2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)作業(yè)離散型隨機(jī)變量的均值與方差正態(tài)分布新人教B版

PAGEPAGE8離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布一、選擇題1．(2021·四川瀘州高三二模)離散型隨機(jī)變量X服從二項分布X～B(n，p)，且E(X)＝4，D(X)＝3，則p的值為()A．eq\f(1,2)B．eq\f(3,4)C．eq\f(1,4)D．eq\f(1,8)C[因為二項分布X～B(n，p)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(EX＝np＝4，,DX＝np1－p＝3，))解得p＝eq\f(1,4)．]2．(2021·內(nèi)蒙古包頭高三二模)設(shè)X～N(1,1)，且其概率密度曲線如圖所示，那么從正方形ABCD中隨機(jī)取100000個點，則取自陰影部分的點的個數(shù)的估計值是()注：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6827．A．75385B．60375C．70275D．65865D[因為X～N(1,1)，P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6827，向正方形ABCD中隨機(jī)投擲一個點，這個點落在陰影部分的概率為P＝1－eq\f(1,2)P(0<x<2)＝1－0.34135＝0.65865，所以取自陰影部分的點的個數(shù)約為100000×0.65865＝65865．]3．(2021·浙江杭州高三三模)已知隨機(jī)變量ξ，η滿足ξ～B(2，p)，η＋2ξ＝1，且P(ξ≤1)＝eq\f(3,4)，則D(η)的值為()A．0B．1C．2D．3C[因為隨機(jī)變量ξ滿足ξ～B(2，p),P(ξ≤1)＝eq\f(3,4)，所以有P(ξ≤1)＝1－p2＝eq\f(3,4)，即p＝eq\f(1,2)．則D(ξ)＝2×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(1,2)，η＝1－2ξ，D(η)＝4D(ξ)＝2．]4．已知5件產(chǎn)品中有2件次品，現(xiàn)逐一檢測，直至能確定所有次品為止，記檢測的次數(shù)為ξ，則E(ξ)＝()A．3B．eq\f(7,2)C．eq\f(18,5)D．4B[ξ的可能取值為2,3,4，P(ξ＝2)＝eq\f(A\o\al(2,2),A\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，P(ξ＝3)＝eq\f(A\o\al(3,3)＋C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)A\o\al(2,2),A\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝4)＝eq\f(A\o\al(3,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)＋A\o\al(3,3)C\o\al(2,3)C\o\al(1,2),A\o\al(4,5))＝eq\f(3,5)，則E(ξ)＝2×eq\f(1,10)＋3×eq\f(3,10)＋4×eq\f(3,5)＝eq\f(7,2)，故選B．]5．(2020·全國卷Ⅲ)在一組樣本數(shù)據(jù)中，1,2,3,4出現(xiàn)的頻率分別為p1，p2，p3，p4，且eq\o(∑,\s\up11(4),\s\do4(i＝1))pi＝1，則下面四種情形中，對應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是()A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2B[對于A，當(dāng)p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4時，隨機(jī)變量X1的分布列為X11234P0.10.40.40.1E(X1)＝1×0.1＋2×0.4＋3×0.4＋4×0.1＝2.5，D(X1)＝(1－2.5)2×0.1＋(2－2.5)2×0.4＋(3－2.5)2×0.4＋(4－2.5)2×0.1＝1.52×0.1＋0.52×0.4＋0.52×0.4＋1.52×0.1＝0.65，所以eq\r(DX1)＝eq\r(0.65)．對于B，當(dāng)p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1時，隨機(jī)變量X2的分布列為X21234P0.40.10.10.4E(X2)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.1＋4×0.4＝2.5，D(X2)＝(1－2.5)2×0.4＋(2－2.5)2×0.1＋(3－2.5)2×0.1＋(4－2.5)2×0.4＝1.52×0.4＋0.52×0.1＋0.52×0.1＋1.52×0.4＝1.85，所以eq\r(DX2)＝eq\r(1.85)．對于C，當(dāng)p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3時，隨機(jī)變量X3的分布列為X31234P0.20.30.30.2E(X3)＝1×0.2＋2×0.3＋3×0.3＋4×0.2＝2.5，D(X3)＝(1－2.5)2×0.2＋(2－2.5)2×0.3＋(3－2.5)2×0.3＋(4－2.5)2×0.2＝1.52×0.2＋0.52×0.3＋0.52×0.3＋1.52×0.2＝1.05，所以eq\r(DX3)＝eq\r(1.05)．