2023屆高考數(shù)學一輪復習作業(yè)變量間的相關關系統(tǒng)計案例新人教B版

PAGEPAGE9變量間的相關關系、統(tǒng)計案例一、選擇題1．如圖是相關變量x，y的散點圖，現(xiàn)對這兩個變量進行線性相關分析，方案一：根據(jù)圖中所有數(shù)據(jù)，得到線性回歸方程eq\o(y,\s\up7(^))＝eq\o(b,\s\up7(^))1x＋eq\o(a,\s\up7(^))1，相關系數(shù)為r1；方案二：剔除點(10,21)，根據(jù)剩下數(shù)據(jù)得到線性回歸直線方程eq\o(y,\s\up7(^))＝eq\o(b,\s\up7(^))2x＋eq\o(a,\s\up7(^))2，相關系數(shù)為r2．則()A．0＜r1＜r2＜1 B．0＜r2＜r1＜1C．－1＜r1＜r2＜0 D．－1＜r2＜r1＜0D[根據(jù)相關變量x，y的散點圖知，變量x，y具有負線性相關關系，且點(10,21)是離群值．方案一中，沒剔除離群值，線性相關性弱些，成負相關；方案二中，剔除離群值，線性相關性強些，也是負相關．所以相關系數(shù)－1＜r2＜r1＜0．故選D．]2．(2020·全國卷Ⅰ)某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位：℃)的關系，在20個不同的溫度條件下進行種子發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，20)得到下面的散點圖：由此散點圖，在10℃至40℃之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是()A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2C．y＝a＋bex D．y＝a＋blnxD[根據(jù)散點圖，用光滑的曲線把圖中各點依次連起來(圖略)，由圖并結合選項可排除A，B，C，故選D．]3．為了研究某班學生的腳長x(單位：厘米)和身高y(單位：厘米)的關系，從該班隨機抽取10名學生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出y與x之間有線性相關關系．設其回歸直線方程為eq\o(y,\s\up7(^))＝eq\o(b,\s\up7(^))x＋eq\o(a,\s\up7(^))．已知xi＝225，yi＝1600，eq\o(b,\s\up7(^))＝4．該班某學生的腳長為24，據(jù)此估計其身高為()A．160cmB．163cmC．166cmD．170cmC[∵xi＝225，∴eq\x\to(x)＝eq\f(1,10)xi＝22.5．∵yi＝1600，∴eq\x\to(y)＝eq\f(1,10)yi＝160．又eq\o(b,\s\up7(^))＝4，∴eq\o(a,\s\up7(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up7(^))eq\x\to(x)＝160－4×22.5＝70．∴回歸直線方程為eq\o(y,\s\up7(^))＝4x＋70．將x＝24代入上式得eq\o(y,\s\up7(^))＝4×24＋70＝166．故選C．]4．現(xiàn)行普通高中學生在高一時面臨著選科的問題，學校抽取了部分男、女學生意愿的一份樣本，制作出如下兩個等高堆積條形圖：根據(jù)這兩幅圖中的信息，下列哪個統(tǒng)計結論是不正確的()A．樣本中的女生數(shù)量多于男生數(shù)量B．樣本中有兩理一文意愿的學生數(shù)量多于有兩文一理意愿的學生數(shù)量C．樣本中的男生偏愛兩理一文D．樣本中的女生偏愛兩文一理D[由條形圖知女生數(shù)量多于男生數(shù)量，有兩理一文意愿的學生數(shù)量多于有兩文一理意愿的學生數(shù)量，男生偏愛兩理一文，女生中有兩理一文意愿的學生數(shù)量多于有兩文一理意愿的學生數(shù)量，故選D．]5．某醫(yī)療所為了檢查新開發(fā)的流感疫苗對甲型H1N1流感的預防作用，把1000名注射疫苗的人與另外1000名未注射疫苗的人半年的感冒記錄作比較，提出假設H0：“這種疫苗不能起到預防甲型H1N1流感的作用”，并計算得P(K2≥6.635)≈0.01，則下列說法正確的是()A．這種疫苗能起到預防甲型H1N1流感的有效率為1%B．若某人未使用疫苗，則他在半年中有99%的可能性得甲型H1N1流感C．