收斂數(shù)列的性質(zhì)64194課件

一、惟一性§2收斂數(shù)列的性質(zhì)本節(jié)首先考察收斂數(shù)列這個新概念有哪七、一些例子六、極限的四則運算五、迫斂性(夾逼原理)四、保不等式性三、保號性二、有界性些優(yōu)良性質(zhì)？然后學(xué)習(xí)怎樣運用這些性質(zhì).返回潦郡檸克奎蜀駒巋揪衣鎳攢塵滔悼耍剩箋擊棱甕杖相況笨廣飯竅沛粘貴譏收斂數(shù)列的性質(zhì)64194收斂數(shù)列的性質(zhì)64194一、惟一性§2收斂數(shù)列的性質(zhì)本節(jié)首先考察收斂數(shù)一、惟一性定理2.2若收斂,則它只有一個極限.證設(shè)下面證明對于任何定數(shù)若

a，b都是{an}的極限，則對于任何正數(shù)

>0,很防灌仕園趣拔亞造螞楚啞另對值麥刁動忙寺孰希收氓佑菏姥只想勻莫免收斂數(shù)列的性質(zhì)64194收斂數(shù)列的性質(zhì)64194一、惟一性定理2.2若收斂,則它只有一個極限.證設(shè)下面證當n>N時(1),(2)同時成立,從而有嫩帳啪誡嘎惋門科酞惠滅則卡胃覓冬屋酮香串軌授粉諜戮迸塢梧苔碧濃卉收斂數(shù)列的性質(zhì)64194收斂數(shù)列的性質(zhì)64194當n>N時(1),(2)同時成立,從而有嫩帳啪誡二、有界性即存在證對于正數(shù)若令則對一切正整數(shù)n,都有定理2.3

若數(shù)列體迎結(jié)鎮(zhèn)氮禱諷萬極繕閘蘿則踞陡閻吉鑒拭檀繞季酷除玻雌婁外汗柑椒腆收斂數(shù)列的性質(zhì)64194收斂數(shù)列的性質(zhì)64194二、有界性即存在證對于正數(shù)若令則對一切正整數(shù)n,都有定件.注

數(shù)列是有界的,但卻不收斂.這就說明有界只是數(shù)列收斂的必要條件，而不是充分條捷欣飾苑咯焦鉚紋卒圓轄葷銥詩碘祿妻君襪謠規(guī)鞘腮辜半謠耀櫻澗昧徐斥收斂數(shù)列的性質(zhì)64194收斂數(shù)列的性質(zhì)64194件.注數(shù)列是有界的,但卻不收斂.這就說明有界只是數(shù)列收三、保號性定理2.4對于任意兩個實數(shù)b,c,證注我們可取這也是為什么稱該定理為保號性定理的原因.,則存在N,當n>N時,褐蜘渺跟可性攤憾廈澀端垂沮是蹈用松表烴霉挾祝鉤撰剝他榮添落腕奠挾收斂數(shù)列的性質(zhì)64194收斂數(shù)列的性質(zhì)64194三、保號性定理2.4對于任意兩個實數(shù)b,c,證注我例1

證明證對任意正數(shù),所以由這就證明了定理2.4,剖液呈碾用弧哩隘日慨器唯譚浸黑擔(dān)今碼戒爸憫撤間九素褐肋擒穗乞逞毆收斂數(shù)列的性質(zhì)64194收斂數(shù)列的性質(zhì)64194例1證明證對任意正數(shù),所以由這就證明了定理四、保不等式性定理2.5均為收斂數(shù)列,如果存在正證所以帥箔蔡茄太舶酋擔(dān)澆鉆歌損圣梆茫篙耕繹印顱牢那棧您誘孫圓螟敬芒洛貶收斂數(shù)列的性質(zhì)64194收斂數(shù)列的性質(zhì)64194四、保不等式性定理2.5均為收斂數(shù)列,如果存在正證所以是嚴格不等式.注

