2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)作業(yè)變量間的相關(guān)關(guān)系統(tǒng)計(jì)案例新人教B版

PAGEPAGE9變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例一、選擇題1．如圖是相關(guān)變量x，y的散點(diǎn)圖，現(xiàn)對這兩個(gè)變量進(jìn)行線性相關(guān)分析，方案一：根據(jù)圖中所有數(shù)據(jù)，得到線性回歸方程eq\o(y,\s\up7(^))＝eq\o(b,\s\up7(^))1x＋eq\o(a,\s\up7(^))1，相關(guān)系數(shù)為r1；方案二：剔除點(diǎn)(10,21)，根據(jù)剩下數(shù)據(jù)得到線性回歸直線方程eq\o(y,\s\up7(^))＝eq\o(b,\s\up7(^))2x＋eq\o(a,\s\up7(^))2，相關(guān)系數(shù)為r2．則()A．0＜r1＜r2＜1 B．0＜r2＜r1＜1C．－1＜r1＜r2＜0 D．－1＜r2＜r1＜0D[根據(jù)相關(guān)變量x，y的散點(diǎn)圖知，變量x，y具有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系，且點(diǎn)(10,21)是離群值．方案一中，沒剔除離群值，線性相關(guān)性弱些，成負(fù)相關(guān)；方案二中，剔除離群值，線性相關(guān)性強(qiáng)些，也是負(fù)相關(guān)．所以相關(guān)系數(shù)－1＜r2＜r1＜0．故選D．]2．(2020·全國卷Ⅰ)某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位：℃)的關(guān)系，在20個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，20)得到下面的散點(diǎn)圖：由此散點(diǎn)圖，在10℃至40℃之間，下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是()A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2C．y＝a＋bex D．y＝a＋blnxD[根據(jù)散點(diǎn)圖，用光滑的曲線把圖中各點(diǎn)依次連起來(圖略)，由圖并結(jié)合選項(xiàng)可排除A，B，C，故選D．]3．為了研究某班學(xué)生的腳長x(單位：厘米)和身高y(單位：厘米)的關(guān)系，從該班隨機(jī)抽取10名學(xué)生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系．設(shè)其回歸直線方程為eq\o(y,\s\up7(^))＝eq\o(b,\s\up7(^))x＋eq\o(a,\s\up7(^))．已知xi＝225，yi＝1600，eq\o(b,\s\up7(^))＝4．該班某學(xué)生的腳長為24，據(jù)此估計(jì)其身高為()A．160cmB．163cmC．166cmD．170cmC[∵xi＝225，∴eq\x\to(x)＝eq\f(1,10)xi＝22.5．∵yi＝1600，∴eq\x\to(y)＝eq\f(1,10)yi＝160．又eq\o(b,\s\up7(^))＝4，∴eq\o(a,\s\up7(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up7(^))eq\x\to(x)＝160－4×22.5＝70．∴回歸直線方程為eq\o(y,\s\up7(^))＝4x＋70．將x＝24代入上式得eq\o(y,\s\up7(^))＝4×24＋70＝166．故選C．]4．現(xiàn)行普通高中學(xué)生在高一時(shí)面臨著選科的問題，學(xué)校抽取了部分男、女學(xué)生意愿的一份樣本，制作出如下兩個(gè)等高堆積條形圖：根據(jù)這兩幅圖中的信息，下列哪個(gè)統(tǒng)計(jì)結(jié)論是不正確的()A．樣本中的女生數(shù)量多于男生數(shù)量B．樣本中有兩理一文意愿的學(xué)生數(shù)量多于有兩文一理意愿的學(xué)生數(shù)量C．樣本中的男生偏愛兩理一文D．樣本中的女生偏愛兩文一理D[由條形圖知女生數(shù)量多于男生數(shù)量，有兩理一文意愿的學(xué)生數(shù)量多于有兩文一理意愿的學(xué)生數(shù)量，男生偏愛兩理一文，女生中有兩理一文意愿的學(xué)生數(shù)量多于有兩文一理意愿的學(xué)生數(shù)量，故選D．]5．某醫(yī)療所為了檢查新開發(fā)的流感疫苗對甲型H1N1流感的預(yù)防作用，把1000名注射疫苗的人與另外1000名未注射疫苗的人半年的感冒記錄作比較，提出假設(shè)H0：“這種疫苗不能起到預(yù)防甲型H1N1流感的作用”，并計(jì)算得P(K2≥6.635)≈0.01，則下列說法正確的是()A．這種疫苗能起到預(yù)防甲型H1N1流感的有效率為1%B．若某人未使用疫苗，則他在半年中有99%的可能性得甲型H1N1流感C．有99%的把握認(rèn)為“這種疫苗能起到預(yù)防甲型H1N1流感的作用”D．