概率論第六章-樣本及抽樣分布課件

數(shù)理統(tǒng)計(jì)是具有廣泛應(yīng)用的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，它是在一般統(tǒng)計(jì)所進(jìn)行的數(shù)據(jù)整理的基礎(chǔ)上，用概率論的方法科學(xué)地加工、提煉、并做出判斷的一門數(shù)學(xué)學(xué)科。其主要思想方法是用局部推斷整體。數(shù)理統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容非常豐富，從本章開始，我們將逐步介紹參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)、方差分析及回歸分析的部分內(nèi)容。第六章樣本及抽樣分布1數(shù)理統(tǒng)計(jì)是具有廣泛應(yīng)用的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，它是§1隨機(jī)樣本在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，我們往往研究有關(guān)對(duì)象的某一項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)，例如，人體身高、體重、產(chǎn)品合格率等。為此，考慮與這一數(shù)量指標(biāo)相聯(lián)系的隨機(jī)試驗(yàn)，即選取一部分對(duì)象對(duì)這一數(shù)量指標(biāo)進(jìn)行試驗(yàn)或觀察，根據(jù)獲得的數(shù)據(jù)來(lái)推斷全部對(duì)象的這些數(shù)量指標(biāo)的分布情況。把研究對(duì)象的全體稱為總體，而把組成總體的各個(gè)元素稱為個(gè)體，代表總體的指標(biāo)X是一個(gè)隨機(jī)變量，所以總體就是指某個(gè)隨機(jī)變量X可能取的值的全體.2§1隨機(jī)樣本2總體中的每一個(gè)個(gè)體是隨機(jī)試驗(yàn)的一個(gè)觀察值，因此它是某一隨機(jī)變量X的值，這樣，一個(gè)總體對(duì)應(yīng)于一個(gè)隨機(jī)變量X。對(duì)總體的研究就是對(duì)一個(gè)隨機(jī)變量X的研究，X的分布函數(shù)和數(shù)學(xué)特征就稱為總體的分布函數(shù)和數(shù)學(xué)特征。今后將不區(qū)分總體與相應(yīng)的隨機(jī)變量，統(tǒng)稱為總體X.從總體中抽取若干個(gè)個(gè)體，就是對(duì)代表總體的隨機(jī)變量X進(jìn)行若干次觀測(cè)，從總體中抽取若干個(gè)個(gè)體的過(guò)程稱為抽樣，抽樣的結(jié)果稱為樣本，樣本中所含個(gè)體的數(shù)量稱為樣本容量.3總體中的每一個(gè)個(gè)體是隨機(jī)試驗(yàn)的一個(gè)觀察值，因此它是某一隨機(jī)為了使樣本在盡可能大的程度上反映總體的特性，我們對(duì)樣本有基本要求，從總體中抽取樣本必須滿足：(1)隨機(jī)性

為使樣本具有充分的代表性，抽樣必須是隨機(jī)的，應(yīng)使總體中的每一個(gè)個(gè)體都有同等的機(jī)會(huì)被抽取到.(2)獨(dú)立性

各次抽樣必須是相互獨(dú)立的，即每次抽樣的結(jié)果既不影響其它各次抽樣的結(jié)果，也不受其它各次抽樣結(jié)果的影響.4為了使樣本在盡可能大的程度上反映總體的特性，我們對(duì)樣稱這種隨機(jī)的、獨(dú)立的抽樣為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，由此得到的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.若是從總體中進(jìn)行放回抽樣，顯然就是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，得到的樣本就是簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本；若從有限總體中進(jìn)行不放回抽樣，雖然不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，但當(dāng)總體容量N很大而樣本容量n較小(n/N≤10%)時(shí)，可近似看作放回抽樣，從而可近似看作簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，得到的樣本也可近似地作為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.以后提到的抽樣與樣本均是指簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣與簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.5稱這種隨機(jī)的、獨(dú)立的抽樣為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，由此得到的樣總體——研究對(duì)象全體元素組成的集合所研究的對(duì)象的某個(gè)(或某些)數(shù)量指標(biāo)的全體,它是一個(gè)隨機(jī)變量(或多維隨機(jī)變量).記為X

.X

的分布函數(shù)和數(shù)字特征稱為總體的分布函數(shù)和數(shù)字特征.§6.1從總體中抽取容量為n的樣本，就是對(duì)代表總體的隨機(jī)變量X隨機(jī)地、獨(dú)立地進(jìn)行n次觀測(cè)，每次觀測(cè)的結(jié)果可以看作一個(gè)隨機(jī)變量，n次觀測(cè)的結(jié)果就是n個(gè)隨機(jī)變量X1,X2…Xn,它們相互獨(dú)立，并與總體X服從相同的分布.