對于D，當(dāng)p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2時，隨機(jī)變量X4的分布列為X41234P0.30.20.20.3E(X4)＝1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.3＝2.5，D(X4)＝(1－2.5)2×0.3＋(2－2.5)2×0.2＋(3－2.5)2×0.2＋(4－2.5)2×0.3＝1.52×0.3＋0.52×0.2＋0.52×0.2＋1.52×0.3＝1.45，所以eq\r(DX4)＝eq\r(1.45)．所以B中的標(biāo)準(zhǔn)差最大．]二、填空題6．(2021·四川師范大學(xué)附屬中學(xué)高三期中)已知離散型隨機(jī)變量ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,4)))，隨機(jī)變量η＝4ξ＋1，則η的數(shù)學(xué)期望E(η)＝．4[∵離散型隨機(jī)變量ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,4)))，∴E(ξ)＝3×eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)，∴E(η)＝E(4ξ＋1)＝4E(ξ)＋1＝4×eq\f(3,4)＋1＝4．]7．(2021·遼寧大連高三二模)一個袋子里裝有大小相同的2個白球和2個黑球，從中任取2個球，其中含有白球個數(shù)為X，則X的方差D(X)＝．eq\f(1,3)[根據(jù)題意，摸得白球的個數(shù)X可能取的值為0,1,2．計算P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(2,2),C\o\al(2,4))＝eq\f(1,6)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),C\o\al(2,4))＝eq\f(4,6)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(0,2),C\o\al(2,4))＝eq\f(1,6)．所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為：E(X)＝0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(4,6)＋2×eq\f(1,6)＝1，所以隨機(jī)變量X的方差為：D(X)＝eq\f(1,6)×(0－1)2＋eq\f(4,6)×(1－1)2＋eq\f(1,6)×(2－1)2＝eq\f(1,3)．]8．2020年高考前第二次適應(yīng)性訓(xùn)練結(jié)束后，某校對全市的英語成績進(jìn)行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)英語成績的頻率分布直方圖形狀與正態(tài)分布N(95,82)的密度曲線非常擬合．據(jù)此估計：在全市隨機(jī)抽取的4名高三同學(xué)中，恰有2名同學(xué)的英語成績超過95分的概率是．eq\f(3,8)[由題意可知每名學(xué)生的英語成績ξ～N(95,82)，∴P(ξ＞95)＝eq\f(1,2)，故所求概率P＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\UP12(4)＝eq\f(3,8)．]三、解答題9．大豆是我國主要的農(nóng)作物之一，因此，大豆在農(nóng)業(yè)發(fā)展中占有重要的地位，隨著農(nóng)業(yè)技術(shù)的不斷發(fā)展，為了使大豆得到更好的種植，就要進(jìn)行超級種培育研究．某種植基地培育的“超級豆”種子進(jìn)行種植測試：選擇一塊營養(yǎng)均衡的可種植4株的實驗田地，每株放入三?！俺壎埂狈N子，且至少要有一粒種子發(fā)芽這株豆苗就能有效成活，每株豆成活苗可以收成大豆2.205kg．已知每粒豆苗種子成活的概率為eq\f(1,2)(假設(shè)種子之間及外部條件一致，發(fā)芽相互沒有影響)．(1)求恰好有3株成活的概率；(2)記成活的豆苗株數(shù)為ξ，收成為η(kg)，求隨機(jī)變量ξ分布列及η的數(shù)學(xué)期望E(η)．[解](1)設(shè)每株豆子成活的概率為P0，則P0＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\s\UP12(3)＝eq\f(7,8)．所以4株中恰好有3株成活的概率P＝Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))eq\s\UP12(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,8)))eq\s\UP12(1)＝eq\f(343,1024)．