有99%的把握認為“這種疫苗能起到預防甲型H1N1流感的作用”D．有1%的把握認為“這種疫苗能起到預防甲型H1N1流感的作用”C[因為P(K2≥6.635)≈0.01，這說明假設不合理的程度為99%，即這種疫苗不能起到預防甲型H1N1流感的作用不合理的程度約為99%，所以有99%的把握認為“這種疫苗能起到預防甲型H1N1流感的作用”，故選C．]二、填空題6．對具有線性相關關系的變量x，y有一組觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，8)，其線性回歸方程是eq\o(y,\s\up7(^))＝eq\f(1,3)x＋eq\o(a,\s\up7(^))，且x1＋x2＋x3＋…＋x8＝2(y1＋y2＋y3＋…＋y8)＝6，則實數(shù)eq\o(a,\s\up7(^))的值為．eq\f(1,8)[依題意可知樣本點的中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(3,8)))，則eq\f(3,8)＝eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＋eq\o(a,\s\up7(^))，解得eq\o(a,\s\up7(^))＝eq\f(1,8)．]7．甲、乙、丙、丁四位同學各自對A，B兩個變量的線性相關性做試驗，并用回歸分析方法分別求得相關系數(shù)r與殘差平方和m，如下表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103則同學的試驗結果體現(xiàn)A，B兩變量有更強的線性相關性．丁[r越大，m越小，線性相關性越強．]8．某醫(yī)療研究所為了檢驗某種血清預防感冒的作用，把500名使用血清的人與另外500名未使用血清的人一年中的感冒記錄作比較，提出假設H0：“這種血清不能起到預防感冒的作用”，利用2×2列聯(lián)表計算得K2≈3.918，經查臨界值表知P(K2≥3.841)≈0.05．則下列結論中，正確結論的序號是．①有95%的把握認為“這種血清能起到預防感冒的作用”；②若某人未使用該血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；③這種血清預防感冒的有效率為95%；④這種血清預防感冒的有效率為5%．①[K2≈3.918＞3.841，而P(K2≥3.841)≈0.05，所以有95%的把握認為“這種血清能起到預防感冒的作用”．要注意我們檢驗的假設是否成立和該血清預防感冒的有效率是沒有關系的，不是同一個問題，不要混淆．]三、解答題9．(2021·陜西西安高三模擬)某社區(qū)隨機選取了部分居民，調查他們對今年春節(jié)期間社區(qū)組織文藝和體育活動的意見(每人只選擇其中一項)，調查結果如下表所示：文藝活動體育活動男性居民1520女性居民2510(1)估計該社區(qū)男性居民中選擇體育活動的概率和全體居民中選擇文藝活動的概率；(2)判斷能否有95%的把握認為居民選擇的活動類型與性別有關．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d．P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828[解](1)由表格中的數(shù)據(jù)可知，該社區(qū)男性居民中選擇體育活動的概率為eq\f(20,15＋20)＝eq\f(4,7)，該社區(qū)全體居民中選擇文藝活動的概率為eq\f(40,40＋30)＝eq\f(4,7)．(2)由表格中數(shù)據(jù)可得K2＝eq\f(70×15×10－20×252,40×30×35×35)≈5.833>3.841，因此，有95%的把握認為居民選擇的活動類型與性別有關．1．(2021·南昌市八一中學高三三模)已知變量y關于x的回歸方程為eq\o(y,\s\up7(^))＝ebx－0.5，其一組數(shù)據(jù)如表所示，若x＝5，則預測y值可能為()x1234yee3e4e6A．e5B．eeq\s\UP12(eq\f(11,2))C．e7D．eeq\f(15,2)D[由eq\o(y,\s\up7(^))＝ebx－0.5得：lny＝bx－0.5，∴eq\f(lne＋lne3＋lne4＋lne6,4)＝b·eq\f(1＋2＋3＋4,4)－0.5，解得：b＝1.6，∴回歸方程為eq\o(y,\s\up7(^))＝e1.6x－0.5，若x＝5，則eq\o(y,\s\up7(^))＝e8－0.5＝eeq\s\UP12(eq\f(15,2))．]