數(shù)學(xué)證明模板課件

目標(biāo)：了解證明的各種形式；理解數(shù)學(xué)證明的形式及本質(zhì)?！?數(shù)學(xué)證明目標(biāo)：§4數(shù)學(xué)證明1一、證明的含義與結(jié)構(gòu)

1.證明的含義在一門科學(xué)理論中，證明是用某個(gè)或某些命題（判斷）的真實(shí)性來斷定另一命題（判斷）的真實(shí)性的思維過程。數(shù)學(xué)命題的證明是用一些已知真實(shí)的命題為前提，通過推理來實(shí)現(xiàn)的。例1如圖，已知：∠B=∠C,AB=AC.求證：AE=AD.

AECDB一、證明的含義與結(jié)構(gòu)

1.證明的含義在一門科學(xué)理論中22.證明的結(jié)構(gòu)任何證明都是由論題、論據(jù)和論證三個(gè)部分組成的。論題是指需要確定其真實(shí)性的那個(gè)判斷或命題。例1中以“已知”為條件，以“求證”為結(jié)論所組成的命題“（∠B=∠C）∧（AB=AC）→AE=AD”就是論題。論據(jù)是確定論題的真實(shí)性時(shí)所依據(jù)的判斷或命題，即證明的根據(jù)和理由。例1中，能重合的量相等（公理），三角形全等的判定定理“ASA”，本論題的題設(shè)“（∠B=∠C）∧（AB=AC）”，以及定理“全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等”等，都是論據(jù)。論證（也稱為證明方式）是由論據(jù)得出論題的推理形式，它是由一系列命題，根據(jù)邏輯推理規(guī)則構(gòu)成的一個(gè)邏輯推演的程序。一個(gè)論證可以只包含一個(gè)推理，也可以包含一系列推理。例1中包含了三個(gè)演繹推理，其中最后一個(gè)演繹推理完整地寫出來就是：

全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，△ABE≌△ACD,∴AE=AD.這種推理形式是（充分條件）假言判斷的肯定式。2.證明的結(jié)構(gòu)任何證明都是由論題、論據(jù)和論證三個(gè)部分組3通俗地講，證明的論題告訴我們“要證明什么”，論據(jù)告訴我們“用什么來證明”，而論證告訴我們“怎樣證明”。數(shù)學(xué)證明常分為已知、求證和證明三部分。其中：“已知”是有待證明其真實(shí)性的命題（論題）的題設(shè)；“求證”是有待證明其真實(shí)性的命題（論題）的結(jié)論；“證明”就是論證，即說明論題真實(shí)性的推理過程?？勺鲾?shù)學(xué)證明的論據(jù)的有：本論題的題設(shè)；證明論題真實(shí)所引用的那些數(shù)據(jù)；已知的公理、公式、定理或者已證明了的論斷；以及學(xué)過的概念的定義、性質(zhì)等命題。通俗地講，證明的論題告訴我們“要證明什么”，論據(jù)告訴我們“用43.證明與推理的關(guān)系證明與推理有密切的聯(lián)系，又有明顯的區(qū)別。其聯(lián)系表現(xiàn)在：證明必須運(yùn)用推理，證明的論題相當(dāng)于推理的結(jié)論，論據(jù)相當(dāng)于推理的前提，證明的方式，即論證相當(dāng)于推理形式。其區(qū)別表現(xiàn)在：（1）推理是先有前提，再由前提推出結(jié)論，證明是先有論題，再探求論據(jù)；（2）推理只是斷定了前提與結(jié)論之間有必然性聯(lián)系或或然性聯(lián)系，并不要求前提和結(jié)論是真實(shí)的，證明則要以真實(shí)的論據(jù)來確定論題的真實(shí)性。3.證明與推理的關(guān)系5二、如何證明數(shù)學(xué)命題1.數(shù)學(xué)命題證明的過程數(shù)學(xué)命題大都具有假言判斷“如果p，那么q”即“p→q”的形式，根據(jù)假言判斷的邏輯特性，要證明命題p→q，只須在假設(shè)p真的條件下，根據(jù)公理、定義、已知定理等真命題，運(yùn)用正確的推理形式，合乎邏輯地推出q為真。故，“從p推出q”就是論題p→q的證明過程。在“從p推出q”的過程中，一般要經(jīng)過一系列的推理，前面推理的結(jié)論是后面推理的前提，這些首尾相接的推理組成一個(gè)推理序列，最后一個(gè)推理的結(jié)論是論題的結(jié)論q.任務(wù)：深入分析例1的證明過程。

