數(shù)數(shù)學建模-擬合與插值課件

第5章作業(yè)數(shù)學系《數(shù)學建模與數(shù)學實驗》國家精品課程學習網(wǎng)站1第5章作業(yè)數(shù)學系《數(shù)學建模與數(shù)學實驗》國家精品課程學習網(wǎng)站1擬合與插值第5章數(shù)值分析法建模1.擬合的基本原理；線性最小二乘擬合。3.面對一個實際問題，判斷應該用插值，還是擬合。2.插值的基本原理；

三種插值方法：拉格朗日插值，Newton插值，三次樣條插值。2擬合與插值第5章數(shù)值分析法建模1.擬合的基本原理；線性最曲線擬合問題已知一組（二維）數(shù)據(jù)，即平面上m個點（xi,yi)i=1,…m,尋求一個函數(shù)（曲線）y=f(x),使f(x)在某種準則下與所有數(shù)據(jù)點最為接近，即曲線擬合得最好。

+++++++++xyy=f(x)(xi,yi)ii為點（xi,yi)與曲線y=f(x)的距離3曲線擬合問題已知一組（二維）數(shù)據(jù)，即平面上m個點（曲線擬合問題最常用的解法——線性最小二乘法的基本思路

先選定一組函數(shù)

r1(x),r2(x),…rn(x),n<m,

令

f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+…+anrn(x)（1）其中

a1,a2,…an

為待定系數(shù)。確定a1,a2,…an

的準則（最小二乘準則）：使n個點（xi,yi)與曲線y=f(x)的距離i的平方和最小。記

問題歸結為，求

a1,a2,…an

使J(a1,a2,…an)

最小。4曲線擬合問題最常用的解法——線性最小二乘法的基本思路線性最小二乘法的求解記當ATA可逆時，（4）有唯一解：5線性最小二乘法的求解記當ATA可逆時，（4）有唯一解：5線性最小二乘擬合f(x)=a1r1(x)+…+anrn(x)中函數(shù){r1(x),…rn(x)}的選取

1.通過機理分析建立數(shù)學模型來確定f(x)；++++++++++++++++++++y=a1+a2x

(a2>0)2.作數(shù)據(jù)散點圖，通過直觀判斷確定f(x)+++++y=a1+a2x+a3x2（a3>0）+++++y=a1+a2x+a3x2

(a3<0)y=a1+a2/xy=a1exp(a2x)

（a2>0）y=a1exp(a2x)

(a3<0)1.曲線改直技巧2.多項式階數(shù)的確定曲線擬合的幾個問題6線性最小二乘擬合f(x)=a1r1(x)+…+anrn(差分與差商概念一階前向差分m階前向差分一階差商m階差商多項式擬合差商與導數(shù)的關系7差分與差商概念一階前向差分m階前向差分一階差商差分表8差分表8.xk

f(xk)一階差商二階差商三階差商……n階差商差商表9.差商表9等距節(jié)點的差分性質性質1(差分與函數(shù)值的關系)各階差分均可表示為函數(shù)值的線性組合性質2(多項式的差分)若f(x)∈Pn(n次多項式類),則性質3(差分與差商的關系):性質4(差分與導數(shù)的關系）10等距節(jié)點的差分性質性質1(差分與函數(shù)值的關系)各階差分均可與擬合有關的MATLAB函數(shù)polyfit:多項式擬合poly2sym:由多項式系數(shù)向量得多項式符號表達式polyval:計算多項式函數(shù)在指定處的函數(shù)值poly:計算過固定點的多項式lsqcurvefit,lsqnonlin非線性最小二乘擬合fit,fittype一般曲線擬合1.作多項式f(x)=anxn+…+a1x+a0擬合,可利用Matlab命令:a=polyfit(x,y,n)2.對超定方程組可得最小二乘意義下的解。用yy=polyval(a,xx)….計算多項式a在xx處的值11與擬合有關的MATLAB函數(shù)polyfit:多項式擬合1.當精確函數(shù)y=f(x)非常復雜或未知時，在區(qū)間[a,b]上一系列節(jié)點x0…xm處測得函數(shù)值y0