6總體——研究對(duì)象全體元素組成的集合X的樣本

——從總體中抽取的部分個(gè)體.稱為總體X的一個(gè)容量為n的樣本觀測(cè)值,或稱樣本的一個(gè)實(shí)現(xiàn).用表示,n為樣本容量.樣本空間

——樣本所有可能取值的集合.

個(gè)體

——

組成總體的每一個(gè)元素即總體的每個(gè)數(shù)量指標(biāo),可看作隨機(jī)變量X

的某個(gè)取值.用表示.7樣本——從總體中抽取的部分個(gè)體.稱為若總體X的樣本滿足:一般,對(duì)有限總體,放回抽樣所得到的樣本為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,但使用不方便,常用不放回抽樣代替.而代替的條件是(1)與X

有相同的分布(2)相互獨(dú)立簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本N/n

10.總體中個(gè)體總數(shù)樣本容量則稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.8若總體X的樣本滿足:一般,對(duì)有限設(shè)總體X

的分布函數(shù)為F(x),則樣本若總體X

的密度函數(shù)為f(

x),則樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合分布函數(shù)為9設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x),則樣本若總體X的密度函例如

設(shè)某批產(chǎn)品共有N

個(gè),其中的次品數(shù)為M,其次品率為若

p是未知的,則可用抽樣方法來(lái)估計(jì)它.X

服從參數(shù)為p的0-1分布,可用如下表示方法:從這批產(chǎn)品中任取一個(gè)產(chǎn)品,用隨機(jī)變量X來(lái)描述它是否是次品:10例如設(shè)某批產(chǎn)品共有N個(gè),其中的次品數(shù)為M,其次品率為設(shè)有放回地抽取一個(gè)容量為n的樣本的聯(lián)合分布為其樣本值為樣本空間為11設(shè)有放回地抽取一個(gè)容量為n的樣本的聯(lián)合分布為其樣本值為樣若抽樣是無(wú)放回的,則前次抽取的結(jié)果會(huì)影響后面抽取的結(jié)果.例如所以,當(dāng)樣本容量n

與總體中個(gè)體數(shù)目N

相比很小時(shí),可將無(wú)放回抽樣近似地看作放回抽樣.12若抽樣是無(wú)放回的,則前次抽取的結(jié)果會(huì)影響后面抽取的結(jié)果.例如設(shè)是取自總體X的一個(gè)樣本,為一實(shí)值連續(xù)函數(shù),且不含有未知參數(shù),則稱隨機(jī)變量為統(tǒng)計(jì)量.若是一個(gè)樣本值,稱的一個(gè)樣本值為統(tǒng)計(jì)量定義統(tǒng)計(jì)量§2抽樣分布13設(shè)是取自總體X的一個(gè)樣本,例

是未知參數(shù),若,已知,則為統(tǒng)計(jì)量是一樣本,是統(tǒng)計(jì)量,其中則但不是統(tǒng)計(jì)量.14例是未知參數(shù),常用的統(tǒng)計(jì)量為樣本均值為樣本方差為樣本標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)是來(lái)自總體

X

的容量為n的樣本,稱統(tǒng)計(jì)量15常用的統(tǒng)計(jì)量為樣本均值為樣本方差為樣本標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)是來(lái)自總體X為樣本的k階原點(diǎn)矩為樣本的k階中心矩例如16為樣本的k階原點(diǎn)矩為樣本的k階中心矩例如16注樣本方差與樣本二階中心矩的不同故推導(dǎo)關(guān)系式1）17注樣本方差與樣本二階中心矩的不同故推導(dǎo)關(guān)推導(dǎo)