二、如何證明數(shù)學(xué)命題1.數(shù)學(xué)命題證明的過程6邏輯思維對(duì)數(shù)學(xué)命題證明的基本要求是：證明要有說服力，即證明要有真實(shí)理由，并且應(yīng)遵守證明的規(guī)則2.數(shù)學(xué)命題證明應(yīng)遵守的規(guī)則規(guī)則1論題要明確.論題是證明的基本目標(biāo)，只有把論題清楚、明確地表述出來，才能使證明有的放矢。例2連結(jié)四邊形四邊的中點(diǎn)成一平行四邊形。規(guī)則2論題應(yīng)當(dāng)始終同一.根據(jù)同一律的要求，在證明過程中，論題應(yīng)當(dāng)始終同一，不得中途變更。違反這條規(guī)則的邏輯錯(cuò)誤，叫做偷換論題。例3求證“四邊形的內(nèi)角和等于360°”，證明時(shí)用矩形代替四邊形。規(guī)則3論據(jù)要真實(shí).論據(jù)是確定論題真實(shí)性的理由。如果論據(jù)是假的，那就不能確定論題的真實(shí)性。違反這條規(guī)則的邏輯錯(cuò)誤，叫做虛假論據(jù)。邏輯思維對(duì)數(shù)學(xué)命題證明的基本要求是：證明要有說服力，即證明要7規(guī)則4論據(jù)不能靠論題來證明.論題的真實(shí)性是靠論據(jù)來證明的，如果論據(jù)的真實(shí)性又要靠論題來證明，那么結(jié)果什么也沒證明。違反這條規(guī)則的邏輯錯(cuò)誤叫循環(huán)論證。規(guī)則5論據(jù)必須能推出論題.證明是特殊的推理，證明中論據(jù)必須是推出論題的充足理由。否則，從論據(jù)就推不出論題。違反這條規(guī)則的邏輯錯(cuò)誤，叫做不能推出。數(shù)學(xué)證明模板課件8數(shù)學(xué)證明模板課件93.常用的證明方法證明：如圖，連接AC.ABCD（1）演繹法和歸納法演繹法是用演繹推理來證明論題的方法，也就是從包含在論據(jù)中的一般原理推出包含在論題中的個(gè)別、特殊事實(shí)。例7在四邊形ABCD中，AB=CD,BC=AD.求證：四邊形ABCD為平行四邊形.3.常用的證明方法證明：如圖，連接AC.ABCD（1）演繹法10例8⊙和⊙相交，過一交點(diǎn)P任作一直線交兩圓于A、B，A在⊙上，B在⊙上，分別過O1、O2作