=f(x1),…,ym

=f(xm)，由此構造一個簡單易算的近似函數(shù)g(x)

f(x)，滿足條件

g(xj)=f(xj)(j=0,…m)(*)這個問題稱為“插值問題”插值問題g(x)稱為f(x)的插值函數(shù),一般取多項式函數(shù)。x0…xm稱為插值節(jié)點,條件(*)稱為插值條件，區(qū)間[a,b]稱為插值區(qū)間12當精確函數(shù)y=f(x)非常復雜或未知時，x0x0x2xm-1xm

xf(x)g(x)精確函數(shù)y=f(x)非常復雜或未知g(x)稱為f(x)的插值函數(shù)

節(jié)點x0…xm稱為插值節(jié)點13x0x0x2xm-1xmxf(x)g(x)精確函數(shù)y基本思想：在n次多項式空間Pn中找一組合適的基函數(shù)0(x),1(x),…,n(x),使pn(x)=a00(x)

+a11(x)

+…+an

n(x)不同的基函數(shù)的選取導致不同的插值方法14基本思想：在n次多項式空間Pn中找一組合適的基函數(shù)pn(x)稱為拉格朗日插值基函數(shù)。

已知函數(shù)f(x)在n+1個點x0,x1,…,xn處的函數(shù)值為y0,y1,…,yn。求一n次多項式函數(shù)Ln(x)，使其滿足：

Ln(xi)=yi,i=0,1,…,n.此問題的拉格朗日插值多項式公式如下:其中l(wèi)i(x)為n次多項式拉格朗日(Lagrange)插值15稱為拉格朗日插值基函數(shù)。已知函數(shù)f(x)在n拉格朗日(Lagrange)插值特別地:兩點一次(線性)插值多項式:三點二次(拋物線)插值多項式:16拉格朗日(Lagrange)插值特別地:兩點一次(線性)插值拉格朗日多項式插值的這種振蕩現(xiàn)象叫Runge現(xiàn)象采用拉格朗日多項式插值：選取不同插值節(jié)點個數(shù)n+1，其中n為插值多項式的次數(shù)，當n分別取2,4,6,8,10時，繪出插值結果圖形.例1ch.m17拉格朗日多項式采用拉格朗日多項式插值

Newton’sInterpolation基本原理Lagrange插值雖然易算，但若要增加一個節(jié)點時，全部基函數(shù)li(x)都需要重新計算能否重新在Pn中尋找新的基函數(shù)？希望每加一個節(jié)點時，只附加一項上去即可18Newton’sInterpolation基本原理La選?。?,x-x0

,

(x-x0)(x-x1),…,(x-x0)(x-x1)…

(x-xn-1)｝構成Pn的一組基函數(shù)

Newton’sInterpolation基本原理利用插值條件Nn(xj)=f(xj),j=0,1，…，n代入上式，得關于Ak(k=0,1，…，n)的線性代數(shù)方程組當xj互異時，系數(shù)矩陣非奇異，方程有唯一解19選?。?,x-x0,(x-x0)(x-xLagrange插值與Newton插值的異同點兩者都是通過給定n+1個互異的插值節(jié)點，求一條n次多項式曲線近似地表示待插值的函數(shù)曲線．Lagrange插值和Newton法插值的結果和余項都是一致的，因為都是利用n次多項式插值．區(qū)別：Lagrange插值法在求每個函數(shù)的時候要用到所有結點，因此如果需要再多加進去一個結點的話，需要重新求出函數(shù)才可，而這需要大工作量，于是數(shù)學家們就發(fā)明了Newton法。Lagrange插值法是通過構造n+1個n次基函數(shù)，作線性組合（結果當然也是n次的多項式）而得到．Newton法插值是通過求各階差商，遞推得到公式

f(x)=f(x0)+(x-x0)f[x0,x1]+(x-x0)(x-x1)f[x0,x1,x2]....+(x-x0)...(x-xn-1)f[x0,x1...xn]

20Lagrange插值與Newton插值的異同點兩者都是通過給在數(shù)學上，光滑程度的定量描述是：函數(shù)(曲線)的k階導數(shù)存在且連續(xù)，則稱該曲線具有k階光滑性。光滑性的階次越高，則越光滑。是否存在較低次的分段多項式達到較高階光滑性的方法？