設(shè)則2）18推導(dǎo)設(shè)則2）18推導(dǎo)

設(shè)則3）19推導(dǎo)設(shè)則3）19例1從一批機(jī)器零件毛坯中隨機(jī)地抽取10件,測(cè)得其重量為(單位:公斤):

210,243,185,240,215,228,196,235,200,199求這組樣本值的均值、方差、二階原點(diǎn)矩與二階中心矩.解令例120例1從一批機(jī)器零件毛坯中隨機(jī)地抽取10件,測(cè)得其重量為則21則21例2

在總體中,隨機(jī)抽取一個(gè)容量為36的樣本,求樣本均值落在50.8到53.8之間的概率.解故例222例2在總體中,隨機(jī)抽取一個(gè)容量解故例222例3

設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為為總體的樣本,求(1)的數(shù)學(xué)期望與方差(2)

(3)

解(1)例323例3設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為為總體的樣本,求(1)的數(shù)近似(3)由中心極限定理(2)24近似(3)由中心極限定理(2)24常用統(tǒng)計(jì)量的分布前面我們介紹了總體、樣本及統(tǒng)計(jì)量的概念。由于樣本是隨機(jī)變量，統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù)，從而統(tǒng)計(jì)量也是隨機(jī)變量。統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布。一般情況下，當(dāng)總體分布已知時(shí)，求統(tǒng)計(jì)量的分布是很困難的。然而，當(dāng)總體服從正態(tài)分布時(shí)，某些統(tǒng)計(jì)量的分布比較容易求得。25常用統(tǒng)計(jì)量的分布前面我們介紹了總體、樣本及統(tǒng)(1)

正態(tài)分布則特別地,則若i.i.d.~若~26(1)正態(tài)分布則特別地,則若i.i.d.~若~26標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的

分位數(shù)分布的上分位數(shù).正態(tài)分布的雙側(cè)分位數(shù).定義若，則稱z為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)若,則稱為標(biāo)準(zhǔn)27標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)分布的上分位數(shù).正態(tài)分布的雙側(cè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)圖形z?常用數(shù)字/2

-z/2=z1-/2/2

z/2?-z/2?28標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)圖形z?常用定義設(shè)獨(dú)立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即，則稱服從自由度為n的分布，記作：分布(2)n=2時(shí),其密度函數(shù)為為參數(shù)為1/2的指數(shù)分布.29定義設(shè)一般其中，在x>0時(shí)收斂，稱為函數(shù)，具有性質(zhì)的密度函數(shù)為自由度為

n的30一般其中，在x>0時(shí)收斂，稱為函數(shù)，具有性質(zhì)的密度函數(shù)n=2n=3n=5n=10n=15

31n=2n=3n=5n=10n=1531例如分布的性質(zhì)20.05(10)?n=10性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)32例如分布的性質(zhì)20.05(10)?n=10性質(zhì)性質(zhì)性相互獨(dú)立,證

1設(shè)則33相互獨(dú)立,證1設(shè)則33(3)t分布

(Student分布)t分布定義設(shè)則稱T服從自由度為n

的T分布.記為X,Y相互獨(dú)立,其密度函數(shù)為34(3)t分布(Student分布)t分布定義設(shè)則t分布的圖形(紅色的是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布)n=1n=2035t分布的圖形(紅色的是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布)n=1n=2035t分布的性質(zhì)1°fn(t)是偶函數(shù),2°T分布的上分位數(shù)t與雙測(cè)分位數(shù)t/2

均

有表可查.性質(zhì)一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)n>30時(shí)，t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布就非常接近了。36t分布的性質(zhì)1°fn(t)是偶函數(shù),2°T分布的上n=10t-t??37n=10t-t??37t/2-t/2??/2/238t/2-t/2??/2/238(4)

F分布F分布則稱F服從為第一自由度為n

,第二自由度為m的F

分布.記為

其密度函數(shù)為定義X,Y相互獨(dú)立，設(shè)令39(4)F分布F分布則稱F服從為第一自由度為n,第m=10,n=4m=10,n=10m=10,n=15m=4,n=10m=10,n=10m=15,n=1040m=10,n=4m=4,n=1040F分布的性質(zhì)例如事實(shí)上,故求F(n,m)?性質(zhì)41F分布的性質(zhì)例如事實(shí)上,故求F(n,m)?性質(zhì)41例1

