2021新教材選擇性必修1完美題型精練（同步學(xué)習(xí)培優(yōu)61個(gè)題型完美練透）

2021新教材選擇性必修1完美題型精練202/202目錄TOC\o"1-3"\h\u55331.1空間向量及其運(yùn)算 28781【題組一概念的辨析】 231843【題組二空間向量的線性運(yùn)算】 424864【題組三空間向量的共面問題】 916287【題組四空間向量的數(shù)量積】 1133101.2空間向量的基本定理 1632208【題組一基底的判斷】 1610028【題組二基底的運(yùn)用】 1825534【題組三基本定理的運(yùn)用】 20158801.3空間向量及其坐標(biāo)的運(yùn)算 234444【題組一空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算】 2331284【題組二坐標(biāo)運(yùn)算在幾何中的運(yùn)用】 2615070【題組三最值問題】 30236161.4.1空間向量應(yīng)用（一） 313885【題組一平面法向量的求解】 3111674【題組二空間向量證平行】 3230569【題組三空間向量證明垂直】 3427271.4.2空間向量應(yīng)用（二） 387965【題組一空間向量求線線角】 3822167【題組二空間向量求線面角】 4129508【題組三空間向量求二面角】 4811999【題組四空間向量求距離】 5530296第一章空間向量與立體幾何章末測(cè)試 64254712.1直線的斜率與傾斜角 8431234【題組一傾斜角】 8425216【題組二斜率】 864902【題組三傾斜角與斜率綜合運(yùn)用】 8614407【題組四直線平行】 88856【題組五直線垂直】 8950492.2直線方程 9127397【題組一點(diǎn)斜式方程】 9129764【題組二斜截式方程】 9129137【題組三兩點(diǎn)式方程】 926459【題組四截距式方程】 9316123【題組五一般式方程】 9417717【題組六直線方程綜合運(yùn)用】 95106912.3直線的交點(diǎn)及距離公式 9815698【題組一直線的交點(diǎn)】 982602【題組二三種距離問題】 10027524【題組三對(duì)稱問題】 10152502.4圓的方程 1031109【題組一圓的方程】 10316037【題組二根據(jù)圓的方程求參數(shù)】 10521449【題組三點(diǎn)與圓的位置關(guān)系】 10725555【題組四對(duì)稱問題】 10912865【題組五求軌跡方程】 110175382.5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 11227024【題組一直線與圓的位置關(guān)系】 11210660【題組二弦長(zhǎng)】 11321409【題組三圓與圓的位置關(guān)系】 11528465【題組四切線】 1161884第二章直線和圓的方程 11961383.1.1橢圓 13119889【題組一橢圓的定義】 13123820【題組二橢圓定義的運(yùn)用】 13410220【題組三橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】 13632042【題組四離心率】 140147863.1.2橢圓 14329998【題組一直線與橢圓的位置關(guān)系】 14315548【題組二弦長(zhǎng)】 14420556【題組三點(diǎn)差法】 14840643.2.1雙曲線 15130601【題組一雙曲線的定義】 15119919【題組二雙曲線定義的運(yùn)用】 15325069【題組三雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程】 15625779【題組四雙曲線的漸近線】 158212993.2.2雙曲線 16018092【題組一雙曲線的離心率】 1601284【題組二直線與雙曲線的位置關(guān)系】 16316035【題組三弦長(zhǎng)】 16514081【題組四點(diǎn)差法】 16852873.3拋物線 17117447【題組一拋物線的定義】 17117983【題組二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程】 1744183【題組三直線與拋物線的位置關(guān)系】 17831329【題組四弦長(zhǎng)】 18030463【題組五定點(diǎn)定值】 18221984第三章章末測(cè)試 1861.1空間向量及其運(yùn)算【題組一概念的辨析】1．（2020·遼寧沈陽.高二期末）在下列結(jié)論中：①若向量共線，則向量所在的直線平行；②若向量所在的直線為異面直線，則向量一定不共面；③若三個(gè)向量?jī)蓛晒裁?，則向量共面；④已知空間的三個(gè)向量，則對(duì)于空間的任意一個(gè)向量總存在實(shí)數(shù)x，y，z使得.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】平行向量就是共線向量，它們的方向相同或相反，未必在同一條直線上，故①錯(cuò)．兩條異面直線的方向向量可通過平移使得它們?cè)谕黄矫鎯?nèi)，故②錯(cuò)，三個(gè)向量?jī)蓛晒裁?，這三個(gè)向量未必共面，如三棱錐中，兩兩共面，但它們不是共面向量，故③錯(cuò)．根據(jù)空間向量基本定理，需不共面，故④錯(cuò)．綜上，選A．2（2019·全國(guó)高二）下列說法中正確的是（）A．若，則，的長(zhǎng)度相等，方向相同或相反B．若向量是向量的相反向量，則C．空間向量的減法滿足結(jié)合律D．在四邊形中，一定有【答案】B【解析】對(duì)于A,向量的模相等指的是向量的長(zhǎng)度相等,方向具有不確定性,因而不一定方向相同或相反,所以A錯(cuò)誤.對(duì)于B,相反向量指的是大小相等,方向相反的兩個(gè)向量.因而相反向量滿足模長(zhǎng)相等,所以B正確.對(duì)于C,減法結(jié)合律指的是,因而由運(yùn)算可得空間向量減法不滿足結(jié)合律.所以C錯(cuò)誤.對(duì)于D滿足的一定是平行四邊形,一般四邊形是不滿足的,因而D錯(cuò)誤.綜上可知,正確的為B，故選:B3．（2020·陜西新城.西安中學(xué)高二期末（理））給出下列命題：①若空間向量滿足，則；②空間任意兩個(gè)單位向量必相等；③對(duì)于非零向量，由，則；④在向量的數(shù)量積運(yùn)算中.其中假命題的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】對(duì)于①，空間向量的方向不一定相同，即不一定成立，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，單位向量的方向不一定相同，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，取，，，滿足，且，但是，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，因?yàn)楹投际浅?shù)，所以和表示兩個(gè)向量，若和方向不同則和不相等，故④錯(cuò)誤.故選：D.4．（2019·長(zhǎng)寧.上海市延安中學(xué)高二期中）給出以下結(jié)論：①空間任意兩個(gè)共起點(diǎn)的向量是共面的；②兩個(gè)相等向量就是相等長(zhǎng)度的兩條有向線段表示的向量；③空間向量的加法滿足結(jié)合律：；④首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量.請(qǐng)將正確的說法題號(hào)填在橫線上：__________.【答案】①③④【解析】①中，兩個(gè)向量共起點(diǎn)，與兩向量終點(diǎn)共有個(gè)點(diǎn)，則點(diǎn)共面，可知兩向量共面，①正確；②中，兩個(gè)相等向量需大小相等，方向相同，②錯(cuò)誤；③中，空間向量加法滿足結(jié)合律，③正確；④中，由向量加法的三角形法則可知④正確.故答案為：①③④【題組二空間向量的線性運(yùn)算】1．（2020·遼寧沈陽.