中考數(shù)學(xué)壓軸題專(zhuān)題直角三角形的邊角關(guān)系的經(jīng)典綜合題及答案

中考數(shù)學(xué)壓軸題專(zhuān)題直角三角形的邊角關(guān)系的經(jīng)典綜合題及答案一、直角三角形的邊角關(guān)系1一、直角三角形的邊角關(guān)系1.如圖（9）所示（左圖為實(shí)景側(cè)視圖，右圖為安裝示意圖），在屋頂?shù)男逼旅嫔习惭b太陽(yáng)能熱水器：先安裝支架AB和CD（均與水平面垂直），再將集熱板安裝在A(yíng)D上?為使集熱板吸熱率更高，公司規(guī)定：AD與水平面夾角為人，且在水平線(xiàn)上的射影AF為1.4m.現(xiàn)已測(cè)量出屋頂斜面與水平面夾角為02，并已知tan01二1.082，【答案】解：過(guò)點(diǎn)厘作腫丄于碼AS//BC交C7?于在就企ADF中，DF==1.4xl.0S2=1.5143M,#（2分）在中，=tan（2分）TOC\o"1-5"\h\zDE=DF-EF=1.5148-0.576S=0.933（^）（1分）又可證四辺舷ABCE為平行四迦積故有CE=AB=（2分）==93.8+25=118.8^119（^）（2分）答：支架CD的高約次119”.（1分）心【解析】過(guò)A作AF丄CD于F,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義用％、02表示出DF、EF的值，又可證四邊形ABCE為平行四邊形，故有EC=AB=25cm,再再根據(jù)DC=DE+EC進(jìn)行解答即可.2.在矩形ABCD中，AD>AB，點(diǎn)P是CD邊上的任意一點(diǎn)（不含C，D兩端點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P作PFIIBC，交對(duì)角線(xiàn)BD于點(diǎn)F.嚴(yán)作PFIIBC，交對(duì)角線(xiàn)BD于點(diǎn)F.嚴(yán)倜1）厲咼唐用圖）如圖1,將厶PDF沿對(duì)角線(xiàn)BD翻折得到厶QDF,QF交AD于點(diǎn)E.求證：△DEF是等腰三角形；如圖2,將厶PDF繞點(diǎn)D逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△P'DF'，連接P'C,F'B.設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a(0°VaV180°).若0°<a<ZBDC，即DF'在/BDC的內(nèi)部時(shí)，求證：△DP'C-△DF'B.如圖3,若點(diǎn)P是CD的中點(diǎn),△DF'B能否為直角三角形？如果能,試求出此時(shí)tanzDBF'的值，如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)①證明見(jiàn)解析；②2或￡.【解析】【分析】(1)根據(jù)翻折的性質(zhì)以及平行線(xiàn)的性質(zhì)可知ZDFQ=ZADF，所以△DEF是等腰三角形；(2)①由于PFIIBC，所以△DPF-△DCB，從而易證△DP'F'-△DCB；②由于△DF'B是直角三角形，但不知道哪個(gè)的角是直角，故需要對(duì)該三角形的內(nèi)角進(jìn)行分類(lèi)討論.【詳解】(1)由翻折可知：zDFP=zDFQ，TPFIIBC，ZDFP=ZADF，ZDFQ=ZADF,.△DEF是等腰三角形；(2)①若0°<a<ZBDC,即DF'在ZBDC的內(nèi)部時(shí),TZP'DF'=ZPDF,ZP'DF'-ZF'DC=ZPDF-ZF'DC,ZP'DC=ZF'DB,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：△DP'F仝△DPF,TPFIBC，△DPF-△DCB,.△DP'F'-△DCB.DC_DP'~db~~dF'，???△DP'C-△DF'B；②當(dāng)ZF'DB=90°時(shí)，如圖所示，1DF'=DF=BD,2.DF'_1~BD~2，DF'1..tanZDBF'=二；BD2，

