添加下面幾個(其中常數(shù)a＞0).第24頁，共36頁，2022年，5月20日，5點15分，星期五(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)第25頁，共36頁，2022年，5月20日，5點15分，星期五(21)例20

求解

利用公式(18)，可得第26頁，共36頁，2022年，5月20日，5點15分，星期五例21

求解

利用公式(21)，可得第27頁，共36頁，2022年，5月20日，5點15分，星期五三分部積分法

.上一頁目錄下一頁退出一、分部積分公式的推導思考：諸如此類的不定積分，用換元積分法都不能求解．特點：被積函數(shù)是兩種不同類型的函數(shù)的乘積.需要用到求不定積分的另一種基本方法――分部積分法．設(shè)函數(shù)及具有連續(xù)導數(shù)．那么，移項，得第28頁，共36頁，2022年，5月20日，5點15分，星期五對這個等式兩邊求不定積分，得（5-4）公式（5-4）稱為分部積分公式.如果積分不易求,而積分比較容易時,分部積分公式就可用了.為簡便起見,也可把公式（5-4）寫成下面的形式:（5-5）現(xiàn)在通過例子說明如何運用這個重要公式.第29頁，共36頁，2022年，5月20日，5點15分，星期五例22

求解由于被積函數(shù)是兩個函數(shù)的乘積,選其中一那么另一個即為如果選擇則個為得如果選擇則得第30頁，共36頁，2022年，5月20日，5點15分，星期五上式右端的積分比原積分更不容易求出．由此可見，如果和選取不當，就求不出結(jié)果．所以應(yīng)用分部積分法時，恰當選取和是關(guān)鍵，一般以比易求出為原則．例23

求解

第31頁，共36頁，2022年，5月20日，5點15分，星期五例24

求解

由上面的三個例子知道，如果被積函數(shù)是指數(shù)為正整數(shù)的冪函數(shù)和三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的乘積，就可以考慮用分部積分法，并選擇冪函數(shù)為經(jīng)過一次積分，就可以使冪函數(shù)的次數(shù)降低一次．例25

求解

第32頁，共36頁，2022年，5月20日，5點15分，星期五例26

求解

第33頁，共36頁，2022年，5月20日，5點15分，星期五例27

求解

總結(jié)上面四個例子可以知道,如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和反三角函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的乘積,就可以考慮用分部積分法,并選擇反三角函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)為一般地,如果被積函數(shù)是兩類基本初等函數(shù)的乘積,在多數(shù)情況下,可按下列順序:反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)，將排在前面的那類函數(shù)選作