證明證例142例1證明證例142證例2證明：設(shè)令例243證例2證明：設(shè)令例243分別為樣本均值與樣本方差，則1.3.與相互獨(dú)立;2.定理一設(shè)是來(lái)自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，與正態(tài)總體的抽樣分布44分別為樣本均值與樣本方差，則1.3.與所以證明1.由正態(tài)分布的可加性，可知服從正態(tài)分布，又因?yàn)?,3的證明略。45所以證明1.由正態(tài)分布的可加性，可知證明由定理一知所以又的一個(gè)樣本，則定理二設(shè)是來(lái)自正態(tài)總體46證明由定理一知所以又的一個(gè)樣本，則定理二設(shè)是來(lái)由于與相互獨(dú)立，因此與相互獨(dú)立，從而由t分布的定義有：47由于與相互獨(dú)立，因此與相互獨(dú)立，從的兩個(gè)樣本，且它們相互獨(dú)立，設(shè)定理三設(shè)和是分別來(lái)自正態(tài)總體和分別是這兩個(gè)樣本的樣本均值；分別是這兩個(gè)樣本的樣本方差，則有48的兩個(gè)樣本，且它們相互獨(dú)立，設(shè)定理三設(shè)和是分別來(lái)自正態(tài)總(1)(2)當(dāng)時(shí)其中49(1)(2)當(dāng)證明(1)有定理一知由相互獨(dú)立性及F分布的定義可知：50證明(1)有定理一知由相互獨(dú)立性及F分布的定義可知：(2)由定理?xiàng)l件有所以又因并且它們是相互獨(dú)立的，故由分布的可加性可知51(2)由定理?xiàng)l件有所以又因并且它們是相互獨(dú)立的，故由從而由獨(dú)立性條件及t分布的定義有即52從而由獨(dú)立性條件及t分布的定義有即52的概率不小于90%,則樣本容量至少取多少?例3設(shè),為使樣本均值大于70解設(shè)樣本容量為

n

,則故令得即所以取例353的概率不小于90%,則樣本容量至少取多少?例3設(shè),為使樣本例4

從正態(tài)總體中，抽取了

n=20的樣本(1)求(2)求解

(1)即例454例4從正態(tài)總體中，抽取了n=20的樣本(1)求(2故55故55(2)故56(2)故56例5設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，X~N(0,16),

Y~N(0,9),X1,X2,…,X9

與Y1,Y2,…,Y16

分別是取自X與Y的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,求統(tǒng)計(jì)量所服從的分布.解例557例5設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，X~N(0,16)從而58從而58例6設(shè)總體的樣本,為總體X試確定常數(shù)c,使cY服從分布.解故因此例659例6設(shè)總體的樣本,為總體X試確定常數(shù)c,使cY服例7

設(shè)是來(lái)自N(,2)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,

是樣本均值,則服從自由度為n-1的t分布的隨機(jī)變量為例760例7設(shè)是來(lái)自N(,2)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,是樣故應(yīng)選(B)解61故應(yīng)選(B)解61例1設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立都服從N(0,42)，而X1,X2,…,X16和Y1,Y2,…,Y16分別來(lái)自總體X和Y的樣本，則統(tǒng)計(jì)量服從

分布，參數(shù)為

。由t分布的定義有62例1設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立都服從N(0,42)，而X1,自由度參數(shù)為6。63自由度參數(shù)為6。636464例3設(shè)X1,X2,…,Xn是來(lái)自正態(tài)總體N(μ,σ2)的樣本，則解因?yàn)閄~N(μ,σ2)，65例3設(shè)X1,X2,…,Xn是來(lái)自正態(tài)總體N(μ,σ2)的樣6666例4設(shè)X1,X2,X3,X4是來(lái)自正態(tài)總體N(0,22)的樣本，X=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2,則當(dāng)a=