高二期末）如圖，在正方體中，點(diǎn)分別是面對(duì)角線A1B與B1D1的中點(diǎn),若=a,=b,=c,則=（）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算所以選D2．（2020·全國(guó)高二）在四面體中，點(diǎn)在上，且，為中點(diǎn)，則等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】.故選：B3（2020·山東章丘四中高二月考）如圖所示，在空間四邊形中，，點(diǎn)在上，且為中點(diǎn)，則（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由向量的加法和減法運(yùn)算：.故選：B4．（2020·山東德州.高二期末）如圖，平行六面體中，與的交點(diǎn)為，設(shè)，，，則下列選項(xiàng)中與向量相等的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】如圖所示，，，，，，，，故選：．5．（2020·陜西王益.高二期末（理））如圖，在空間四邊形ABCD中，E，M，N分別是邊BC，BD，CD的中點(diǎn)，DE，MN交于F點(diǎn)，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】是邊的中點(diǎn)，；；故選：．6．（2019·江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二月考）平行六面體中，，則實(shí)數(shù)x，y，z的值分別為()A． B． C． D．【答案】C【解析】,.故選:C.7．（2020·湖北黃石.高二期末）如圖，已知空間四邊形，其對(duì)角線為，分別是對(duì)邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，，現(xiàn)用基向量表示向量，設(shè)，則的值分別是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】，，故選：8．（2020·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）在正方體ABCD－A1B1C1D1中，已知下列各式：①(＋)＋1；②(＋)＋；③(＋)＋；④(＋)＋.其中運(yùn)算的結(jié)果為的有___個(gè).【答案】4【解析】根據(jù)空間向量的加法運(yùn)算以及正方體的性質(zhì)逐一進(jìn)行判斷：①(＋)＋＝＋＝；②(＋)＋＝＋＝；③(＋)＋＝＋＝；④(＋)＋＝＋＝.所以4個(gè)式子的運(yùn)算結(jié)果都是.故答案為：4.9．（2020·江蘇省如東高級(jí)中學(xué)高一月考）在四面體中，、分別是、的中點(diǎn)，若記，，，則______.【答案】【解析】在四面體中，、分別是、的中點(diǎn)，則.故答案為：.10．（2020·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，若點(diǎn)F是側(cè)面CD1的中心，且則m，n的值分別為()A．，－ B．－，－ C．－， D．，【答案】A【解析】由于，所以.故選：A【題組三空間向量的共面問題】1．（2020·漣水縣第一中學(xué)高二月考）是空間四點(diǎn)，有以下條件：①；②；③；④，能使四點(diǎn)一定共面的條件是______【答案】④【解析】對(duì)于④，，由空間向量共面定理可知四點(diǎn)一定共面，①②③不滿足共面定理的條件.故答案為：④2．（2019·江蘇海安高級(jí)中學(xué)高二期中（理））設(shè)空間任意一點(diǎn)和不共線三點(diǎn)，且點(diǎn)滿足向量關(guān)系，若四點(diǎn)共面，則______．【答案】【解析】因?yàn)樗狞c(diǎn)共面，三點(diǎn)不共線，所以因?yàn)?，因?yàn)槭侨我庖稽c(diǎn)，故可不共面，所以，故.故答案為：13．（2020·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）對(duì)于空間任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，，，有如下關(guān)系：，則（）A．四點(diǎn)，，，必共面 B．四點(diǎn)，，，必共面C．四點(diǎn)，，，必共面 D．五點(diǎn)，，，，必共面【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，即，根?jù)共面向量基本定理，可得，，共面，所以，，，，四點(diǎn)共面．故選：B．4．（2020·寧陽縣第四中學(xué)高二期末）對(duì)于空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，有如下關(guān)系：，則（）A．四點(diǎn)O，A，B，C必共面B．四點(diǎn)P，A，B，C必共面C．四點(diǎn)O，P，B，C必共面D．五點(diǎn)O，P，A，B，C必共面【答案】B【解析】由已知得，而，四點(diǎn)、、、共面．故選：．5．（2020·四川閬中中學(xué)高二月考（理））為空間任意一點(diǎn),三點(diǎn)不共線,若=,則四點(diǎn)（）A．一定不共面 B．不一定共面C．一定共面 D．無法判斷【答案】C【解析】因?yàn)?，且，所以四點(diǎn)共面.6．（2019·建甌市第二中學(xué)高二月考）已知、、三點(diǎn)不共線，對(duì)平面外的任一點(diǎn)，下列條件中能確定點(diǎn)與點(diǎn)、、一定共面的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】若，故可得即，則，故,整理得,又因?yàn)楣裁妫士傻霉裁?，而其它選項(xiàng)不符合，即可得四點(diǎn)共面.故選：B.7．（2020·西夏.寧夏育才中學(xué)高二期末（理））已知為空間任意一點(diǎn)，若，則四點(diǎn)（）A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．無法判斷【答案】B【解析】由若，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，四點(diǎn)共面．，而故四點(diǎn)共面，故選B【題組四空間向量的數(shù)量積】1．（2020·山東新泰市第一中學(xué)高一期中）如圖，平行六面體中，，，，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，,.故選：D2．（2020·四川遂寧.高三三模（理））如圖，平行六面體中，，，，，，則的長(zhǎng)為_____．【答案】【解析】平行六面體中，，，，，，．．故答案為：．3．（2020·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）如圖，分別是四面體的棱的中點(diǎn)，是的三等分點(diǎn)．（1）用向量，，表示和．（2）若四面體的所有棱長(zhǎng)都等于1，求的值．【答案】（1）,（2）.【解析】（1），∴（2）四面體的所有棱長(zhǎng)都等于1，各面為等邊三角形,，，4.．（2020·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）如圖，三棱柱中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都等于1，．（1）設(shè)，，，用向量，，表示，并求出的長(zhǎng)度；（2）求異面直線與所成角的余弦值．【答案】（1）；；（2）.【解析】解：（1），又，同理可得，則．（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以．則異面直線與所成角的余弦值為．5．（2020·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）如圖，三棱柱中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都相等，，則異面直線與所成角的余弦值為_____________【答案】【解析】三棱柱中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都相等，，設(shè)棱長(zhǎng)為1，則，，.