高考數(shù)學專題《函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及其應用》習題含答案解析

專題5.5函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及其應用練基礎練基礎1．（2021·中牟縣教育體育局教學研究室高一期中）函數(shù)的周期?振幅?初相分別是（）A．，2， B．，，C．，2， D．，2，【答案】C【解析】根據(jù)三角函數(shù)的特征即可得出選項.【詳解】由，則，振幅為，當時，，即初相為.故選：C2．（2021·江西新余市·高一期末（理））函數(shù)(其中，)的圖像如圖所示，為了得到的圖像，則只要將的圖像（）A．向右移個單位長度B．向右移個單位長度C．向左移個單位長度D．向左移個單位長度【答案】A【解析】由圖中最低點縱坐標得到振幅A,利用相鄰零點的距離等于四分之一周期，得到ω，由五點作圖法對應的最高點的相位求得初相φ的值，得到函數(shù)的解析式，進而利用平移變換法則得到答案.【詳解】由函數(shù)圖象可得，則，可得.再由五點作圖法可得，得，故函數(shù)的解析式為.由，故將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度可得到的圖象.故選:A.3．（2021·浙江高二期末）健康成年人的收縮壓和舒張壓一般為和．心臟跳動時，血壓在增加或減小，血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和舒張壓，血壓計上的讀數(shù)就是收縮壓和舒張壓，讀數(shù)為標準值．高三同學在參加高考之前需要參加統(tǒng)一的高考體檢，其中血壓、視力等對于高考報考有一些影響．某同學測得的血壓滿足函數(shù)式，其中為血壓為時間，其函數(shù)圖像如上圖所示，則下列說法錯誤的是（）A．收縮壓為 B． C．舒張壓為 D．【答案】B【解析】通過觀察圖象得到該人的收縮壓和舒張壓，通過圖象求出，，利用周期公式求出得解．【詳解】由圖象可知，函數(shù)的最大值為120，最小值為70，所以收縮壓為，舒張壓為，所以選項AC正確；周期，知，所以選項B錯誤；由題得，所以所以選項D正確.故選：B4．（2022·河南高三月考（文））將函數(shù)的圖象向左平移個單位后，得到的圖象的一個對稱中心為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】化簡函數(shù)的解析式為，根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，求得平移后的解析式，結合三角函數(shù)的性質，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，將函數(shù)的圖象向左平移個單位后，得到函數(shù)的圖象的解析式為：，令，解得，當時，可得，所以函數(shù)的一個對稱中心為.故選：C.5.（2020·天津高考真題）已知函數(shù)．給出下列結論：①的最小正周期為；②是的最大值；③把函數(shù)的圖象上所有點向左平移個單位長度，可得到函數(shù)的圖象．其中所有正確結論的序號是A．① B．①③ C．②③ D．①②③【答案】B【解析】因為，所以周期，故①正確；，故②不正確；將函數(shù)的圖象上所有點向左平移個單位長度，得到的圖象，故③正確.故選：B.6．（2018·天津高考真題（文））將函數(shù)y=sin(2x+πA．在區(qū)間[-π4,π4]C．在區(qū)間[π4,π2]【答案】A【解析】由函數(shù)y=將y=sin2x+y=則函數(shù)的單調遞增區(qū)間滿足：2kπ即kπ-令k=0可得函數(shù)的一個單調遞增區(qū)間為-π4,π函數(shù)的單調遞減區(qū)間滿足：2kπ即kπ+令k=0可得函數(shù)的一個單調遞減區(qū)間為π4,3π4本題選擇A選項.7．（2019·天津高考真題（文理））已知函數(shù)是奇函數(shù)，將的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），所得圖象對應的函數(shù)為.若的最小正周期為，且，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為為奇函數(shù)，∴；又，，又∴，故選C.8.