于C，于D.求證：證明：關(guān)于P、A、B三點(diǎn)的相對(duì)位置，分三種情況考察：APBCD（1）PABCD（2）PBACD（3）歸納法是用歸納推理來證明論題的方法，也就是從包含在論據(jù)中的個(gè)別、特殊事實(shí)推出包含在論題中一般原理的。例8⊙和⊙相交，過一交點(diǎn)P任作一直線交兩11（2）分析法和綜合法①分析法用分析法證明數(shù)學(xué)命題p→q，就是從結(jié)論q出發(fā)，一步一步地探求使結(jié)論成立的充分條件，直到所探求的充分條件是題設(shè)p。例如基本不等式的證明。必修5第三章§3.4（P98）：（2）分析法和綜合法12數(shù)學(xué)證明模板課件13選修1-2第二章§2.2（P39）：選修1-2第二章§2.2（P39）：14數(shù)學(xué)證明模板課件15分析法證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，要步步探求結(jié)論的充分條件，最后達(dá)到題設(shè)。這種方法合乎人們探求真理，解決問題的思維過程，比較容易開拓思路找到證明途徑。教學(xué)中經(jīng)常使用分析法，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力是很有益處的。②綜合法用綜合法證明數(shù)學(xué)命題p→q，就是從題設(shè)p出發(fā)，逐步進(jìn)行推理，最后導(dǎo)出結(jié)論q。分析法證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，要步步探求結(jié)論的充分條件，最后達(dá)到題設(shè)16有時(shí)，很難從題設(shè)出發(fā)找到證明途徑，這時(shí)用綜合法比較困難，應(yīng)用分析法。例如，選修1-2第二章§2.2（P39）：有時(shí)，很難從題設(shè)出發(fā)找到證明途徑，這時(shí)用綜合法比較困難，應(yīng)用17③分析綜合法（“兩頭湊”方法）由上面的例子可以看出，探索論題p→q的證明途徑，無論是分析法，還是綜合法，都是要構(gòu)成一個(gè)聯(lián)系題設(shè)p和結(jié)論q的推理系列。只不過分析法是由后向前構(gòu)造，即“執(zhí)果索因”或“逆推”；綜合法就是由前向后構(gòu)造，即“由因?qū)Ч被颉绊樛啤薄Ｓ纱讼氲剑绻瑫r(shí)用分析法和綜合法去探索，即從前后兩個(gè)方向構(gòu)造推理序列，則一般可以較快地找到證明途徑。這種“兩頭湊”的方法，或稱“分析綜合法”，尤其適宜結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜的問題。例10自⊙O外一點(diǎn)P作⊙O的切線PA，切點(diǎn)為A，再由PA的中點(diǎn)M作⊙O的割線，交⊙O于B、C兩點(diǎn)，PB、PC分別交⊙O于D、E,求證：ED∥PA.③分析綜合法（“兩頭湊”方法）18（3）直接證法和間接證法①直接證法直接證法是從正面推出論題的證明。數(shù)學(xué)命題大多數(shù)是用這種方法證明的。直接證法的一般形式是：即從命題的條件出發(fā)，根據(jù)已知的定義、公理、定理，直接推證結(jié)論的真實(shí)性。②間接證法間接證法不是從正面證明確定論題的真實(shí)性，而是證明它的反論題為假或改證它的等價(jià)命題為真，以間接地達(dá)到目的.間接證法有反證法和同一法兩種.（3）直接證法和間接證法19反證法反證法是通過證明矛盾命題的虛假性，進(jìn)而確立論題的真實(shí)性的證明方法。例11用反證法證明：在同一平面內(nèi)，一條直線與兩條平行線中的一條相交，必定與另一條也相交。例12用反證法證明：一個(gè)三角形的內(nèi)角中，不能有兩個(gè)鈍角或直角。例13用反證法證明：如果一個(gè)整數(shù)的平方是偶數(shù)，那么這個(gè)整數(shù)也是偶數(shù)。例14用反證法證明：在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角不等，那么它們所對(duì)的邊也不等，大角所對(duì)的邊較大。例15用反證法證明：如果m是奇數(shù)，n是整數(shù)，那么方程x2+mx+m=0沒有相等的實(shí)根。注：在反證法由假設(shè)推出矛盾的推導(dǎo)過程中，必須保證每個(gè)推理都合乎邏輯。否則，即使得出矛盾，也不能由此矛盾判定假設(shè)不正確。反證法20.用反證法證明命題“p→q”的全過程和邏輯依據(jù)可以用下圖來表示：反證法的一般步驟如下：

（1）假設(shè)命題的結(jié)論不成立（即結(jié)論的否定成立）；

（2）從否定結(jié)論出發(fā)，進(jìn)行層層推理，得出與公理，或前述的定理、定義（例11、例12）或題設(shè)條件（例13、例14），或與臨時(shí)假設(shè)等自相矛盾（即說明結(jié)論不能否定），或含有自相矛盾命題（例15）的結(jié)論；