即DF>DB,不符合題意;當(dāng)上DF'B=90°時(shí)，如圖所示，1DF'=DF=BD,2???tanzDBF'MZDBF'=30°???tanzDBF'M【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的綜合問(wèn)題，涉及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，相似三角形的性質(zhì)以及判定等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)與定理、運(yùn)用分類(lèi)思想進(jìn)行討論是解題的關(guān)鍵.3.已知RtAABC中，ZACB=90°，點(diǎn)D、E分別在BC、AC邊上，連結(jié)BE、AD交于點(diǎn)P，設(shè)AC=kBD，CD=kAE，k為常數(shù)，試探究ZAPE的度數(shù)：如圖1若k=1，則ZAPE的度數(shù)為_(kāi)；如圖2,若k=^3，試問(wèn)(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，求出ZAPE的度數(shù).(3)如圖3,若k=j3，且D、E分別在CB、CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，(2)中的結(jié)論是否成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.ffll團(tuán)3ffll團(tuán)3【答案】(1)45°；(2)(1)中結(jié)論不成立，理由見(jiàn)解析；(3)(2)中結(jié)論成立，理由見(jiàn)解析.【解析】分析：（1）先判斷出四邊形ADBF是平行四邊形，得出BD=AF,BF=AD,進(jìn)而判斷出FAE竺△ACD，得出EF=AD=BF，再判斷出/EFB=90°，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出四邊形ADBF是平行四邊形，得出BD=AF，BF=AD，進(jìn)而判斷出FAE-△ACD，再判斷出上EFB=90°，即可得出結(jié)論;（3）先判斷出四邊形ADBF是平行四邊形，得出BD=AF，BF=AD，進(jìn)而判斷出ACD-△HEA，再判斷出上EFB=90°，即可得出結(jié)論;詳解：（1）如圖1,過(guò)點(diǎn)A作AFIICB,過(guò)點(diǎn)B作BFIIAD相交于F,連接EF，圖1??ZFBE=ZAPE,ZFAC=ZC=90°，四邊形ADBF是平行四邊形，BD=AF,BF=AD.TAC=BD,CD=AE,AF=AC.TZFAC=ZC=90°,△FAE竺△ACD,EF=AD=BF,ZFEA=ZADC.TZADC+ZCAD=90°,ZFEA+ZCAD=90°=ZEHD.TADIBF,ZEFB=90°.TEF=BF,ZFBE=45°,ZAPE=45°.(2)(1)中結(jié)論不成立，理由如下：如圖2,過(guò)點(diǎn)A作AFIICB,過(guò)點(diǎn)B作BFIIAD相交于F,連接EF,?ZFBE=ZAPE,ZFAC=ZC=90°，四邊形ADBF是平行四邊形,

BD=AF,BF=AD.「AC=\：3BD,CD=\；'3AE,AC_AC_CD

~BD~~AE?:BD=AF,AC_AC_CDAF_AE/ZFAC=ZC=90°,.△FAE~△ACD,ZFEA=ZFEA=ZADC.(3)(2)(3)(2)中結(jié)論成立,AC_CD~BD_A/ZADC+ZCAD=90°,.ZFEA+ZCAD=90°=ZEMD./ADIIBF,.ZEFB=90°.在RtAEFB中，tanZFBE=二-,BF3ZFBE=30°,ZAPE=30°,如圖3,作EHIICD,DHIIBE,EH,DH相交于H,連接AH,.ZAPE=ZADH,ZHEC=ZC=90°，四邊形EBDH是平行四邊形,BE=DH,EH=BD.TAC=\3BD,CD=\；'3ae,/ZHEA=ZC=90°,.△ACD-△HEA,ZADC=ZADC=ZHAE.ZCAD+ZADC=90°,ZHAE+ZCAD=90°,