,b=

時(shí)，統(tǒng)計(jì)量X服從χ2分布，其自由度為

。解由題設(shè)可知，統(tǒng)計(jì)量X服從χ2分布，只有當(dāng)67例4設(shè)X1,X2,X3,X4是來(lái)自正態(tài)總體N(0,226868例6設(shè)X1,X2,…,Xn是來(lái)自正態(tài)總體N(μ,σ2)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其中μ,σ2未知，則下面不是統(tǒng)計(jì)量的事（）。

解由于統(tǒng)計(jì)量中不含任何未知參數(shù)，故選(D).69例6設(shè)X1,X2,…,Xn是來(lái)自正態(tài)總體N(μ,σ2)的簡(jiǎn)單例7設(shè)總體X~N(2,42),X1,X2,…,Xn為X的樣本，則下面結(jié)果正確的是（）.

70例7設(shè)總體X~N(2,42),X1,X2,…,Xn為X例8設(shè)X1,X2,…,Xn是X的樣本，X的期望為E(X)，且

解需要注意的是對(duì)于有確定分布的X，E(X)是確定的數(shù)值；實(shí)際上仍是一個(gè)隨機(jī)變量.因而只有(B)項(xiàng)是正確的.故選(B).71例8設(shè)X1,X2,…,Xn是X的樣本，X的期望為E(X)，例9從正態(tài)總體N(μ,0.52)中抽取樣本X1,X2,…,X10(1)已知μ=0，求概率解（1）由μ=0，則72例9從正態(tài)總體N(μ,0.52)中抽取樣本X1,X2,…,(2)由題設(shè)知由此得所求概率為由此得所求概率為73(2)由題設(shè)知由此得所求概率為由此得所求概率為737474數(shù)理統(tǒng)計(jì)是具有廣泛應(yīng)用的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，它是在一般統(tǒng)計(jì)所進(jìn)行的數(shù)據(jù)整理的基礎(chǔ)上，用概率論的方法科學(xué)地加工、提煉、并做出判斷的一門數(shù)學(xué)學(xué)科。其主要思想方法是用局部推斷整體。數(shù)理統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容非常豐富，從本章開始，我們將逐步介紹參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)、方差分析及回歸分析的部分內(nèi)容。第六章樣本及抽樣分布75數(shù)理統(tǒng)計(jì)是具有廣泛應(yīng)用的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，它是§1隨機(jī)樣本在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，我們往往研究有關(guān)對(duì)象的某一項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)，例如，人體身高、體重、產(chǎn)品合格率等。為此，考慮與這一數(shù)量指標(biāo)相聯(lián)系的隨機(jī)試驗(yàn)，即選取一部分對(duì)象對(duì)這一數(shù)量指標(biāo)進(jìn)行試驗(yàn)或觀察，根據(jù)獲得的數(shù)據(jù)來(lái)推斷全部對(duì)象的這些數(shù)量指標(biāo)的分布情況。把研究對(duì)象的全體稱為總體，而把組成總體的各個(gè)元素稱為個(gè)體，代表總體的指標(biāo)X是一個(gè)隨機(jī)變量，所以總體就是指某個(gè)隨機(jī)變量X可能取的值的全體.76§1隨機(jī)樣本2總體中的每一個(gè)個(gè)體是隨機(jī)試驗(yàn)的一個(gè)觀察值，因此它是某一隨機(jī)變量X的值，這樣，一個(gè)總體對(duì)應(yīng)于一個(gè)隨機(jī)變量X。對(duì)總體的研究就是對(duì)一個(gè)隨機(jī)變量X的研究，X的分布函數(shù)和數(shù)學(xué)特征就稱為總體的分布函數(shù)和數(shù)學(xué)特征。今后將不區(qū)分總體與相應(yīng)的隨機(jī)變量，統(tǒng)稱為總體X.從總體中抽取若干個(gè)個(gè)體，就是對(duì)代表總體的隨機(jī)變量X進(jìn)行若干次觀測(cè)，從總體中抽取若干個(gè)個(gè)體的過(guò)程稱為抽樣，抽樣的結(jié)果稱為樣本，樣本中所含個(gè)體的數(shù)量稱為樣本容量.77總體中的每一個(gè)個(gè)體是隨機(jī)試驗(yàn)的一個(gè)觀察值，因此它是某一隨機(jī)為了使樣本在盡可能大的程度上反映總體的特性，我們對(duì)樣本有基本要求，從總體中抽取樣本必須滿足：(1)隨機(jī)性