又，，所以而，，所以.故答案為：.6.如圖3-1-22所示，在空間四邊形OABC中，OA，OB，OC兩兩成60°角，且OA＝OB＝OC＝2，E為OA的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，試求E，F(xiàn)間的距離．圖3-1-22【答案】eq\r(2)【解析】eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\o(EA,\s\up7(→))＋eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)[(eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))＋(eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))]＝－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up7(→))，所以eq\o(EF2,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up7(→))2＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up7(→))2＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up7(→))2＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OC,\s\up7(→))＋2×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up7(→))·eq\o(OC,\s\up7(→))＝2.∴|eq\o(EF,\s\up7(→))|＝eq\r(2)，即E，F(xiàn)間的距離為eq\r(2).7.如圖，已知線段AB⊥平面α，BC?α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D與A在α的同側(cè)，若AB＝BC＝CD＝2，求A，D兩點(diǎn)間的距離．【答案】2eq\r(2)【解析】∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))，∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))2＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＋|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋2eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝12＋2(2·2·cos90°＋2·2·cos120°＋2·2·cos90°)＝8，∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2eq\r(2)，即A，D兩點(diǎn)間的距離為2eq\r(2).1.2空間向量的基本定理【題組一基底的判斷】1．（2020·山東微山縣第二中學(xué)高二月考）已知，，是不共面的三個(gè)向量，則能構(gòu)成一個(gè)基底的一組向量是（）A．2，﹣，+2 B．2，﹣，+2C．，2，﹣ D．，+，﹣【答案】C【解析】對(duì)于A，因?yàn)?=（﹣）+（+2），得2、﹣、+2三個(gè)向量共面，故它們不能構(gòu)成一個(gè)基底，A不正確；對(duì)于B，因?yàn)?=（﹣）+（+2），得2、﹣、+2三個(gè)向量共面，故它們不能構(gòu)成一個(gè)基底，B不正確；對(duì)于C，因?yàn)檎也坏綄?shí)數(shù)λ、μ，使=λ?2+μ（﹣）成立，故、2、﹣三個(gè)向量不共面，它們能構(gòu)成一個(gè)基底，C正確；對(duì)于D，因?yàn)?（+）﹣（﹣），得、+、﹣三個(gè)向量共面，故它們不能構(gòu)成一個(gè)基底，D不正確故選：C．2．（2018·安徽六安一中高二期末（理））已知點(diǎn)為空間不共面的四點(diǎn)，且向量，向量，則與，不能構(gòu)成空間基底的向量是（）A． B． C． D．或【答案】C【解析】∵，即與，共面，∴與，不能構(gòu)成空間基底；故選C.3．已知是空間向量的一個(gè)基底，則與向量+，-可構(gòu)成空間向量基底的是()A． B．C．+2 D．+2【答案】D【解析】由題意，向量都有向量為共面向量，因此A、B、C都不符合題意，只有向量與向量屬于不共面向量，所以可以構(gòu)成一個(gè)空間的基底，故選D.4．（2020·南昌市八一中學(xué)高二期末（理））為空間向量的一組基底，則下列各項(xiàng)中，能構(gòu)成空間向量的基底的一組向量是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】對(duì)于A，因?yàn)椋怨裁?，不能?gòu)成基底，排除A，對(duì)于B，因?yàn)?，所以共面，不能?gòu)成基底，排除B，對(duì)于D，，所以共面，不能構(gòu)成基底，排除D，對(duì)于C，若共面，則，則共面，與為空間向量的一組基底相矛盾，故可以構(gòu)成空間向量的一組基底，故選：C5．（2018·江西南昌二中高二期中（理））若為空間向量的一組基底，則下列各項(xiàng)中，能構(gòu)成空間向量的基底的一組向量是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】共面，故不能作為基底，故錯(cuò)誤；共面，故不能作為基底，故錯(cuò)誤；不共面，故可以作為基底，故正確；共面，故不能作為基底，故錯(cuò)誤，故選C.【題組二基底的運(yùn)用】1．（2020·天水市第一中學(xué)高二月考（理））如圖，平行六面體中，與交于點(diǎn)，設(shè)，則（）A． B．C． D．【答案】D【解析】，，，∴，故選D．2．（2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）若是空間的一個(gè)基底，，，，，，則，，的值分別為（）A．，， B．，，C．，， D．，1，【答案】A【解析】，由空間向量基本定理，得∴，，.3（2020·山東沂.高二期末）如圖所示，，分別是四面體的邊，的中點(diǎn)，是靠近的三等分點(diǎn)，且，則__．【答案】【解析】因?yàn)?，分別是四面體的邊，的中點(diǎn)，是靠近的三等分點(diǎn)，所以，，，，所以，，，，故答案為：．4．（2019·江蘇鼓樓.南京師大附中高二期中）在正方體中，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，且，則的值為________.【答案】【解析】在正方體中得，又因?yàn)樗运?故答案為：【題組三基本定理的運(yùn)用】1．已知，，三點(diǎn)不共線，對(duì)平面外的任一點(diǎn)，若點(diǎn)滿足．（1）判斷，，三個(gè)向量是否共面；（2）判斷點(diǎn)是否在平面內(nèi)．【答案】（1）共面（2）點(diǎn)在平面內(nèi)．【解析】（1）如圖，為的重心）為的三等分點(diǎn)）設(shè)中點(diǎn)為，則可知在上，且為的重心故知共面（2）由（1）知共面且過同一點(diǎn).所以四點(diǎn)共面，從而點(diǎn)在平面內(nèi)．2．已知直三棱柱中，，，則異面直線與所成角的余弦值為________．【答案】【解析】如圖所示,將直三棱柱補(bǔ)成直四棱柱,連接,則,所以或其補(bǔ)角為異面直線AB1與BC1所成的角．因?yàn)?所以,.在中,,所以所以故答案為:3．如圖所示，在平行四邊形中，，，將它沿對(duì)角線折起，使與成角，求點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離．【答案】或∴，∴或，故點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為或．4.