高考數(shù)學(xué)考點回歸總復(fù)習(xí)《第四十九講隨機(jī)事件的概率》新人教-精講版課件

第四十九講隨機(jī)事件的概率回歸課本1.事件的分類(1)一般地,我們把在條件S下,一定會發(fā)生的事件,叫做相對于條件S的必然事件,簡稱必然事件.(2)一般地,我們把在條件S下,一定不會發(fā)生的事件,叫做相對于條件S的不可能事件,簡稱不可能事件.(3)必然事件與不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件S的確定事件,簡稱確定事件.(4)在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件,叫做相對于條件S的隨機(jī)事件,簡稱隨機(jī)事件.(5)確定事件和隨機(jī)事件統(tǒng)稱為事件,一般用大寫字母A,B,C…表示.2.頻數(shù),頻率(1)在相同的條件S下重復(fù)n次試驗,觀察某一事件A是否出現(xiàn),稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù),稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)=為事件A出現(xiàn)的頻率.(2)對于給定的隨機(jī)事件A,如果隨著試驗次數(shù)的增加,事件A發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在區(qū)間[0,1]中的某個常數(shù)上,那么把這個常數(shù)記作P(A),稱為事件A發(fā)生的概率.(3)任何事件A發(fā)生的概率P(A)∈[0,1],它度量事件發(fā)生的可能性的大小.若A為必然事件,則P(A)=1;若A為不可能事件,則P(A)=0.3.事件的關(guān)系與運算(1)對于事件A與事件B,如果事件A發(fā)生,則事件B一定發(fā)生,這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B),記作B?A(或AB).(2)若B?A,且A?B,那么稱事件A與事件B相等,記作A=B.(3)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生,則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件),記作A∪B(或A+B).

(4)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生,則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件),記作A∩B(或AB).(5)若A∩B為不可能事件,(A∩B=?),那么稱事件A與事件B互斥,其含義是:事件A與事件B在任何一次試驗中不會同時發(fā)生.(6)若A∩B為不可能事件,A∪B為必然事件,那么稱事件A與事件B互為對立事件,其含義是:事件A與事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生.

(7)互斥事件概率的加法公式:如果事件A與事件B互斥,則P(A∪B)=P(A)+P(B).特別地,若事件B與事件A互為對立事件,則P(A)=1-P(B).考點陪練1.從6個男生、2個女生中任選3人,則下列事件中必然事件是()A.3個都是男生B.至少有1個男生C.3個都是女生D.至少有1個女生解析:因為只有2名女生,所以選出的3人中至少有1名男生.答案:B2.某產(chǎn)品分一、二、三級,其中只有一級是正品.若生產(chǎn)中出現(xiàn)正品的概率是0.97,出現(xiàn)二級品的概率是0.02,那么出現(xiàn)二級品或三級品的概率是()A.0.01B.0.02C.0.03D.0.04解析:“出現(xiàn)一級品”這一事件的對立是“出現(xiàn)二級品或三級品”,由對立事件概率之和為1即可得出答案.答案:C3.(2010·山東青島2月)為了了解學(xué)生遵守《中華人民共和國交通安全法》的情況,調(diào)查部門在某學(xué)校進(jìn)行了如下的隨機(jī)調(diào)查:向被調(diào)查者提出兩個問題:(1)你的學(xué)號是奇數(shù)嗎?(2)在過路口的時候你是否闖過紅燈?要求被調(diào)查者背對調(diào)查人員拋擲一枚硬幣,如果出現(xiàn)正面,就回答第(1)個問題;否則就回答第(2)個問題.被調(diào)查者不必告訴調(diào)查人員自己回答的是哪一個問題,只需要回答“是”或“不是”,因為只有被調(diào)查者本人知道回答了哪個問題,所以都如實做了回答.結(jié)果被調(diào)查的600人(學(xué)號從1到600)中有180人回答了“是”,由此可以估計在這600人中闖過紅燈的人數(shù)是()A.30 B.60C.120D.150解析:拋擲一枚硬幣出現(xiàn)正面和反面的概率都是0.5,因此600個被調(diào)查的學(xué)生中大約有300個人回答了第一個問題,300個人回答了第二個問題,又因為學(xué)號是奇數(shù)和偶數(shù)的概率相等,都是0.5,故300個回答第一個問題的學(xué)生中大約有150人回答了“是”,所以300個回答第二個問題的學(xué)生中有180-150=30個回答了“是”,即曾經(jīng)闖過紅燈,故在這600人中闖過紅燈的人數(shù)大約是60人.答案:B4.(2010·新創(chuàng)題)一個家庭有兩個小孩,則所有可能的基本事件有()A.(男,女)(男,男)(女,女)B.(男,女)(女,男)C.(男,男)(男,女)(女,男)(女,女)D.(男,男)(女,女)解析:由于兩個孩子有先后出生之分,故選C.答案:C5.(2010·浙江臺州2月模擬)袋中裝有編號為1?2?3?4的四個球,四個人從中各取一個球,則甲不取1號球,乙不取2號球,丙不取3號球,丁不取4號球的概率為()解析:四人從袋中各取一球共有4×3×2×1=24種不同的取法,甲不取1號球,乙不取2號球,丙不取3號球,丁不取4號球有9種不同的取法,所以其概率是答案:B類型一 隨機(jī)事件及概率解題準(zhǔn)備:(1)頻率:在相同條件下重復(fù)進(jìn)行n次試驗,觀察某一事件A出現(xiàn)的次數(shù)m,稱為事件A的頻數(shù),那么事件A出現(xiàn)的頻率fn(A)= 頻率的取值范圍為[0,1].