（2021·蘭州市第二中學高三月考（文））筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中使用．假設在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車的每一個盛水筒都做逆時針勻速圓周運動．現(xiàn)將筒車抽象為一個幾何圖形，如圖所示，圓的半徑為4米，盛水筒從點處開始運動，與水平面的所成角為，且2分鐘恰好轉動1圈，則盛水筒距離水面的高度（單位：米）與時間（單位：秒）之間的函數(shù)關系式是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】有題意設，根據(jù)最高、最低高度，周期和初始高度，可得結果.【詳解】設距離水面的高度H與時間t的函數(shù)關系式為，周期為120s，，最高點的縱坐標為，最低點的縱坐標為，所以，當t=0時，H=0，，所以.故選：A.9.【多選題】（2021·重慶一中高三其他模擬）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用．如圖，一個半徑為的筒車按逆時針方向每分鐘轉1.5圈，筒車的軸心距離水面的高度為2米．設筒車上的某個盛水筒到水面的距離為（單位：）（在水面下則為負數(shù)），若以盛水筒剛浮出水面時開始計算時間，則與時間（單位：）之間的關系為（，，）．則以下說法正確的有（）A． B．C． D．盛水筒出水后到達最高點的最小時間為【答案】ABD【解析】由已知可得的值，得到函數(shù)解析式，取求得t的值，從而得解．【詳解】解：∵筒車按逆時針方向每分鐘轉1.5圈，，則，故B正確；振幅A為筒車的半徑，即，故A正確；由題意，t=0時，d=0，，即，，∴，故C錯誤；，由d=6，得，得∴當k=0時，t取最小值為，故D正確．故選：ABD．10．【多選題】（2021·福建高三三模）已知函數(shù)的最小正周期為，則下列結論中正確的是（）A．對一切恒成立B．在區(qū)間上不單調C．在區(qū)間上恰有1個零點D．將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度，所得圖像關于原點對稱【答案】AB【解析】由題意利用三角恒等變換，化簡函數(shù)的解析式，再利用整弦函數(shù)的圖象和性質，得出結論.【詳解】解：∵函數(shù)的最小正周期為，∴，.令，求得為最大值，故有對一切恒成立，故A正確；在區(qū)間上，，函數(shù)沒有單調性，故B正確；在區(qū)間上，，函數(shù)有2個零點，故C錯誤；將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度，所得的圖像關于不原點對稱，故D錯誤，故選：AB.練提升練提升TIDHNEG1．【多選題】（2021·福建師大附中高三其他模擬）如圖所示，函數(shù)，的部分圖象與坐標軸分別交于點，，，且的面積為，以下結論正確的是（）A．點的縱坐標為B．是的一個單調遞增區(qū)間C．對任意，點都是圖象的對稱中心D．的圖象可由圖象上各點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，再把得到的圖象向左平移個單位得到【答案】BC【解析】首先求出函數(shù)的周期，再根據(jù)的面積，求出的縱坐標，即可求出函數(shù)解析式，再根據(jù)正切函數(shù)的性質一一判斷即可；【詳解】解：因為，所以最小正周期，即，又的面積為，所以，所以，即的縱坐標為，故A錯誤；因為，所以，所以，因為所以，所以，令，，解得，，所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，，故B正確；令，，解得，，所以函數(shù)的對稱中心為，，故C正確；將圖象上各點的橫坐標縮短為原來的倍，得到，再將函數(shù)向左平移個單位，得到，故D錯誤；故選：BC2.（2020·嘉祥縣第一中學高三其他）【多選題】已知函數(shù)的最大值為，其圖像相鄰的兩條對稱軸之間的距離為，且的圖像關于點對稱，則下列結論正確的是（）.A．函數(shù)的圖像關于直線對稱B．當時，函數(shù)的最小值為C．若，則的值為D．要得到函數(shù)的圖像，只需要將的圖像向右平移個單位【答案】BD【解析】由題知：函數(shù)的最大值為，所以.