專題22 數(shù)列中的探究性問題（原卷版）

專題22數(shù)列中的探究性問題數(shù)列中的探究性問題實際上就是不定方程解的問題，對于此類問題的求解，通常有以下三種常用的方法：①利用等式兩邊的整數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)的方法來加以判斷是否存在；②利用尋找整數(shù)的因數(shù)的方法來進行求解，本題的解題思路就是來源于此；③通過求出變量的取值范圍，從而對范圍內(nèi)的整數(shù)值進行試根的方法來加以求解．對于研究不定方程的解的問題，也可以運用反證法，反證法證明命題的基本步驟：①反設(shè)：設(shè)要證明的結(jié)論的反面成立．作反設(shè)時要注意把結(jié)論的所有反面都要寫出來，不要有遺漏．②歸謬：從反設(shè)出發(fā)，通過正確的推理得出與已知條件或公理、定理矛盾的結(jié)論．③存真：否定反設(shè)，從而得出原命題結(jié)論成立．一、題型選講題型一、數(shù)列中項存在的問題例1、(2018無錫期末）已知數(shù)列{an}滿足eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,a1)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,a2)))·…·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,an)))＝eq\f(1,an)，n∈N*，Sn是數(shù)列{an}的前n項和．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若ap，30，Sq成等差數(shù)列，ap，18，Sq成等比數(shù)列，求正整數(shù)p，q的值；(3)是否存在k∈N*，使得eq\r(akak＋1＋16)為數(shù)列{an}中的項？若存在，求出所有滿足條件的k的值；若不存在，請說明理由．例2、(2019蘇州期初調(diào)查）已知數(shù)列{an}的奇數(shù)項是首項為1的等差數(shù)列，偶數(shù)項是首項為2的等比數(shù)列，數(shù)列{an}前n項和為Sn，且滿足S3＝a4，a5＝a2＋a3.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若amam＋1＝am＋2，求正整數(shù)m的值；(3)是否存在正整數(shù)m，使得eq\f(S2m,S2m－1)恰好為數(shù)列{an}中的一項？若存在，求出所有滿足條件的m值，若不存在，說明理由．題型二、數(shù)列中的等差數(shù)列或者等比數(shù)列的存在問題例3、(2018揚州期末）已知各項都是正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且2Sn＝aeq\o\al(2,n)＋an，數(shù)列{bn}滿足b1＝eq\f(1,2)，2bn＋1＝bn＋eq\f(bn,an).(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列{cn}滿足cn＝eq\f(bn＋2,Sn)，求和c1＋c2＋…＋cn；(3)是否存在正整數(shù)p，q，r(p<q<r)，使得bp，bq，br成等差數(shù)列？若存在，求出所有滿足要求的p，q，r；若不存在，請說明理由．例4、(2019常州期末）已知數(shù)列{an}中，a1＝1，且an＋1＋3an＋4＝0，n∈N*.(1)求證：{an＋1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；(2)數(shù)列{an}中是否存在不同的三項按照一定順序重新排列后，構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求滿足條件的項；若不存在，說明理由．題型三、數(shù)列中的有序?qū)崝?shù)對的問題例5、(2018蘇中三市、蘇北四市三調(diào)）已知數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為．（1）求的值；（2）若．=1\*GB3①求證：數(shù)列為等差數(shù)列；=2\*GB3②求滿足的所有數(shù)對．題型四、數(shù)列中的參數(shù)的問題例6、(2019蘇州期末）定義：對于任意n∈N*，xn＋xn＋2－xn＋1仍為數(shù)列{xn}中的項，則稱數(shù)列{xn}為“回歸數(shù)列”．(1)已知an＝2n(n∈N*)，判斷數(shù)列{an}是否為“回歸數(shù)列”，并說明理由；(2)若數(shù)列{bn}為“回歸數(shù)列”，b3＝3，b9＝9，且對于任意n∈N*，均有bn<bn＋1成立．①求數(shù)列{bn}的通項公式；②求所有的正整數(shù)s，t，使得等式eq\f(beq\o\al(2,s)＋3s＋1－1,beq\o\al(2,s)＋3s－1)＝bt成立．二、達標訓(xùn)練1、已知數(shù)列的通項公式為，若為數(shù)列中的項，則____2、(2019揚州期末）記無窮數(shù)列{an}的前n項中最大值為Mn，最小值為mn，令bn＝eq\f(Mn＋mn,2)，數(shù)列{an}的前n項和為An，數(shù)列{bn}的前n項和為Bn.(1)若數(shù)列{an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，求Bn.(2)若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，試問數(shù)列{an}是否也一定是等差數(shù)列？若是，請證明；若不是，請舉例說明．3、(2019蘇北三市期末）已知數(shù)列{an}滿足對任意的n∈N*，都有an(qnan－1)＋2qnanan＋1＝an＋1·(1－qnan＋1)，且an＋1＋an≠0，其中a1＝2，q≠0.記Tn＝a1＋qa2＋q2a3＋…＋qn－1an.(1)若q＝1，求T2019的值．(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn＝(1＋q)Tn－qnan.①求數(shù)列{bn}的通項公式；②若數(shù)列{cn}滿足c1＝1，且當n≥2時，cn＝2bn－1－1，是否存在正整數(shù)k，t，使c1，ck－c1，ct－ck成等比數(shù)列？若存在，求出所有k，t的值；若不存在，說明理由．4、已知數(shù)列的前項和為，且滿足，（）.（1）求，的值；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）是否存在整數(shù)對，使得等式成立？若存在，請求出所有滿足條件的；若不存在，請說明理由.5、(2019南京、鹽城一模）已知數(shù)列{an}，其中n∈N*.(1)若{an}滿足an＋1－an＝qn－1(q>0，n∈N*)．①當q＝2，且a1＝1時，求a4的值；②若存在互不相等的正整數(shù)r，s，t，滿足2s＝r＋t，且ar，as，at成等差數(shù)列，求q的值；設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為bn，數(shù)列{bn}的前n項和為cn，cn＝bn＋2－3，n∈N*，若a1＝1，a2＝2，且|aeq\o\al(2,n＋1)－anan＋2|≤k恒成立，求k的最小值．6、(2017南京學(xué)情調(diào)研）已知數(shù)列{an}是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，其前n項和為Sn，且a2·a3＝15，S4＝16.(1