(2)概率:對于給定的隨機(jī)事件,如果隨著試驗次數(shù)的增加,事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某個常數(shù)上,我們把這個常數(shù)記為P(A),稱為事件A的概率.頻率與概率有本質(zhì)的區(qū)別,不可混為一談,頻率隨著試驗次數(shù)的改變而變化,概率卻是一個常數(shù),它是頻率的科學(xué)抽象.當(dāng)試驗次數(shù)越來越多時頻率向概率靠近.只要次數(shù)足夠多,所得頻率就近似地當(dāng)做隨機(jī)事件的概率.【典例1】(2010·海南模擬)某市地鐵全線共有四個車站,甲?乙兩人同時在地鐵第1號車站(首發(fā)站)乘車.假設(shè)每人自第2號車站開始,在每個車站下車是等可能的.約定用有序?qū)崝?shù)對(x,y)表示“甲在x號車站下車,乙在y號車站下車”.(1)用有序?qū)崝?shù)對把甲?乙兩人下車的所有可能的結(jié)果列舉出來;(2)求甲?乙兩人同在第3號車站下車的概率;(3)求甲?乙兩人在不同的車站下車的概率.

[解](1)用有序?qū)崝?shù)對(x,y)表示甲在x號車站下車,乙在y號車站下車,則甲下車的站號記為2,3,4共3種結(jié)果,乙下車的站號也是2,3,4共3種結(jié)果.甲?乙兩人下車的所有可能的結(jié)果有9種,分別為:(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4).(2)設(shè)甲?乙兩人同時在第3號車站下車的事件為A,則P(A)=(3)設(shè)甲?乙兩人在不同的地鐵站下車的事件為B,則結(jié)果有:(2,3),(2,4),(3,2),(3,4),(4,2),(4,3),共6種結(jié)果,故

[反思感悟]在解決此類問題時,首先分清所求事件是由哪些基本事件組成的,即明確基本事件總數(shù)N和這個具體事件包含的基本事件數(shù)M,由計算概率.類型二 互斥事件與對立事件的區(qū)別和聯(lián)系解題準(zhǔn)備:“互斥事件”和“對立事件”都是就兩個事件而言的.互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件,而對立的事件是其中必有一個要發(fā)生的互斥事件.因此,對立事件必須互斥.【典例2】(2010·煙臺月考)某城市有甲?乙兩種報紙供居民們訂閱,記事件A為“只訂甲報紙”,事件B為“至少訂一種報紙”,事件C為“至多訂一種報紙”,事件D為“不訂甲報紙”,事件E為“一種報紙也不訂”.判斷下列每對事件是不是互斥事件;如果是,再判斷它們是不是對立事件.(1)A與C;(2)B與E;(3)B與D;(4)B與C;(5)C與E.

[解]根據(jù)互斥事件?對立事件的定義來判斷.(1)由于事件C“至多訂一種報紙”中有可能“只訂甲報紙”,即事件A與事件C有可能同時發(fā)生,故A與C不是互斥事件.(2)事件B“至少訂一種報紙”與事件E“一種報紙也不訂”是不可能同時發(fā)生的,故B與E是互斥事件.由于事件B發(fā)生可導(dǎo)致事件E一定不發(fā)生,且事件E發(fā)生會導(dǎo)致事件B一定不發(fā)生,故B與E還是對立事件.