因為函數(shù)圖像相鄰的兩條對稱軸之間的距離為，所以，，，.又因為的圖像關于點對稱，所以，，.所以，.因為，所以.即.對選項A，，故A錯誤.對選項B，，，當時，取得最小值，故B正確.對選項C，，得到.因為，故C錯誤.對選項D，的圖像向右平移個單位得到，故D正確.故選：BD3．【多選題】（2021·湖南永州市·高三其他模擬）已知函數(shù)，則下列結論中錯誤的是（）A．點是的一個對稱中心點B．的圖象是由的圖象向右平移個單位長度得到C．在上單調遞增D．是方程的兩個解，則【答案】BCD【解析】首先利用三角恒等變化將函數(shù)化為一個角的一種函數(shù)形式即，然后根據(jù)三角函數(shù)的性質進行判斷.【詳解】對于A：令，解得，當時，，所以點是的一個對稱中心點，故A正確；對于B：的圖象向右平移個單位長度得到的圖象的函數(shù)解析式為，所以平移得到的圖象不是的圖象，故B錯誤；對于C：當時，，而函數(shù)在上單調遞減，所以在上單調遞減，故C錯誤；對于D：令，解得或，即或，所以，故D錯誤.故選：BCD.4．（2021·北京石景山區(qū)·高一期末）設，其中，，若對一切恒成立，則對于以下四個結論：①；②；③既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；④的單調遞增區(qū)間是．正確的是_______________（寫出所有正確結論的編號）．【答案】①③【解析】利用輔助角公式可得且，根據(jù)題設不等式恒成立可得，再由各項的描述，結合正弦函數(shù)的性質、函數(shù)奇偶性定義判斷正誤.【詳解】由題設，且，∵對一切恒成立，∴，即，則,①，正確；②，而，所以，錯誤；③，故，即是非奇非偶函數(shù)，正確；④因為在上單調遞增，所以，令，則等價于上單調遞增，錯誤；故答案為：①③5．（2021·浙江嘉興市·高三月考）已知平面單位向量，滿足，，記為向量與的夾角，則的最小值是______．【答案】【解析】設，，，由可得點在直線上運動，由可得點在直線上運動，即點是與的交點，然后過點作交于點，可得，然后向量與的夾角為角，在中，由正弦定理可得，然后利用三角函數(shù)的單調性可求出答案.【詳解】如圖所示，設，，因為，所以所以點在直線上運動，又因為，所以點在直線上運動，故點是與的交點．利用相似可知，過點作交于點所以，故點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓．又因為向量與的夾角為角，在中，，由正弦定理可得所以因為與都單調遞增，所以當時最大，此時，所以的最大值為6．（2021·浙江高二期末）將函數(shù)的圖像向右平移個單位，再把每個點橫坐標擴大為原來的2倍（縱坐標不變），得到函數(shù)，則的解析式_________，若對于任意，在區(qū)間上總存在唯一確定的，使得，則m的最小值為________．【答案】【解析】利用三角函數(shù)圖象的平移可得第一空，通過解析式畫出函數(shù)的圖象，結合條件“對于任意，在區(qū)間上總存在唯一確定的，使得”，求出的取值范圍，進而確定的最小值．【詳解】函數(shù)的圖像向右平移個單位得到，再把每個點橫坐標擴大為原來的2倍（縱坐標不變），得到函數(shù)，則．畫出其圖象如圖，由圖可知，對于任意，在區(qū)間上總存在唯一確定的，使得，的取值范圍為．所以的最小值為．故答案為：；．7．（2017·浙江高考真題）已知函數(shù)（I）求的值（II）求的最小正周期及單調遞增區(qū)間.【答案】（I）2；（II）的最小正周期是，.【解析】（Ⅰ）由，，．得．（Ⅱ）由與得．．所以的最小正周期是．由正弦函數(shù)的性質得，解得，所以，的單調遞增區(qū)間是．8．（2021·山西臨汾市·高三其他模擬（理））海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時返回海洋.下面是某港口在某季節(jié)每天的時間與水深關系表：時刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00水深/米4.56.54.52.54.56.54.52.54.5（1）已知該港口的水深與時刻間的變化滿足函數(shù)，，畫出函數(shù)圖象，并求出函數(shù)解析式.（2）現(xiàn)有一艘貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規(guī)定至少要有2.2米的間隙（船底與洋底的距離），該船何時能進入港口？