為使樣本具有充分的代表性，抽樣必須是隨機(jī)的，應(yīng)使總體中的每一個(gè)個(gè)體都有同等的機(jī)會(huì)被抽取到.(2)獨(dú)立性

各次抽樣必須是相互獨(dú)立的，即每次抽樣的結(jié)果既不影響其它各次抽樣的結(jié)果，也不受其它各次抽樣結(jié)果的影響.78為了使樣本在盡可能大的程度上反映總體的特性，我們對(duì)樣稱這種隨機(jī)的、獨(dú)立的抽樣為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，由此得到的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.若是從總體中進(jìn)行放回抽樣，顯然就是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，得到的樣本就是簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本；若從有限總體中進(jìn)行不放回抽樣，雖然不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，但當(dāng)總體容量N很大而樣本容量n較小(n/N≤10%)時(shí)，可近似看作放回抽樣，從而可近似看作簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，得到的樣本也可近似地作為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.以后提到的抽樣與樣本均是指簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣與簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.79稱這種隨機(jī)的、獨(dú)立的抽樣為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，由此得到的樣總體——研究對(duì)象全體元素組成的集合所研究的對(duì)象的某個(gè)(或某些)數(shù)量指標(biāo)的全體,它是一個(gè)隨機(jī)變量(或多維隨機(jī)變量).記為X

.X

的分布函數(shù)和數(shù)字特征稱為總體的分布函數(shù)和數(shù)字特征.§6.1從總體中抽取容量為n的樣本，就是對(duì)代表總體的隨機(jī)變量X隨機(jī)地、獨(dú)立地進(jìn)行n次觀測(cè)，每次觀測(cè)的結(jié)果可以看作一個(gè)隨機(jī)變量，n次觀測(cè)的結(jié)果就是n個(gè)隨機(jī)變量X1,X2…Xn,它們相互獨(dú)立，并與總體X服從相同的分布.

80總體——研究對(duì)象全體元素組成的集合X的樣本

——從總體中抽取的部分個(gè)體.稱為總體X的一個(gè)容量為n的樣本觀測(cè)值,或稱樣本的一個(gè)實(shí)現(xiàn).用表示,n為樣本容量.樣本空間

——樣本所有可能取值的集合.

個(gè)體

——

組成總體的每一個(gè)元素即總體的每個(gè)數(shù)量指標(biāo),可看作隨機(jī)變量X

的某個(gè)取值.用表示.81樣本——從總體中抽取的部分個(gè)體.稱為若總體X的樣本滿足:一般,對(duì)有限總體,放回抽樣所得到的樣本為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,但使用不方便,常用不放回抽樣代替.而代替的條件是(1)與X

有相同的分布(2)相互獨(dú)立簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本N/n

10.總體中個(gè)體總數(shù)樣本容量則稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.82若總體X的樣本滿足:一般,對(duì)有限設(shè)總體X

的分布函數(shù)為F(x),則樣本若總體X

的密度函數(shù)為f(

x),則樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合分布函數(shù)為83設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x),則樣本若總體X的密度函例如

設(shè)某批產(chǎn)品共有N

個(gè),其中的次品數(shù)為M,其次品率為若

p是未知的,則可用抽樣方法來(lái)估計(jì)它.X

服從參數(shù)為p的0-1分布,可用如下表示方法:從這批產(chǎn)品中任取一個(gè)產(chǎn)品,用隨機(jī)變量X來(lái)描述它是否是次品:84例如設(shè)某批產(chǎn)品共有N個(gè),其中的次品數(shù)為M,其次品率為設(shè)有放回地抽取一個(gè)容量為n的樣本的聯(lián)合分布為其樣本值為樣本空間為85設(shè)有放回地抽取一個(gè)容量為n的樣本的聯(lián)合分布為其樣本值為樣若抽樣是無(wú)放回的,則前次抽取的結(jié)果會(huì)影響后面抽取的結(jié)果.例如所以,當(dāng)樣本容量n