（3）根據(jù)排中律，最后肯定原命題成立。

肯定條件p否定結(jié)論q導(dǎo)致邏輯矛盾推理矛盾律為假排中律為真.用反證法證明命題“p→q”的全過程和邏輯依據(jù)可以用下圖來表21.在應(yīng)用反正法時(shí)，如果命題結(jié)論的否定方面只有一種可能情況，那么，只要把這一情況推翻，就能肯定結(jié)論成立，這種反證法叫做歸謬法（例11、12、13、15）。如果命題的結(jié)論的否定方面不只一種情況，那就必須把否定方面所有的可能情況逐一駁倒，才能肯定結(jié)論成立，這種反證法叫做窮舉法（例14）。同一法在幾何中，要證明某個(gè)圖形a具有屬性P，可以先作出具有屬性p的圖形b，然后證明圖形b和圖形a是同一個(gè)圖形，從而證明圖形a具有屬性p.這種證明方法叫做同一方法。例16已知：△ABC中，AD=DB,AE=EC.求證:DE∥BC./（人教版，八年級(jí)下，“第十九章四邊形”，“第一節(jié)平行四邊形”中，“19.1.2平行四邊形的判定”，P88—89.）.在應(yīng)用反正法時(shí)，如果命題結(jié)論的否定方面只有一種可能情況，那22數(shù)學(xué)證明模板課件23人教A版，選修4-1，“第一講相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)”，“一、平行線等分線段定理”。人教A版，選修4-1，“第一講相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)24數(shù)學(xué)證明模板課件25數(shù)學(xué)證明模板課件26同一法的依據(jù)是同一原理。同一法的一般步驟如下：

（1）當(dāng)命題的條件與結(jié)論所含事項(xiàng)都唯一存在時(shí)，先作出符合命題結(jié)論的圖形；

（2）證明所作圖形符合已知條件；

（3）根據(jù)唯一性，確定所作圖形與已知圖形重合；

（4）最后肯定原命題成立。同一法的另一定義：對(duì)于符合同一原理的命題，當(dāng)直接證明有困難時(shí)，可以改證和它等價(jià)的逆命題，只要它的逆命題正確，這個(gè)命題就成立，這種證明方法叫做同一法。（此種觀點(diǎn)有局限！）（4）數(shù)學(xué)歸納法一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題，可以采用下述方法來證明：先證明n=1時(shí)命題成立，然后假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)命題成立，證明n=k+1時(shí)命題也成立，于是斷定，對(duì)所有自然數(shù)n，命題成立。這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。

同一法的依據(jù)是同一原理。27數(shù)學(xué)歸納法不屬于歸納推理，而是根據(jù)歸納原理綜合運(yùn)用歸納、演繹推理的一種特殊的證明方法。歸納原理，即自然數(shù)皮亞諾公理的第五條：任意一個(gè)自然數(shù)的集合，如果含有1，并且假設(shè)含有n，也一定含有n的后繼n′，那么，這個(gè)集合含有所有的自然數(shù)。小貼士：皮亞諾公理，也稱皮亞諾公設(shè)，是意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾提出的關(guān)于自然數(shù)的五條公理系統(tǒng)。根據(jù)這五條公理可以建立起一階算術(shù)系統(tǒng)，也稱皮亞諾算術(shù)系統(tǒng)。