在港口能呆多久？參考數(shù)據(jù)：【答案】（1）作圖見解析，；（2）該船在2：00或14：00點可以進入港口，在港口可以停留2個小時.【解析】（1）由所給數(shù)據(jù)描點成圖即可，可利用圖象所過最高點求出即可；（2）由題意知貨船需要的安全水深為米，解即可求解.【詳解】（1）由圖象可知，，則有又因為時取最大值6.5，可得，所以（2）貨船需要的安全水深為米，所以當時就可以進港.令，得得，即，當時，；當時，，所以，該船在2：00或14：00點可以進入港口，在港口可以停留2個小時.9．（2021·天津高二期末）已知函數(shù)，（1）求函數(shù)的定義域和最小正周期；（2）若將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，然后再向右平移()個單位長度，所得函數(shù)的圖象關于軸對稱，求的最小值.【答案】（1），；（2）【解析】（1）結合正切型函數(shù)求定義域即可求出定義域，對函數(shù)化簡整理結合周期公式即可求出最小正周期；（2）根據(jù)平移伸縮變換求出變換后的解析式，然后結合函數(shù)圖象的性質即可求出結果.【詳解】（1）因為，即，所以函數(shù)的定義域所以函數(shù)的最小正周期，（2）因為將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，所以，因為又向右平移()個單位長度，所以，又因為平移后函數(shù)的圖象關于軸對稱，所以，即，所以當時，取得最小值，此時，所以取得最小值為.10．（2021·四川省內江市第六中學高一期中）已知函數(shù)，．(1)若圖象縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，再向右平移個單位，得到的圖象在上單調遞增，求的最大值；(2)若函數(shù)在內恰有3個零點，求的取值范圍．【答案】(1)5π/6；(2)（2,3√2/2）．【解析】(1)把函數(shù)通過圖像變換變?yōu)椋缓蟾鶕?jù)已知單調區(qū)間求的最大值；(2)利用函數(shù)()和()的圖象進行分類討論來解決函數(shù)零點問題.【詳解】(1)圖象縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，再向右平移個單位得到函數(shù)，因為，所以，因為，所以，又因為得到的圖象在上單調遞增，所以，解，所以的最大值為.(2)，令，因為，所以，，所以，，令，顯然不是其方程的解，所以得，，畫出函數(shù)和函數(shù)的圖象，如下圖，則當時，對應的，而當時，對應的只有一個解，不滿足題意；當時，此時沒有的值對應，所以此時無解，不滿足題意；當時，對應的，而當時，對應的有兩個解，不滿足題意；當時，對應的，，而此時對應的只有兩個解，不滿足題意；當時，令，得或，此時對應的，，而當對應的時，對應一個的值，而當時對應兩個的值，所以此時有三個解，滿足題意；當時，對應的，而此時對應的只有一個解，不滿足題意；故的取值范圍為.練真題練真題TIDHNEG1．（2021·全國高考真題（理））把函數(shù)圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則（）A． B．C． D．【答案】B【解析】解法一：從函數(shù)的圖象出發(fā)，按照已知的變換順序，逐次變換，得到，即得，再利用換元思想求得的解析表達式；解法二：從函數(shù)出發(fā)，逆向實施各步變換，利用平移伸縮變換法則得到的解析表達式.【詳解】解法一：函數(shù)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，得到的圖象，再把所得曲線向右平移個單位長度，應當?shù)玫降膱D象，根據(jù)已知得到了函數(shù)的圖象，所以，令,則,所以,所以；解法二：由已知的函數(shù)逆向變換，第一步：向左平移個單位長度，得到的圖象，第二步：圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到的圖象，即為的圖象，所以.故選：B.2．（2021·全國高考真題（文））已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，