與總體中個(gè)體數(shù)目N

相比很小時(shí),可將無(wú)放回抽樣近似地看作放回抽樣.86若抽樣是無(wú)放回的,則前次抽取的結(jié)果會(huì)影響后面抽取的結(jié)果.例如設(shè)是取自總體X的一個(gè)樣本,為一實(shí)值連續(xù)函數(shù),且不含有未知參數(shù),則稱隨機(jī)變量為統(tǒng)計(jì)量.若是一個(gè)樣本值,稱的一個(gè)樣本值為統(tǒng)計(jì)量定義統(tǒng)計(jì)量§2抽樣分布87設(shè)是取自總體X的一個(gè)樣本,例

是未知參數(shù),若,已知,則為統(tǒng)計(jì)量是一樣本,是統(tǒng)計(jì)量,其中則但不是統(tǒng)計(jì)量.88例是未知參數(shù),常用的統(tǒng)計(jì)量為樣本均值為樣本方差為樣本標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)是來(lái)自總體

X

的容量為n的樣本,稱統(tǒng)計(jì)量89常用的統(tǒng)計(jì)量為樣本均值為樣本方差為樣本標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)是來(lái)自總體X為樣本的k階原點(diǎn)矩為樣本的k階中心矩例如90為樣本的k階原點(diǎn)矩為樣本的k階中心矩例如16注樣本方差與樣本二階中心矩的不同故推導(dǎo)關(guān)系式1）91注樣本方差與樣本二階中心矩的不同故推導(dǎo)關(guān)推導(dǎo)

設(shè)則2）92推導(dǎo)設(shè)則2）18推導(dǎo)

設(shè)則3）93推導(dǎo)設(shè)則3）19例1從一批機(jī)器零件毛坯中隨機(jī)地抽取10件,測(cè)得其重量為(單位:公斤):

210,243,185,240,215,228,196,235,200,199求這組樣本值的均值、方差、二階原點(diǎn)矩與二階中心矩.解令例194例1從一批機(jī)器零件毛坯中隨機(jī)地抽取10件,測(cè)得其重量為則95則21例2

在總體中,隨機(jī)抽取一個(gè)容量為36的樣本,求樣本均值落在50.8到53.8之間的概率.解故例296例2在總體中,隨機(jī)抽取一個(gè)容量解故例222例3

設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為為總體的樣本,求(1)的數(shù)學(xué)期望與方差(2)

(3)

解(1)例397例3設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為為總體的樣本,求(1)的數(shù)近似(3)由中心極限定理(2)98近似(3)由中心極限定理(2)24常用統(tǒng)計(jì)量的分布前面我們介紹了總體、樣本及統(tǒng)計(jì)量的概念。由于樣本是隨機(jī)變量，統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù)，從而統(tǒng)計(jì)量也是隨機(jī)變量。統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布。一般情況下，當(dāng)總體分布已知時(shí)，求統(tǒng)計(jì)量的分布是很困難的。然而，當(dāng)總體服從正態(tài)分布時(shí)，某些統(tǒng)計(jì)量的分布比較容易求得。99常用統(tǒng)計(jì)量的分布前面我們介紹了總體、樣本及統(tǒng)(1)

正態(tài)分布則特別地,則若i.i.d.~若~100(1)正態(tài)分布則特別地,則若i.i.d.~若~26標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的

分位數(shù)分布的上分位數(shù).正態(tài)分布的雙側(cè)分位數(shù).定義若，則稱z為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)若,則稱為標(biāo)準(zhǔn)101標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)分布的上分位數(shù).正態(tài)分布的雙側(cè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)圖形z?常用數(shù)字/2

-z/2=z1-/2/2

z/2?-z/2?102標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)圖形z?常用定義設(shè)獨(dú)立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即，則稱服從自由度為n的分布，記作：分布(2)n=2時(shí),其密度函數(shù)為為參數(shù)為1/2的指數(shù)分布.103定義設(shè)一般其中，在x>0時(shí)收斂，稱為函數(shù)，具有性質(zhì)的密度函數(shù)為自由度為

n的104一般其中，在x>0時(shí)收斂，稱為函數(shù)，具有性質(zhì)的密度函數(shù)n=2n=3n=5n=10n=15

105n=2n=3n=5n=10n=1531例如分布的性質(zhì)20.05(10)?n=10性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)106例如分布的性質(zhì)20.05(10)?n=10性質(zhì)性質(zhì)性相互獨(dú)立,證