ZHAD=90°.:.AHrr在RtADAH中，tanZADH==弋3,AD.ZADH=30°,ZAPE=30°.點(diǎn)睛：此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形和相似三角形的判定和性質(zhì).4.已知：如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,點(diǎn)M是斜邊AB的中點(diǎn)，MDIIBC,且MD=CM，DE丄AB于點(diǎn)E,連結(jié)AD、CD.求證：△MED-△BCA；求證：△AMD竺△CMD；17設(shè)厶MDE的面積為S],四邊形BCMD的面積為S2，當(dāng)S2^5S]時(shí)，求cosZABC的值.5【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3)cosZABC=7-【解析】【分析】易證ZDME=ZCBA,ZACB=ZMED=90°，從而可證明△MED-△BCA；由ZACB=90°，點(diǎn)M是斜邊AB的中點(diǎn)，可知MB=MC=AM，從而可證明ZAMD=ZCMD,從而可利用全等三角形的判定證明△AMD竺△CMD；S(3)易證MD=2AB,由(1)可知：S(3)易證MD=2AB,由(1)可知：△MED-△BCA，所以亍SaACBIAB丿4，所以S~Saebd2_沐MCB=2S"CB=2S1，從而可求出沐EBD=S2-S^MCB-S1=三S1，由于-MEEb，從而可ME57知莎二2，設(shè)ME=5x，EB=2x，從而可求出AB=14x，BC=2，最后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案.【詳解】(1)TMDIIBC,ZDME=ZCBA,TZACB=ZMED=90°,

△MED~△BCA；(2)VZACB=90°，點(diǎn)M是斜邊AB的中點(diǎn)，.MB=MC=AM，.ZMCB=ZMBC，ZDMB=ZMBC，.ZMCB=ZDMB=ZMBC，ZAMD=180°-ZDMB,ZCMD=180°-ZMCB-ZMBC+ZDMB=180°-ZMBC,.ZAMD=ZCMD，在厶AMD與厶CMD中，?MD=MD<ZAMD=ACMD,AM=CM.△AMD竺△CMD(SAS)；(3)VMD=CM，.AM=MC=MD=MB，.MD=2AB，由(1)可知：△MED-△BCA,S1—S△4.S.S"CB=4S1VVCM是厶ACB的中線(xiàn),.'△MCB1.'△MCB12SAACB=2S1,'△EBD=S2-S22叫MCB-S1=5Si'SMEVSMEV1—=SEB，△ebdSME1—=.2EB，—S5iME=5

~EB~2設(shè)ME=5x設(shè)ME=5x，.MB=7x，EB=2x，.AB=2MB=14x，,,MD.AB=2MB=14x，,,MD=ME=1'~AB~~BC~2.BC=10x，二cos二cosZABC=BCAB【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的綜合問(wèn)題，涉及直角三角形斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形面積的面積比，銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)，綜合程度較高，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)及定理進(jìn)行解題是關(guān)鍵5.如圖，在O0的內(nèi)接三角形ABC中，ZACB=90°,AC=2BC,過(guò)C作AB的垂線(xiàn)丨交O0于另一點(diǎn)D,垂足為E.設(shè)P是"上異于A(yíng)，C的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線(xiàn)AP交丨于點(diǎn)F,連接PC與PD，PD交AB于點(diǎn)G.⑴求證：△PAC-△PDF；(2)若(2)若AB=5,求PD的長(zhǎng);AG⑶在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)=x,tanZAFD=y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.（不要求寫(xiě)出x的取值范圍）【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）'【解析】試題分析：（1）應(yīng)用圓周角定理證明ZAPD=ZFPC，得到ZAPC=ZFPD,又由ZPAC=ZPDC,即可證明結(jié)論.（2）由AC=2BC,設(shè)「，應(yīng)用勾股定理即可求得BC,AC的長(zhǎng)，則由AC=2BC得-'J--由厶ACE-△ABC可求得AE,CE的長(zhǎng)，由田耳可知△APB是等腰直角三角形，從而可求得PA的長(zhǎng)，由△AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4,從而求得DF的長(zhǎng),PAAC由（1）△PAC-△PDF得：',即可求得PD的長(zhǎng).AD2（3）連接BP,BD,AD,根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性，可得:川，由角的轉(zhuǎn)換可得APAGAPDGADy■'，由△AGP-△DGB可得叫由厶AGD-△PGB可得"&皿,式相乘可得結(jié)果.試題解析：（1）由APCB內(nèi)接于圓O,得ZFPC=ZB,又：ZB=ZACE=90°—ZBCE,ZACE=ZAPD,:.ZAPD=ZFPC.Zapd+zdpc=zfpc+zdpc，即zapc=zfpd.