已知空間四邊形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分別是OA，BC的中點(diǎn)，G是MN的中點(diǎn)，求證：OG⊥BC．【答案】見解析【解析】連接ON，設(shè)∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，又設(shè)eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，eq\o(OC,\s\up7(→))＝c，則|a|＝|b|＝|c|.又eq\o(OG,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OM,\s\up7(→))＋eq\o(ON,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(OA,\s\up7(→))＋\f(1,2)(\o(OB,\s\up7(→))＋\o(OC,\s\up7(→)))))＝eq\f(1,4)(a＋b＋c)，eq\o(BC,\s\up7(→))＝c－b.∴eq\o(OG,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)(a＋b＋c)·(c－b)＝eq\f(1,4)(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)＝eq\f(1,4)(|a|2·cosθ－|a|2·cosθ－|a|2＋|a|2)＝0.∴eq\o(OG,\s\up7(→))⊥eq\o(BC,\s\up7(→))，即OG⊥BC．1.3空間向量及其坐標(biāo)的運(yùn)算【題組一空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算】1．（2020·全國(guó)高二）已知點(diǎn)，向量，則點(diǎn)坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)點(diǎn)，則向量，所以，所以點(diǎn).故選：D2．（2019·浙江高二學(xué)業(yè)考試）設(shè)點(diǎn)．若，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，則，∵，∴，解得，故選：C．3．（2020·綿竹市南軒中學(xué)高二月考（理））若，，，則的值為（）A． B．5 C．7 D．36【答案】B【解析】，.故選：B4．（2019·包頭市第四中學(xué)高二期中（理））若直線的方向向量為，平面的法向量為，則可能使的是（）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】A中，所以排除A；B中，所以排除B；C中，所以排除C；D中，所以，能使.故選D5．（2020·南京市秦淮中學(xué)高二期末）對(duì)于任意非零向量，，以下說法錯(cuò)誤的有()A．若，則B．若，則C．D．若，則為單位向量【答案】BD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，則，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，若，且，，若，但分式無意義，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，由空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可知，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，若，則，此時(shí)，不是單位向量，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BD.6（2020·江蘇連云港高二期末）已知點(diǎn)P是△ABC所在的平面外一點(diǎn)，若＝(﹣2，1，4)，＝(1，﹣2，1)，＝(4，2，0)，則（）A．AP⊥AB B．AP⊥

BP C．BC＝ D．AP//

BC【答案】AC【解析】因?yàn)?，故A正確；，，故B不正確；，，故C正確；，，各個(gè)對(duì)應(yīng)分量的比例不同，故D不正確。故選:AC。7（2020·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知向量.（1）計(jì)算和.（2）求.【答案】（1）；；（2）.【解析】（1）因?yàn)橄蛄克裕裕?）因?yàn)?，所?．（2020·吳起高級(jí)中學(xué)高二月考（理））已知空間三點(diǎn)，設(shè).（1）的夾角的余弦值；（2）若向量互相垂直，求實(shí)數(shù)的值；（3）若向量共線，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）；（2）或；（3）或.【解析】（1）已知空間三點(diǎn)，（2）若向量互相垂直，又，則解得：或（3）向量共線，又當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，成立，當(dāng)時(shí)，，不成立，故：或【題組二坐標(biāo)運(yùn)算在幾何中的運(yùn)用】1．（2020·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是DD1，BD，BB1的中點(diǎn).（1）求證：EF⊥CF；（2）求與所成角的余弦值；（3）求CE的長(zhǎng).【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz則所以（1）證明：因?yàn)椋?，即EF⊥CF.（2）因?yàn)?（3）2．（2019·全國(guó)高二）棱長(zhǎng)為1的正方體中，，，分別是，，的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求與所成角的余弦值；（3）求的長(zhǎng)．【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）.【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則,,,,.所以,,,.（1）證明：因?yàn)樗约矗?）因?yàn)橛上蛄繆A角的求法可得∴（3）根據(jù)空間中兩點(diǎn)的距離公式可得.3．（2020·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為A1D1，BB1的中點(diǎn)，則____，EF=____.

【答案】【解析】以A為原點(diǎn)，AB，AD，AA1分別為x軸、y軸、z軸建立直角坐標(biāo)系設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則.故答案為：；4．（2020·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，B1C1的中點(diǎn)，若以為基底，則向量的坐標(biāo)為___，向量的坐標(biāo)為___，向量的坐標(biāo)為___.

【答案】【解析】因?yàn)?，所以向量的坐?biāo)為.因?yàn)?，所以向量的坐?biāo)為.因?yàn)椋韵蛄康淖鴺?biāo)為.故答案為：；；【題組三最值問題】1．（2019·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）在平面內(nèi)的直線上求一點(diǎn)，使點(diǎn)到點(diǎn)的距離最小，并求出此最小值．【答案】點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，【解析】設(shè)，則．所以當(dāng)，即點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，．2．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，點(diǎn)G與E分別是A1B1和CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)D與F分別是AC和AB上的動(dòng)點(diǎn)．若GD⊥EF，則線段DF長(zhǎng)度的最小值為______________.