(3)事件B“至少訂一種報紙”中有可能“只訂乙報紙”,即有可能“不訂甲報紙”,即事件B發(fā)生,事件D也可能發(fā)生,故B與D不是互斥事件.(4)事件B“至少訂一種報紙”中有這些可能:“只訂甲報紙”?“只訂乙報紙”?“訂甲?乙兩種報紙”,事件C“至多訂一種報紙”中有這些可能:“什么報紙也不訂”?“只訂甲報紙”?“只訂乙報紙”,由于這兩個事件可能同時發(fā)生,故B與C不是互斥事件.(5)由(4)的分析,事件E“一種報紙也不訂”只是事件C的一種可能,故事件C與事件E有可能同時發(fā)生,故C與E不是互斥事件.[反思感悟]根據(jù)互斥事件?對立事件的定義是判斷兩事件是否是互斥事件?對立事件的一種最有效?最簡便的基本方法.由對立事件的定義可知,對立事件首先要是互斥事件,并且其中一個一定要發(fā)生,因此兩個對立事件一定是互斥事件,但兩個互斥事件卻不一定是對立事件,解題時一定要搞清兩種事件的關(guān)系.類型三 互斥事件與對立事件的概率解題準(zhǔn)備:1.互斥事件的概率加法公式:若事件A與B互斥,則P(A∪B)=P(A)+P(B);2.對立事件的概率公式:若事件A的對立事件為則P()=1-P(A).【典例3】(2010·江西五校聯(lián)考)下表為某班英語及數(shù)學(xué)成績的分布.學(xué)生共有50人,成績分1~5五個檔次.例如表中所示英語成績?yōu)?分?數(shù)學(xué)成績?yōu)?分的學(xué)生為5人.將全班學(xué)生的姓名卡片混在一起,任取一張,該卡片對應(yīng)學(xué)生的英語成績?yōu)閤,數(shù)學(xué)成績?yōu)閥.設(shè)x,y為隨機(jī)變量.(注:沒有相同姓名的學(xué)生)(1)x=1的概率為多少?x≥3且y=3的概率為多少?(2)a+b等于多少?

[反思感悟]本題主要是用計數(shù)方法求出事件包含的基本事件數(shù),再用公式求解;而求P(x=2)時,因為a,b未知,所以考慮它的對立事件,即“x=1”和“x≥3”,而事件“x=2”?“x=1”?“x≥3”彼此互斥,P(x=1)+P(x≥3)+P(x=2)=1.錯源一 混淆事件與基本事件【典例1】指出下列哪些是基本事件.(1)先后拋擲兩枚硬幣,都出現(xiàn)正面;(2)先后拋擲兩枚硬幣,都出現(xiàn)反面;(3)拋擲一次骰子,出現(xiàn)偶數(shù)點;(4)先后拋擲兩枚硬幣,出現(xiàn)一個正面一個反面.[錯解](1),(2),(3),(4)都是基本事件.[剖析]錯解沒有把握住基本事件的本質(zhì),混淆了事件與基本事件.[正解](1),(2)為基本事件.[評析]事件是隨機(jī)事件的簡稱,是隨機(jī)試驗的結(jié)果.基本事件是指在隨機(jī)試驗中所有可能發(fā)生的基本結(jié)果,是隨機(jī)試驗中不能再分的最簡單的隨機(jī)事件.基本事件具有兩個特點:(1)基本事件是隨機(jī)試驗中不能再分的最簡單的隨機(jī)事件,在一次試驗中只能產(chǎn)生一個基本事件;(2)任何事件都可以用基本事件來描繪.“拋擲一次骰子,出現(xiàn)偶數(shù)點”這一事件中包含了“出現(xiàn)2點”?“出現(xiàn)4點”?“出現(xiàn)6點”三個基本事件;“先后拋擲兩枚硬幣,出現(xiàn)一個正面一個反面”包含了“先正后反”和“先反后正”兩個基本事件.錯源二 混淆了頻率與概率【典例2】判斷下列命題的真假.(1)將一枚骰子擲60次,出現(xiàn)1點的頻率為則在試驗中出現(xiàn)了10次點數(shù)為1.(2)某彩票的中獎率為1%,則某人買了103張彩票,其中至少有一張彩票中獎.(3)一同學(xué)拋擲一枚硬幣10次,結(jié)果6次正面向上,這說明在拋擲硬幣過程中有時正面向上的概率為0.6.

[錯解](1),(2),(3)都是真命題.[剖析]錯解混淆了頻率與概率.[正解](1)真;(2)假;(3)假.[評析]頻率是一個隨試驗次數(shù)變化而變化的量.在進(jìn)行大量重復(fù)試驗時,頻率會在某一常數(shù)附近擺動,這個常數(shù)就是事件A的概率.概率在數(shù)值上給出了事件A發(fā)生的可能性的大小,它是一個常數(shù),它不隨試驗次數(shù)的變化而變化.頻率與概率的關(guān)系可以概括為“在進(jìn)行大量重復(fù)試驗時,概率是頻率的穩(wěn)定值,頻率是概率的近似值”.錯源三 混淆互斥事件與對立事件【典例3】進(jìn)行拋擲一枚骰子的試驗,有下列各組事件:(1)“出現(xiàn)1點”與“出現(xiàn)2點”.(2)“出現(xiàn)奇數(shù)點”與“出現(xiàn)偶數(shù)點”.(3)“出現(xiàn)大于3的點”與“出現(xiàn)大于4的點”.其中是對立事件的組數(shù)是()A.0 B.1C.2 D.3

[錯解]C[剖析]錯解混淆了互斥