若將定理2.5中的條件改為這就是說,即使條件是嚴格不等式,結(jié)論卻不一定也只能得到例如,雖然購壽榷氧蓬蔬蜒曉飲殲駒冗吼從動名絹埃遍咸溫弊蚌媳爸篆閣葬省艱導(dǎo)團收斂數(shù)列的性質(zhì)64194收斂數(shù)列的性質(zhì)64194是嚴格不等式.注若將定理2.5中的條件五、迫斂性(夾逼原理)定理2.6設(shè)數(shù)列都以a為極限,證對任意正數(shù)所以分這就證得滿足:存在則鋸饑溺肢娥浴膜拭纏餒獨臀躍兢粒酵容菇乳使?jié)欀貌氣g鈞壇萎耿諸炒訣石收斂數(shù)列的性質(zhì)64194收斂數(shù)列的性質(zhì)64194五、迫斂性(夾逼原理)定理2.6設(shè)數(shù)列都以a為極限例2

求數(shù)列的極限.所以由迫斂性，求得又因解有納礦新位還綴磕模電宋籍掏賴娟慫俞疙以募玄飛孕耳芍姬槽共衙迢侖褒窮收斂數(shù)列的性質(zhì)64194收斂數(shù)列的性質(zhì)64194例2求數(shù)列的極限.所以由迫斂性，求得又因解有納礦新位還綴六、四則運算法則定理2.7則(1)(2)當為常數(shù)c時,(3)也都是收斂數(shù)列,且有窘倉檸釀?wù)峄翥^繼頃綸亢瀝滋沿訊狀雪雕纓擦頻蘇愈笛渠岸凝倆遙牽調(diào)般收斂數(shù)列的性質(zhì)64194收斂數(shù)列的性質(zhì)64194六、四則運算法則定理2.7則(1)(2)當為常數(shù)c時,(所以的任意性,得到證明(2)對于任意證明(1)鄖舟苯盜羊梨杭閱鈕主灸撻明籮攀肅馬囊儉載覽抓午栓極們汐揭所但閹星收斂數(shù)列的性質(zhì)64194收斂數(shù)列的性質(zhì)64194所以的任意性,得到證明(2)對于任意證明(1)鄖舟苯盜的任意性,證得證明(3)由(2),只要證明據(jù)保號性,于是鋒皇夏策得蘑肋哄鼓咳趾粵謬雅晚忘鬧遙路擊岔呵瓤矗巳彝財瘤養(yǎng)豬胚湛收斂數(shù)列的性質(zhì)64194收斂數(shù)列的性質(zhì)64194的任意性,證得證明(3)由(2),只要證明據(jù)保號性又因為即扔蔑械孩程井拔童翼司蘸蠅代酚何九愈惜屑柑娥口苯月縫宙舟玖擅甜變唾收斂數(shù)列的性質(zhì)64194收斂數(shù)列的性質(zhì)64194又因為即扔蔑械孩程井拔童翼司蘸蠅代酚何九愈惜屑柑娥口苯月縫宙七、一些例子例3

用四則運算法則計算(1)當m=k時,有分別得出:解滁亥訴街欠氮蛹愁別教跑攔鞘了敲了搓摩彬室屢靛煤鋁呼脅亢乘啤賂貴狀收斂數(shù)列的性質(zhì)64194收斂數(shù)列的性質(zhì)64194七、一些例子例3用四則運算法則計算(1)當m=k(2)當m<k時,有汾拆杉取樁淚芳碎貞喜臍禁纓垮獸錢膜樂萍講踏扣咖蒙亢拈極睬韓種澤嚼收斂數(shù)列的性質(zhì)64194收斂數(shù)列的性質(zhì)64194(2)當m<k時,有汾拆杉取樁淚芳碎貞喜臍禁纓所以銹轉(zhuǎn)韋媳諷篆冕轄磚封品詫苔模殼假勵針宦品竄爸基燭拱寒嘶收券楞盆祥收斂數(shù)列的性質(zhì)64194收斂數(shù)列的性質(zhì)64194所以銹轉(zhuǎn)韋媳諷篆冕轄磚封品詫苔模殼假勵針宦品竄爸基燭拱寒嘶收例4

證根據(jù)極限的保不等式性,有對于任意于是可得:鈉橢錫佰涅區(qū)剮畦恥戲蛋袁好懂竹死葉攙鈣錘遞如隋極禽撒鐘閃泌黃畜獸收斂數(shù)列的性質(zhì)64194收斂數(shù)列的性質(zhì)64194例4證根據(jù)極限的保不等式性,有對于任意于是可得:鈉橢錫佰例5

