平面向量三點(diǎn)共線和等和線定理教案

第第頁(yè)2021年下期課堂教學(xué)競(jìng)賽教案教學(xué)課題：平面向量三點(diǎn)共線定理和等和線定理考情分析：平面向量是有效連接代數(shù)和幾何的橋梁，已成為高考數(shù)學(xué)命題的一個(gè)熱點(diǎn)，向量三點(diǎn)共線和等和線巧妙地將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形關(guān)系問(wèn)題，將系數(shù)和的代數(shù)式運(yùn)算轉(zhuǎn)化為距離的比例運(yùn)算，數(shù)形結(jié)合思想得到了有效體現(xiàn)。平面向量三點(diǎn)共線定理和等和線定理在近年高考及各省市的模擬考試相繼出現(xiàn)，這類問(wèn)題綜合性較強(qiáng)，難度稍大，學(xué)生在解決此類問(wèn)題大多會(huì)思路不清晰，解題繁瑣，得分率不高，通過(guò)三點(diǎn)共線和等和線定理的研究學(xué)習(xí)為求解此類問(wèn)題打開(kāi)嶄新的解題空間。教學(xué)目標(biāo)：1.知識(shí)與技能：通過(guò)對(duì)平面向量加法和減法的運(yùn)用和對(duì)平面向量基本定理的深刻理解，構(gòu)建平面向量抽象具體化的三點(diǎn)共線與等和線問(wèn)題，進(jìn)一步將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形關(guān)系問(wèn)題，將系數(shù)和的代數(shù)式運(yùn)算轉(zhuǎn)化為距離的比例運(yùn)算；2.過(guò)程與方法：滲透代數(shù)與平面向量幾何的相互轉(zhuǎn)化的數(shù)形結(jié)合思想方法，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：（1）學(xué)生從已經(jīng)學(xué)過(guò)的平面向量知識(shí)中進(jìn)一步整合升華，構(gòu)建高考數(shù)學(xué)完整的數(shù)學(xué)體系和公理化的思想。（2）培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。教學(xué)重難點(diǎn)：重點(diǎn)：平面向量三點(diǎn)共線定理，等和線定理及其數(shù)學(xué)意義。難點(diǎn)：利用平面向量三點(diǎn)共線定理和等和線定理將代數(shù)問(wèn)題與平面向量幾何的相互轉(zhuǎn)化。教學(xué)過(guò)程：一、考點(diǎn)知識(shí)回顧1.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.2.平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．二、考點(diǎn)探究·題型突破???思考1如圖所示，在平面內(nèi)，已知，若點(diǎn)C在直線AB上（即A,B,C三點(diǎn)共線），則=，若點(diǎn)C在線段AB上，則。???引申探究在平面內(nèi)，已知，若，則A,B,C三點(diǎn)一定共線嗎？★★★反思與感悟1.三點(diǎn)共線定理：已知為平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量且，是A,B,C三點(diǎn)共線的充要條件。已知，若A,B,C三點(diǎn)共線且點(diǎn)C在線段AB上，則（系數(shù)交叉對(duì)應(yīng)）。特別地：當(dāng)C為AB的中點(diǎn)時(shí)，.???練習(xí)1如圖，在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，E在線段AD上，且AE=2ED,則()???思考2如圖所示，在平面內(nèi)，已知，，若點(diǎn)C在直線AB外，則=★★★等和線定理：平面內(nèi)一組基底及任一向量,,若點(diǎn)C在直線AB上或者平行與AB的直線上，則且，反之也成立。（直線AB以及直線AB平行的直線稱為等和線）。性質(zhì)：（1）；（2）當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時(shí)，；（3）當(dāng)?shù)群途€在O和直線AB之間時(shí)，；（4）當(dāng)直線AB在點(diǎn)O和等和線之間時(shí)，；（5）當(dāng)?shù)群途€過(guò)O點(diǎn)時(shí)，。???例1（2013?安徽高考，理）給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和，它們的夾角是，如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心，以1為半徑的圓AB上變動(dòng)。若,其中，則的最大值是???例2（2017?新課標(biāo)Ⅲ，理12）在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上．若，則的最大值為★★★反思與感悟一般用等和線求解基底系數(shù)之和范圍步驟：確定起點(diǎn)、基底；2.確定基線（即的線）3.作平行線得到定值的取值或范圍。???