【答案】【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0),E(0,2,1),G(1,0,2),設(shè)F(x,0,0),D(0,y,0)，則,，由于GD⊥EF，所以，所以，故，所以當(dāng)時(shí)，線段DF長(zhǎng)度取得最小值，且最小值為．故答案為：1.4.1空間向量應(yīng)用（一）【題組一平面法向量的求解】1．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，則下列向量是平面ABC法向量的是()A．(－1，1，1) B．(1，－1,1)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)))【答案】C【解析】設(shè)n＝(x，y，z)為平面ABC的法向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，1，0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1，0，1)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AC,\s\up6(→))＝0，))化簡(jiǎn)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝0，,－x＋z＝0，))∴x＝y(tǒng)＝z.故選C.2．（2018·浙江高三其他）平面的法向量，平面的法向量，則下列命題正確的是（）A．、平行 B．、垂直 C．、重合 D．、不垂直【答案】B【解析】平面的法向量，平面的法向量，因?yàn)?，所以兩個(gè)平面垂直．故選：．3．（2019·山東歷下.濟(jì)南一中高二期中）在平面ABCD中，，，，若，且為平面ABCD的法向量，則等于（）A．2 B．0 C．1 D．無意義【答案】C【解析】由題得，，，又為平面ABCD的法向量，則有，即，則，那么.故選：C【題組二空間向量證平行】1．（2019·安徽?qǐng)瑯?，北大附宿州?shí)驗(yàn)學(xué)校高二期末（理））已知平面的法向量是，平面的法向量是，若//，則的值是（）A． B．-6 C．6 D．【答案】C【解析】因?yàn)?/，故可得法向量與向量共線，故可得，解得.故選：C.2（2019·樂清市知臨中學(xué)高二期末）已知平面α的一個(gè)法向量是，，則下列向量可作為平面β的一個(gè)法向量的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】平面α的一個(gè)法向量是，，設(shè)平面的法向量為，則，對(duì)比四個(gè)選項(xiàng)可知，只有D符合要求，故選：D.3.（2020.廣東.華僑中學(xué)）如圖，正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝eq\r(2)，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，則M點(diǎn)的坐標(biāo)為()A．(1,1,1)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),3)，\f(\r(2),3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，1))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)，\f(\r(2),4)，1))【答案】C【解析】設(shè)AC與BD相交于O點(diǎn)，連接OE，∵AM∥平面BDE，且AM?平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，∴AM∥EO，又O是正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，∴M為線段EF的中點(diǎn)．在空間直角坐標(biāo)系中，E(0，0，1)，F(xiàn)(eq\r(2)，eq\r(2)，1)．由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，知點(diǎn)M的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，1)).4.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為a，M，N分別為A1B和AC上的點(diǎn)，A1M＝AN＝eq\f(\r(2)a,3)，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是()A．相交 B．平行C．垂直 D．MN在平面BB1C1C內(nèi)【答案】B【解析】以點(diǎn)C1為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以C1B1，C1D1，C1C所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由于A1M＝AN＝eq\f(\r(2)a,3)，則Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(2a,3)，\f(a,3)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)，\f(2a,3)，a))，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,3)，0，\f(2a,3))).又C1D1⊥平面BB1C1C，所以eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝(0，a，0)為平面BB1C1C的一個(gè)法向量．因?yàn)閑q\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(MN,\s\up6(→))⊥eq\o(C1D1,\s\up6(→))，又MN?平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.【題組三空間向量證明垂直】1．（2019·湖北孝感.高二期中（理））已知向量，平面的一個(gè)法向量，若，則（）A．， B．， C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，由，得?故選A2．（2020·宜昌市人文藝術(shù)高中（宜昌市第二中學(xué)）高二月考）已知直線的一個(gè)方向向量，平面的一個(gè)法向量，若，則______．【答案】【解析】，，且，，，解得，.因此，.故答案為：.3．（2020·陜西富平.期末（理））若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則直線l與平面的位置關(guān)系是（）A． B． C． D．l與斜交【答案】B【解析】由題得，，則，又是平面的法向量，是直線l的方向向量，可得.故選：B4.如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD＝DE＝2AB.求證：平面BCE⊥平面CDE.【答案】【解析】設(shè)AD＝DE＝2AB＝2a，以A為原點(diǎn)，分別以AC，AB所在直線為x軸，z軸，以過點(diǎn)A垂直于AC的直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0，0，0)，C(2a，0，0)，B(0，0，a)，D(a，eq\r(3)a，0)，E(a，eq\r(3)a，2a)．所以eq\o(BE,\s\up6(→))＝(a，eq\r(3)a，a)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2a，0，－a)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－a，eq\r(3)a，0)，eq\o(ED,\s\up6(→))＝(0，0，－2a)．設(shè)平面BCE的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，由n1·eq\o(BE,\s\up6(→))＝0，n1·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax1＋\r(3)ay1＋az1＝0，,2ax1－az1＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋\r(3)y1＋z1＝0，,2x1－z1＝0.))令z1＝2，可得n1＝(1，－eq\r(3)，2)．設(shè)平面CDE的法向量為n2＝(x2，y2，z2)，由n2·eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，n2·eq\o(ED,\s\up6(→))＝0可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－ax2＋\r(3)ay2＝0，,－2az2＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋\r(3)y2＝0，,z2＝0.))令y2＝1，可得n2＝(eq\r(3)，1，0)．因?yàn)閚1·n2＝1×eq\r(3)＋1×(－eq\r(3))＋2×0＝0.所以n1⊥n2，所以平面BCE⊥平面CDE.5.如圖所示，已知四棱錐P—ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，側(cè)面PBC⊥底面ABCD.證明：(1)PA⊥BD；(2)平面PAD⊥平面PAB.【答案】見解析【解析】(1)取BC的中點(diǎn)O，連接PO，∵平面PBC⊥底面ABCD，△PBC為等邊三角形，平面PBC∩底面ABCD＝BC，PO?平面PBC，∴PO⊥底面ABCD.以BC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC所在直線為x軸，過點(diǎn)O與AB平行的直線為y軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．