三次樣條插值就是一個很好的例子。三次樣條插值21在數(shù)學上，光滑程度的定量描述是：函數(shù)(曲線)的kCubicSplineInterpolationLagrangeInterpolation2222

三次樣條插值f(x)為被插值函數(shù)23三次樣條插值f(x)為被插值函數(shù)23例用三次樣條插值選取11個基點計算插值(ych.m)24例用三次樣條插值選取11個基點計算插值(ych.m)241.拉格朗日插值:自編程序2.分段線性插值:已有程序

y=interp1(x0,y0,x)3.三次樣條插值:已有程序

y=interp1(x0,y0,x,’spline’)

或

y=spline(x0,y0,x)用MATLAB作插值計算注意：所有的插值方法都要求x0是單調的，

并且x不能夠超過x的范圍。interp2,interp3,interpn多元函數(shù)插值251.拉格朗日插值:自編程序2.分段線性插值:已有程序pp=spline(x,y)：樣條函數(shù)的表示（PP結構）pp=cscvn(x,y):自然樣條函數(shù)的表示yi=ppval(pp,xx)或yi=spline(x,y,xx)：樣條函數(shù)求值fprime=fnder(pp),fprime=fnder(pp,dorder)

樣條函數(shù)求導inters=fnint(pp),intgrf=fnint(pp,value)樣條函數(shù)積分fnplt(pp)樣條函數(shù)繪圖樣條函數(shù)的相關MATLAB命令26pp=spline(x,y)：樣條函數(shù)的表示（PP結構

例1：在1-12的11小時內(nèi)，每隔1小時測量一次溫度，測得的溫度依次為：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。試估計每隔1/10小時的溫度值。Temp.mhours=1:12;temps=[589152529313022252724];h=1:0.1:12;t=interp1(hours,temps,h,'spline');(直接輸出數(shù)據(jù)將是很多的)plot(hours,temps,'+',h,t,hours,temps,'r:')%作圖xlabel('Hour'),ylabel('DegreesCelsius’)27例1：在1-12的11小時內(nèi)，每隔1小時測量一次溫度xy機翼下輪廓線例2已知飛機下輪廓線上數(shù)據(jù)如下，分別用Lagrange插值法、分段線性插值法、三次樣條插值法求x每改變0.1時的y值。Plane.m28xy機翼下輪廓線例2已知飛機下輪廓線上習題1.某公交公司1路車過去20個季度內(nèi)的客流量(單位：百萬)如下表：試確定客流量與季度序號之間的函數(shù)關系,并預測未來3個季度的客流量。2.給定f(x)=lnx的數(shù)據(jù)表xi

2.202.402.602.803.00f(xi)0.788460.875470.955511.029621.09861分別求四次Lagrange插值多項式和Newton插值多項式3.設f(x)=lnx,已知f(x)的數(shù)據(jù).試用三次樣條函數(shù)S(x)來計算ln(0.6)的近似值lnx-0.916291-0.693147-0.356675-0.223144x0.400.500.700.8029習題1.某公交公司1路車過去20個季度內(nèi)的客流量(單位：百萬第5章作業(yè)數(shù)學系《數(shù)學建模與數(shù)學實驗》國家精品課程學習網(wǎng)站30第5章作業(yè)數(shù)學系《數(shù)學建模與數(shù)學實驗》國家精品課程學習網(wǎng)站1擬合與插值第5章數(shù)值分析法建模1.擬合的基本原理；線性最小二乘擬合。3.面對一個實際問題，判斷應該用插值，還是擬合。2.插值的基本原理；

三種插值方法：拉格朗日插值，Newton插值，三次樣條插值。31擬合與插值第5章數(shù)值分析法建模1.擬合的基本原理；線性最曲線擬合問題已知一組（二維）數(shù)據(jù)，即平面上m個點（xi,yi)i=1,…m,尋求一個函數(shù)（曲線）y=f(x),使f(x)在某種準則下與所有數(shù)據(jù)點最為接近，即曲線擬合得最好。