又:ZPAC=ZPDC,△PAC-△PDF.(2)連接BP,設(shè)門(mén)'■:TZACB=90°,AB=5,+(2壓)'一52=>u二護(hù)EC—i3沖匚=2?護(hù)AECEAC朋_陽(yáng)_2?:△ACE-△ABC,■'■'■,即..?.^I；：-TAB丄CD,???門(mén)上門(mén)*：PA-如圖，連接BP,PA-r^iiviT「一一?'■■■,?△APB是等腰直角三角形.?ZPAB=45°,?△AEF是等腰直角三角形..EF=AE=4.?DF=6.5護(hù)PAAC?PD的長(zhǎng)為2(3)如圖,連接BP,BD,AD,-AC=2BC,.?根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性,得AD=2DB,-AB丄CD,1BP丄AE,?ZABP=ZAFD.?tanAAFDtan^.ABP-=?AP?—￥BP*AGAP-△AGP-△DGB,??麗_沏.DGAD?△AGD-△PGB,?就=西.AGDGAPADAPADDGBGDBPB即三GPBDE.AD由(1)△PAC-△PDF得；'；,7AG??転_x?工二y*2?與i之間的函數(shù)關(guān)系式為

考點(diǎn)：1?單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題；2?圓周角定理；3?相似三角形的判定和性質(zhì)；4?勾股定理；5?等腰直角三角形的判定和性質(zhì)；6?垂徑定理；7?銳角三角函數(shù)定義；8?由實(shí)際問(wèn)題列函數(shù)關(guān)系式.6.問(wèn)題背景：如圖(a),點(diǎn)A、B在直線(xiàn)丨的同側(cè)，要在直線(xiàn)丨上找一點(diǎn)C,使AC與BC的距離之和最小，我們可以作出點(diǎn)B關(guān)于丨的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B：連接AB'與直線(xiàn)丨交于點(diǎn)C,則點(diǎn)C即為所求.311c1呂:\■i/&、、:\1%■U1(1)實(shí)踐運(yùn)用：(0B如圖(b),已知，OO的直徑CD為4,點(diǎn)A在OO上,ZACD=30°,B為弧AD的中點(diǎn)，P為直徑CD上一動(dòng)點(diǎn)，則BP+AP的最小值為—.(2)知識(shí)拓展：如圖(c),在RtAABC中，AB=10,ZBAC=45°,ZBAC的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)D,E、F分別是線(xiàn)段AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，求BE+EF的最小值，并寫(xiě)出解答過(guò)程.【答案】解：(1)2邁.(2)如圖，在斜邊AC上截取ABZ=AB,連接BBZ.