有1%的把握認(rèn)為“這種疫苗能起到預(yù)防甲型H1N1流感的作用”C[因?yàn)镻(K2≥6.635)≈0.01，這說明假設(shè)不合理的程度為99%，即這種疫苗不能起到預(yù)防甲型H1N1流感的作用不合理的程度約為99%，所以有99%的把握認(rèn)為“這種疫苗能起到預(yù)防甲型H1N1流感的作用”，故選C．]二、填空題6．對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y有一組觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，8)，其線性回歸方程是eq\o(y,\s\up7(^))＝eq\f(1,3)x＋eq\o(a,\s\up7(^))，且x1＋x2＋x3＋…＋x8＝2(y1＋y2＋y3＋…＋y8)＝6，則實(shí)數(shù)eq\o(a,\s\up7(^))的值為．eq\f(1,8)[依題意可知樣本點(diǎn)的中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(3,8)))，則eq\f(3,8)＝eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＋eq\o(a,\s\up7(^))，解得eq\o(a,\s\up7(^))＝eq\f(1,8)．]7．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對A，B兩個(gè)變量的線性相關(guān)性做試驗(yàn)，并用回歸分析方法分別求得相關(guān)系數(shù)r與殘差平方和m，如下表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103則同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)A，B兩變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性．丁[r越大，m越小，線性相關(guān)性越強(qiáng)．]8．某醫(yī)療研究所為了檢驗(yàn)?zāi)撤N血清預(yù)防感冒的作用，把500名使用血清的人與另外500名未使用血清的人一年中的感冒記錄作比較，提出假設(shè)H0：“這種血清不能起到預(yù)防感冒的作用”，利用2×2列聯(lián)表計(jì)算得K2≈3.918，經(jīng)查臨界值表知P(K2≥3.841)≈0.05．則下列結(jié)論中，正確結(jié)論的序號是．①有95%的把握認(rèn)為“這種血清能起到預(yù)防感冒的作用”；②若某人未使用該血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；③這種血清預(yù)防感冒的有效率為95%；④這種血清預(yù)防感冒的有效率為5%．①[K2≈3.918＞3.841，而P(K2≥3.841)≈0.05，所以有95%的把握認(rèn)為“這種血清能起到預(yù)防感冒的作用”．要注意我們檢驗(yàn)的假設(shè)是否成立和該血清預(yù)防感冒的有效率是沒有關(guān)系的，不是同一個(gè)問題，不要混淆．]三、解答題9．(2021·陜西西安高三模擬)某社區(qū)隨機(jī)選取了部分居民，調(diào)查他們對今年春節(jié)期間社區(qū)組織文藝和體育活動的意見(每人只選擇其中一項(xiàng))，調(diào)查結(jié)果如下表所示：文藝活動體育活動男性居民1520女性居民2510(1)估計(jì)該社區(qū)男性居民中選擇體育活動的概率和全體居民中選擇文藝活動的概率；(2)判斷能否有95%的把握認(rèn)為居民選擇的活動類型與性別有關(guān)．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d．P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828[解](1)由表格中的數(shù)據(jù)可知，該社區(qū)男性居民中選擇體育活動的概率為eq\f(20,15＋20)＝eq\f(4,7)，該社區(qū)全體居民中選擇文藝活動的概率為eq\f(40,40＋30)＝eq\f(4,7)．(2)由表格中數(shù)據(jù)可得K2＝eq\f(70×15×10－20×252,40×30×35×35)≈5.833>3.841，因此，有95%的把握認(rèn)為居民選擇的活動類型與性別有關(guān)．1．(2021·南昌市八一中學(xué)高三三模)已知變量y關(guān)于x的回歸方程為eq\o(y,\s\up7(^))＝ebx－0.5，其一組數(shù)據(jù)如表所示，若x＝5，則預(yù)測y值可能為()x1234yee3e4e6A．e5B．eeq\s\UP12(eq\f(11,2))C．e7D．eeq\f(15,2)D[由eq\o(y,\s\up7(^))＝ebx－0.5得：lny＝bx－0.5，∴eq\f(lne＋lne3＋lne4＋lne6,4)＝b·eq\f(1＋2＋3＋4,4)－0.5，解得：b＝1.6，∴回歸方程為eq\o(y,\s\up7(^))＝e1.6x－0.5，若x＝5，則eq\o(y,\s\up7(^))＝e8－0.5＝eeq\s\UP12(eq\f(15,2))．]