+++++++++xyy=f(x)(xi,yi)ii為點（xi,yi)與曲線y=f(x)的距離32曲線擬合問題已知一組（二維）數(shù)據(jù)，即平面上m個點（曲線擬合問題最常用的解法——線性最小二乘法的基本思路

先選定一組函數(shù)

r1(x),r2(x),…rn(x),n<m,

令

f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+…+anrn(x)（1）其中

a1,a2,…an

為待定系數(shù)。確定a1,a2,…an

的準則（最小二乘準則）：使n個點（xi,yi)與曲線y=f(x)的距離i的平方和最小。記

問題歸結為，求

a1,a2,…an

使J(a1,a2,…an)

最小。33曲線擬合問題最常用的解法——線性最小二乘法的基本思路線性最小二乘法的求解記當ATA可逆時，（4）有唯一解：34線性最小二乘法的求解記當ATA可逆時，（4）有唯一解：5線性最小二乘擬合f(x)=a1r1(x)+…+anrn(x)中函數(shù){r1(x),…rn(x)}的選取

1.通過機理分析建立數(shù)學模型來確定f(x)；++++++++++++++++++++y=a1+a2x

(a2>0)2.作數(shù)據(jù)散點圖，通過直觀判斷確定f(x)+++++y=a1+a2x+a3x2（a3>0）+++++y=a1+a2x+a3x2

(a3<0)y=a1+a2/xy=a1exp(a2x)

（a2>0）y=a1exp(a2x)

(a3<0)1.曲線改直技巧2.多項式階數(shù)的確定曲線擬合的幾個問題35線性最小二乘擬合f(x)=a1r1(x)+…+anrn(差分與差商概念一階前向差分m階前向差分一階差商m階差商多項式擬合差商與導數(shù)的關系36差分與差商概念一階前向差分m階前向差分一階差商差分表37差分表8.xk

f(xk)一階差商二階差商三階差商……n階差商差商表38.差商表9等距節(jié)點的差分性質性質1(差分與函數(shù)值的關系)各階差分均可表示為函數(shù)值的線性組合性質2(多項式的差分)若f(x)∈Pn(n次多項式類),則性質3(差分與差商的關系):性質4(差分與導數(shù)的關系）39等距節(jié)點的差分性質性質1(差分與函數(shù)值的關系)各階差分均可與擬合有關的MATLAB函數(shù)polyfit:多項式擬合poly2sym:由多項式系數(shù)向量得多項式符號表達式polyval:計算多項式函數(shù)在指定處的函數(shù)值poly:計算過固定點的多項式lsqcurvefit,lsqnonlin非線性最小二乘擬合fit,fittype一般曲線擬合1.作多項式f(x)=anxn+…+a1x+a0擬合,可利用Matlab命令:a=polyfit(x,y,n)2.對超定方程組可得最小二乘意義下的解。用yy=polyval(a,xx)….計算多項式a在xx處的值40與擬合有關的MATLAB函數(shù)polyfit:多項式擬合1.當精確函數(shù)y=f(x)非常復雜或未知時，在區(qū)間[a,b]上一系列節(jié)點x0…xm處測得函數(shù)值y0

=f(x1),…,ym

=f(xm)，由此構造一個簡單易算的近似函數(shù)g(x)

f(x)，滿足條件

g(xj)=f(xj)(j=0,…m)(*)這個問題稱為“插值問題”插值問題g(x)稱為f(x)的插值函數(shù),一般取多項式函數(shù)。x0…xm稱為插值節(jié)點,條件(*)稱為插值條件，區(qū)間[a,b]稱為插值區(qū)間41當精確函數(shù)y=f(x)非常復雜或未知時，x0x0x2xm-1xm

xf(x)g(x)精確函數(shù)y=f(x)非常復雜或未知g(x)稱為f(x)的插值函數(shù)

節(jié)點x0…xm稱為插值節(jié)點42x0x0x2xm-1xmxf(x)g(x)精確函數(shù)y基本思想：在n次多項式空間Pn中找一組合適的基函數(shù)0(x),1(x),…,n(x),使pn(x)=a00(x)

+a11(x)

+…+an

n(x)不同的基函數(shù)的選取導致不同的插值方法43基本思想：在n次多項式空間Pn中找一組合適的基函數(shù)pn(x)稱為拉格朗日插值基函數(shù)。