點(diǎn)B點(diǎn)B與點(diǎn)B'關(guān)于直線(xiàn)AD對(duì)稱(chēng).過(guò)點(diǎn)B'作B卡丄AB，垂足為F,交AD于E,連接BE.則線(xiàn)段B'F的長(zhǎng)即為所求(點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最短).在RtAAFB/中，TZBAC=45o,AB/="AB="10，??三2BE+EF的最小值為￡【解析】試題分析：(1)找點(diǎn)A或點(diǎn)B關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，再連接其中一點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)和另一點(diǎn)，和MN的交點(diǎn)P就是所求作的位置，根據(jù)題意先求出ZC'AE,再根據(jù)勾股定理求出AE,即可得出PA+PB的最小值：如圖作點(diǎn)B關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E,連接AE交CD于點(diǎn)P,此時(shí)PA+PB最小，且等于A(yíng).作直徑AC',連接C'E,根據(jù)垂徑定理得弧8。=弧DE.CCTZACD=30°,?ZAOD=60°,ZDOE=30°.?ZAOE=90°.?ZC'AE=45°.又AC為圓的直徑,?ZAEC'=90°.ZC'=ZC'AE=45°.?C'E=AE=7TAC'=2^2.AP+BP的最小值是2邁.(2)首先在斜邊AC上截取AB'=AB,連接BB',再過(guò)點(diǎn)B'作B'F丄AB，垂足為F,交AD于E,連接BE,則線(xiàn)段B'F的長(zhǎng)即為所求.7.已知：△ABC內(nèi)接于OO,D是弧BC上一點(diǎn)，0D丄BC,垂足為H.如圖1,當(dāng)圓心0在A(yíng)B邊上時(shí)，求證：AC=2OH；如圖2,當(dāng)圓心O在厶ABC外部時(shí)，連接AD、CD,AD與BC交于點(diǎn)P,求證:

乙ACD=ZAPB；（3）在（2）的條件下，如圖3,連接BD,E為OO上一點(diǎn)，連接DE交BC于點(diǎn)Q、交ABBN=ZABD=2ZBDN,3（園2》二，求BF的長(zhǎng).（馴）侮）于點(diǎn)N,連接OE,BF為OO的弦，BF丄OE于點(diǎn)R交DE于點(diǎn)G,BN=ZABD=2ZBDN,3（園2》二，求BF的長(zhǎng).（馴）侮）HE,VZHE,VZBNQ=ZQHD=90°,2【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）24.【解析】試題分析：（1）易證OH為卜ABC的中位線(xiàn)，可得AC=2OH；（2）ZAPB=ZPAC+ZACP,ZACD=ZACB+ZBCD,又：ZPAC=ZBCD，可證ZACD=ZAPB；（3）連接AO延長(zhǎng)交于OO于點(diǎn)丨，連接IC,AB與OD相交于點(diǎn)M,連接OB,易證ZGBN=ZABC，所以BG=BQ.1在RtABNQ中，根據(jù)tanZABC=;，可求得NQ、BQ的長(zhǎng).利用圓周角定理可求得IC和AI的長(zhǎng)度，設(shè)QH=x，利用勾股定理可求出QH和HD的長(zhǎng)度，利用垂徑定理可求得ED的長(zhǎng)1度，最后利用tanZOED=；即可求得RG的長(zhǎng)度，最后由垂徑定理可求得BF的長(zhǎng)度.試題解析：（1）在OO中，TOD丄BC,???BH=HC,V點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，?.AC=2OH；（2）在OO中，VOD丄BC,?弧8。=弧CD,?ZPAC=ZBCD,VZAPB=ZPAC+ZACP,ZACD=ZACB+ZBCD,?ZACD=ZAPB；（3）連接AO延長(zhǎng)交于OO于點(diǎn)I,連接IC,AB與OD相交于點(diǎn)M,連接OB,VZACD-ZABD=2ZBDN,?ZACD-ZBDN=ZABD+ZBDN,VZABD+ZBDN=ZAND,?ZACD-ZBDN=ZAND,VZACD+ZABD=180°,?2ZAND=180°,?ZAND=90°,?BG=BQ?BG=BQ上,ZABC=ZQDH,VOE=OD,ZOED=ZQDH,VZERG=90°,?ZOED=ZGBN,?ZGBN=ZABC,VAB丄ED,TOC\o"1-5"\h\z工14GIVZACI=90°,tanZAIC=tanZABC=,?,?IC=,?由勾股定理可求得:CI2AI=25,