不妨設(shè)CD＝1，則AB＝BC＝2，PO＝eq\r(3)，∴A(1，－2,0)，B(1,0,0)，D(－1，－1，0)，P(0，0，eq\r(3))，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－2，－1，0)，eq\o(PA,\s\up6(→))＝(1，－2，－eq\r(3))．∵eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－eq\r(3))＝0，∴eq\o(PA,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→))，∴PA⊥BD.(2)取PA的中點(diǎn)M，連接DM，則Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1，\f(\r(3),2))).∵eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0，\f(\r(3),2)))，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(1，0，－eq\r(3))，∴eq\o(DM,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)×1＋0×0＋eq\f(\r(3),2)×(－eq\r(3))＝0，∴eq\o(DM,\s\up6(→))⊥eq\o(PB,\s\up6(→))，即DM⊥PB.∵eq\o(DM,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)×1＋0×(－2)＋eq\f(\r(3),2)×(－eq\r(3))＝0，∴eq\o(DM,\s\up6(→))⊥eq\o(PA,\s\up6(→))，即DM⊥PA.又∵PA∩PB＝P，PA，PB?平面PAB，∴DM⊥平面PAB.∵DM?平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.6.(2019·林州模擬)如圖，在四棱錐P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD＝DC，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點(diǎn)．(1)求證：EF⊥CD；(2)在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結(jié)論．【答案】見解析【解析】(1)證明如圖，以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，0，\f(a,2)))，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(0，a，0)．∵eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(EF,\s\up6(→))⊥eq\o(DC,\s\up6(→))，即EF⊥CD.(2)解設(shè)G(x，0，z)，則eq\o(FG,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)，－\f(a,2)，z－\f(a,2)))，若使GF⊥平面PCB，則需eq\o(FG,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，且eq\o(FG,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))＝0，由eq\o(FG,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)，－\f(a,2)，z－\f(a,2)))·(a,0,0)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))＝0，得x＝eq\f(a,2)；由eq\o(FG,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)，－\f(a,2)，z－\f(a,2)))·(0，－a，a)＝eq\f(a2,2)＋aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z－\f(a,2)))＝0，得z＝0.∴G點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0，0))，即G為AD的中點(diǎn)．1.4.2空間向量應(yīng)用（二）【題組一空間向量求線線角】1．（2020·宜昌天問教育集團(tuán)高二期末）如圖，將兩個(gè)全等等腰直角三角形拼成一個(gè)平行四邊形，將平行四邊形沿對(duì)角線折起，使平面平面，則直線與所成角余弦值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由平面平面，,平面平面，平面,所以平面，又平面,所以，又,所以作軸//,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖設(shè)，所以,則,所以,所以,故選：C.2．（2020·湖北武漢。月考）如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，M是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可得，故選：D3．（2019·紹興魯迅中學(xué)高二期中）如圖，長(zhǎng)方體中，，，、、分別是、、的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（）A．0 B． C． D．【答案】A【解析】如圖,所以所以異面直線與所成角的余弦值,故選：A4．（2019·浙江湖州.高二期中）在正方體中，異面直線與所成的角為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1中棱長(zhǎng)為1，則A（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，0），B1（1，1，1），＝（﹣1，1，0），＝（﹣1，﹣1，﹣1），設(shè)異面直線AC與B1D所成的角為θ，則cosθ＝＝0，∴θ＝.∴異面直線AC與B1D所成的角為.故選：D.5．（2020·武漢外國(guó)語學(xué)校高一月考）如圖，正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為3，底面邊長(zhǎng)為2，則與所成角的余弦值為______.【答案】【解析】設(shè)與的夾角為，則與的夾角也是,則與所成角的余弦值為,故答案為：【題組二空間向量求線面角】1．（2020·江蘇高二）如圖，在三棱錐P-ABC中，AC⊥BC，且，AC=BC=2，D，E分別為AB，PB中點(diǎn)，PD⊥平面ABC，PD=3.(1)求直線CE與直線PA夾角的余弦值；(2)求直線PC與平面DEC夾角的正弦值.【答案】(1)；(2).【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易知C(0，0，0)，A(2，0，0)，D(1，1，0)，E(，，)，P(1，1，3)，,設(shè)直線CE與直線PA夾角為，則整理得；直線CE與直線PA夾角的余弦值；(2)設(shè)直線PC與平面DEC夾角為，設(shè)平面DEC的法向量為，因?yàn)椋?所以有取，解得，，即面DEC的一個(gè)法向量為，，.直線PC與平面DEC夾角的正弦值為.2．（2020·沙坪壩.重慶八中）如圖，四棱臺(tái)中，底面是菱形，底面，且60°，，是棱的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求直線與平面所成線面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）因?yàn)榈酌?，所以因?yàn)榈酌媸橇庑?，所?又，所以平面又由四棱臺(tái)知，，，，四點(diǎn)共面,所以（2）如圖，設(shè)交于點(diǎn)，依題意，且，，且，又由已知底面，得底面．以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖設(shè)交于點(diǎn)，依題意，且，所以則，，，，由，得,因?yàn)槭抢庵悬c(diǎn)，所以所以，，設(shè)為平面的法向量則，取，得設(shè)直線與平面所成線面角為，則所以直線與平面所成線面角的正弦值3．（2020·浙江金華.高二期末）在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，且平面平面，，分別為線段、的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）作于，連接，如圖所示：由平面平面，且平面平面，得平面，所以.因?yàn)?，，，所以，，?在直角三角形中，可得.又，為的中點(diǎn)，所以.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，為軸，平行的直線為軸建系，，，，，，∴，，.設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，取，設(shè)為直線與平面所成角，所以.4（2020·浙江甌海.溫州中學(xué)高二期末）如圖，已知三棱錐，，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，，點(diǎn)F為線段AP的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：平面ABC；（Ⅱ）求直線BF與平面PBC所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）證明：在中，，，由余弦定理可得，因?yàn)?，所以，又，，所以面ABC．（Ⅱ）在平面ABC中，過點(diǎn)C作，以C為原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，設(shè)平面PBC的法向量為，則取，則，，即，所以sinα＝，故直線BF與平面PBC所成角的正弦值．5．（2020·甘肅城關(guān).蘭大附中）如圖，在四棱錐中，底面，底面為直角梯形，，∥，，，，，分別為線段，，的中點(diǎn)．（1）證明：平面∥平面．