這五條公理用非形式化的方法敘述如下：1）1是自然數(shù)；2）每一個(gè)確定的自然數(shù)a，都有一個(gè)確定的后繼數(shù)a′，a′也是自然數(shù)；（一個(gè)數(shù)的后繼數(shù)就是緊接在這個(gè)數(shù)后面的數(shù)，例如，1的后繼數(shù)是2，2的后繼數(shù)是3等等）3）如果自然數(shù)b、c的后繼數(shù)都是自然數(shù)a，那么b=c；4）1不是任何自然數(shù)的后繼數(shù)；5）任意關(guān)于自然數(shù)的命題，如果證明了它對(duì)自然數(shù)1是對(duì)的，又假定它對(duì)自然數(shù)n為真時(shí)，可以證明它對(duì)n'也真，那么，命題對(duì)所有自然數(shù)都真。(這條公理保證了數(shù)學(xué)歸納法的正確性)注：若將0也視作自然數(shù)，則公理中的1要換成0。數(shù)學(xué)歸納法不屬于歸納推理，而是根據(jù)歸納原理綜合運(yùn)用歸納、演繹28歸納原理也可表述為：如果M是自然數(shù)集N的一個(gè)子集，且滿足：（1）1∈M；（2）若n∈M，則n+1∈M.那么，M=N.用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時(shí)，必須證明下列兩個(gè)命題的真實(shí)性，然后根據(jù)歸納原理，得出對(duì)于一切自然數(shù)命題是真實(shí)的結(jié)論：①當(dāng)自然數(shù)n=1時(shí)，所證命題是真實(shí)的；②假定n=k時(shí)，所證命題真實(shí)，然后以此為根據(jù)推導(dǎo)出當(dāng)n=k+1時(shí)，所證命題也真實(shí).歸納原理也可表述為：29由此得，用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題P(n)的步驟是：（1）證明P(1)成立；（2）假設(shè)P(k)成立，證明P(k+1)成立.根據(jù)（1）和（2），可以斷定對(duì)所有的自然數(shù)n，P(n)都成立。根據(jù)歸納原理容易證明數(shù)學(xué)歸納法的正確性。通常我們把“證明P(1)成立”這一步叫作奠基步驟，“假設(shè)P(k)成立，證明P(k+1)成立”叫作歸納步驟，其中的P(k)叫作歸納假設(shè)。由此得，用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題P(n)的步驟是30注意：有些關(guān)于自然數(shù)的命題，不是對(duì)所有自然數(shù)都真實(shí)，而是對(duì)大于或等于某一自然數(shù)N0(N0≠1)的所有自然數(shù)都真實(shí)，用數(shù)學(xué)歸納法證明這一的命題時(shí)，第一步，驗(yàn)證當(dāng)n=N0時(shí)，所證明題是真實(shí)的，然后再證明上述（2）.例18求證：n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）ⅹ180°.針對(duì)例18和例19這種情形，數(shù)學(xué)歸納法的第一步可改為驗(yàn)證P(k0)成立，其中k0是某個(gè)自然數(shù)數(shù)或0，同時(shí)第二步改為假設(shè)P(k)成立（k≥k0），證明P(k+1)成立，結(jié)論是P(n)對(duì)所有k≥k0都成立。使用數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)注意的幾點(diǎn)：1.兩個(gè)步驟缺一不可.2.奠基步驟不必作多余的驗(yàn)證.3.推導(dǎo)P(k+1)成立時(shí)必須使用歸納假設(shè)P(k).注意：有些關(guān)于自然數(shù)的命題，不是對(duì)所有自然數(shù)都真實(shí)，而是對(duì)大31復(fù)習(xí)思考：什么是證明？數(shù)學(xué)中常用哪些證明方法？舉例說明。

數(shù)學(xué)證明模板課件32目標(biāo)：了解證明的各種形式；理解數(shù)學(xué)證明的形式及本質(zhì)?！?數(shù)學(xué)證明目標(biāo)：§4數(shù)學(xué)證明33一、證明的含義與結(jié)構(gòu)

1.證明的含義在一門科學(xué)理論中，證明是用某個(gè)或某些命題（判斷）的真實(shí)性來斷定另一命題（判斷）的真實(shí)性的思維過程。數(shù)學(xué)命題的證明是用一些已知真實(shí)的命題為前提，通過推理來實(shí)現(xiàn)的。例1如圖，已知：∠B=∠C,AB=AC.求證：AE=AD.

AECDB一、證明的含義與結(jié)構(gòu)

1.證明的含義在一門科學(xué)理論中342.證明的結(jié)構(gòu)任何證明都是由論題、論據(jù)和論證三個(gè)部分組成的。論題是指需要確定其真實(shí)性的那個(gè)判斷或命題。例1中以“已知”為條件，以“求證”為結(jié)論所組成的命題“（∠B=∠C）∧（AB=AC）→AE=AD”就是論題。論據(jù)是確定論題的真實(shí)性時(shí)所依據(jù)的判斷或命題，即證明的根據(jù)和理由。例1中，能重合的量相等（公理），三角形全等的判定定理“ASA”，本論題的題設(shè)“（∠B=∠C）∧（AB=AC）”，以及定理“全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等”等，都是論據(jù)。論證（也稱為證明方式）是由論據(jù)得出論題的推理形式，它是由一系列命題，根據(jù)邏輯推理規(guī)則構(gòu)成的一個(gè)邏輯推演的程序。一個(gè)論證可以只包含一個(gè)推理，也可以包含一系列推理。例1中包含了三個(gè)演繹推理，其中最后一個(gè)演繹推理完整地寫出來就是：