1OH125設(shè)QH=x，T沁ABC5ZODE=],?，?HD=2x，?OH=OD-HD=]一「，15bh=bq+qh=7-.--,TOB2TOB2=BH2+OH2,J□15Ygw9，解得：，當(dāng)QH=t時(shí),.QD出,1ll1595???ND=iJ7，.MN=_*F,MD=15,T匚；：：，〒，???QH=；不符合題意，舍去，當(dāng)QH==時(shí),.QD出1.ND=NQ+QD=,ED=,.GD=GN+ND=…巴.EG=ED-GD=^L,22gIRGtanZOED=—,??——2ER2QEG=^7rG,?RG=—,?BR=RG+BG=12JBF=2BR=24.AA（HS）考點(diǎn)：1圓；2相似三角形；3三角函數(shù)；4直角三角形.8水庫(kù)大壩截面的迎水坡坡比（DE與AE的長(zhǎng)度之比）為1：0.6，背水坡坡比為1：2,大壩高DE=30米，壩頂寬CD=10米，求大壩的截面的周長(zhǎng)和面積.【答案】故大壩的截面的周長(zhǎng)是（6富34+30虧+98）米，面積是1470平方米.【解析】試題分析：先根據(jù)兩個(gè)坡比求出AE和BF的長(zhǎng)，然后利用勾股定理求出AD和BC,再由大壩的截面的周長(zhǎng)=DC+AD+AE+EF+BF+BC,梯形的面積公式可得出答案.試題解析：??迎水坡坡比（DE與AE的長(zhǎng)度之比）為1：0.6,DE=30m,?AE=18米，在RTAADE中，AD*DE2+AE2=6\；34米T背水坡坡比為1：2,BF=60米，在RTABCF中，BC=JCF2+BF2=30J5米，.周長(zhǎng)=DC+AD+AE+EF+BF+BC=6j34+10+30\/5+88=(6*34+30j5+98)米，面積=(10+18+10+60)x30=2=1470(平方米).故大壩的截面的周長(zhǎng)是(6打4+30點(diǎn)+98)米，面積是1470平方米.9.如圖，AB是OO的直徑，PA、PC與OO分別相切于點(diǎn)A，C，PC交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，DE丄PO交PO的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E.⑴求證：ZEPD=ZEDO；3⑵若PC=3，tanZPDA=4，求OE的長(zhǎng).【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)衛(wèi).2【解析】【分析】3(1)由切線(xiàn)的性質(zhì)即可得證.(2)連接OC，利用tanZPDA=4，可求出CD=2，進(jìn)而求得3OC=，再證明厶O(píng)ED-aDEP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求出OE的長(zhǎng).【詳解】證明：???叭PC與OO分別相切于點(diǎn)A，C，ZAPO=ZCPO,PA丄A0,TDE丄PO，ZPAO=ZE=90°，TZAOP=ZEOD，ZAPO=ZEDO，ZEPD=ZEDO.連接OC,pa=PC=3，3ttanZPDA=—4在RtAPAD中，

AD=4,PD=\：PA2+AD2=5,CD=PD-PC=5-3=2,3ttanZPDA=_4在RtAOCD中,3OC=2'od=\；oc2+CD2=2，TZEPD=ZODE,ZOCP=ZE=90°,△OED-△DEP,.PDPEDE??===2DODEOE?DE=2OE,(5)225在RtAOED中，OE2+DE2在RtAOED中，OE2+DE2=OD2,12丿4???OE=1!.2???OE=1!.2本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)；銳角三角函數(shù)；勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)，充分利用3tanZPDA=才，得線(xiàn)段的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵.10.超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因.上周末，小明和三位同學(xué)嘗試用自己所學(xué)的知識(shí)檢測(cè)車(chē)速，如圖，觀(guān)測(cè)點(diǎn)設(shè)在到萬(wàn)豐路(直線(xiàn)人0)的距離為120米的點(diǎn)P處.這時(shí)，-輛小轎車(chē)由西向東勻速行駛，測(cè)得此車(chē)從A處行駛到B處所用的時(shí)間為5秒且ZAPO=60°,ZBPO=45°.求A、B之間的路程；請(qǐng)判斷此車(chē)是否超過(guò)了萬(wàn)豐路每小時(shí)65千米的限制速度？請(qǐng)說(shuō)明理由.(參考數(shù)據(jù)：沁1.414,朽沁1.73).