2．在對具有線性相關的兩個變量x和y進行統(tǒng)計分析時，得到如下數(shù)據(jù)：x4m81012y12356由表中數(shù)據(jù)求得y關于x的回歸方程為eq\o(y,\s\up7(^))＝0.65x－1.8，則(4,1)，(m,2)，(8,3)這三個樣本點中落在回歸直線下方的有()A．1個B．2個C．3個D．0個B[由表中數(shù)據(jù)，得eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(4＋m＋8＋10＋12)＝eq\f(34＋m,5)，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)×(1＋2＋3＋5＋6)＝3.4，代入回歸方程eq\o(y,\s\up7(^))＝0.65x－1.8中，得3.4＝0.65×eq\f(34＋m,5)－1.8，計算得出m＝6．所以x＝4時，eq\o(y,\s\up7(^))＝0.65×4－1.8＝0.8＜1，點(4,1)在回歸直線eq\o(y,\s\up7(^))＝0.65x－1.8上方；x＝6時，eq\o(y,\s\up7(^))＝0.65×6－1.8＝2.1＞2，點(6,2)在回歸直線eq\o(y,\s\up7(^))＝0.65x－1.8下方；x＝8時，eq\o(y,\s\up7(^))＝0.65×8－1.8＝3.4＞3，點(8,3)在回歸直線eq\o(y,\s\up7(^))＝0.65x－1.8下方．綜上，(4,1)，(6,2)，(8,3)這三個樣本點中落在回歸直線下方的有2個．故選B．]3．針對時下的“游戲熱”，某校團委對“學生性別和喜歡打游戲是否有關”作了一次調查，其中女生人數(shù)是男生人數(shù)的eq\f(1,3)，女生喜歡打游戲的人數(shù)占女生人數(shù)的eq\f(1,6)，男生喜歡打游戲的人數(shù)占男生人數(shù)的eq\f(2,3)．若有95%的把握認為是否喜歡打游戲和性別有關，則男生至少有人．附：P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818[設男生人數(shù)為x，由題意可得列聯(lián)表如下：喜歡打游戲不喜歡打游戲總計女生eq\f(x,18)eq\f(5,18)xeq\f(x,3)男生eq\f(2,3)xeq\f(x,3)x總計eq\f(13,18)xeq\f(11,18)xeq\f(4x,3)若有95%的把握認為是否喜歡打游戲和性別有關，則k≥3.841，即k＝eq\f(\f(4x,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,18)·\f(x,3)－\f(5x,18)·\f(2x,3)))\s\UP12(2),x·\f(x,3)·\f(13x,18)·\f(11x,18))＝eq\f(36x,143)≥3.841，解得x≥15.257．因為各部分人數(shù)均為整數(shù)，所以x是18的倍數(shù)，所以若有95%的把握認為是否喜歡打游戲和性別有關，則男生至少有18人．]4．碳達峰就是二氧化碳的排放不再增長，達到峰值之后再慢慢減下去；碳中和是指在一定時間內直接或間接產生的溫室氣體排放總量通過植樹造林、節(jié)能減排等方式，以抵消自身產生的二氧化碳排放量，實現(xiàn)二氧化碳“零排放”．2020年9月，中國向世界宣布了2030年前實現(xiàn)碳達峰，2060年前實現(xiàn)碳中和的目標．某城市計劃通過綠色能源(光伏、風電、核能)替代煤電能源，智慧交通，大力發(fā)展新能源汽車以及植樹造林置換大氣中的二氧化碳實現(xiàn)碳中和．該城市某研究機構統(tǒng)計了若干汽車5年內所行駛的里程數(shù)(萬千米)的頻率分布直方圖，如圖．(1)求a的值及汽車5年內所行駛里程的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)；(2)據(jù)“碳中和羅盤”顯示：一輛汽車每年行駛1萬千米的排碳量需要近200棵樹用1年時間來吸收．根據(jù)頻率分布直方圖，該城市每一輛汽車平均需要多少棵樹才能夠達到“碳中和”；(3)該城市為了減少碳排量，計劃大力推動新能源汽車，關于車主購買汽車時是否考慮對大氣污染的因素，對300名車主進行了調查，這些車主中新能源汽車車主占eq\f(1,6)，且這些車主在購車時考慮大氣污染因素的占20%，燃油汽車車主在購車時考慮大氣污染因素的占10%．