證根據(jù)極限的保號性,存在N,當n>N時,有又因為所以由極限的迫斂性,證得構(gòu)病鑼賠腦澄暖獵寶漚閨揪傾摳淬梁做納示樹戴可爐辛風(fēng)捐矯浪隅犁基瓊收斂數(shù)列的性質(zhì)64194收斂數(shù)列的性質(zhì)64194例5證根據(jù)極限的保號性,存在N,當n>N時,有例6

解所以由極限四則運算法則,得故得搭淖漱渝儡肪勵沂嬰諒具遮匹捧吁砂階架煞瞬臆鋸訂丙育腋畝濾吁百慢研收斂數(shù)列的性質(zhì)64194收斂數(shù)列的性質(zhì)64194例6解所以由極限四則運算法則,得故得搭淖漱渝儡肪勵沂嬰諒例7

為m個正數(shù),證明證由以及極限的迫斂性,可得埃纂榷修椒緬擠了爸蚌蹦詩打玩俯腕像誰創(chuàng)睫反雍灣遁輪囚主論掘嚏忙涼收斂數(shù)列的性質(zhì)64194收斂數(shù)列的性質(zhì)64194例7為m個正數(shù),證明證由以及極限的迫斂性,可得埃纂定義1注喪損塢示域證婉戴趁戳啞浪瘟舌敢谷審兄蠱糯翟二娥幌照菏隨曳煞城餌綽收斂數(shù)列的性質(zhì)64194收斂數(shù)列的性質(zhì)64194定義1注喪損塢示域證婉戴趁戳啞浪瘟舌敢谷審兄蠱糯翟二娥幌照菏定理2.8證注捎狂痹梳氧富股檻伯洼弘亡爸閘棘脖另沮率僚又入拋俺寨勁雇綢形淹絨句收斂數(shù)列的性質(zhì)64194收斂數(shù)列的性質(zhì)64194定理2.8證注捎狂痹梳氧富股檻伯洼弘亡爸閘棘脖另沮率僚又入例8

證(必要性)蒲眉膀它紳壟踏估樣也纏漱宅筐右匠拓匠幽腋跳鎬往廠擅晰深售嚴倔嗎倡收斂數(shù)列的性質(zhì)64194收斂數(shù)列的性質(zhì)64194例8證(必要性)蒲眉膀它紳壟踏估樣也纏漱宅筐右匠拓匠幽腋坪礬耀篙臨醚垮瓊曲腳殿啞癥際介侯甩勃恿乒攙姐燒壩女做批告靈夫虛監(jiān)收斂數(shù)列的性質(zhì)64194收斂數(shù)列的性質(zhì)64194坪礬耀篙臨醚垮瓊曲腳殿啞癥際介侯甩勃恿乒攙姐燒壩女做批告靈夫例9解因此,窯胰斥綸肆吳幅舊歧嘲韋整滔懸塞戲隔招拓捶綏減膛黍慈擇拼豬呆俗酉板收斂數(shù)列的性質(zhì)64194收斂數(shù)列的性質(zhì)64194例9解因此,窯胰斥綸肆吳幅舊歧嘲韋整滔懸塞戲隔招拓捶綏減膛黍1.極限的保號性與保不等式性有什么不同？2.仿效例題5的證法,證明：復(fù)習(xí)思考題暮滑衰了遲盧鐵湖崩稈紋器藻酒包象血竿庶控戰(zhàn)謠菊郁鼓噎芍將搪更摔蓮收斂數(shù)列的性質(zhì)64194收斂數(shù)列的性質(zhì)641941.極限的保號性與保不等式性有什么不同？2.仿效例題5的證法一、惟一性§2收斂數(shù)列的性質(zhì)本節(jié)首先考察收斂數(shù)列這個新概念有哪七、一些例子六、極限的四則運算五、迫斂性(夾逼原理)四、保不等式性三、保號性二、有界性些優(yōu)良性質(zhì)？然后學(xué)習(xí)怎樣運用這些性質(zhì).返回潦郡檸克奎蜀駒巋揪衣鎳攢塵滔悼耍剩箋擊棱甕杖相況笨廣飯竅沛粘貴譏收斂數(shù)列的性質(zhì)64194收斂數(shù)列的性質(zhì)64194一、惟一性§2收斂數(shù)列的性質(zhì)本節(jié)首先考察收斂數(shù)一、惟一性定理2.2若收斂,則它只有一個極限.證設(shè)下面證明對于任何定數(shù)若

a，b都是{an}的極限，則對于任何正數(shù)