(2)記成活的豆苗株數(shù)為ξ，收成為η＝2.205ξ，則ξ的可能取值為0,1,2,3,4，且ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(7,8)))，所以ξ的分布列如下表：ξ01234PCeq\o\al(0,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－,\f(7,8)))eq\s\UP12(4)Ceq\o\al(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))1·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,8)))eq\s\UP12(3)Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))eq\s\UP12(2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,8)))eq\s\UP12(2)Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))eq\s\UP12(3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,8)))eq\s\UP12(1)Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))eq\s\UP12(4)∴E(ξ)＝4×eq\f(7,8)＝3.5，E(η)＝E(2.205ξ)＝2.205·E(ξ)＝7.7175(kg)．10．(2021·合肥一六八中學(xué)高三模擬)2020年是全面建成小康社會之年，是脫貧攻堅收官之年．蓮花村是鄉(xiāng)扶貧辦的科學(xué)養(yǎng)魚示范村，為了調(diào)查該村科技扶貧成果，鄉(xiāng)扶貧辦調(diào)查組從該村的養(yǎng)魚塘內(nèi)隨機(jī)捕撈兩次，上午進(jìn)行第一次捕撈，捕撈到60條魚，共105kg，稱重后計算得出這60條魚質(zhì)量(單位kg)的平方和為200.41，下午進(jìn)行第二次捕撈，捕撈到40條魚，共66kg．稱重后計算得出這40條魚質(zhì)量(單位kg)的平方和為117．(1)請根據(jù)以上信息，求所捕撈100條魚質(zhì)量的平均數(shù)eq\x\to(z)和方差s2；(2)根據(jù)以往經(jīng)驗，可以認(rèn)為該魚塘魚質(zhì)量X服從正態(tài)分布N(μ，δ2)，用eq\x\to(z)作為μ的估計值，用s2作為δ2的估計值．隨機(jī)從該魚塘捕撈一條魚，其質(zhì)量在[1.21,3.21]的概率是多少？(3)某批發(fā)商從該村魚塘購買了1000條魚，若從該魚塘隨機(jī)捕撈，記ξ為捕撈的魚的質(zhì)量在[1,21,3.21]的條數(shù)，利用(2)的結(jié)果，求ξ的數(shù)學(xué)期望．附：(1)數(shù)據(jù)t1，t2，…tn的方差s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(ti－eq\o(t,\s\up7(－)))2＝eq\f(1,n)(eq\i\su(i＝1,n,t)eq\o\al(2,i)－neq\o(t,\s\up7(－))2)．(2)若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ，δ2)，則P(μ－δ≤X≤μ＋δ)＝0.6827；P(μ－2δ≤X≤μ＋2δ)＝0.9545；P(μ－3δ≤X≤μ＋3δ)＝0.9973．[解](1)eq\o(z,\s\up7(－))＝eq\f(105＋66,60＋40)＝1.71，s2＝eq\f(200.41＋117,100)－1.712＝0.25．(2)該魚塘魚質(zhì)量滿足X～N(μ，δ2)，其中μ＝1.71，δ2＝0.25，即X～N(1.71,0.25)，則P(μ－δ≤X≤μ)＝eq\f(0.6827,2)，P(μ≤X≤μ＋3δ)＝eq\f(0.9973,2)，∴P(1.21≤X≤3.21)＝P(μ－δ≤X≤μ＋3δ)＝P(μ－δ≤X≤μ)＋P(μ<X≤μ＋3δ)＝eq\f(0.6827＋0.9973,2)＝0.84．(3)由(2)可得魚的質(zhì)量在[1,21,3.21]的概率為0.84．由題意可知ξ～B(1000,0.84)，由二項分布的數(shù)學(xué)期望公式可得，ξ的數(shù)學(xué)期望為E(ξ)＝1000×0.84＝840．1．已知隨機(jī)變量ξ的分布列如下：ξ012Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一個零點的概率為()A．eq\f(1,6)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(5,6)B[由題意知a，b，c∈[0,1]，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c，,a＋b＋c＝1，))解得b＝eq\f(1,3)，又函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一個零點，故對于方程x2＋2x＋ξ＝0，Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，所以P(ξ＝1)＝eq\f(1,3)．]2．體育課的排球發(fā)球項目考試的規(guī)則是：每名學(xué)生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次為止．設(shè)某學(xué)生每次發(fā)球成功的概率為p(0＜p＜1)，發(fā)球次數(shù)為X，若X的數(shù)學(xué)期望E(X)＞1.75，則p的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,12))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,12)，1))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C[由已知條件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，則E(X)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3＞1.75，解得p＞eq\f(5,2)或p＜eq\f(1,2)．