2．在對具有線性相關(guān)的兩個(gè)變量x和y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，得到如下數(shù)據(jù)：x4m81012y12356由表中數(shù)據(jù)求得y關(guān)于x的回歸方程為eq\o(y,\s\up7(^))＝0.65x－1.8，則(4,1)，(m,2)，(8,3)這三個(gè)樣本點(diǎn)中落在回歸直線下方的有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．0個(gè)B[由表中數(shù)據(jù)，得eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(4＋m＋8＋10＋12)＝eq\f(34＋m,5)，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)×(1＋2＋3＋5＋6)＝3.4，代入回歸方程eq\o(y,\s\up7(^))＝0.65x－1.8中，得3.4＝0.65×eq\f(34＋m,5)－1.8，計(jì)算得出m＝6．所以x＝4時(shí)，eq\o(y,\s\up7(^))＝0.65×4－1.8＝0.8＜1，點(diǎn)(4,1)在回歸直線eq\o(y,\s\up7(^))＝0.65x－1.8上方；x＝6時(shí)，eq\o(y,\s\up7(^))＝0.65×6－1.8＝2.1＞2，點(diǎn)(6,2)在回歸直線eq\o(y,\s\up7(^))＝0.65x－1.8下方；x＝8時(shí)，eq\o(y,\s\up7(^))＝0.65×8－1.8＝3.4＞3，點(diǎn)(8,3)在回歸直線eq\o(y,\s\up7(^))＝0.65x－1.8下方．綜上，(4,1)，(6,2)，(8,3)這三個(gè)樣本點(diǎn)中落在回歸直線下方的有2個(gè)．故選B．]3．針對時(shí)下的“游戲熱”，某校團(tuán)委對“學(xué)生性別和喜歡打游戲是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，其中女生人數(shù)是男生人數(shù)的eq\f(1,3)，女生喜歡打游戲的人數(shù)占女生人數(shù)的eq\f(1,6)，男生喜歡打游戲的人數(shù)占男生人數(shù)的eq\f(2,3)．若有95%的把握認(rèn)為是否喜歡打游戲和性別有關(guān)，則男生至少有人．附：P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818[設(shè)男生人數(shù)為x，由題意可得列聯(lián)表如下：喜歡打游戲不喜歡打游戲總計(jì)女生eq\f(x,18)eq\f(5,18)xeq\f(x,3)男生eq\f(2,3)xeq\f(x,3)x總計(jì)eq\f(13,18)xeq\f(11,18)xeq\f(4x,3)若有95%的把握認(rèn)為是否喜歡打游戲和性別有關(guān)，則k≥3.841，即k＝eq\f(\f(4x,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,18)·\f(x,3)－\f(5x,18)·\f(2x,3)))\s\UP12(2),x·\f(x,3)·\f(13x,18)·\f(11x,18))＝eq\f(36x,143)≥3.841，解得x≥15.257．因?yàn)楦鞑糠秩藬?shù)均為整數(shù)，所以x是18的倍數(shù)，所以若有95%的把握認(rèn)為是否喜歡打游戲和性別有關(guān)，則男生至少有18人．]4．碳達(dá)峰就是二氧化碳的排放不再增長，達(dá)到峰值之后再慢慢減下去；碳中和是指在一定時(shí)間內(nèi)直接或間接產(chǎn)生的溫室氣體排放總量通過植樹造林、節(jié)能減排等方式，以抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳排放量，實(shí)現(xiàn)二氧化碳“零排放”．2020年9月，中國向世界宣布了2030年前實(shí)現(xiàn)碳達(dá)峰，2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和的目標(biāo)．某城市計(jì)劃通過綠色能源(光伏、風(fēng)電、核能)替代煤電能源，智慧交通，大力發(fā)展新能源汽車以及植樹造林置換大氣中的二氧化碳實(shí)現(xiàn)碳中和．該城市某研究機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了若干汽車5年內(nèi)所行駛的里程數(shù)(萬千米)的頻率分布直方圖，如圖．(1)求a的值及汽車5年內(nèi)所行駛里程的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)；(2)據(jù)“碳中和羅盤”顯示：一輛汽車每年行駛1萬千米的排碳量需要近200棵樹用1年時(shí)間來吸收．