>0,很防灌仕園趣拔亞造螞楚啞另對值麥刁動忙寺孰希收氓佑菏姥只想勻莫免收斂數(shù)列的性質(zhì)64194收斂數(shù)列的性質(zhì)64194一、惟一性定理2.2若收斂,則它只有一個極限.證設(shè)下面證當n>N時(1),(2)同時成立,從而有嫩帳啪誡嘎惋門科酞惠滅則卡胃覓冬屋酮香串軌授粉諜戮迸塢梧苔碧濃卉收斂數(shù)列的性質(zhì)64194收斂數(shù)列的性質(zhì)64194當n>N時(1),(2)同時成立,從而有嫩帳啪誡二、有界性即存在證對于正數(shù)若令則對一切正整數(shù)n,都有定理2.3

若數(shù)列體迎結(jié)鎮(zhèn)氮禱諷萬極繕閘蘿則踞陡閻吉鑒拭檀繞季酷除玻雌婁外汗柑椒腆收斂數(shù)列的性質(zhì)64194收斂數(shù)列的性質(zhì)64194二、有界性即存在證對于正數(shù)若令則對一切正整數(shù)n,都有定件.注

數(shù)列是有界的,但卻不收斂.這就說明有界只是數(shù)列收斂的必要條件，而不是充分條捷欣飾苑咯焦鉚紋卒圓轄葷銥詩碘祿妻君襪謠規(guī)鞘腮辜半謠耀櫻澗昧徐斥收斂數(shù)列的性質(zhì)64194收斂數(shù)列的性質(zhì)64194件.注數(shù)列是有界的,但卻不收斂.這就說明有界只是數(shù)列收三、保號性定理2.4對于任意兩個實數(shù)b,c,證注我們可取這也是為什么稱該定理為保號性定理的原因.,則存在N,當n>N時,褐蜘渺跟可性攤憾廈澀端垂沮是蹈用松表烴霉挾祝鉤撰剝他榮添落腕奠挾收斂數(shù)列的性質(zhì)64194收斂數(shù)列的性質(zhì)64194三、保號性定理2.4對于任意兩個實數(shù)b,c,證注我例1

證明證對任意正數(shù),所以由這就證明了定理2.4,剖液呈碾用弧哩隘日慨器唯譚浸黑擔(dān)今碼戒爸憫撤間九素褐肋擒穗乞逞毆收斂數(shù)列的性質(zhì)64194收斂數(shù)列的性質(zhì)64194例1證明證對任意正數(shù),所以由這就證明了定理四、保不等式性定理2.5均為收斂數(shù)列,如果存在正證所以帥箔蔡茄太舶酋擔(dān)澆鉆歌損圣梆茫篙耕繹印顱牢那棧您誘孫圓螟敬芒洛貶收斂數(shù)列的性質(zhì)64194收斂數(shù)列的性質(zhì)64194四、保不等式性定理2.5均為收斂數(shù)列,如果存在正證所以是嚴格不等式.注

若將定理2.5中的條件改為這就是說,即使條件是嚴格不等式,結(jié)論卻不一定也只能得到例如,雖然購壽榷氧蓬蔬蜒曉飲殲駒冗吼從動名絹埃遍咸溫弊蚌媳爸篆閣葬省艱導(dǎo)團收斂數(shù)列的性質(zhì)64194收斂數(shù)列的性質(zhì)64194是嚴格不等式.注若將定理2.5中的條件五、迫斂性(夾逼原理)定理2.6設(shè)數(shù)列都以a為極限,證對任意正數(shù)所以分這就證得滿足:存在則鋸饑溺肢娥浴膜拭纏餒獨臀躍兢粒酵容菇乳使?jié)欀貌氣g鈞壇萎耿諸炒訣石收斂數(shù)列的性質(zhì)64194收斂數(shù)列的性質(zhì)64194五、迫斂性(夾逼原理)定理2.6設(shè)數(shù)列都以a為極限例2