全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，△ABE≌△ACD,∴AE=AD.這種推理形式是（充分條件）假言判斷的肯定式。2.證明的結(jié)構(gòu)任何證明都是由論題、論據(jù)和論證三個(gè)部分組35通俗地講，證明的論題告訴我們“要證明什么”，論據(jù)告訴我們“用什么來證明”，而論證告訴我們“怎樣證明”。數(shù)學(xué)證明常分為已知、求證和證明三部分。其中：“已知”是有待證明其真實(shí)性的命題（論題）的題設(shè)；“求證”是有待證明其真實(shí)性的命題（論題）的結(jié)論；“證明”就是論證，即說明論題真實(shí)性的推理過程?？勺鲾?shù)學(xué)證明的論據(jù)的有：本論題的題設(shè)；證明論題真實(shí)所引用的那些數(shù)據(jù)；已知的公理、公式、定理或者已證明了的論斷；以及學(xué)過的概念的定義、性質(zhì)等命題。通俗地講，證明的論題告訴我們“要證明什么”，論據(jù)告訴我們“用363.證明與推理的關(guān)系證明與推理有密切的聯(lián)系，又有明顯的區(qū)別。其聯(lián)系表現(xiàn)在：證明必須運(yùn)用推理，證明的論題相當(dāng)于推理的結(jié)論，論據(jù)相當(dāng)于推理的前提，證明的方式，即論證相當(dāng)于推理形式。其區(qū)別表現(xiàn)在：（1）推理是先有前提，再由前提推出結(jié)論，證明是先有論題，再探求論據(jù)；（2）推理只是斷定了前提與結(jié)論之間有必然性聯(lián)系或或然性聯(lián)系，并不要求前提和結(jié)論是真實(shí)的，證明則要以真實(shí)的論據(jù)來確定論題的真實(shí)性。3.證明與推理的關(guān)系37二、如何證明數(shù)學(xué)命題1.數(shù)學(xué)命題證明的過程數(shù)學(xué)命題大都具有假言判斷“如果p，那么q”即“p→q”的形式，根據(jù)假言判斷的邏輯特性，要證明命題p→q，只須在假設(shè)p真的條件下，根據(jù)公理、定義、已知定理等真命題，運(yùn)用正確的推理形式，合乎邏輯地推出q為真。故，“從p推出q”就是論題p→q的證明過程。在“從p推出q”的過程中，一般要經(jīng)過一系列的推理，前面推理的結(jié)論是后面推理的前提，這些首尾相接的推理組成一個(gè)推理序列，最后一個(gè)推理的結(jié)論是論題的結(jié)論q.任務(wù)：深入分析例1的證明過程。

二、如何證明數(shù)學(xué)命題1.數(shù)學(xué)命題證明的過程38邏輯思維對(duì)數(shù)學(xué)命題證明的基本要求是：證明要有說服力，即證明要有真實(shí)理由，并且應(yīng)遵守證明的規(guī)則2.數(shù)學(xué)命題證明應(yīng)遵守的規(guī)則規(guī)則1論題要明確.論題是證明的基本目標(biāo)，只有把論題清楚、明確地表述出來，才能使證明有的放矢。例2連結(jié)四邊形四邊的中點(diǎn)成一平行四邊形。規(guī)則2論題應(yīng)當(dāng)始終同一.根據(jù)同一律的要求，在證明過程中，論題應(yīng)當(dāng)始終同一，不得中途變更。違反這條規(guī)則的邏輯錯(cuò)誤，叫做偷換論題。例3求證“四邊形的內(nèi)角和等于360°”，證明時(shí)用矩形代替四邊形。規(guī)則3論據(jù)要真實(shí).論據(jù)是確定論題真實(shí)性的理由。如果論據(jù)是假的，那就不能確定論題的真實(shí)性。違反這條規(guī)則的邏輯錯(cuò)誤，叫做虛假論據(jù)。邏輯思維對(duì)數(shù)學(xué)命題證明的基本要求是：證明要有說服力，即證明要39規(guī)則4論據(jù)不能靠論題來證明.論題的真實(shí)性是靠論據(jù)來證明的，如果論據(jù)的真實(shí)性又要靠論題來證明，那么結(jié)果什么也沒證明。違反這條規(guī)則的邏輯錯(cuò)誤叫循環(huán)論證。規(guī)則5論據(jù)必須能推出論題.證明是特殊的推理，證明中論據(jù)必須是推出論題的充足理由。否則，從論據(jù)就推不出論題。違反這條規(guī)則的邏輯錯(cuò)誤，叫做不能推出。數(shù)學(xué)證明模板課件40數(shù)學(xué)證明模板課件413.常用的證明方法證明：如圖，連接AC.ABCD（1）演繹法和歸納法演繹法是用演繹推理來證明論題的方法，也就是從包含在論據(jù)中的一般原理推出包含在論題中的個(gè)別、特殊事實(shí)。例7在四邊形ABCD中，AB=CD,BC=AD.求證：四邊形ABCD為平行四邊形.3.常用的證明方法證明：如圖，連接AC.ABCD（1）演繹法42例8⊙和⊙相交，過一交點(diǎn)P任作一直線交兩圓于A、B，A在⊙上，B在⊙上，分別過O1、O2作