【答案】【小題1】73.2【小題2】超過(guò)限制速度.【解析】解：(1)AB=100(*3-1)：=73.2(米)....6分(2)此車(chē)制速度(2)此車(chē)制速度v=—=18.3米/秒11.已知AB是O0的直徑，弦CD丄AB于H,過(guò)CD延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)E作O0的切線(xiàn)交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于F,切點(diǎn)為G,連接AG交CD于K.如圖1,求證：KE=GE；1如圖2,連接CABG,若/FGB=-乙ACH,求證：CAIIFE；如圖3,在(2)的條件下，連接CG交AB于點(diǎn)N,若sinE=|,AK=而，求CN的長(zhǎng).【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)△EAD是等腰三角形.證明見(jiàn)解析;【解析】試題分析：連接OG,則由已知易得ZOGE=ZAHK=90°,由OG=OA可得/AGO=ZOAG，從而可得上KGE=ZAKH=ZEKG，這樣即可得到KE=GE；設(shè)/FGB=a,由AB是直徑可得/AGB=90°,從而可得/KGE=90°-a，結(jié)合GE=KE可得一1_一ZEKG=90°-a，這樣在厶GKE中可得ZE=2a，由/FGB=ZACH可得/ACH=2a，這樣可得2ZE=ZACH,由此即可得到CAIIEF；(3)如下圖2,作NP丄AC于P,

AH3由（2）可知ZACH=ZE,由此可得sinE=sinZACH=二，設(shè)AH=3a，可得AC=5a,AC5CH4CH=4a，貝9tanZCAH=二，由（2）中結(jié)論易得/CAK=ZEGK=ZEKG=ZAKC，從而可AH3得CK=AC=5a，由此可得HK=a,tanZAKH=二3，AK="0a,結(jié)合AK="0可得a=1,HK則AC=5；在四邊形BGKH中，由ZBHK=ZBKG=90°，可得ZABG+ZHKG=180°,結(jié)合ZAKH+ZGKG=180°,ZACG=ZABG可得ZACG=ZAKH,4PN在RtAAPN中，由tanZCAH=^二，可設(shè)PN=12b,AP=9b，由APPN—5tanZACG=——二tanZAKH=3可得CP=4b,由此可得AC=AP+CP=13b=5,則可得b=--，由LJL」(1)如圖1,連接OG.此即可在RtACPN中由勾股定理解出(1)如圖1,連接OG.FCEl???efWoo于G,OG丄EF,ZAGO+ZAGE=90°,TCD丄AB于H,ZAHD=90°,ZOAG=ZAKH=90°,???OA=OG,ZAGO=ZOAG,ZAGE=ZAKH,TZEKG=ZAKH,ZEKG=ZAGE,KE=GE.（2）設(shè)ZFGB=a,TAB是直徑，ZAGB=90°,ZAGE=ZEKG=90°-a,ZE=180°-ZAGE-ZEKG=2a,1TZFGB=ZACH,2

ZACH=2a,ZACH=ZE,CAIIFE.(3)作NP丄AC于P.TZACH=ZE,.sinZE=sin.sinZE=sinZACH=AHAC設(shè)AH=3a,AC=5a,CH_4則CH=AC2—CH2—4a,tanZCAH=—,AH3TCAIFE，.ZCAK=ZAGE，TZAGE=ZAKH，.ZCAK=ZAKH，AH,.AC=CK=5a,HK=CK-CH=4a，tan,AKH==