系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為名師優(yōu)質(zhì)課賽課一等獎市公開課獲獎?wù)n件

系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣為1.解耦系統(tǒng)定義(4-32)§4-3用狀態(tài)反饋進(jìn)行解耦控制這里A、B、C分別為n×n、n×p、p×n矩陣。因為p=q，這是一個方陣解耦問題。一、解耦問題提法系統(tǒng)動態(tài)方程為第1頁1定義若(A,B,C)傳函陣G(s)p=q是對角形非奇異矩陣，則稱系統(tǒng)(4-32)是解耦。第2頁2例：考慮以下系統(tǒng)：系統(tǒng)被完全解耦了。因為此時只需要處理單變量系統(tǒng)控制問題，簡化了控制律設(shè)計。第3頁3多變量控制系統(tǒng)解耦問題是多變量系統(tǒng)控制律設(shè)計中主要問題之一。考慮以下簡單2×2系統(tǒng)：因為控制間耦合作用，要使每一個通道都能夠穩(wěn)定并有滿意動態(tài)性能，控制律設(shè)計顯然要比單變量系統(tǒng)時來得困難。第4頁42.狀態(tài)反饋控制律：p=q，即方解耦問題；狀態(tài)反饋控制律為

u=Kx+Hv

(H為非奇異陣)(4-34)第5頁5包含輸入變換狀態(tài)反饋系統(tǒng)第6頁6所以，對上述狀態(tài)反饋控制律

u=Kx+Hv

(H為非奇異陣)(4-34)第7頁73.解耦問題提法：找出矩陣K、H，使為對角、非奇異陣：第8頁8預(yù)備引理；可解耦充要條件:定理4-10，積分器解耦系統(tǒng)；一個解耦控制律:定理4-11。本節(jié)基本內(nèi)容：第9頁91.引理1.開、閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣關(guān)系:二、預(yù)備引理證實：經(jīng)冗長代數(shù)運算即可證實(習(xí)題課講），略。第10頁102.非負(fù)整數(shù)di及非零向量Ei

記C第i行為ci；G(s)第i行為Gi(s)，即

可將Gi(s)表示成第11頁11則我們得到了一個非負(fù)整數(shù)

di0di實際上是上式中由左向右s負(fù)冪次系數(shù)是零項個數(shù)，它等價于使第12頁12(4-39)以上分析表明，對兩種表示方式：G(s)和(A,B,C)，我們均能夠求得di和Ei。第13頁13例題1

給定以下G(s)，試計算di和Ei

解

d1=min{1,2}1=0,d2=min{2,2}1=1

第14頁14第15頁15解

c1B=[10],d1=0;E1=[10]

c2B=[01],d2=0;E2=[01]例題4-5a

系統(tǒng)方程為@p33

試計算di和Ei第16頁16開環(huán)傳遞函數(shù)陣第i行能夠表示為下式：3.開、閉環(huán)傳遞函數(shù)陣引入非負(fù)整數(shù)di及非零行向量Ei后，記第17頁17第18頁18開環(huán)傳遞函數(shù)陣能夠表示為:@p21第19頁19再利用(4-37)式:第20頁20(S-1)或可將閉環(huán)傳遞函數(shù)陣表為：(S-2)@p19第21頁21按照非負(fù)整數(shù)di及非零向量Ei定義，我們能夠得到閉環(huán)傳函陣所對應(yīng),。注意到第22頁22我們有第23頁23由k=0、1,…..,依次證實即可。第24頁24這里，第25頁25定理4-9

系統(tǒng)可用反饋u=Kx+Hv進(jìn)行解耦充分必要條件是(4-42)式定義E為非奇異陣，即(4-32)非奇異。三、系統(tǒng)可解耦充要條件第26頁26證實：

必要性。只要證實E非奇異就能夠了。若系統(tǒng)可用狀態(tài)反饋u=Kx+Hv解耦，于是Gf(s)對角且非奇異：第27頁27故有是對角；又因為是非零向量，所以有非奇異。但，故知E非奇異。第28頁28充分性:將

K=E1F,H=E1代入(S-2)可得K=E1FH=E1第29頁29(4-49)第30頁30且原系統(tǒng)可控、可觀察，因采取狀態(tài)反饋不改變可控性，這時閉環(huán)動態(tài)方程是不可觀。說明這一解耦狀態(tài)反饋改變了系統(tǒng)可觀察性。由上式可知，閉環(huán)傳函陣McMillan階為假如注：定理充分性證實實際上給出了使系統(tǒng)解耦反饋信號u=Kx+Hv，其中：K=E1F,H=E1第31頁31本節(jié)介紹解耦方式，因為其對角元都是積分器，故被稱為積分器解耦系統(tǒng)。它不滿足穩(wěn)定性要求。故在實際中不能使用。不過在理論上，它提供了可解耦系統(tǒng)一個中間形式，可供深入研究解耦問題時使用。第32頁32例題4-5