于C，于D.求證：證明：關(guān)于P、A、B三點(diǎn)的相對(duì)位置，分三種情況考察：APBCD（1）PABCD（2）PBACD（3）歸納法是用歸納推理來證明論題的方法，也就是從包含在論據(jù)中的個(gè)別、特殊事實(shí)推出包含在論題中一般原理的。例8⊙和⊙相交，過一交點(diǎn)P任作一直線交兩43（2）分析法和綜合法①分析法用分析法證明數(shù)學(xué)命題p→q，就是從結(jié)論q出發(fā)，一步一步地探求使結(jié)論成立的充分條件，直到所探求的充分條件是題設(shè)p。例如基本不等式的證明。必修5第三章§3.4（P98）：（2）分析法和綜合法44數(shù)學(xué)證明模板課件45選修1-2第二章§2.2（P39）：選修1-2第二章§2.2（P39）：46數(shù)學(xué)證明模板課件47分析法證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，要步步探求結(jié)論的充分條件，最后達(dá)到題設(shè)。這種方法合乎人們探求真理，解決問題的思維過程，比較容易開拓思路找到證明途徑。教學(xué)中經(jīng)常使用分析法，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力是很有益處的。②綜合法用綜合法證明數(shù)學(xué)命題p→q，就是從題設(shè)p出發(fā)，逐步進(jìn)行推理，最后導(dǎo)出結(jié)論q。分析法證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，要步步探求結(jié)論的充分條件，最后達(dá)到題設(shè)48有時(shí)，很難從題設(shè)出發(fā)找到證明途徑，這時(shí)用綜合法比較困難，應(yīng)用分析法。例如，選修1-2第二章§2.2（P39）：有時(shí)，很難從題設(shè)出發(fā)找到證明途徑，這時(shí)用綜合法比較困難，應(yīng)用49③分析綜合法（“兩頭湊”方法）由上面的例子可以看出，探索論題p→q的證明途徑，無論是分析法，還是綜合法，都是要構(gòu)成一個(gè)聯(lián)系題設(shè)p和結(jié)論q的推理系列。只不過分析法是由后向前構(gòu)造，即“執(zhí)果索因”或“逆推”；綜合法就是由前向后構(gòu)造，即“由因?qū)Ч被颉绊樛啤薄Ｓ纱讼氲?，如果同時(shí)用分析法和綜合法去探索，即從前后兩個(gè)方向構(gòu)造推理序列，則一般可以較快地找到證明途徑。這種“兩頭湊”的方法，或稱“分析綜合法”，尤其適宜結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜的問題。例10自⊙O外一點(diǎn)P作⊙O的切線PA，切點(diǎn)為A，再由PA的中點(diǎn)M作⊙O的割線，交⊙O于B、C兩點(diǎn)，PB、PC分別交⊙O于D、E,求證：ED∥PA.③分析綜合法（“兩頭湊”方法）50（3）直接證法和間接證法①直接證法直接證法是從正面推出論題的證明。數(shù)學(xué)命題大多數(shù)是用這種方法證明的。直接證法的一般形式是：即從命題的條件出發(fā)，根據(jù)已知的定義、公理、定理，直接推證結(jié)論的真實(shí)性。②間接證法間接證法不是從正面證明確定論題的真實(shí)性，而是證明它的反論題為假或改證它的等價(jià)命題為真，以間接地達(dá)到目的.間接證法有反證法和同一法兩種.（3）直接證法和間接證法51反證法反證法是通過證明矛盾命題的虛假性，進(jìn)而確立論題的真實(shí)性的證明方法。例11用反證法證明：在同一平面內(nèi)，一條直線與兩條平行線中的一條相交，必定與另一條也相交。例12用反證法證明：一個(gè)三角形的內(nèi)角中，不能有兩個(gè)鈍角或直角。例13用反證法證明：如果一個(gè)整數(shù)的平方是偶數(shù)，那么這個(gè)整數(shù)也是偶數(shù)。例14用反證法證明：在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角不等，那么它們所對(duì)的邊也不等，大角所對(duì)的邊較大。例15用反證法證明：如果m是奇數(shù)，n是整數(shù)，那么方程x2+mx+m=0沒有相等的實(shí)根。注：在反證法由假設(shè)推出矛盾的推導(dǎo)過程中，必須保證每個(gè)推理都合乎邏輯。否則，即使得出矛盾，也不能由此矛盾判定假設(shè)不正確。反證法52.用反證法證明命題“p→q”的全過程和邏輯依據(jù)可以用下圖來表示：反證法的一般步驟如下：