根據(jù)以上統(tǒng)計情況，補全下面2×2列聯(lián)表，并回答是否有99%的把握認為購買新能源汽車與考慮大氣污染有關．考慮大氣污染沒考慮大氣污染合計新能源汽車車主燃油汽車車主合計附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d．P(K2≥k)0.100.0250.0100.0050.001k2.7065.0246.6357.87910.828[解](1)由(0.05＋a＋0.35＋0.25＋a＋0.05)×1＝1，解得a＝0.15．設eq\o(x,\s\up7(－))為汽車5年內所行駛里程的平均值，則eq\o(x,\s\up7(－))＝3.5×0.05＋4.5×0.15＋5.5×0.35＋6.5×0.25＋7.5×0.15＋8.5×0.05＝5.95(萬千米)．(2)由(1)可知，一輛汽車1年內所行駛里程的平均值為eq\f(5.95,5)＝1.19(萬千米)．因為一輛汽車每年行駛1萬千米的排碳量需要近200棵樹用1年時間來吸收，所以每一輛汽車平均需要1.19×200＝238(棵)樹才能夠達到“碳中和”．(3)補全的2×2列聯(lián)表如下：考慮大氣污染沒考慮大氣污染合計新能源汽車車主104050燃油汽車車主25225250合計35265300所以K2＝eq\f(300×10×225－25×402,35×265×250×50)≈4.04．因為4.04<6.635，所以沒有99%的把握認為購買新能源汽車與考慮大氣污染有關．(2021·湖北孝感高中高三月考)紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一，其產卵數(shù)與溫度有關．現(xiàn)收集到一只紅鈴蟲的產卵數(shù)y(個)和溫度x(℃)的8組觀測數(shù)據(jù)，制成圖1所示的散點圖．現(xiàn)用兩種模型①y＝ebx＋a，②y＝cx2＋d分別進行擬合，由此得到相應的回歸方程并進行殘差分析，進一步得到圖2所示的殘差圖．圖1產卵數(shù)散點圖圖2兩種模型的殘差圖根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，計算得到如下值：eq\o(x,\s\up7(－))eq\o(z,\s\up7(－))eq\o(t,\s\up7(－))eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\o(x,\s\up7(－)))2eq\i\su(i＝1,8,)(ti－eq\o(t,\s\up7(－)))2eq\i\su(i＝1,8,)(zi－eq\o(z,\s\up7(－)))(xi－eq\o(x,\s\up7(－)))eq\i\su(i＝1,8,)(yi－eq\o(y,\s\up7(－)))(ti－eq\o(t,\s\up7(－)))252.8964616842268848.4870308表中zi＝lnyi；eq\o(z,\s\up7(－))＝eq\f(1,8)eq\i\su(i＝1,8,z)i；ti＝xeq\o\al(2,i)；eq\o(t,\s\up7(－))＝eq\f(1,8)eq\i\su(i＝1,8,t)i．(1)根據(jù)殘差圖，比較模型①、②的擬合效果，應選擇哪個模型？并說明理由；(2)根據(jù)(1)中所選擇的模型，求出y關于x的回歸方程(計算過程中四舍五入保留兩位小數(shù))，并求溫度為34℃時，產卵數(shù)y的預報值．參考數(shù)據(jù)：e5.41≈224，e5.50≈245，e5.59≈268．附：對于一組數(shù)據(jù)(ω1，v1)，(ω2，v2)，…，(ωn，vn)，其回歸直線eq\o(v,\s\up7(^))＝eq\o(α,\s\up7(^))＋eq\o(β,\s\up7(^))ω的斜率和截距的最小二乘估計分別為eq\o(β,\s\up7(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,ω)ivi－n\o(ω,\s\up7(－))\o(v,\s\up7(－)),\i\su(i＝1,n,ω)\o\al(2,i)－n\o(ω,\s\up7(－))2)，eq\o(α,\s\up7(^))＝eq\o(v,\s\up7(－))－eq\o(