（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）證明：連接，設(shè)與相交于點(diǎn)，如圖，因?yàn)椤?，且，，所以四邊形為矩形，所以為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中位線，即,因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)椋謩e為線段，的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，平面，，所以平面∥平?（2）因?yàn)榈酌?，平面，平面，所以，因?yàn)?，所以、、兩兩互相垂直，以為原點(diǎn)，所在的直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，，，所以，設(shè)平面的法向量為，則，所以，令，可得，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.【題組三空間向量求二面角】1．（2020·全國(guó)）如圖，在四棱錐中，底面為邊長(zhǎng)為3的正方形，，，平面平面，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）證明：如圖，取的中點(diǎn)，連，，∵，，∴且．∵，，∴且，∴四邊形為平行四邊形，得．∵平面，平面，∴平面．（Ⅱ）如圖，過點(diǎn)作，垂足為，在中，，可得，，，．∵，平面平面，平面平面，∴平面．如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，與向量同向方向?yàn)檩S，向量方向?yàn)檩S，向量方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系．點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．設(shè)平面的法向量為，，，，取，，，可得，設(shè)平面的法向量為，，，，取，，，可得，有，，，，故二面角的余弦值為．2．（2020·全國(guó)）已知三棱柱中，側(cè)面是矩形，是的菱形，且平面平面，，，分別是，，的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）在三棱柱中連接，因?yàn)椋謩e是，的中點(diǎn)，所以，所以平面，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?（2）由是矩形，得，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，因?yàn)樗倪呅问堑牧庑?，所以，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過點(diǎn)與垂直的直線為軸，以所在直線為軸，以AD所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，可得，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，又軸平面，所以平面的一個(gè)法向量為，所以.由圖可知，所求二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.3．（2020·全國(guó)高三其他（理））如圖1，平面四邊形中，和均為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，現(xiàn)沿將折起，使，如圖2.（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)楹途鶠檫呴L(zhǎng)為的等邊三角形，所以，且，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，為，，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則平面的一個(gè)法向量為，依題意，平面的一個(gè)法向量，所以，由圖可得為銳二面角，故二面角的余弦值為.4．（2020·全國(guó)）如圖1，等腰梯形中，，，為的中點(diǎn)，對(duì)角線平分，將沿折起到如圖2中的位置.（1）求證：.（2）若二面角為直二面角，為線段上的點(diǎn)，且二面角與二面角大小相等，求出的值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證明：連接，，設(shè)與交于點(diǎn)，如圖1所示.∵四邊形是等腰梯形，，∴，，又平分，∴，∴，結(jié)合為的中點(diǎn)，，易證得四邊形為菱形，∴.如圖2，∵，，且，∴平面，又平面，∴.（2）∵二面角為直二面角，，∴平面，易知，∴平面，∴二面角為直二面角，又∵二面角與二面角大小相等，∴二面角的平面角為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖1，在菱形中，易知，∴，.∴，，，，，，設(shè)，∴，∴，易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)為平面的法向量，則，即，取，則，，得，∴，解得，滿足題意，故.【題組四空間向量求距離】1．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E是A1B1的中點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線BE的距離是()A． B．C． D．【答案】B【解析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則＝(0,2,0)，＝(0,1,2)．∴cosθ＝＝.∴sinθ＝.故點(diǎn)A到直線BE的距離d＝||sinθ＝2×.故答案為B2．（2020·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）在直三棱柱中，，，是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接，則點(diǎn)為中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）解：因?yàn)槠矫?，所以到平面的距離就等于點(diǎn)到平面的距離.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，.設(shè)平面的法向量為，所以，即，即令，則.所求距離為.3．（2020·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2，CC1=4，點(diǎn)E在棱BB1上，EB1=1，D，F(xiàn)，G分別為CC1，B1C1，A1C1的中點(diǎn)，EF與B1D相交于點(diǎn)H.（1）求證：B1D⊥平面ABD；（2）求證：平面EGF∥平面ABD；（3）求平面EGF與平面ABD的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【解析】（1）證明：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=a，則A1(a，0，0)，B1(0，0，0)，C1(0，2，0)，F(xiàn)(0，1，0)，E(0，0，1)，A(a，0，4)，B(0，0，4)，D(0，2，2)，G.所以=(0，2，2)，=(-a，0，0)，=(0，2，-2).所以=0+0+0=0，=0+4-4=0.所以，所以B1D⊥AB，B1D⊥BD.又AB∩BD=B，所以B1D⊥平面ABD.（2）證明：由（1）可得=(-a，0，0)，=(0，2，-2)，=(0，1，-1)，所以=2=2，所以.所以GF∥AB，EF∥BD.又GF∩EF=F，AB∩BD=B，所以平面EGF∥平面ABD.（3）解：由（1）（2）知，是平面EGF和平面ABD的法向量.因?yàn)槠矫鍱GF∥平面ABD，所以點(diǎn)E到平面ABD的距離就是兩平面的距離，設(shè)為d.因?yàn)?(0，0，3)，=(0，2，2)，所以d=.即兩平面間的距離為.4．（2020·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為的正三角形，平面平面，，，分別為，的中點(diǎn)，如圖所示.求點(diǎn)到平面的距離.【答案】【解析】取的中點(diǎn)，連接，.∵，，∴，.∵平面平面，平面平面，∴平面.又平面，∴.如圖所示，分別以，，所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.∴，，.設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則取，則，，∴.∴點(diǎn)到平面的距離.5．（2020·江蘇常熟.高二期中）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，是上一點(diǎn)，且.（1）求異面直線與所成角余弦的大?。唬?）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）連交于，連，平面，所以，在中，，又因?yàn)榈酌媸蔷匦危詾橹悬c(diǎn)，，所以，因?yàn)槭巧弦稽c(diǎn)，且，所以為中點(diǎn)，，所以（或補(bǔ)角）就為與所成的角，因?yàn)?所以平面，，，所以異面直線與所成角余弦值為；（2）解1：過做于，平面，所以，所以平面，為點(diǎn)到平面的距離，在中，，又是中點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離為．解2：因?yàn)?，平面，所以，在中，，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，由，得，所以．又是中點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離為．解法二：分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，（1）則，，，設(shè)，則，所以，由，知，所以，為中點(diǎn)，所以，，．所以異面直線與所成角的余弦值為．