2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)作業(yè)數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入新人教B版

PAGEPAGE4數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入一、選擇題1．(2021·全國(guó)甲卷)已知(1－i)2z＝3＋2i，則z＝()A．－1－eq\f(3,2)i B．－1＋eq\f(3,2)iC．－eq\f(3,2)＋i D．－eq\f(3,2)－iB[z＝eq\f(3＋2i,1－i2)＝eq\f(3＋2i,－2i)＝eq\f(3i－2,2)＝－1＋eq\f(3,2)i．故選B．]2．(2021·全國(guó)乙卷)設(shè)iz＝4＋3i，則z＝()A．－3－4i B．－3＋4iC．3－4i D．3＋4iC[法一：因?yàn)閕z＝4＋3i，所以z＝eq\f(4＋3i,i)＝eq\f(4＋3i－i,i－i)＝eq\f(－4i－3i2,－i2)＝3－4i．故選C．法二：設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則由iz＝4＋3i，可得i(a＋bi)＝4＋3i，即－b＋ai＝4＋3i，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－b＝4，,a＝3，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－4，))所以z＝3－4i．故選C．]3．(2021·新高考Ⅰ卷)已知z＝2－i，則z(eq\x\to(z)＋i)＝()A．6－2i B．4－2iC．6＋2i D．4＋2iC[因?yàn)閦＝2－i，所以z(eq\x\to(z)＋i)＝(2－i)(2＋2i)＝6＋2i，故選C．]4．(2021·珠海市第二中學(xué)高三月考)若z1＝eq\f(a－i,1＋i)(a∈R)是純虛數(shù)，z2滿(mǎn)足z2(a＋1＋z1)＝5，則復(fù)數(shù)z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限A[z1＝eq\f(a－i,1＋i)＝eq\f(a－i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(a－1,2)－eq\f(a＋1,2)i，因?yàn)閺?fù)數(shù)z1＝eq\f(a－i,1＋i)(a∈R)為純虛數(shù)，∴eq\f(a－1,2)＝0，－eq\f(a＋1,2)≠0，解得a＝1，所以z1＝－i，因?yàn)閦2(a＋1＋z1)＝5，所以z2(2－i)＝5，即z2＝eq\f(5,2－i)＝eq\f(52＋i,2－i2＋i)＝2＋i，所以復(fù)數(shù)z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(2,1)，位于第一象限．]5．(2021·江西南昌十中高三月考)若復(fù)數(shù)z＝eq\f(a＋i,2－i)(i是虛數(shù)單位)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為()A．－2B．2C．－eq\f(1,2)D．eq\f(1,2)D[z＝eq\f(a＋i,2－i)＝eq\f(a＋i2＋i,2－i2＋i)＝eq\f(2a－1＋a＋2i,5)＝eq\f(2a－1,5)＋eq\f(a＋2,5)i，因?yàn)閺?fù)數(shù)z＝eq\f(a＋i,2－i)(i是虛數(shù)單位)為純虛數(shù)，所以eq\f(2a－1,5)＝0，解得a＝eq\f(1,2)．]6．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,i)))eq\s\up12(2)＝a＋bi(a，b∈R，i為虛數(shù)單位)，則a＋b＝()A．－7B．7C．－4D．4A[因?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,i)))eq\s\up12(2)＝1＋eq\f(4,i)＋eq\f(4,i2)＝－3－4i，所以－3－4i＝a＋bi，則a＝－3，b＝－4，所以a＋b＝－7，故選A．]7．設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng)，z1＝2＋i，則eq\f(z1,z2)＝()A．1＋iB．eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)iC．1＋eq\f(4,5)iD．1＋eq\f(4,3)iB[因?yàn)閺?fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng)，z1＝2＋i，所以z2＝2－i，所以eq\f(z1,z2)＝eq\f(2＋i,2－i)＝eq\f(2＋i2,5)＝eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)i，故選B．]8．若(1－mi)(m＋i)＜0，其中i為虛數(shù)單位，則m的值為()A．－1B．－2C．－3D．