練習(xí)2如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量，其中與的夾角為，與的夾角為，且???練習(xí)3在扇形OAB中，，C為弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則的取值范圍是三．總結(jié)歸納★★★三點(diǎn)共線1.三點(diǎn)共線定理：已知為平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量且，是A,B,C三點(diǎn)共線的充要條件。已知，若A,B,C三點(diǎn)共線且點(diǎn)C在線段AB上，則（系數(shù)交叉對(duì)應(yīng)）。特別地：當(dāng)C為AB的中點(diǎn)時(shí)，.★★★等和線等和線定理：平面內(nèi)一組基底及任一向量,,若點(diǎn)C在直線AB上或者平行與AB的直線上，則且，反之也成立。（直線AB以及直線AB平行的直線稱為等和線）。性質(zhì)：（1）；當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時(shí)，；當(dāng)?shù)群途€在O和直線AB之間時(shí)，；當(dāng)直線AB在點(diǎn)O和等和線之間時(shí)，；當(dāng)?shù)群途€過(guò)O點(diǎn)時(shí)，。四．課后鞏固提升練1.已知O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且eq\o(AO,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→)))，eq\o(AD,\s\up16(→))＝teq\o(AC,\s\up16(→))，若B，O，D三點(diǎn)共線，則t的值為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)2.如圖，Rt△ABC中，P是斜邊BC上一點(diǎn)，且滿足：eq\o(BP,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up16(→))，點(diǎn)M，N在過(guò)點(diǎn)P的直線上，若eq\o(AM,\s\up16(→))＝λeq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AN,\s\up16(→))＝μeq\o(AC,\s\up16(→))，(λ，μ>0)，則λ＋2μ的最小值為()A．2B.eq\f(8,3)C．3 D.eq\f(10,3)3.△ABC中，D為AC上一點(diǎn)且滿足若P為BD上一點(diǎn)，且滿足，λ，μ為正實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．λμ的最小值為16B．λμ的最大值為 C．的最大值為16 D．的最小值為44.在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上．若，則的取值范圍5.在△ABC中，AC⊥AB，AB＝3，AC＝1，點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，且滿足＝2，若，則3x+y的最小值是（）A.B. C.1 D.6.已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，,過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于兩點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，若，則的最小值為（）A.B.C.D.設(shè)計(jì)意圖：加強(qiáng)對(duì)已經(jīng)學(xué)習(xí)的平面向量問(wèn)題進(jìn)一步過(guò)程探索，同時(shí)深刻理解充分與必要的證明過(guò)程。設(shè)計(jì)意圖：總結(jié)探索結(jié)果，目的讓學(xué)生學(xué)會(huì)分析-歸納-總結(jié)的科學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。并升華問(wèn)題中技巧結(jié)論。設(shè)計(jì)意圖：以上探索了點(diǎn)C在直線AB上，當(dāng)點(diǎn)C在直線AB外又有何變化？探索不同條件得出不同特征，得出結(jié)論，為高考解題打開(kāi)空間。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)高考真題了解高考考題方向，同時(shí)達(dá)到學(xué)以致用的目的，梳理解題步驟及總結(jié)解題技巧。有利于學(xué)生解題思維模式和知識(shí)體系的構(gòu)成，讓學(xué)生學(xué)會(huì)分析-歸納-總結(jié)的科學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生自主短時(shí)間完成，了解學(xué)生對(duì)平面向量等和定理運(yùn)用的掌握情況，及時(shí)了解學(xué)生動(dòng)態(tài)。設(shè)計(jì)意圖：本堂課終對(duì)本節(jié)重點(diǎn)和核心知識(shí)體系再次梳理強(qiáng)化對(duì)三點(diǎn)共線定理和等和線定理的理解，利于后續(xù)解題的