將例題4-5a中系統(tǒng)化為積分器解耦系統(tǒng)。

c1B=[10],d1=0;E1=[10]

c2B=[01],d2=0;E2=[01]我們已經(jīng)計算出di和Ei以下@p16：于是，依據(jù)定理4-9，只需要計算：K=E1F,H=E1,其中，第33頁33由此求得依據(jù)例題4-5a計算可知E是單位陣，故系統(tǒng)可解耦。現(xiàn)采取定理4-9充分性證實中提供(4-47)式將其化為積分器解耦系統(tǒng)。計算F陣,F1=c1A=[001],F2=c2A=[–1–2–3],故得K=E1F,H=E1,其中，第34頁34故反饋控制律閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)方程為閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣反饋前系統(tǒng)可控可觀，而閉環(huán)系統(tǒng)不可觀察。這一解耦狀態(tài)反饋改變了系統(tǒng)可觀察性。第35頁35如前所述，積分器解耦系統(tǒng)是不穩(wěn)定，未能處理解耦后極點配置問題，需在此基礎(chǔ)上深入改進(jìn)控制律。這一問題因為比較復(fù)雜，相關(guān)討論在此省略了，可參考何關(guān)鈺《線性控制系統(tǒng)理論》中相關(guān)內(nèi)容或國內(nèi)外文件。下面介紹一個簡單解耦控制律設(shè)計方法。第36頁36定理4-10:

若系統(tǒng)可用狀態(tài)反饋解耦，且則采取狀態(tài)反饋四.一個解耦控制律第37頁37能夠?qū)㈤]環(huán)傳函矩陣化為其中kij是可調(diào)參數(shù)，可用來對閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣對角元進(jìn)行極點配置。由上式可知Gf(s)McMillan階為n，說明這時解耦狀態(tài)反饋律未改變系統(tǒng)可觀察性。第38頁38證實：

可用狀態(tài)反饋解耦，故E非奇異。考慮關(guān)系式：將H=E1和K=E1D代入上式，有于是只要證實即可。進(jìn)而，只要證實第39頁39第40頁40分以下步驟證實：第41頁415）結(jié)合式(A.1)(A.4)，有證完。第42頁42問可否用狀態(tài)反饋律u=Kx+Hv,將閉環(huán)傳遞函數(shù)陣變?yōu)槿缬锌赡?，求出K和H。例題

系統(tǒng)動態(tài)方程為第43頁43解

c1B=[01],d1=0;c2B=[00],c2AB=[21],d2=1,

d1+d2+p=0+1+2=3=n

于是，狀態(tài)反饋律中矩陣可選為第44頁44五、方解耦問題(p=q)小結(jié)系統(tǒng)可用u=Kx+Hv解耦；需要探索采取別伎倆解耦；3.若系統(tǒng)可用u=Kx+Hv解耦,且則可用定理4-10實現(xiàn)解耦,而且對角元傳遞函數(shù)極點可任意設(shè)置；個模態(tài)不可觀，這些模態(tài)屬性(穩(wěn)定是否)就需深入研究。若系統(tǒng)解耦同時一定造成某一被消去模態(tài)不在嚴(yán)格左半平面，則稱閉環(huán)解耦與穩(wěn)定相矛盾。第45頁45解耦問題研究是輸入輸出間關(guān)系，是多變量系統(tǒng)獨有問題。在多變量系統(tǒng)設(shè)計中，解耦是控制律設(shè)計最慣用選擇。當(dāng)然也存在其它多變量系統(tǒng)非解耦控制方式?？傉f來，一個系統(tǒng)是否可經(jīng)過狀態(tài)反饋解耦取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及模型與實際對象之間吻合程度。若數(shù)學(xué)模型參數(shù)含有不確定性，不采取參數(shù)辨識，要完全解耦似乎不太可能。30年代就已開展解耦問題研究，比如按干擾賠償法則。1964年,Morgan給出了狀態(tài)空間語言描述后,取得了重大發(fā)展。所以解耦問題又稱為Morgan問題，是線性（非線性）系統(tǒng)設(shè)計中最具挑戰(zhàn)性問題之一。第46頁46B.S.Morgon,Thesynthesisoflinearmultivariablesystemsbystatevariablefeedback,IEEETrans.Automat.Contr.,1964,Vol.9,405-411P.L.Falb,andW.A.Wolovinch,Decouplinginthedesignandsynthesisofmultivariablecontrolsystems,IEEETrans.Automat.