－4A[因?yàn)?1－mi)(m＋i)＝2m＋(1－m2)i＜0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＜0，,1－m2＝0，))解得m＝－1，故選A．]二、填空題9．(2021·重慶巴蜀中學(xué)高三月考)已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)是eq\x\to(z)，若z－3eq\o(z,\s\up7(－))＝1＋2i，則|z|＝．eq\f(\r(2),2)[設(shè)z＝a＋bi，a，b∈R，則eq\x\to(z)＝a－bi，由z－3eq\x\to(z)＝1＋2i可得：－2a＋4bi＝1＋2i，則a＝－eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,2)，所以|z|＝eq\r(a2＋b2)＝eq\f(\r(2),2)．]10．已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足zi＝1＋i，則復(fù)數(shù)z的虛部為．－1[因?yàn)閦＝eq\f(1＋i,i)＝eq\f(1＋ii,i2)＝1－i，所以復(fù)數(shù)z的虛部為－1．]11．－3＋2i是方程2x2＋px＋q＝0的一個(gè)根，且p，q∈R，則p＋q＝．38[由題意得2(－3＋2i)2＋p(－3＋2i)＋q＝0，即2(5－12i)－3p＋2pi＋q＝0，即(10－3p＋q)＋(－24＋2p)i＝0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10－3p＋q＝0，,－24＋2p＝0.))所以p＝12，q＝26，所以p＋q＝38．]12．已知復(fù)數(shù)z＝eq\f(4＋2i,1＋i2)(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線(xiàn)x－2y＋m＝0上，則m＝．－5[z＝eq\f(4＋2i,1＋i2)＝eq\f(4＋2i,2i)＝eq\f(4＋2ii,2i2)＝1－2i，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，－2)，將其代入x－2y＋m＝0，得m＝－5．]1．設(shè)有下列四個(gè)命題：p1：若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足eq\f(1,z)∈R，則z∈R；p2：若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z2∈R，則z∈R；p3：若復(fù)數(shù)z1，z2滿(mǎn)足z1z2∈R，則z1＝eq\x\to(z)2；p4：若復(fù)數(shù)z∈R，則eq\x\to(z)∈R．其中的真命題為()A．p1，p3 B．p1，p4C．p2，p3 D．p2，p4B[設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．對(duì)于p1，若eq\f(1,z)∈R，即eq\f(1,a＋bi)＝eq\f(a－bi,a2＋b2)∈R，則b＝0，故z＝a＋bi＝a∈R，所以p1為真命題；對(duì)于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，則ab＝0．當(dāng)a＝0，b≠0時(shí)，z＝a＋bi＝bi?R，所以p2為假命題；對(duì)于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，則a1b2＋a2b1＝0．而z1＝eq\x\to(z)2，即a1＋b1i＝a2－b2i?a1＝a2，b1＝－b2．因?yàn)閍1b2＋a2b1＝0?/a1＝a2，b1＝－b2，所以p3為假命題；對(duì)于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，則b＝0，故eq\x\to(z)＝a－bi＝a∈R，所以p4為真命題．故選B．]2．若虛數(shù)z同時(shí)滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件：①z＋eq\f(5,z)是實(shí)數(shù)；②z＋3的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)．則z＝，|z|＝．－1－2i或－2－ieq\r(5)[設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，z＋eq\f(5,z)＝a＋bi＋eq\f(5,a＋bi)＝a＋bi＋eq\f(5a－bi,a2＋b2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(5a,a2＋b2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(5b,a2＋b2)))i．因?yàn)閦＋eq\f(5,z)是實(shí)數(shù)，所以b－eq\f(5b,a2＋b2)＝0．又因?yàn)閎≠0，所以a2＋b2＝5．①又z＋3＝(a＋3)＋bi的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，所以