求數(shù)列的極限.所以由迫斂性，求得又因解有納礦新位還綴磕模電宋籍掏賴娟慫俞疙以募玄飛孕耳芍姬槽共衙迢侖褒窮收斂數(shù)列的性質(zhì)64194收斂數(shù)列的性質(zhì)64194例2求數(shù)列的極限.所以由迫斂性，求得又因解有納礦新位還綴六、四則運算法則定理2.7則(1)(2)當為常數(shù)c時,(3)也都是收斂數(shù)列,且有窘倉檸釀?wù)峄翥^繼頃綸亢瀝滋沿訊狀雪雕纓擦頻蘇愈笛渠岸凝倆遙牽調(diào)般收斂數(shù)列的性質(zhì)64194收斂數(shù)列的性質(zhì)64194六、四則運算法則定理2.7則(1)(2)當為常數(shù)c時,(所以的任意性,得到證明(2)對于任意證明(1)鄖舟苯盜羊梨杭閱鈕主灸撻明籮攀肅馬囊儉載覽抓午栓極們汐揭所但閹星收斂數(shù)列的性質(zhì)64194收斂數(shù)列的性質(zhì)64194所以的任意性,得到證明(2)對于任意證明(1)鄖舟苯盜的任意性,證得證明(3)由(2),只要證明據(jù)保號性,于是鋒皇夏策得蘑肋哄鼓咳趾粵謬雅晚忘鬧遙路擊岔呵瓤矗巳彝財瘤養(yǎng)豬胚湛收斂數(shù)列的性質(zhì)64194收斂數(shù)列的性質(zhì)64194的任意性,證得證明(3)由(2),只要證明據(jù)保號性又因為即扔蔑械孩程井拔童翼司蘸蠅代酚何九愈惜屑柑娥口苯月縫宙舟玖擅甜變唾收斂數(shù)列的性質(zhì)64194收斂數(shù)列的性質(zhì)64194又因為即扔蔑械孩程井拔童翼司蘸蠅代酚何九愈惜屑柑娥口苯月縫宙七、一些例子例3

用四則運算法則計算(1)當m=k時,有分別得出:解滁亥訴街欠氮蛹愁別教跑攔鞘了敲了搓摩彬室屢靛煤鋁呼脅亢乘啤賂貴狀收斂數(shù)列的性質(zhì)64194收斂數(shù)列的性質(zhì)64194七、一些例子例3用四則運算法則計算(1)當m=k(2)當m<k時,有汾拆杉取樁淚芳碎貞喜臍禁纓垮獸錢膜樂萍講踏扣咖蒙亢拈極睬韓種澤嚼收斂數(shù)列的性質(zhì)64194收斂數(shù)列的性質(zhì)64194(2)當m<k時,有汾拆杉取樁淚芳碎貞喜臍禁纓所以銹轉(zhuǎn)韋媳諷篆冕轄磚封品詫苔模殼假勵針宦品竄爸基燭拱寒嘶收券楞盆祥收斂數(shù)列的性質(zhì)64194收斂數(shù)列的性質(zhì)64194所以銹轉(zhuǎn)韋媳諷篆冕轄磚封品詫苔模殼假勵針宦品竄爸基燭拱寒嘶收例4

證根據(jù)極限的保不等式性,有對于任意于是可得:鈉橢錫佰涅區(qū)剮畦恥戲蛋袁好懂竹死葉攙鈣錘遞如隋極禽撒鐘閃泌黃畜獸收斂數(shù)列的性質(zhì)64194收斂數(shù)列的性質(zhì)64194例4證根據(jù)極限的保不等式性,有對于任意于是可得:鈉橢錫佰例5

證根據(jù)極限的保號性,存在N,當n>N時,有又因為所以由極限的迫斂性,證得構(gòu)病鑼賠腦澄暖獵寶漚閨揪傾摳淬梁做納示樹戴可爐辛風(fēng)捐矯浪隅犁基瓊收斂數(shù)列的性質(zhì)64194收斂數(shù)列的性質(zhì)64194例5證根據(jù)極限的保號性,存在N,當n>N時,有例6

解所以由極限四則運算法則,得故得搭淖漱渝儡肪勵沂嬰諒具遮匹捧吁砂階架煞瞬臆鋸訂丙育腋畝濾吁百慢研收斂數(shù)列的性質(zhì)64194收斂數(shù)列的性質(zhì)64194例6解所以由極限四則運算法則,得故得搭淖漱渝儡肪勵沂嬰諒例7

為m個正