由p∈(0,1)，可得p∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))．]3．在一次隨機(jī)試驗中，事件A發(fā)生的概率為p，事件A發(fā)生的次數(shù)為ξ，則數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝，方差D(ξ)的最大值為．peq\f(1,4)[記事件A發(fā)生的次數(shù)ξ可能的值為0,1．ξ01P1－pp數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝0×(1－p)＋1×p＝p，方差D(ξ)＝(0－p)2×(1－p)＋(1－p)2×p＝p(1－p)≤eq\f(1,4)．故數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝p，方差D(ξ)的最大值為eq\f(1,4)．]4．某城市A公司外賣配送員底薪是每月1800元/人，設(shè)每月每人配送的單數(shù)為X，若X∈[1,300]，配送員每單提成3元；若X∈(300,600]，配送員每單提成4元；若X∈(600，＋∞)，配送員每單提成4.5元．B公司外賣配送員底薪是每月2100元/人，設(shè)每月每人配送的單數(shù)為Y，若Y∈[1,400]，配送員每單提成3元；若Y∈(400，＋∞)，配送員每單提成4元．小王計劃在A公司和B公司之間選擇一份外賣配送員工作，他隨機(jī)調(diào)查了A公司外賣配送員甲和B公司外賣配送員乙在9月份(30天)的送餐量數(shù)據(jù)，如下表：表1：A公司外賣配送員甲送餐量統(tǒng)計日送餐量x/單131416171820天數(shù)2612622表2：B公司外賣配送員乙送餐量統(tǒng)計日送餐量y/單111314151618天數(shù)4512351(1)設(shè)A公司外賣配送員月工資為f(X)(單位：元/人)，B公司外賣配送員月工資為g(Y)(單位：元/人)，當(dāng)X＝Y(jié)且X，Y∈(300,600]時，比較f(X)與g(Y)的大?。?2)若將甲、乙9月份的日送餐量的頻率視為對應(yīng)公司日送餐量的概率．(ⅰ)分別計算外賣配送員甲和乙每日送餐量的數(shù)學(xué)期望；(ⅱ)請利用你所學(xué)的知識為小王作出選擇，并說明理由．[解](1)因為X＝Y(jié)且X，Y∈(300,600]，所以g(X)＝g(Y)，當(dāng)X∈(300,400]時，f(X)－g(X)＝(1800＋4X)－(2100＋3X)＝X－300＞0．當(dāng)X∈(400,600]時，f(X)－g(X)＝(1800＋4X)－(2100＋4X)＝－300＜0．故當(dāng)X∈(300,400]時，f(X)＞g(X)，當(dāng)X∈(400,600]時，f(X)＜g(X)．(2)(ⅰ)甲的日送餐量x的分布列為：x131416171820Peq\f(1,15)eq\f(1,5)eq\f(2,5)eq\f(1,5)eq\f(1,15)eq\f(1,15)則E(x)＝13×eq\f(1,15)＋14×eq\f(1,5)＋16×eq\f(2,5)＋17×eq\f(1,5)＋18×eq\f(1,15)＋20×eq\f(1,15)＝16．乙的日送餐量y的分布列為：y111314151618Peq\f(2,15)eq\f(1,6)eq\f(2,5)eq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,30)則E(y)＝11×eq\f(2,15)＋13×eq\f(1,6)＋14×eq\f(2,5)＋15×eq\f(1,10)＋16×eq\f(1,6)＋18×eq\f(1,30)＝14．(ⅱ)E(X)＝30E(x)＝480∈(300,600]，E(Y)＝30E(y)＝420∈(400，＋∞)．估計A公司外賣配送員月薪平均為1800＋4E(X)＝3720(元)．估計B公司外賣配送員月薪平均為2100＋4E(Y)＝3780(元)．因為3780＞3720，所以小王應(yīng)選擇做B公司外賣配送員．武漢有“九省通衢”之稱，也稱為“江城”，是國家歷史文化名城．其中著名的景點有黃鶴樓、戶部巷、東湖風(fēng)景區(qū)等等．(1)為了解“五一”勞動節(jié)當(dāng)日江城某旅游景點游客年齡的分布情況，從年齡在22歲到52歲的游客中隨機(jī)抽取了1000人，制成了如下的頻率分布直方圖：現(xiàn)從年齡在[42,52]內(nèi)的游客中，采用分層抽樣的方法抽取10人，再從抽取的10人中隨機(jī)抽取4人，記這4人中年齡在[47,52]內(nèi)的人數(shù)為ξ，求P(ξ＝3)．(2)為了給游客提供更舒適的旅游體驗，某旅游景點游船中心計劃在2022年勞動節(jié)當(dāng)日投入至少1艘至多3艘A型游船供游客乘坐觀光．由2010年到2019年這10年間的數(shù)據(jù)資料顯示每年勞動節(jié)當(dāng)日客流量X(單位：萬人)都大于1．將每年勞動節(jié)當(dāng)日客流量分成3個區(qū)間整理得下表：勞動節(jié)當(dāng)日客流量X1＜X＜33≤X≤5X＞5頻數(shù)244以這10年的數(shù)據(jù)資料記錄的3個區(qū)間客流量的頻率作為每年客流量在該區(qū)間段發(fā)生的概率，且每年勞動節(jié)當(dāng)日客流量相互獨立．該游船中心希望投入的A型游船盡可能被充分利用，但每年勞動節(jié)當(dāng)日A型游船最多使用量(單位：艘)要受當(dāng)日客流量X(單位：萬人)的影響，其關(guān)系如下表：勞動節(jié)當(dāng)日客流量X1＜X＜33≤