根據(jù)頻率分布直方圖，該城市每一輛汽車平均需要多少棵樹才能夠達(dá)到“碳中和”；(3)該城市為了減少碳排量，計(jì)劃大力推動新能源汽車，關(guān)于車主購買汽車時(shí)是否考慮對大氣污染的因素，對300名車主進(jìn)行了調(diào)查，這些車主中新能源汽車車主占eq\f(1,6)，且這些車主在購車時(shí)考慮大氣污染因素的占20%，燃油汽車車主在購車時(shí)考慮大氣污染因素的占10%．根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)情況，補(bǔ)全下面2×2列聯(lián)表，并回答是否有99%的把握認(rèn)為購買新能源汽車與考慮大氣污染有關(guān)．考慮大氣污染沒考慮大氣污染合計(jì)新能源汽車車主燃油汽車車主合計(jì)附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d．P(K2≥k)0.100.0250.0100.0050.001k2.7065.0246.6357.87910.828[解](1)由(0.05＋a＋0.35＋0.25＋a＋0.05)×1＝1，解得a＝0.15．設(shè)eq\o(x,\s\up7(－))為汽車5年內(nèi)所行駛里程的平均值，則eq\o(x,\s\up7(－))＝3.5×0.05＋4.5×0.15＋5.5×0.35＋6.5×0.25＋7.5×0.15＋8.5×0.05＝5.95(萬千米)．(2)由(1)可知，一輛汽車1年內(nèi)所行駛里程的平均值為eq\f(5.95,5)＝1.19(萬千米)．因?yàn)橐惠v汽車每年行駛1萬千米的排碳量需要近200棵樹用1年時(shí)間來吸收，所以每一輛汽車平均需要1.19×200＝238(棵)樹才能夠達(dá)到“碳中和”．(3)補(bǔ)全的2×2列聯(lián)表如下：考慮大氣污染沒考慮大氣污染合計(jì)新能源汽車車主104050燃油汽車車主25225250合計(jì)35265300所以K2＝eq\f(300×10×225－25×402,35×265×250×50)≈4.04．因?yàn)?.04<6.635，所以沒有99%的把握認(rèn)為購買新能源汽車與考慮大氣污染有關(guān)．(2021·湖北孝感高中高三月考)紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一，其產(chǎn)卵數(shù)與溫度有關(guān)．現(xiàn)收集到一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y(個(gè))和溫度x(℃)的8組觀測數(shù)據(jù)，制成圖1所示的散點(diǎn)圖．現(xiàn)用兩種模型①y＝ebx＋a，②y＝cx2＋d分別進(jìn)行擬合，由此得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行殘差分析，進(jìn)一步得到圖2所示的殘差圖．圖1產(chǎn)卵數(shù)散點(diǎn)圖圖2兩種模型的殘差圖根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到如下值：eq\o(x,\s\up7(－))eq\o(z,\s\up7(－))eq\o(t,\s\up7(－))eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\o(x,\s\up7(－)))2eq\i\su(i＝1,8,)(ti－eq\o(t,\s\up7(－)))2eq\i\su(i＝1,8,)(zi－eq\o(z,\s\up7(－)))(xi－eq\o(x,\s\up7(－)))eq\i\su(i＝1,8,)(yi－eq\o(y,\s\up7(－)))(ti－eq\o(t,\s\up7(－)))252.8964616842268848.4870308表中zi＝lnyi；eq\o(z,\s\up7(－))＝eq\f(1,8)eq\i\su(i＝1,8,z)i；ti＝xeq\o\al(2,i)；eq\o(t,\s\up7(－))＝eq\f(1,8)eq\i\su(i＝1,8,t)i．(1)根據(jù)殘差圖，比較模型①、②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個(gè)模型？并說明理由；(2)根據(jù)(1)中所選擇的模型，求出y關(guān)于x的回歸方程(計(jì)算過程中四舍五入保留兩位小數(shù))，并求溫度為34℃時(shí)，產(chǎn)卵數(shù)y的預(yù)報(bào)值．參考數(shù)據(jù)：e5.41≈224，e5.50≈245，e5.59≈268．附：對于一組數(shù)據(jù)(ω1，v1)，(ω2，v2)，…，(ωn，vn)，其回歸直線eq\o(v,\s\up7(^))＝eq\o(α,\s\up7(^))＋eq\o(β,\s\up7(^))ω的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為eq\o(β,\s\up7(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,ω)ivi－n\o(ω,\s\up7(－))\o(v,\s\up7(－)),\i\su(i＝1,n,ω)\o\al(2,i)－n\o(ω,\s\up7(－))2)，eq\o(α,\s\up7(^))＝eq\o(v,\s\up7(－))－eq\o(