（1）假設(shè)命題的結(jié)論不成立（即結(jié)論的否定成立）；

（2）從否定結(jié)論出發(fā)，進(jìn)行層層推理，得出與公理，或前述的定理、定義（例11、例12）或題設(shè)條件（例13、例14），或與臨時(shí)假設(shè)等自相矛盾（即說明結(jié)論不能否定），或含有自相矛盾命題（例15）的結(jié)論；

（3）根據(jù)排中律，最后肯定原命題成立。

肯定條件p否定結(jié)論q導(dǎo)致邏輯矛盾推理矛盾律為假排中律為真.用反證法證明命題“p→q”的全過程和邏輯依據(jù)可以用下圖來表53.在應(yīng)用反正法時(shí)，如果命題結(jié)論的否定方面只有一種可能情況，那么，只要把這一情況推翻，就能肯定結(jié)論成立，這種反證法叫做歸謬法（例11、12、13、15）。如果命題的結(jié)論的否定方面不只一種情況，那就必須把否定方面所有的可能情況逐一駁倒，才能肯定結(jié)論成立，這種反證法叫做窮舉法（例14）。同一法在幾何中，要證明某個(gè)圖形a具有屬性P，可以先作出具有屬性p的圖形b，然后證明圖形b和圖形a是同一個(gè)圖形，從而證明圖形a具有屬性p.這種證明方法叫做同一方法。例16已知：△ABC中，AD=DB,AE=EC.求證:DE∥BC./（人教版，八年級(jí)下，“第十九章四邊形”，“第一節(jié)平行四邊形”中，“19.1.2平行四邊形的判定”，P88—89.）.在應(yīng)用反正法時(shí)，如果命題結(jié)論的否定方面只有一種可能情況，那54數(shù)學(xué)證明模板課件55人教A版，選修4-1，“第一講相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)”，“一、平行線等分線段定理”。人教A版，選修4-1，“第一講相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)56數(shù)學(xué)證明模板課件57數(shù)學(xué)證明模板課件58同一法的依據(jù)是同一原理。同一法的一般步驟如下：

（1）當(dāng)命題的條件與結(jié)論所含事項(xiàng)都唯一存在時(shí)，先作出符合命題結(jié)論的圖形；

（2）證明所作圖形符合已知條件；

（3）根據(jù)唯一性，確定所作圖形與已知圖形重合；

（4）最后肯定原命題成立。同一法的另一定義：對(duì)于符合同一原理的命題，當(dāng)直接證明有困難時(shí)，可以改證和它等價(jià)的逆命題，只要它的逆命題正確，這個(gè)命題就成立，這種證明方法叫做同一法。（此種觀點(diǎn)有局限！）（4）數(shù)學(xué)歸納法一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題，可以采用下述方法來證明：先證明n=1時(shí)命題成立，然后假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)命題成立，證明n=k+1時(shí)命題也成立，于是斷定，對(duì)所有自然數(shù)n，命題成立。這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。

同一法的依據(jù)是同一原理。59數(shù)學(xué)歸納法不屬于歸納推理，而是根據(jù)歸納原理綜合運(yùn)用歸納、演繹推理的一種特殊的證明方法。歸納原理，即自然數(shù)皮亞諾公理的第五條：任意一個(gè)自然數(shù)的集合，如果含有1，并且假設(shè)含有n，也