（2），，設(shè)平面的法向量為，由，得，所以，取，得，所以是平面的一個(gè)法向量．所以點(diǎn)到平面的距離為．6．（2020·安徽）如圖，邊長(zhǎng)為的等邊所在平面與菱形所在平面互相垂直，，為線段的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所?又因?yàn)椋?，即為等邊三角?因?yàn)?，為線段的中點(diǎn)，所以.因?yàn)?，為線段的中點(diǎn)，所以.又因?yàn)?，所以平?又因?yàn)?，所以平?又平面，所以平面平面.（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，且，所以平?以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：，，，，則，，，設(shè)平面的法向量，則，令，則所以點(diǎn)到平面的距離.7.（2020·福建）如圖，四棱錐中，底面ABCD為矩形，點(diǎn)E在PA線段上，PC平面BDE（1）請(qǐng)確定點(diǎn)E的位置；并說明理由.（2）若是等邊三角形，，平面PAD平面ABCD，四棱錐的體積為，求點(diǎn)E到平面PCD的距離.【答案】（1）點(diǎn)為的中點(diǎn)，理由見解析（2）【解析】（1）連接AC交BD于M，如圖，當(dāng)E為AP的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M為AC的中點(diǎn).∴在中，，平面BDE，平面BDE.∴平面BDE.（2）是等邊三角形，，平面平面ABCD，以AD中點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA為x軸，在平面ABCD中，過點(diǎn)O作AB的平行線為y軸，以O(shè)P為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，四棱錐的體積為，，解得．0，，0，，0，，0，，6，．0，，6，，0，，設(shè)平面PCD的法向量，則，取，得0，，到平面PCD的距離．第一章空間向量與立體幾何章末測(cè)試注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、單選題(每題只有一個(gè)正確的選項(xiàng)，5分/題，共40分）1．（2020·宜昌天問教育集團(tuán)高二期末）在正四面體中，棱長(zhǎng)為2，且E是棱AB中點(diǎn)，則的值為()A． B．1 C． D．【答案】A【解析】如圖所示由正四面體的性質(zhì)可得：可得：是棱中點(diǎn)故選：【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的線性運(yùn)算，考查立體幾何中的垂直關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中等題型.2．（2020·宜昌高二期末）已知（2，1，﹣3），（﹣1，2，3），（7，6，λ），若P，A，B，C四點(diǎn)共面，則λ＝（）A．9 B．﹣9 C．﹣3 D．3【答案】B【解析】由P，A，B，C四點(diǎn)共面，可得共面，，，解得.故選:B.3．（2020·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）下列說法正確的是（）A．任何三個(gè)不共線的向量可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底B．空間的基底有且僅有一個(gè)C．兩兩垂直的三個(gè)非零向量可構(gòu)成空間的一個(gè)基底D．基底中基向量與基底基向量對(duì)應(yīng)相等【答案】C【解析】項(xiàng)中應(yīng)是不共面的三個(gè)向量構(gòu)成空間向量的基底,所以錯(cuò).項(xiàng)，空間基底有無數(shù)個(gè),所以錯(cuò).項(xiàng)中因?yàn)榛撞晃ㄒ?，所以錯(cuò).故選.4．（2020·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）若直線的方向向量為,平面的法向量為,則()A． B． C． D．與相交【答案】C【解析】∵直線l的方向向量為，平面的法向量為，∴，∴，∴．故選C．5．（2020·河北新華.石家莊二中高一期末）在正方體中，分別為，的中點(diǎn)，為側(cè)面的中心，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，∴．則．∴異面直線與所成角的余弦值為,故選A．6．（2020·吉化第一高級(jí)中學(xué)校）已知正四棱柱中，，則CD與平面所成角的正弦值等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，面積為7．（2020·延安市第一中學(xué)高二月考）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別為棱、的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn)，且，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則M（2，λ，2），D1（0，0，2），E（2，0，1），F(xiàn)（2，2，1），＝（﹣2，0，1），＝（0，2，0），＝（0，λ，1），設(shè)平面D1EF的法向量＝（x，y，z），則，取x＝1，得＝（1，0，2），∴點(diǎn)M到平面D1EF的距離為：d＝，N為EM中點(diǎn)，所以N到該面的距離為故選：D．8．（2019·黑龍江大慶四中高二月考）已知空間直角坐標(biāo)系中，，，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，由點(diǎn)在直線上，可得存在實(shí)數(shù)使得，即，可得,所以,則，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí).故選：C.二、多選題(每題不止一個(gè)正確的選項(xiàng)，5分/題，共20分）9．（2020·河北省鹽山中學(xué)高一期末）若長(zhǎng)方體的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，高為4，是的中點(diǎn)，則（）A． B．平面平面C．三棱錐的體積為 D．三棱錐的外接球的表面積為【答案】CD【解析】以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，所以，，因?yàn)?，所以與不垂直，故A錯(cuò)誤；，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由，得，所以，不妨取，則，所以，同理可得設(shè)平面的一個(gè)法向量為，故不存在實(shí)數(shù)使得，故平面與平面不平行，故B錯(cuò)誤；在長(zhǎng)方體中，平面，故是三棱錐的高，所以，故C正確；三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，故外接球的半徑，所以三棱錐的外接球的表面積，故D正確.故選：CD.10．（2020·福建廈門。高二期末）正方體中，E、F、G、H分別為、BC、CD、BB、的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．平面平面C．面AEF D．二面角的大小為【答案】BC【解析】由題可知，在底面上的射影為，而不垂直，則不垂直于，則選項(xiàng)不正確；連接和，E、F、G、H分別為、BC、CD、BB、的中點(diǎn)，可知，所以平面，則平面平面，所以選項(xiàng)正確；由題知，可設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，則各點(diǎn)坐標(biāo)如下：，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，得平面的法向量為，所以，所以平面，則選項(xiàng)正確；由圖可知，平面，所以是平面的法向量，則.得知二面角的大小不是，所以不正確.故選：BC.11．（2020·江蘇通州。高二期末）設(shè)，，是空間一個(gè)基底，則()A．若⊥，⊥，則⊥B．則，，兩兩共面，但，，不可能共面C．對(duì)空間任一向量，總存在有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使D．則＋，＋，＋一定能構(gòu)成空間的一個(gè)基底【答案】BCD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，與都垂直，夾角不一定是，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng)，根據(jù)基底的概念可知，，兩兩共面，但，，不可能共面.對(duì)于C選項(xiàng)，根據(jù)空間向量的基本定理可知，C選項(xiàng)正確.對(duì)于D選項(xiàng)，由于，，是空間一個(gè)基底，所以，，不共面.假設(shè)＋，＋，＋共面，設(shè)，化簡(jiǎn)得，即，所以，，共面，這與已知矛盾，所以＋，＋，＋不共面，可以作為基底.所以D選項(xiàng)正確.故選：BCD12．（多選題）如圖，在菱形中，，，將沿對(duì)角線翻折到位置，連結(jié)，則在翻折過程中，下列說法正確的是（）A．與平面所成的最大角為B．存在某個(gè)位置，使得C．當(dāng)二面角的大小為時(shí)，D．存在某個(gè)位置，使得到平面的距離為【答案】BC【解析】如圖所示：A項(xiàng)：取的中點(diǎn)，連結(jié)、，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，是線段的中點(diǎn)，所以,平面，平面，所以平面，所以平面，所以在平面的射影為，即與平面所成角，，三角形是等腰三角形，當(dāng)時(shí)，與平面所成角為，故A錯(cuò)誤；B項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，取的中點(diǎn)，可得，，故平面，，故B正確；C項(xiàng)：因?yàn)樗倪呅问橇庑?，是線段的中點(diǎn)，所以，，因