已知函數(shù)f(x)在n+1個點x0,x1,…,xn處的函數(shù)值為y0,y1,…,yn。求一n次多項式函數(shù)Ln(x)，使其滿足：

Ln(xi)=yi,i=0,1,…,n.此問題的拉格朗日插值多項式公式如下:其中l(wèi)i(x)為n次多項式拉格朗日(Lagrange)插值44稱為拉格朗日插值基函數(shù)。已知函數(shù)f(x)在n拉格朗日(Lagrange)插值特別地:兩點一次(線性)插值多項式:三點二次(拋物線)插值多項式:45拉格朗日(Lagrange)插值特別地:兩點一次(線性)插值拉格朗日多項式插值的這種振蕩現(xiàn)象叫Runge現(xiàn)象采用拉格朗日多項式插值：選取不同插值節(jié)點個數(shù)n+1，其中n為插值多項式的次數(shù)，當n分別取2,4,6,8,10時，繪出插值結果圖形.例1ch.m46拉格朗日多項式采用拉格朗日多項式插值

Newton’sInterpolation基本原理Lagrange插值雖然易算，但若要增加一個節(jié)點時，全部基函數(shù)li(x)都需要重新計算能否重新在Pn中尋找新的基函數(shù)？希望每加一個節(jié)點時，只附加一項上去即可47Newton’sInterpolation基本原理La選?。?,x-x0

,

(x-x0)(x-x1),…,(x-x0)(x-x1)…

(x-xn-1)｝構成Pn的一組基函數(shù)

Newton’sInterpolation基本原理利用插值條件Nn(xj)=f(xj),j=0,1，…，n代入上式，得關于Ak(k=0,1，…，n)的線性代數(shù)方程組當xj互異時，系數(shù)矩陣非奇異，方程有唯一解48選?。?,x-x0,(x-x0)(x-xLagrange插值與Newton插值的異同點兩者都是通過給定n+1個互異的插值節(jié)點，求一條n次多項式曲線近似地表示待插值的函數(shù)曲線．Lagrange插值和Newton法插值的結果和余項都是一致的，因為都是利用n次多項式插值．區(qū)別：Lagrange插值法在求每個函數(shù)的時候要用到所有結點，因此如果需要再多加進去一個結點的話，需要重新求出函數(shù)才可，而這需要大工作量，于是數(shù)學家們就發(fā)明了Newton法。Lagrange插值法是通過構造n+1個n次基函數(shù)，作線性組合（結果當然也是n次的多項式）而得到．Newton法插值是通過求各階差商，遞推得到公式

f(x)=f(x0)+(x-x0)f[x0,x1]+(x-x0)(x-x1)f[x0,x1,x2]....+(x-x0)...(x-xn-1)f[x0,x1...xn]

49Lagrange插值與Newton插值的異同點兩者都是通過給在數(shù)學上，光滑程度的定量描述是：函數(shù)(曲線)的k階導數(shù)存在且連續(xù)，則稱該曲線具有k階光滑性。光滑性的階次越高，則越光滑。是否存在較低次的分段多項式達到較高階光滑性的方法？

三次樣條插值就是一個很好的例子。三次樣條插值50在數(shù)學上，光滑程度的定量描述是：函數(shù)(曲線)的kCubicSplineInterpolationLagrangeInterpolation5122

三次樣條插值f(x)為被插值函數(shù)52三次樣條插值f(x)為被插值函數(shù)23例用三次樣條插值選取11個基點計算插值(ych.m)53例用三次樣條插值選取11個基點計算插值(ych.m)241.拉格朗日插值:自編程序2.分段線性插值:已有程序

y=interp1(x0,y0,x)3.三次樣條插值:已有程序

y=interp1(x0,y0,x,’spline’)

或

y=spline(x0,y0,x)用MATLAB作插值計算注意：所有的插值方法都要求x0是單調的，

并且x不能夠超過x的范圍。interp2,interp3,interpn多元函數(shù)插值541.拉格朗日插值:自編程序2.分段線性插值:已有程序pp=spline(x,y)：樣條函數(shù)的表示（PP結構）pp=