1設(shè)則107相互獨(dú)立,證1設(shè)則33(3)t分布

(Student分布)t分布定義設(shè)則稱T服從自由度為n

的T分布.記為X,Y相互獨(dú)立,其密度函數(shù)為108(3)t分布(Student分布)t分布定義設(shè)則t分布的圖形(紅色的是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布)n=1n=20109t分布的圖形(紅色的是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布)n=1n=2035t分布的性質(zhì)1°fn(t)是偶函數(shù),2°T分布的上分位數(shù)t與雙測(cè)分位數(shù)t/2

均

有表可查.性質(zhì)一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)n>30時(shí)，t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布就非常接近了。110t分布的性質(zhì)1°fn(t)是偶函數(shù),2°T分布的上n=10t-t??111n=10t-t??37t/2-t/2??/2/2112t/2-t/2??/2/238(4)

F分布F分布則稱F服從為第一自由度為n

,第二自由度為m的F

分布.記為

其密度函數(shù)為定義X,Y相互獨(dú)立，設(shè)令113(4)F分布F分布則稱F服從為第一自由度為n,第m=10,n=4m=10,n=10m=10,n=15m=4,n=10m=10,n=10m=15,n=10114m=10,n=4m=4,n=1040F分布的性質(zhì)例如事實(shí)上,故求F(n,m)?性質(zhì)115F分布的性質(zhì)例如事實(shí)上,故求F(n,m)?性質(zhì)41例1

證明證例1116例1證明證例142證例2證明：設(shè)令例2117證例2證明：設(shè)令例243分別為樣本均值與樣本方差，則1.3.與相互獨(dú)立;2.定理一設(shè)是來(lái)自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，與正態(tài)總體的抽樣分布118分別為樣本均值與樣本方差，則1.3.與所以證明1.由正態(tài)分布的可加性，可知服從正態(tài)分布，又因?yàn)?,3的證明略。119所以證明1.由正態(tài)分布的可加性，可知證明由定理一知所以又的一個(gè)樣本，則定理二設(shè)是來(lái)自正態(tài)總體120證明由定理一知所以又的一個(gè)樣本，則定理二設(shè)是來(lái)由于與相互獨(dú)立，因此與相互獨(dú)立，從而由t分布的定義有：121由于與相互獨(dú)立，因此與相互獨(dú)立，從的兩個(gè)樣本，且它們相互獨(dú)立，設(shè)定理三設(shè)和是分別來(lái)自正態(tài)總體和分別是這兩個(gè)樣本的樣本均值；分別是這兩個(gè)樣本的樣本方差，則有122的兩個(gè)樣本，且它們相互獨(dú)立，設(shè)定理三設(shè)和是分別來(lái)自正態(tài)總(1)(2)當(dāng)時(shí)其中123(1)(2)當(dāng)證明(1)有定理一知由相互獨(dú)立性及F分布的定義可知：124證明(1)有定理一知由相互獨(dú)立性及F分布的定義可知：(2)由定理?xiàng)l件有所以又因并且它們是相互獨(dú)立的，故由分布的可加性可知125(2)由定理?xiàng)l件有所以又因并且它們是相互獨(dú)立的，故由從而由獨(dú)立性條件及t分布的定義有即126從而由獨(dú)立性條件及t分布的定義有即52的概率不小于90%,則樣本容量至少取多少?例3設(shè),為使樣本均值大于70解設(shè)樣本容量為

n

,則故令得即所以取例3127的概率不小于90%,則樣本容量至少取多少?例3設(shè),為使樣本例4

從正態(tài)總體中，抽取了

n=20的樣本(1)求(2)求解

(1)即例4128例4從正態(tài)總體中，抽取了n=20的樣本(1)求(2故129故55(2)故130(2)故56例5設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，X~N(0,16),

Y~N(0,9),X1,X2,…,X9

與Y1,Y2,…,Y16

分